广东省深圳市人大附中深圳学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·深圳期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·深圳期中）已知：，则的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·深圳期中）的展开式中的系数为（ ）
A．8 B．12 C．10 D．15
4．（2024高二下·深圳期中）规定，则函数的值域为
A． B． C． D．
5．（2024高二下·深圳期中） 将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）
A．240 B．192 C．120 D．72
6．（2024高二下·深圳期中）某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为10天的方案，这三种方案的回报预期如下：方案一：风险投资，有的概率获得回报元，有的概率获得回报元；方案二：第一天获得回报元，以后每天获得的回报比前一天多元；方案三：第一天获得回报元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍.若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是（ ）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．都可以
7．（2024高二下·深圳期中）校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（ ）
A．事件A与相互独立 B．事件A与为互斥事件
C． D．
8．（2024高二下·深圳期中）从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·深圳期中）2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．变量线性负相关且相关性较强
C．相应于点的残差约为0.4
D．当时，y的估计值为14.4
10．（2024高二下·深圳期中）下列论述正确的有（ ）
A．若随机变量满足，则
B．若随机事件，满足：，，，则事件与相互独立
C．基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立
D．若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为
11．（2024高二下·深圳期中）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
12．（2024高二下·深圳期中）已知正实数满足，则的最小值为 .
13．（2024高二下·深圳期中）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
14．（2024高二下·深圳期中）若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” .
15．（2024高二下·深圳期中）2024年3月28日，小米SU7汽车上市，24小时预定88898台.小米集团为了了解小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝是否有关，随机抽取了200名小米手机用户进行调查，得到下表.
已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计
是小米粉丝 80
非小米粉丝 40 80
总计
（1）补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝有关
（2）小米集团打算从已订购小米SU7的用户中采用按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，再从这6人中抽取3人听取建议，求这3人中恰有2人是小米粉丝的概率.
附：，其中.
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16．（2024高二下·深圳期中）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.
17．（2024高二下·深圳期中）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：
原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83
赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：
（2）假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值．
附，若，则，．
18．（2024高二下·深圳期中）已知函数．
（1）讨论在区间上单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
19．（2024高二下·深圳期中）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.
（1）已知等比数列满足：.求证：数列为“数列”；
（2）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前n项和.
①求数列的通项公式；
②已知是“数列”，且对任意正整数k，都有成立，求数列公比的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：，则，
则.
故答案为：B.
【分析】利用配凑法求解析式即可.
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由得，则的充分不必要条件是的子集，
故答案为：C.
【分析】先利用对数函数的性质解出，再利用的充分不必要条件是其子集，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因，
的通项公式为，
当时，，则得的展开式中的系数为；
当时，，则得的展开式中的系数为.
故的展开式中的系数为.
故答案为：A.
【分析】本题考查二项式的通项公式.先将所求两个二项式乘积式拆成两个二项式的差，再求出的通项公式，令和依次求出的系数和的系数，据此可求出展开式中的系数.
4．【答案】A
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：，
因为函数，在上都为增函数，
所以函数在是增函数，
所以，即函数的值域为，
故答案为：A.
【分析】先利用定义求出的解析式，再利用幂函数和一次函数的函数单调性即可求解.
5．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【解答】解：个位排4时，在前面五个数位中，选三个排上数字3，6，9，剩下两个数位排2，有种方法；
同理：个位排6时，有种方法；
个位排2，前面五个数位，将另外5个数字全排，有种方法.
由分类加法计数原理，不同的偶数个数为.
故答案为：A.
【分析】按照排列，结合分类加法计数原理计算求解即可.
6．【答案】B
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】解：投资回报方案一：元；
投资回报方案二：元；
投资回报方案三：元，
因为，所以方案二投资回报最多.
故答案为：B.
【分析】根据题意分别计算出三种方案的投资回报，比较即可求解.
7．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：4人先分组为：2，1，1，则不同的安排方案有种，
铅球区域可能安排2人或1人，所以，同理，，
；
A、因为，所以事件A与不相互独立，故A错误；
B、事件A与能同时发生，则事件A与不是互斥事件，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用相互独立事件，互斥事件的定义，条件概率的公式逐项判断即可.
8．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】依题意，X的可能值为0，1，2，则有 ， ， ，
于是得
，解得
，袋中共有10个球，
因此，取出一白一红的概率为
，解得
，则
，
所以取出一红一黄的概率为
.
故答案为：A
【分析】 由已知求出X的分布列，借助期望求出m+n，再由给定概率求出m， n，即可求出取出一红一黄的概率 .
9．【答案】B,C,D
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：A、由表格知：，
所以，可得，故A选项错误；
B、由相关系数且回归方程斜率为负，
则变量线性负相关且相关性较强，故B选项正确；
C、由，故残差为，故C选项正确；
D、由，故D选项正确；
故答案为：BCD.
【分析】利用样本中心在回归方程上即可判断A；利用相关系数的意义及回归方程的斜率符号可判断B；利用残差的定义求残差可判断C；将8代入回归方程求估计值即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：A、由题意可知，故A选项错误；
B、由题意可知，
所以，所以事件A与B相互独立，故B选项正确；
C、由独立性检验的基本思想可得结论正确，故C选项正确；
D、将样本点代入得预测值为，
所以，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用随机变量的方差性质即可可判定A；利用和事件与独立事件的概率公式即可判定B；利用独立性检验的基本思想即可判定C；利用残差的定义即可判定D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】等可能事件的概率；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，故A选项正确；
B、，故B选项错误；
C、点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，故C选项正确；
D、由于且，
所以，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用题意找出点Q在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及到另一底面的概率即可逐项计算即可求解.
12．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：正实数满足，有，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.由条件等式变形可得：，代入目标式子进行化简可得：，采用1还原法，将式子先乘以1，再将1进行替换，化简后观察可得积为定值，利用基本不等式可求出最值.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：已知不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
因为，
所以，
所以函数在时单调递减，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】先利用不等式恒成立参变分离将不等式变形为，再令，利用函数的导函数可得的单调性，即可求解.
14．【答案】960
【知识点】排列、组合的实际应用；有限集合的子集个数
【解析】【解答】因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，
则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法，
剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法；
所以“有序子集列”共有个.
故答案为：960.
【分析】根据题意画出维恩图，借着利用排列组合的知识求出结果。
15．【答案】（1）解：
已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计
是小米粉丝 80 40 120
非小米粉丝 40 40 80
总计 120 80 200
零假设为：小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联，
由列联表中的数据，得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联；
（2）解：从已订购小米SU7的用户中按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，其中小米粉丝有人，非小米粉丝有人.
设3人中恰有2人是小米粉丝为事件，则．
【知识点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先利用已知数据完成列联表，再利用公式计算后与临界值比较即可求解；
（2）先利用分层抽样确定粉丝和非粉丝的人数，再利用古典概率公式计算概率．
（1）
已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计
是小米粉丝 80 40 120
非小米粉丝 40 40 80
总计 120 80 200
零假设为：小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联，
由列联表中的数据，得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联；
（2）从已订购小米SU7的用户中按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，其中小米粉丝有人，非小米粉丝有人.
设3人中恰有2人是小米粉丝为事件，则．
16．【答案】（1）解：因为①，当时可得，即，
当时，②，
由①-②得，
即，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）解：因为，所以，
，
两式相减得，，
即，
故.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）先令求得，再当时，利用前n项和与的关系即可求解；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法即可求解.
（1）因为①，当时可得，即，
当时，②，
由①-②得，
即，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）因为，所以，
，
两式相减得，，
即，
故.
17．【答案】（1）解：据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布，
则，
则，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望为.
（2）解：据题意可知，
那么 有，
要使取最大值，只需，
得：且，
故：当或16时，取得最大值.
【知识点】超几何分布；正态分布的期望与方差；3σ原则
【解析】【分析】（1）X服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式即可求得分布列以及数学期望；
（2）利用正态分布性质得，再利用二项分布结合已知列出不等式组即可得解.
（1）据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布，
因此，
则，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望为.
（2）据题意可知，
那么 有，
要使取最大值，只需，
得：且，
故：当或16时，取得最大值.
18．【答案】（1）解：由，
在时，，
若，即在区间上单调递增；
若，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：根据题意可知恒成立，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增，
则，
所以，即
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先求导可得，再利用指数函数的单调性分区间讨论即可求解；
（2）先利用恒成立分离参数可得，再构造函数，利用导数研究其单调性与最值结合隐零点计算即可.
（1）由，
在时，，
若，即在区间上单调递增；
若，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）根据题意可知恒成立，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增，
则，
所以，即
19．【答案】（1）证明：设等比数列的公比为，且，由，得，
解得，
所以数列为“数列”；
（2）解：①因为，则，则，当时，由，得，整理得，
所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以；
②由①知，，
因为数列为“数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
即恒成立，
设，则，
当，，单调递增；当，，单调递减，
因为，所以，
故，所以.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式列方程组，即可求解；
（2）①利用计算整理后可得，利用等差数列的定义可得数列为等差数列，即可求解；②设数列公比为，将不等式转化为恒成立，构造函数，再利用导数求其最大值即可.
（1）设等比数列的公比为，且，
由，得，解得，
所以数列为“数列”；
（2）①因为，则，则，
当时，由，得，整理得，
所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以；
②由①知，，
因为数列为“数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
即恒成立，
设，则，
当，，单调递增；当，，单调递减，
因为，所以，
故，所以.
1 / 1广东省深圳市人大附中深圳学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·深圳期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：，则，
则.
故答案为：B.
【分析】利用配凑法求解析式即可.
2．（2024高二下·深圳期中）已知：，则的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由得，则的充分不必要条件是的子集，
故答案为：C.
【分析】先利用对数函数的性质解出，再利用的充分不必要条件是其子集，即可求解.
3．（2024高二下·深圳期中）的展开式中的系数为（ ）
A．8 B．12 C．10 D．15
【答案】A
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因，
的通项公式为，
当时，，则得的展开式中的系数为；
当时，，则得的展开式中的系数为.
故的展开式中的系数为.
故答案为：A.
【分析】本题考查二项式的通项公式.先将所求两个二项式乘积式拆成两个二项式的差，再求出的通项公式，令和依次求出的系数和的系数，据此可求出展开式中的系数.
4．（2024高二下·深圳期中）规定，则函数的值域为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：，
因为函数，在上都为增函数，
所以函数在是增函数，
所以，即函数的值域为，
故答案为：A.
【分析】先利用定义求出的解析式，再利用幂函数和一次函数的函数单调性即可求解.
5．（2024高二下·深圳期中） 将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）
A．240 B．192 C．120 D．72
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【解答】解：个位排4时，在前面五个数位中，选三个排上数字3，6，9，剩下两个数位排2，有种方法；
同理：个位排6时，有种方法；
个位排2，前面五个数位，将另外5个数字全排，有种方法.
由分类加法计数原理，不同的偶数个数为.
故答案为：A.
【分析】按照排列，结合分类加法计数原理计算求解即可.
6．（2024高二下·深圳期中）某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为10天的方案，这三种方案的回报预期如下：方案一：风险投资，有的概率获得回报元，有的概率获得回报元；方案二：第一天获得回报元，以后每天获得的回报比前一天多元；方案三：第一天获得回报元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍.若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是（ ）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．都可以
【答案】B
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】解：投资回报方案一：元；
投资回报方案二：元；
投资回报方案三：元，
因为，所以方案二投资回报最多.
故答案为：B.
【分析】根据题意分别计算出三种方案的投资回报，比较即可求解.
7．（2024高二下·深圳期中）校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（ ）
A．事件A与相互独立 B．事件A与为互斥事件
C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：4人先分组为：2，1，1，则不同的安排方案有种，
铅球区域可能安排2人或1人，所以，同理，，
；
A、因为，所以事件A与不相互独立，故A错误；
B、事件A与能同时发生，则事件A与不是互斥事件，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用相互独立事件，互斥事件的定义，条件概率的公式逐项判断即可.
8．（2024高二下·深圳期中）从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】依题意，X的可能值为0，1，2，则有 ， ， ，
于是得
，解得
，袋中共有10个球，
因此，取出一白一红的概率为
，解得
，则
，
所以取出一红一黄的概率为
.
故答案为：A
【分析】 由已知求出X的分布列，借助期望求出m+n，再由给定概率求出m， n，即可求出取出一红一黄的概率 .
9．（2024高二下·深圳期中）2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．变量线性负相关且相关性较强
C．相应于点的残差约为0.4
D．当时，y的估计值为14.4
【答案】B,C,D
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：A、由表格知：，
所以，可得，故A选项错误；
B、由相关系数且回归方程斜率为负，
则变量线性负相关且相关性较强，故B选项正确；
C、由，故残差为，故C选项正确；
D、由，故D选项正确；
故答案为：BCD.
【分析】利用样本中心在回归方程上即可判断A；利用相关系数的意义及回归方程的斜率符号可判断B；利用残差的定义求残差可判断C；将8代入回归方程求估计值即可判断D.
10．（2024高二下·深圳期中）下列论述正确的有（ ）
A．若随机变量满足，则
B．若随机事件，满足：，，，则事件与相互独立
C．基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立
D．若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为
【答案】B,C,D
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：A、由题意可知，故A选项错误；
B、由题意可知，
所以，所以事件A与B相互独立，故B选项正确；
C、由独立性检验的基本思想可得结论正确，故C选项正确；
D、将样本点代入得预测值为，
所以，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用随机变量的方差性质即可可判定A；利用和事件与独立事件的概率公式即可判定B；利用独立性检验的基本思想即可判定C；利用残差的定义即可判定D.
11．（2024高二下·深圳期中）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
【答案】A,C,D
【知识点】等可能事件的概率；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，故A选项正确；
B、，故B选项错误；
C、点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，故C选项正确；
D、由于且，
所以，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用题意找出点Q在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及到另一底面的概率即可逐项计算即可求解.
12．（2024高二下·深圳期中）已知正实数满足，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：正实数满足，有，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.由条件等式变形可得：，代入目标式子进行化简可得：，采用1还原法，将式子先乘以1，再将1进行替换，化简后观察可得积为定值，利用基本不等式可求出最值.
13．（2024高二下·深圳期中）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：已知不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
因为，
所以，
所以函数在时单调递减，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】先利用不等式恒成立参变分离将不等式变形为，再令，利用函数的导函数可得的单调性，即可求解.
14．（2024高二下·深圳期中）若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” .
【答案】960
【知识点】排列、组合的实际应用；有限集合的子集个数
【解析】【解答】因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，
则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法，
剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法；
所以“有序子集列”共有个.
故答案为：960.
【分析】根据题意画出维恩图，借着利用排列组合的知识求出结果。
15．（2024高二下·深圳期中）2024年3月28日，小米SU7汽车上市，24小时预定88898台.小米集团为了了解小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝是否有关，随机抽取了200名小米手机用户进行调查，得到下表.
已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计
是小米粉丝 80
非小米粉丝 40 80
总计
（1）补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝有关
（2）小米集团打算从已订购小米SU7的用户中采用按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，再从这6人中抽取3人听取建议，求这3人中恰有2人是小米粉丝的概率.
附：，其中.
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：
已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计
是小米粉丝 80 40 120
非小米粉丝 40 40 80
总计 120 80 200
零假设为：小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联，
由列联表中的数据，得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联；
（2）解：从已订购小米SU7的用户中按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，其中小米粉丝有人，非小米粉丝有人.
设3人中恰有2人是小米粉丝为事件，则．
【知识点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先利用已知数据完成列联表，再利用公式计算后与临界值比较即可求解；
（2）先利用分层抽样确定粉丝和非粉丝的人数，再利用古典概率公式计算概率．
（1）
已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计
是小米粉丝 80 40 120
非小米粉丝 40 40 80
总计 120 80 200
零假设为：小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联，
由列联表中的数据，得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联；
（2）从已订购小米SU7的用户中按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，其中小米粉丝有人，非小米粉丝有人.
设3人中恰有2人是小米粉丝为事件，则．
16．（2024高二下·深圳期中）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.
【答案】（1）解：因为①，当时可得，即，
当时，②，
由①-②得，
即，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）解：因为，所以，
，
两式相减得，，
即，
故.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）先令求得，再当时，利用前n项和与的关系即可求解；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法即可求解.
（1）因为①，当时可得，即，
当时，②，
由①-②得，
即，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）因为，所以，
，
两式相减得，，
即，
故.
17．（2024高二下·深圳期中）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：
原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83
赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：
（2）假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值．
附，若，则，．
【答案】（1）解：据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布，
则，
则，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望为.
（2）解：据题意可知，
那么 有，
要使取最大值，只需，
得：且，
故：当或16时，取得最大值.
【知识点】超几何分布；正态分布的期望与方差；3σ原则
【解析】【分析】（1）X服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式即可求得分布列以及数学期望；
（2）利用正态分布性质得，再利用二项分布结合已知列出不等式组即可得解.
（1）据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布，
因此，
则，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望为.
（2）据题意可知，
那么 有，
要使取最大值，只需，
得：且，
故：当或16时，取得最大值.
18．（2024高二下·深圳期中）已知函数．
（1）讨论在区间上单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由，
在时，，
若，即在区间上单调递增；
若，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：根据题意可知恒成立，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增，
则，
所以，即
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先求导可得，再利用指数函数的单调性分区间讨论即可求解；
（2）先利用恒成立分离参数可得，再构造函数，利用导数研究其单调性与最值结合隐零点计算即可.
（1）由，
在时，，
若，即在区间上单调递增；
若，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）根据题意可知恒成立，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增，
则，
所以，即
19．（2024高二下·深圳期中）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.
（1）已知等比数列满足：.求证：数列为“数列”；
（2）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前n项和.
①求数列的通项公式；
②已知是“数列”，且对任意正整数k，都有成立，求数列公比的取值范围.
【答案】（1）证明：设等比数列的公比为，且，由，得，
解得，
所以数列为“数列”；
（2）解：①因为，则，则，当时，由，得，整理得，
所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以；
②由①知，，
因为数列为“数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
即恒成立，
设，则，
当，，单调递增；当，，单调递减，
因为，所以，
故，所以.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式列方程组，即可求解；
（2）①利用计算整理后可得，利用等差数列的定义可得数列为等差数列，即可求解；②设数列公比为，将不等式转化为恒成立，构造函数，再利用导数求其最大值即可.
（1）设等比数列的公比为，且，
由，得，解得，
所以数列为“数列”；
（2）①因为，则，则，
当时，由，得，整理得，
所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以；
②由①知，，
因为数列为“数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
即恒成立，
设，则，
当，，单调递增；当，，单调递减，
因为，所以，
故，所以.
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