【精品解析】山东省淄博市淄博中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

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名称 【精品解析】山东省淄博市淄博中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2025-04-17 09:16:36

文档简介

山东省淄博市淄博中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1.(2024高二下·淄博期中)已知函数,则(  )
A. B.1 C. D.
【答案】A
【知识点】极限及其运算;基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解:因为,
所以,
故答案为:A.
【分析】利用导数的定义结合特殊角的三角函数即可求解.
2.(2024高二下·淄博期中)是等差数列的前项和,,,则首项(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和
【解析】【解答】解:设等差数列的公差为,因为,,
所以,,
解得,
故答案为:A.
【分析】先利用题意列出关于和d,再解方程即可求解.
3.(2024高二下·淄博期中) 在数列中,若,,则(  )
A.2 B. C. D.1
【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解:因为,,故,,,
故为周期数列且周期为3,而,故,
故答案为:C.
【分析】根据递推关系可得数列的周期,从而可求的值.
4.(2024高二下·淄博期中)某同学是个数学迷,他在设置手机的数字密码时,打算将圆周率的前六个数字3、1、4、1、5、9进行某种排列得到密码,要求两个1必须相邻,那么可以设置的不同密码有(  )
A.120 B.240 C.60 D.30
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解:根据题意,将2个1捆绑在一起,再与其余4个数字全排列,
所以共有种不同的密码,
故答案为:A.
【分析】利用捆绑法,再与其余4个数字全排列即可求解.
5.(2024高二下·淄博期中)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的高阶等差数列,其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列,如数列2,4,7,11,16,从第二项起,每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5,新数列2,3,4,5为等差数列,则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列,现有二阶等差数列,其中前几项分别为2,5,10,17,26,37,记该数列的后一项与前一项之差组成新数列,则(  )
A.15 B.17 C.18 D.19
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式;数列的通项公式
【解析】【解答】解:已知数列前几项分别为3、5、7、9、11,
所以数列是以3为首项,2为公差的等差数列,
所以,所以,
故答案为:B.
【分析】先结合题意写出数列前几项,判断即可得为等差数列,再利用等差数列的通项公式即可求解.
6.(2024高二下·淄博期中)设,函数的导函数是,若是奇函数,则曲线在处的切线方程为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性;导数的四则运算;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解:求导可得,
因为是奇函数,只需偶数次幂的项系数为0即可,所以,
所以,,
所以,即切点为,且,
所以切线方程为,即,
故答案为:B.
【分析】先利用求导法则可得,再利用是奇函数可得,再利用导数的几何意义及点斜式方程即可求解.
7.(2024高二下·淄博期中)如图,用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色,要求相邻的矩形涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有(  )
A.12种 B.24种 C.48种 D.72种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理;基本计数原理的应用
【解析】【解答】解:先对A区域,再涂B,涂C,涂D,根据分步乘法计数原理共有种涂法.
故答案为:C.
【分析】利用分步乘法计数原理即可求解.
8.(2024高二下·淄博期中)已知函数在区间上单调递减,则a的值可能为(  )
A. B. C. D.e
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解:因为,所以,
因为在区间上单调递减,
所以在上恒成立,即在上恒成立,
当时,因为在上恒成立,故上式成立,满足题意;
当时,则在上恒成立,
令,,
所以在上恒成立,所以在上单调递增,
又,故,即,
综上,故ABD错误,C正确.
故答案为:C.
【分析】先求导可得再利用题意可得在上恒成立,分,,分别可求出取值范围即可求解.
9.(2024高二下·淄博期中)下列求导运算正确的是(  )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算;简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解:A、,求导可得,故A错误;
B、,求导可得,故B正确;
C、,求导可得,故C错误;
D、,求导可得 ,故D正确.
故答案为:BD.
【分析】利用导数的四则运算,结合复合函数的求导公式求解判断即可.
10.(2024高二下·淄博期中)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则下列说法正确的是(  )
A.某学生从中选2门课程学习,共有15种选法
B.课程“乐”“射”排在相邻的两周,共有240种排法
C.课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周,共有72种排法
D.课程“礼”不排在第一周,课程“数”不排在最后一周,共有504种排法
【答案】A,B,D
【知识点】分步乘法计数原理;排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解:A、某学生从中选2门课程学习,共有种选法,故A选项正确;
B、课程“乐”“射”排在相邻的两周,共有种排法,故B选项正确;
C、课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周,共有种排法,故C选项错误;
D、课程“礼”不排在第一周,课程“数”不排在最后一周,共有种排法,故D选项正确;
故答案为:ABD.
【分析】根据题意,由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式,分别计算即可求解.
11.(2024高二下·淄博期中)已知数列的通项公式为,,记为数列的前n项和,则下列说法正确的是(  )
A.
B.
C.若,则
D.若,则
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列与一次函数的关系;数列的求和;运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:A、已知,可知是以,的等差数列,
所以,,
所以(),即,故A选项正确;
B、当n为偶数时,
当n为奇数时,
所以,故B选项正确;
C、当n为偶数时,

当n为奇数时,
所以,故C选项错误
D、因为,,(),
所以
,故D选项正确,
故答案为:ABD.
【分析】由题意可得得是等差数列,利用等差数列求和可得,,再分n为偶数和n为奇数,逐项分析即可求解.
12.(2024高二下·淄博期中)函数在上的最大值为   .
【答案】-1
【知识点】利用导数研究函数最大(小)值
【解析】【解答】由函数可知,,
则.
当时,,即函数在上单调递增,
当时,,即函数在上单调递减,
所以当时,函数有最大值,。
故答案为:-1。
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性,进而求出函数在上的最大值。
13.(2024高二下·淄博期中)已知数列为等比数列,,公比,若是数列的前n项积,则取最大值时,n的值为   .
【答案】6或7
【知识点】数列的函数特性;等比数列的通项公式
【解析】【解答】解:由题意可知,,数列单调递减,
若最大时,即,解得:,
所以或7.
故答案为:或.
【分析】先利用数列的通项公式可得,再利用数列的单调性列出不等式,即可求解.
14.(2024高二下·淄博期中)已知函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是   .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解:定义域为,
故有两个不同的根,即,与两函数有两个交点,
其中,
当时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,
从而在处取得极大值,也是最大值,
,且当时,恒成立,
当时,恒成立,
画出的图象如图所示:
显然要想,与两函数有两个交点,
需要满足.
【分析】根据题意先把已知条件转化为有两个不同的根,构造函数,利用函数导数判断函数的单调性画出函数图象,利用数形结合得出实数a的取值范围.
15.(2024高二下·淄博期中)某医院有内科医生7名,外科医生5名,现选派4名参加赈灾医疗队,其中.
(1)甲、乙有且仅有一人参加,有多少种选法?
(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?
【答案】(1)解:共有种选法;
(2)解:由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的选法种数即为队中至少有一名内科医生和一名外科医生的选法数,则共有种选法.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1)将甲和乙看成一个集合,其他人看成一个集合,分别选取元素结合组合数公式,即可求解;
(2)利用间接法列出,再利用组合式公式即可求解.
(1)共有种选法;
(2)由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的选法种数即为队中至少有一名内科医生和一名外科医生的选法数,
则共有种选法.
16.(2024高二下·淄博期中)设函数,曲线在点处的切线斜率为1.
(1)求a的值;
(2)设函数,求的最小值.
【答案】(1)解:由题意得的定义域为,,
因为,所以,解得.
(2)解:因为,的定义域为,

令,得,
与在区间上的情况如下:
x 0
0
递减 极小 递增
所以在的单调递减区间为,单调递增区间为;
所以.
【知识点】简单复合函数求导法则;利用导数研究函数最大(小)值;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)先利用求导公式及求导法则可得,再把x=0即可求解;
(2)先求导可得,再利用导函数与函数单调性的关系即可求解.
(1)由题意得的定义域为,,
因为,所以,解得.
(2)因为,的定义域为,

令,得,
与在区间上的情况如下:
x 0
0
递减 极小 递增
所以在的单调递减区间为,单调递增区间为;
所以.
17.(2024高二下·淄博期中)已知等比数列中,且是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若函数,满足,求的前n项和.
【答案】(1)解:设等比数列公比为q,
因为是和的等差中项,所以,
又因为,所以,解得,
则;
(2)解:由(1)可得,

.
【知识点】等差数列的前n项和;等比数列的通项公式;等比数列的前n项和;等差中项
【解析】【分析】(1)设等比数列公比为q,由题意结合等比数列的通项公式求解即可;
(2)由(1)可得,再利用分组求和法结合等差等比的前项公式求解即可.
(1)设等比数列公比为q,
因为,
所以,,
因为,所以,解得,
所以;
(2)由(1)可得,
所以
.
18.(2024高二下·淄博期中)已知数列的前项和为,满足.
(1)求的通项公式;
(2)删去数列的第项(其中),将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列,设的前项和为,请写出的前6项,并求出和.
【答案】(1)解:当时,则,解得;
当时,则,
联立已知条件,得,
则,即,
所以是以2为首项,以2为公比的等比数列,
因此,.
(2)解:删去数列的第项(其中),
将剩余的项按从小到大排列依次为:,,,,,,…
数列前6项为2,,,,,,

因为,,,…构成以为首项,以8为公比的等比数列,
又因为,,,…构成以为首项,以8为公比的等比数列,

【知识点】等比数列的通项公式;数列的求和;通项与前n项和的关系
【解析】【分析】(1)利用与的关系式和等比数列的定义,从而判断出数列是以2为首项,以2为公比的等比数列,再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
(2)由题意写出数列的前6项,从而求和得出的值,再分成两个子数列结合等比数列前n项和公式分别求和,即可求出.
(1)当时,有,解得;
当时,有,联立条件,
得,
即,即;
所以是以2为首项,以2为公比的等比数列,
因此,.
(2)删去数列的第项(其中),将剩余的项按从小到大排列依次为:
,,,,,,…
数列前6项为2,,,,.

注意到,,,…构成以为首项,以8为公比的等比数列,
,,,…构成以为首项,以8为公比的等比数列,

19.(2024高二下·淄博期中)已知函数(,e为自然对数的底数).
(1)若在x=0处的切线与直线y=ax垂直,求a的值;
(2)讨论函数的单调性;
(3)当时,求证:.
【答案】(1)解:,则,
由已知,解得
(2)解:
(ⅰ)当时,,
所以,,
则在上单调递增,在上单调递减;
(ⅱ)当时,令,得,
①时,,
所以或,,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
②时,,则在上单调递增;
③时,,
所以或,,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
综上,时,在上单调递增,在上单调递减;
时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
时,在上单调递增;
时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
(3)证明:方法一:
等价于
当时,

令,则在区间上单调递增
∵,
∴存在,使得,即
当时,,则在上单调递减,
当时,,则在上单调递增

∴,故
方法二:
当时,
令,则,
令,则
当时,;当时,
∴在区间上单调递减,上单调递增.
∴,即
∴,
【知识点】函数单调性的性质;利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)由导数的几何意义求出切线的斜率,再由直线的位置关系可求解出 a的值;
(2)由于 ,令 得 或,通过比较两个值分类讨论得 函数的单调性;
(3) 方法一: 通过单调性,根据求最值证明可得; 方法二: 运用放缩及同构的方法证明。
1 / 1山东省淄博市淄博中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1.(2024高二下·淄博期中)已知函数,则(  )
A. B.1 C. D.
2.(2024高二下·淄博期中)是等差数列的前项和,,,则首项(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024高二下·淄博期中) 在数列中,若,,则(  )
A.2 B. C. D.1
4.(2024高二下·淄博期中)某同学是个数学迷,他在设置手机的数字密码时,打算将圆周率的前六个数字3、1、4、1、5、9进行某种排列得到密码,要求两个1必须相邻,那么可以设置的不同密码有(  )
A.120 B.240 C.60 D.30
5.(2024高二下·淄博期中)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的高阶等差数列,其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列,如数列2,4,7,11,16,从第二项起,每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5,新数列2,3,4,5为等差数列,则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列,现有二阶等差数列,其中前几项分别为2,5,10,17,26,37,记该数列的后一项与前一项之差组成新数列,则(  )
A.15 B.17 C.18 D.19
6.(2024高二下·淄博期中)设,函数的导函数是,若是奇函数,则曲线在处的切线方程为(  )
A. B. C. D.
7.(2024高二下·淄博期中)如图,用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色,要求相邻的矩形涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有(  )
A.12种 B.24种 C.48种 D.72种
8.(2024高二下·淄博期中)已知函数在区间上单调递减,则a的值可能为(  )
A. B. C. D.e
9.(2024高二下·淄博期中)下列求导运算正确的是(  )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
10.(2024高二下·淄博期中)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则下列说法正确的是(  )
A.某学生从中选2门课程学习,共有15种选法
B.课程“乐”“射”排在相邻的两周,共有240种排法
C.课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周,共有72种排法
D.课程“礼”不排在第一周,课程“数”不排在最后一周,共有504种排法
11.(2024高二下·淄博期中)已知数列的通项公式为,,记为数列的前n项和,则下列说法正确的是(  )
A.
B.
C.若,则
D.若,则
12.(2024高二下·淄博期中)函数在上的最大值为   .
13.(2024高二下·淄博期中)已知数列为等比数列,,公比,若是数列的前n项积,则取最大值时,n的值为   .
14.(2024高二下·淄博期中)已知函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是   .
15.(2024高二下·淄博期中)某医院有内科医生7名,外科医生5名,现选派4名参加赈灾医疗队,其中.
(1)甲、乙有且仅有一人参加,有多少种选法?
(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?
16.(2024高二下·淄博期中)设函数,曲线在点处的切线斜率为1.
(1)求a的值;
(2)设函数,求的最小值.
17.(2024高二下·淄博期中)已知等比数列中,且是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若函数,满足,求的前n项和.
18.(2024高二下·淄博期中)已知数列的前项和为,满足.
(1)求的通项公式;
(2)删去数列的第项(其中),将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列,设的前项和为,请写出的前6项,并求出和.
19.(2024高二下·淄博期中)已知函数(,e为自然对数的底数).
(1)若在x=0处的切线与直线y=ax垂直,求a的值;
(2)讨论函数的单调性;
(3)当时,求证:.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】极限及其运算;基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解:因为,
所以,
故答案为:A.
【分析】利用导数的定义结合特殊角的三角函数即可求解.
2.【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和
【解析】【解答】解:设等差数列的公差为,因为,,
所以,,
解得,
故答案为:A.
【分析】先利用题意列出关于和d,再解方程即可求解.
3.【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解:因为,,故,,,
故为周期数列且周期为3,而,故,
故答案为:C.
【分析】根据递推关系可得数列的周期,从而可求的值.
4.【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解:根据题意,将2个1捆绑在一起,再与其余4个数字全排列,
所以共有种不同的密码,
故答案为:A.
【分析】利用捆绑法,再与其余4个数字全排列即可求解.
5.【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式;数列的通项公式
【解析】【解答】解:已知数列前几项分别为3、5、7、9、11,
所以数列是以3为首项,2为公差的等差数列,
所以,所以,
故答案为:B.
【分析】先结合题意写出数列前几项,判断即可得为等差数列,再利用等差数列的通项公式即可求解.
6.【答案】B
【知识点】函数的奇偶性;导数的四则运算;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解:求导可得,
因为是奇函数,只需偶数次幂的项系数为0即可,所以,
所以,,
所以,即切点为,且,
所以切线方程为,即,
故答案为:B.
【分析】先利用求导法则可得,再利用是奇函数可得,再利用导数的几何意义及点斜式方程即可求解.
7.【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理;基本计数原理的应用
【解析】【解答】解:先对A区域,再涂B,涂C,涂D,根据分步乘法计数原理共有种涂法.
故答案为:C.
【分析】利用分步乘法计数原理即可求解.
8.【答案】C
【知识点】函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解:因为,所以,
因为在区间上单调递减,
所以在上恒成立,即在上恒成立,
当时,因为在上恒成立,故上式成立,满足题意;
当时,则在上恒成立,
令,,
所以在上恒成立,所以在上单调递增,
又,故,即,
综上,故ABD错误,C正确.
故答案为:C.
【分析】先求导可得再利用题意可得在上恒成立,分,,分别可求出取值范围即可求解.
9.【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算;简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解:A、,求导可得,故A错误;
B、,求导可得,故B正确;
C、,求导可得,故C错误;
D、,求导可得 ,故D正确.
故答案为:BD.
【分析】利用导数的四则运算,结合复合函数的求导公式求解判断即可.
10.【答案】A,B,D
【知识点】分步乘法计数原理;排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解:A、某学生从中选2门课程学习,共有种选法,故A选项正确;
B、课程“乐”“射”排在相邻的两周,共有种排法,故B选项正确;
C、课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周,共有种排法,故C选项错误;
D、课程“礼”不排在第一周,课程“数”不排在最后一周,共有种排法,故D选项正确;
故答案为:ABD.
【分析】根据题意,由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式,分别计算即可求解.
11.【答案】A,B,D
【知识点】等差数列与一次函数的关系;数列的求和;运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:A、已知,可知是以,的等差数列,
所以,,
所以(),即,故A选项正确;
B、当n为偶数时,
当n为奇数时,
所以,故B选项正确;
C、当n为偶数时,

当n为奇数时,
所以,故C选项错误
D、因为,,(),
所以
,故D选项正确,
故答案为:ABD.
【分析】由题意可得得是等差数列,利用等差数列求和可得,,再分n为偶数和n为奇数,逐项分析即可求解.
12.【答案】-1
【知识点】利用导数研究函数最大(小)值
【解析】【解答】由函数可知,,
则.
当时,,即函数在上单调递增,
当时,,即函数在上单调递减,
所以当时,函数有最大值,。
故答案为:-1。
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性,进而求出函数在上的最大值。
13.【答案】6或7
【知识点】数列的函数特性;等比数列的通项公式
【解析】【解答】解:由题意可知,,数列单调递减,
若最大时,即,解得:,
所以或7.
故答案为:或.
【分析】先利用数列的通项公式可得,再利用数列的单调性列出不等式,即可求解.
14.【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解:定义域为,
故有两个不同的根,即,与两函数有两个交点,
其中,
当时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,
从而在处取得极大值,也是最大值,
,且当时,恒成立,
当时,恒成立,
画出的图象如图所示:
显然要想,与两函数有两个交点,
需要满足.
【分析】根据题意先把已知条件转化为有两个不同的根,构造函数,利用函数导数判断函数的单调性画出函数图象,利用数形结合得出实数a的取值范围.
15.【答案】(1)解:共有种选法;
(2)解:由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的选法种数即为队中至少有一名内科医生和一名外科医生的选法数,则共有种选法.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1)将甲和乙看成一个集合,其他人看成一个集合,分别选取元素结合组合数公式,即可求解;
(2)利用间接法列出,再利用组合式公式即可求解.
(1)共有种选法;
(2)由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的选法种数即为队中至少有一名内科医生和一名外科医生的选法数,
则共有种选法.
16.【答案】(1)解:由题意得的定义域为,,
因为,所以,解得.
(2)解:因为,的定义域为,

令,得,
与在区间上的情况如下:
x 0
0
递减 极小 递增
所以在的单调递减区间为,单调递增区间为;
所以.
【知识点】简单复合函数求导法则;利用导数研究函数最大(小)值;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)先利用求导公式及求导法则可得,再把x=0即可求解;
(2)先求导可得,再利用导函数与函数单调性的关系即可求解.
(1)由题意得的定义域为,,
因为,所以,解得.
(2)因为,的定义域为,

令,得,
与在区间上的情况如下:
x 0
0
递减 极小 递增
所以在的单调递减区间为,单调递增区间为;
所以.
17.【答案】(1)解:设等比数列公比为q,
因为是和的等差中项,所以,
又因为,所以,解得,
则;
(2)解:由(1)可得,

.
【知识点】等差数列的前n项和;等比数列的通项公式;等比数列的前n项和;等差中项
【解析】【分析】(1)设等比数列公比为q,由题意结合等比数列的通项公式求解即可;
(2)由(1)可得,再利用分组求和法结合等差等比的前项公式求解即可.
(1)设等比数列公比为q,
因为,
所以,,
因为,所以,解得,
所以;
(2)由(1)可得,
所以
.
18.【答案】(1)解:当时,则,解得;
当时,则,
联立已知条件,得,
则,即,
所以是以2为首项,以2为公比的等比数列,
因此,.
(2)解:删去数列的第项(其中),
将剩余的项按从小到大排列依次为:,,,,,,…
数列前6项为2,,,,,,

因为,,,…构成以为首项,以8为公比的等比数列,
又因为,,,…构成以为首项,以8为公比的等比数列,

【知识点】等比数列的通项公式;数列的求和;通项与前n项和的关系
【解析】【分析】(1)利用与的关系式和等比数列的定义,从而判断出数列是以2为首项,以2为公比的等比数列,再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
(2)由题意写出数列的前6项,从而求和得出的值,再分成两个子数列结合等比数列前n项和公式分别求和,即可求出.
(1)当时,有,解得;
当时,有,联立条件,
得,
即,即;
所以是以2为首项,以2为公比的等比数列,
因此,.
(2)删去数列的第项(其中),将剩余的项按从小到大排列依次为:
,,,,,,…
数列前6项为2,,,,.

注意到,,,…构成以为首项,以8为公比的等比数列,
,,,…构成以为首项,以8为公比的等比数列,

19.【答案】(1)解:,则,
由已知,解得
(2)解:
(ⅰ)当时,,
所以,,
则在上单调递增,在上单调递减;
(ⅱ)当时,令,得,
①时,,
所以或,,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
②时,,则在上单调递增;
③时,,
所以或,,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
综上,时,在上单调递增,在上单调递减;
时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
时,在上单调递增;
时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
(3)证明:方法一:
等价于
当时,

令,则在区间上单调递增
∵,
∴存在,使得,即
当时,,则在上单调递减,
当时,,则在上单调递增

∴,故
方法二:
当时,
令,则,
令,则
当时,;当时,
∴在区间上单调递减,上单调递增.
∴,即
∴,
【知识点】函数单调性的性质;利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)由导数的几何意义求出切线的斜率,再由直线的位置关系可求解出 a的值;
(2)由于 ,令 得 或,通过比较两个值分类讨论得 函数的单调性;
(3) 方法一: 通过单调性,根据求最值证明可得; 方法二: 运用放缩及同构的方法证明。
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