四川省泸州市泸县普通高中共同体2023-2024学年高二下学期4月期中联合考试数学试题
1．（2024高二下·泸县期中）等差数列5，8，11，14，…的第11项为（ ）
A．29 B．32 C．35 D．37
2．（2024高二下·泸县期中）已知直线与直线互相垂直，则为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·泸县期中） 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A．60 B．48 C．54 D．64
4．（2024高二下·泸县期中）函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ）
A．为函数的极大值点 B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增
5．（2024高二下·泸县期中）设函数的导函数是.若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·泸县期中）已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·泸县期中）函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2024高二下·泸县期中）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·泸县期中）下列选项正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．设函数，且，则
10．（2024高二下·泸县期中）已知曲线，点为曲线C上一动点，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则曲线C的离心率为
B．若，则曲线C的渐近线方程为
C．若曲线C是双曲线，则曲线C的焦点一定在y轴上
D．若曲线C是圆，则的最大值为4
11．（2024高二下·泸县期中）函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高二下·泸县期中）已知数列 的前n项和为 ， ，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．数列 是等比数列
D．数列 的前n项和为
13．（2024高二下·泸县期中）展开式中的系数为 ．
14．（2024高二下·泸县期中）已知事件与相互独立，，，则 ．
15．（2024高二下·泸县期中）已知直线，动直线l被圆截得弦长的最小值为
16．（2024高二下·泸县期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
17．（2024高二下·泸县期中）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最值．
18．（2024高二下·泸县期中）某仓库有甲、乙两箱产品，其中甲箱中有4件正品和3件次品，乙箱中有5件正品和3件次品．
（1）从甲箱中任取2件产品，求事件A＝“这2件产品中至少有1件次品”的概率；
（2）从甲、乙两箱中各取1件产品，求事件B＝“这2件产品中恰好有1件次品”的概率．
19．（2024高二下·泸县期中） 已知等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前2n项和．
20．（2024高二下·泸县期中）如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（2024高二下·泸县期中）已知椭圆：的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为的正方形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点.点，记直线，的斜率分别为，当最大时，求直线的方程.
22．（2024高二下·泸县期中）已知．
（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）当时，函数有两个零点，求b的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由等差数列5，8，11，17，知，首项 公差，
所以通项公式为，
因此该数列的第11项为：，
故答案为：C.
【分析】本题考查等差数列的通项公式.先根据数列的前4项找出首项和公式，利用等差数列的通项公式可求出通项公式，据此可求出数列的第11项.
2．【答案】C
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：两直线垂直，则有，即，解得.
故选：C
【分析】本题考查两条直线垂直的转化.根据两直线垂直的一般式的结论：，代入数据可得方程，解方程可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：因为甲不选景点，所以先考虑甲，甲在三个景点中任选一个有3种选法；
再考虑乙和丙，从中分别任选一个景点，有中选法，
由分步乘法计数原理，可得不同选法有种.
故答案为：B.
【分析】由题意，先安排甲，再安排乙和丙，最后利用分步乘法计数原理计算即可.
4．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A，由图可知，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以为函数的极小值点，故A选项错误；
B，的符号在区间上是先负后正，意味着函数在区间上先单调递减再单调递增，故B选项错误；
C，的符号在区间上是先正后负，意味着函数在区间上先单调递增再单调递减，故C选项错误；
D，当时，，所以函数在区间上单调递增，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】利用导数符号与函数单调性的关系结合导函数图象逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，，
，从而，，，，
故答案为：B.
【分析】先利用求导公式可得，代值可得，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：
所以，
，
设面的法向量为，
，
所以，
令，则，
所以，
，
所以到平面的距离，
故答案为：C.
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，可得的法向量为，则到平面的距离，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设与函数图象相切的直线方程为：，
设切点为，函数定义域为，，
则，解得，即切点，
又因为点到直线的距离为，
所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是.
故答案为：B.
【分析】由题意，设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：，利用导数的几何意义求得切点，再求出切点到直线的距离即可.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】求导有 ，
因为函数 有唯一的极值点 ，
所以， 有唯一正实数根，
因为 ，
所以 在 上无解，
所以， 在 上无解，
记 ，则有 ，
所以，当 时， ， 在 上递减，
当 时， ， 在 上递增．
此时 时， 有最小值 ，
所以， ，即 ，
所以 ，即 的取值范围是 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数的极值点，所以， 有唯一正实数根，再利用 ，所以 在 上无解，记 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围，再结合代入法和a的取值范围得出 的取值范围。
9．【答案】A,D
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A.因为，则，则，A正确；
B.因为，则，B错误；
C.因为，则，C错误；
D.因为，则，又，
则，即，所以，D正确；
故选：AD
【分析】本题考查基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，简单复合函数的导数.根据基本初等函数的函数公式进行计算，可判断A和B选项；利用简单复合函数的导数公式进行运算可判断C选项；利用积的导数公式可求出，据此可列出方程，解方程可求出的值，据此可判断D选项.
10．【答案】A,C
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：A，时，曲线为，故，
则曲线的离心率为，A正确；
B，时，曲线为，双曲线焦点在轴上，
则曲线的渐近线方程为，B错误；
C，若曲线是双曲线，则，解得：，因，
则曲线的焦点一定在轴上，C正确；
D，若曲线是圆，则，即，
，设 ，则得，
如图，要求的最大值，即求直线的纵截距的最小值，又因为曲线上一动点，
故可考虑直线与圆相切时的情况，由圆心到直线的距离为，解得，
结合图象知，即的最大值为，D错误．
故答案为：AC．
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质.将代入曲线C的方程，利用椭圆的离心率公式可求出离心率，据此可判断A选项；将代入曲线C的方程，利用双曲线的渐近线公式可求出渐近线方程，据此可判断B选项；根据曲线C为双曲线，可列出关于m的不等式，解不等式可求出m的取值范围，据此可推出，判断C选项；先根据曲线是圆，求出的值，再设 ，利用点到直线的距离公式可求出的最大值，判断D选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，
由图可知，，
则，故C选项正确；
，，
两式相减得，即，
，则，
所以，则，所以，故AB选项正确；
则，故D选项错误.
故答案为：ABC.
【分析】先利用求导公式函数的导函数，再利用函数的图像可知，将用表示，即可求解.
12．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵ ，①
∴，②
两式作差得：an+1=2an+1-2an ， ，
∴ an+1=2an， ，
又∵a1=S1=2a1+1，
∴a1=-1
∴数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列，
则an=(-1)·2n+1=-2n+1 ， .
由上述内容可知，选项A，C正确.
当n=5时，S5=-25+1=-31 ，则选项B错误.
∵ Sn-1=-2n， Sn+1-1=-2n+1，
∴，
数列{Sn-1}是首项为-2的等比数列.
则数列{Sn-1}的前n项和为 ，则选项D正确.
故选：ACD
【分析】根据an与Sn的关系可知数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列，并写出通项公式及求和公式，即可判断选项正误
13．【答案】15
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的通项为，
令，解得：
所以展开式中的项为：
因此展开式中的系数为15
故答案为：15
【分析】本题考查二项式展开式的通项.先求出的展开式的通项，再，求出k的值，反代回展开式的通项公式可求出答案.
14．【答案】0.88
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：已知事件与相互独立，，，
又因为，所以，
则
故答案为：0.88.
【分析】利用已知条件结合独立事件求概率公式，进而得出事件B的概率，再利用，从而得出P(A+B)的值。
15．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆的方程可化为，
即圆心为，半径为5．
由于直线过定点，
所以过点且与垂直的弦的弦长最短，
且最短弦长为．
故答案为：
【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先求出直线过定点，利用直线与圆的位置关系可推出：当过点且与垂直的弦的弦长最短，利用l两点间的距离公式求出，利用弦长公式可求出弦长的最小值.
16．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
【分析】本题考查函数的恒成立问题.根据条件问题可转化为：存在，使成立，通过参变分离可得：存在，使成立，构造函数，，求出导函数，判断函数的单调性，进而求出的最值，据此可求出实数a的取值范围.
17．【答案】解：（1）递增区间为，，递减区间为；
由题意，函数的定义域为，
且，
令，即，解得或；
令，即，解得，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）由（1），令，即，解得或．
因为，所以舍去，即，
又因为，，，
所以在上的最大值为，最小值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先利用求导公式可得，利用导数的符号与单调性的关系，即可求解；
（2）由（1），令，求得，分别求得函数的极值和端点的函数值，即可求解.
18．【答案】（1）解：从甲箱中取2件产品的样本空间包含的样本点，
事件A数包含的样本点为；
所以从甲箱中任取2件产品，求这2件产品至少有1件次品的概率
为
（2）解：设事件＝“从甲箱中取1件产品是正品”，事件＝“从甲箱中取出1个产品是次品”，事件＝“从乙箱中取出1件产品是正品”，事件＝“从乙箱中取出1件产品是次品”，
所以事件，又事件与事件、事件与事件相互独立，事件与互斥，
所以
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】本题考查古典型概率的计算公式，相互独立事件的概率公式.
(1)根据题意可求出从甲箱中取2件产品的样本空间包含的样本点个数，进而找出事件A的样本点个数，利用古典型概率的计算公式可求求出答案.
(2)根据题意分析可得事件共有两种情况：从甲箱中取1件产品是正品，从乙箱中取出1件产品是次品；从甲箱中取出1个产品是次品，从乙箱中取出1件产品是正品；再利用相互独立事件的概率公式可求出答案.
19．【答案】（1）解：由题意可得：，即，
且，解得，
所以数列的通项公式．
（2）解：由（1）可得，
可得
，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，分组求和求数列的和.
（1）根据题意利用等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式可列出方程组，解方程组可求出，再利用等差数列的通项公式可求出答案.
（2）结合（1）可得：，再进行分组，利用分组求和可求出．
20．【答案】（1）证明：分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则，，
因为在上，可设，则，
又，则，解得，即，
可得
则，
可得，即
且，平面．
所以平面．
（2）解：由（1）可得：，
设平面的一个法向量为， 则，
令，则，可得，
设直线与平面所成角为，
因为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；
（2）平面的法向量，再利用空间向量求线面夹角即可求解．
（1）如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，
因为在上，可设，则，
又，则，解得，即，
可得
则，
可得，即
且，平面．
所以平面．
（2）由（1）可得：，
设平面的一个法向量为， 则，
令，则，可得，
设直线与平面所成角为，
因为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21．【答案】解：（1）由已知得.
又，
所以椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率为0时，则；
②当直线的斜率不为0时，设，，直线的方程为，
将代入，整理得.
则，.
又，，
所以，
.
令，则
所以当且仅当，即时，取等号.
由①②得，直线的方程为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用题意列出方程即可求解；
（2）分斜率存在和不存在两种情况，直线方程和椭圆方程联立利用根与系数关系可得，，化简即可求解.
22．【答案】（1）解：，又，所以
因为，
所以，
所以，故，
综上，．
（2）解：当时，，
当时，只有一个零点，故，
当时，，
①当时，，令，
当时，；当时，．
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
又，，
又，所以，
故，
所以时函数有两个零点．
②当时，今，解得，
若，所以，所以函数在R上单调递增，
不可能有两个零点．
若，即时，当时，，当时，，
当时，
所以函数在上单调递增，上单调递减，在上单调递增．
又，
，
故函数至多有一个零点，不符合题意．
若时，即，当时，，当时，
，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，，故函数至多有一个零点，不符合题意．
综上，b的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，函数的零点，利用导函数研究函数的单调性.
（1）先将切点代入函数，可求出切点坐标，再将切点坐标代入切线方程可求出a的值，求出导函数，根据导数的几何意义可列出方程，解方程可求出b的值；
（2）当时，，再分，和三种情况，求出导函数，判断导函数的正负，进而确定函数的单调性，求出函数的最值，结合最值可判断函数的零点个数，进而求出实数b的取值范围.
1 / 1四川省泸州市泸县普通高中共同体2023-2024学年高二下学期4月期中联合考试数学试题
1．（2024高二下·泸县期中）等差数列5，8，11，14，…的第11项为（ ）
A．29 B．32 C．35 D．37
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由等差数列5，8，11，17，知，首项 公差，
所以通项公式为，
因此该数列的第11项为：，
故答案为：C.
【分析】本题考查等差数列的通项公式.先根据数列的前4项找出首项和公式，利用等差数列的通项公式可求出通项公式，据此可求出数列的第11项.
2．（2024高二下·泸县期中）已知直线与直线互相垂直，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：两直线垂直，则有，即，解得.
故选：C
【分析】本题考查两条直线垂直的转化.根据两直线垂直的一般式的结论：，代入数据可得方程，解方程可求出答案.
3．（2024高二下·泸县期中） 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A．60 B．48 C．54 D．64
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：因为甲不选景点，所以先考虑甲，甲在三个景点中任选一个有3种选法；
再考虑乙和丙，从中分别任选一个景点，有中选法，
由分步乘法计数原理，可得不同选法有种.
故答案为：B.
【分析】由题意，先安排甲，再安排乙和丙，最后利用分步乘法计数原理计算即可.
4．（2024高二下·泸县期中）函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ）
A．为函数的极大值点 B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A，由图可知，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以为函数的极小值点，故A选项错误；
B，的符号在区间上是先负后正，意味着函数在区间上先单调递减再单调递增，故B选项错误；
C，的符号在区间上是先正后负，意味着函数在区间上先单调递增再单调递减，故C选项错误；
D，当时，，所以函数在区间上单调递增，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】利用导数符号与函数单调性的关系结合导函数图象逐项判断即可.
5．（2024高二下·泸县期中）设函数的导函数是.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，，
，从而，，，，
故答案为：B.
【分析】先利用求导公式可得，代值可得，即可求解.
6．（2024高二下·泸县期中）已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：
所以，
，
设面的法向量为，
，
所以，
令，则，
所以，
，
所以到平面的距离，
故答案为：C.
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，可得的法向量为，则到平面的距离，即可求解.
7．（2024高二下·泸县期中）函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设与函数图象相切的直线方程为：，
设切点为，函数定义域为，，
则，解得，即切点，
又因为点到直线的距离为，
所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是.
故答案为：B.
【分析】由题意，设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：，利用导数的几何意义求得切点，再求出切点到直线的距离即可.
8．（2024高二下·泸县期中）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】求导有 ，
因为函数 有唯一的极值点 ，
所以， 有唯一正实数根，
因为 ，
所以 在 上无解，
所以， 在 上无解，
记 ，则有 ，
所以，当 时， ， 在 上递减，
当 时， ， 在 上递增．
此时 时， 有最小值 ，
所以， ，即 ，
所以 ，即 的取值范围是 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数的极值点，所以， 有唯一正实数根，再利用 ，所以 在 上无解，记 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围，再结合代入法和a的取值范围得出 的取值范围。
9．（2024高二下·泸县期中）下列选项正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．设函数，且，则
【答案】A,D
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A.因为，则，则，A正确；
B.因为，则，B错误；
C.因为，则，C错误；
D.因为，则，又，
则，即，所以，D正确；
故选：AD
【分析】本题考查基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，简单复合函数的导数.根据基本初等函数的函数公式进行计算，可判断A和B选项；利用简单复合函数的导数公式进行运算可判断C选项；利用积的导数公式可求出，据此可列出方程，解方程可求出的值，据此可判断D选项.
10．（2024高二下·泸县期中）已知曲线，点为曲线C上一动点，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则曲线C的离心率为
B．若，则曲线C的渐近线方程为
C．若曲线C是双曲线，则曲线C的焦点一定在y轴上
D．若曲线C是圆，则的最大值为4
【答案】A,C
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：A，时，曲线为，故，
则曲线的离心率为，A正确；
B，时，曲线为，双曲线焦点在轴上，
则曲线的渐近线方程为，B错误；
C，若曲线是双曲线，则，解得：，因，
则曲线的焦点一定在轴上，C正确；
D，若曲线是圆，则，即，
，设 ，则得，
如图，要求的最大值，即求直线的纵截距的最小值，又因为曲线上一动点，
故可考虑直线与圆相切时的情况，由圆心到直线的距离为，解得，
结合图象知，即的最大值为，D错误．
故答案为：AC．
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质.将代入曲线C的方程，利用椭圆的离心率公式可求出离心率，据此可判断A选项；将代入曲线C的方程，利用双曲线的渐近线公式可求出渐近线方程，据此可判断B选项；根据曲线C为双曲线，可列出关于m的不等式，解不等式可求出m的取值范围，据此可推出，判断C选项；先根据曲线是圆，求出的值，再设 ，利用点到直线的距离公式可求出的最大值，判断D选项.
11．（2024高二下·泸县期中）函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，
由图可知，，
则，故C选项正确；
，，
两式相减得，即，
，则，
所以，则，所以，故AB选项正确；
则，故D选项错误.
故答案为：ABC.
【分析】先利用求导公式函数的导函数，再利用函数的图像可知，将用表示，即可求解.
12．（2024高二下·泸县期中）已知数列 的前n项和为 ， ，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．数列 是等比数列
D．数列 的前n项和为
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵ ，①
∴，②
两式作差得：an+1=2an+1-2an ， ，
∴ an+1=2an， ，
又∵a1=S1=2a1+1，
∴a1=-1
∴数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列，
则an=(-1)·2n+1=-2n+1 ， .
由上述内容可知，选项A，C正确.
当n=5时，S5=-25+1=-31 ，则选项B错误.
∵ Sn-1=-2n， Sn+1-1=-2n+1，
∴，
数列{Sn-1}是首项为-2的等比数列.
则数列{Sn-1}的前n项和为 ，则选项D正确.
故选：ACD
【分析】根据an与Sn的关系可知数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列，并写出通项公式及求和公式，即可判断选项正误
13．（2024高二下·泸县期中）展开式中的系数为 ．
【答案】15
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的通项为，
令，解得：
所以展开式中的项为：
因此展开式中的系数为15
故答案为：15
【分析】本题考查二项式展开式的通项.先求出的展开式的通项，再，求出k的值，反代回展开式的通项公式可求出答案.
14．（2024高二下·泸县期中）已知事件与相互独立，，，则 ．
【答案】0.88
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：已知事件与相互独立，，，
又因为，所以，
则
故答案为：0.88.
【分析】利用已知条件结合独立事件求概率公式，进而得出事件B的概率，再利用，从而得出P(A+B)的值。
15．（2024高二下·泸县期中）已知直线，动直线l被圆截得弦长的最小值为
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆的方程可化为，
即圆心为，半径为5．
由于直线过定点，
所以过点且与垂直的弦的弦长最短，
且最短弦长为．
故答案为：
【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先求出直线过定点，利用直线与圆的位置关系可推出：当过点且与垂直的弦的弦长最短，利用l两点间的距离公式求出，利用弦长公式可求出弦长的最小值.
16．（2024高二下·泸县期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
【分析】本题考查函数的恒成立问题.根据条件问题可转化为：存在，使成立，通过参变分离可得：存在，使成立，构造函数，，求出导函数，判断函数的单调性，进而求出的最值，据此可求出实数a的取值范围.
17．（2024高二下·泸县期中）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最值．
【答案】解：（1）递增区间为，，递减区间为；
由题意，函数的定义域为，
且，
令，即，解得或；
令，即，解得，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）由（1），令，即，解得或．
因为，所以舍去，即，
又因为，，，
所以在上的最大值为，最小值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先利用求导公式可得，利用导数的符号与单调性的关系，即可求解；
（2）由（1），令，求得，分别求得函数的极值和端点的函数值，即可求解.
18．（2024高二下·泸县期中）某仓库有甲、乙两箱产品，其中甲箱中有4件正品和3件次品，乙箱中有5件正品和3件次品．
（1）从甲箱中任取2件产品，求事件A＝“这2件产品中至少有1件次品”的概率；
（2）从甲、乙两箱中各取1件产品，求事件B＝“这2件产品中恰好有1件次品”的概率．
【答案】（1）解：从甲箱中取2件产品的样本空间包含的样本点，
事件A数包含的样本点为；
所以从甲箱中任取2件产品，求这2件产品至少有1件次品的概率
为
（2）解：设事件＝“从甲箱中取1件产品是正品”，事件＝“从甲箱中取出1个产品是次品”，事件＝“从乙箱中取出1件产品是正品”，事件＝“从乙箱中取出1件产品是次品”，
所以事件，又事件与事件、事件与事件相互独立，事件与互斥，
所以
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】本题考查古典型概率的计算公式，相互独立事件的概率公式.
(1)根据题意可求出从甲箱中取2件产品的样本空间包含的样本点个数，进而找出事件A的样本点个数，利用古典型概率的计算公式可求求出答案.
(2)根据题意分析可得事件共有两种情况：从甲箱中取1件产品是正品，从乙箱中取出1件产品是次品；从甲箱中取出1个产品是次品，从乙箱中取出1件产品是正品；再利用相互独立事件的概率公式可求出答案.
19．（2024高二下·泸县期中） 已知等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前2n项和．
【答案】（1）解：由题意可得：，即，
且，解得，
所以数列的通项公式．
（2）解：由（1）可得，
可得
，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，分组求和求数列的和.
（1）根据题意利用等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式可列出方程组，解方程组可求出，再利用等差数列的通项公式可求出答案.
（2）结合（1）可得：，再进行分组，利用分组求和可求出．
20．（2024高二下·泸县期中）如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则，，
因为在上，可设，则，
又，则，解得，即，
可得
则，
可得，即
且，平面．
所以平面．
（2）解：由（1）可得：，
设平面的一个法向量为， 则，
令，则，可得，
设直线与平面所成角为，
因为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；
（2）平面的法向量，再利用空间向量求线面夹角即可求解．
（1）如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，
因为在上，可设，则，
又，则，解得，即，
可得
则，
可得，即
且，平面．
所以平面．
（2）由（1）可得：，
设平面的一个法向量为， 则，
令，则，可得，
设直线与平面所成角为，
因为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21．（2024高二下·泸县期中）已知椭圆：的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为的正方形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点.点，记直线，的斜率分别为，当最大时，求直线的方程.
【答案】解：（1）由已知得.
又，
所以椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率为0时，则；
②当直线的斜率不为0时，设，，直线的方程为，
将代入，整理得.
则，.
又，，
所以，
.
令，则
所以当且仅当，即时，取等号.
由①②得，直线的方程为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用题意列出方程即可求解；
（2）分斜率存在和不存在两种情况，直线方程和椭圆方程联立利用根与系数关系可得，，化简即可求解.
22．（2024高二下·泸县期中）已知．
（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）当时，函数有两个零点，求b的取值范围．
【答案】（1）解：，又，所以
因为，
所以，
所以，故，
综上，．
（2）解：当时，，
当时，只有一个零点，故，
当时，，
①当时，，令，
当时，；当时，．
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
又，，
又，所以，
故，
所以时函数有两个零点．
②当时，今，解得，
若，所以，所以函数在R上单调递增，
不可能有两个零点．
若，即时，当时，，当时，，
当时，
所以函数在上单调递增，上单调递减，在上单调递增．
又，
，
故函数至多有一个零点，不符合题意．
若时，即，当时，，当时，
，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，，故函数至多有一个零点，不符合题意．
综上，b的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，函数的零点，利用导函数研究函数的单调性.
（1）先将切点代入函数，可求出切点坐标，再将切点坐标代入切线方程可求出a的值，求出导函数，根据导数的几何意义可列出方程，解方程可求出b的值；
（2）当时，，再分，和三种情况，求出导函数，判断导函数的正负，进而确定函数的单调性，求出函数的最值，结合最值可判断函数的零点个数，进而求出实数b的取值范围.
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