专题提升三 弹簧—小球模型 滑块—光滑斜(曲)面模型
(分值：100分)
选择题1～9题，每小题8分，共72分。
基础对点练
题组一 弹簧—小球模型
1.(2024·广东湛江高二期末)如图所示，在光滑的水平面上，有两个小球A和B，球A的质量为2m，球B的质量为m，两球之间用处于原长状态的轻质弹簧相连，小球B一开始静止，小球A以速度v0向右运动，求这以后的运动过程中，弹簧获得的最大弹性势能为( )
mv mv
mv mv
2.如图所示，光滑水平面上停放着一辆小车，小车的右端固定一轻质弹簧，左端紧靠墙壁但不粘连，小车的光滑圆弧轨道在最低点与光滑水平轨道相切，圆弧轨道的半径为R，小车的质量为M。将质量为m的小球从圆弧轨道最高处由静止释放至弹簧首次恢复原长的过程中，有关小球、弹簧和小车组成的系统，下列说法正确的是( )
小球沿圆弧轨道下滑的过程中，系统动量守恒，机械能守恒
小球沿圆弧轨道下滑的过程中，系统动量不守恒，机械能不守恒
小球从圆弧轨道最低点运动到弹簧首次恢复原长的过程中，系统动量守恒，机械能守恒
小球从圆弧轨道最低点运动到弹簧首次恢复原长的过程中，系统动量守恒，机械能不守恒
3.如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视作质点，P的质量是Q的2倍，Q与轻质弹簧相连。设Q静止，P以初速度v0向Q运动(轻质弹簧与P不粘连)并与弹簧发生碰撞。在整个碰撞过程中有( )
当弹簧被压缩至最短时，Q的速度最大
Q最终动能是P的初动能的
P的最终动能是它初动能的
由于弹簧被压缩，最终P将静止
题组二 滑块—光滑斜(曲)面模型
4.(多选)如图所示，光滑的半圆槽置于光滑的水平地面上，从一定高度自由下落的小球m恰能沿半圆槽边缘的切线方向滑入原先静止的槽内，对此情况，下列说法正确的是( )
小球第一次离开槽时，将向右上方做斜抛运动
小球第一次离开槽时，将做竖直上抛运动
小球离开槽后，仍能落回槽内，而槽将做往复运动
槽一直向右运动
5.如图所示，质量为1.5 kg的四分之一圆弧槽静止在光滑的水平面上，圆弧槽的弧面光滑，底部与水平轨道相切。一个质量为0.5 kg的小球以4 m/s的初速度滑上圆弧槽，小球沿圆弧槽上升至h高处后(未冲出圆弧槽)，再沿圆弧槽下滑脱离圆弧槽(g＝10 m/s2)，则( )
小球沿圆弧槽上升至h高处时，圆弧槽的速度大小为2 m/s
小球沿圆弧槽上升的最大高度为0.6 m
圆弧槽所能获得的最大速度为1 m/s
小球下滑脱离圆弧槽时的速度大小为2 m/s，方向与原来速度方向相同
综合提升练
6.(多选)(2024·广东广州高二期中)如图所示，在光滑水平面上，有质量分别为2m和m的A、B两滑块，它们中间夹着一根处于压缩状态的轻质弹簧，由于被一根细绳拉着而处于静止状态。当剪断细绳，在两滑块脱离弹簧之后，下列说法正确的是( )
两滑块的动能之比EkA∶EkB＝1∶2
两滑块的动量大小之比pA∶pB＝2∶1
弹簧对两滑块的冲量大小之比IA∶IB＝1∶1
弹簧对两滑块做功之比WA∶WB＝1∶1
7.如图甲所示，水平轻质弹簧一端与物块A左侧相连，一起静止在光滑水平面上，物块B从左侧以大小为v0的初速度向弹簧和物块A运动。运动过程中两物块的v－t图像如图乙所示，则下列说法正确的是( )
物块A的质量大于物块B的质量
t1时刻物块A的加速度大于物块B的加速度
t2时刻弹簧的弹性势能最大
t3时刻物块A的加速度大于物块B的加速度
8.(多选)如图所示，静置于光滑水平面上的物块A、B、C质量均为m，A、B之间用一根轻弹簧拴接，初始时弹簧处于自然长度，三个物块均处于静止状态。现同时给A、B一个水平向右的初速度v，A、B一起运动一段距离后，B、C发生弹性碰撞，碰撞时间极短，则在整个运动过程中( )
以A、B、C及弹簧为系统，动量守恒、机械能守恒
B、C碰撞后瞬间，C的速度为2v
弹簧的最大弹性势能Epm＝mv2
B、C碰撞结束后，当弹簧再次恢复到原长时，B、C速度相等且都为v
9.如图所示，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是光滑水平轨道，AB和BC两段轨道相切于B点，小车右端固定一个连接轻弹簧的挡板，开始时弹簧处于自由状态，自由端在C点，C点到挡板之间轨道光滑。一质量为m＝，可视为质点的滑块从圆弧轨道的最高点由静止滑下，而后滑入水平轨道，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
滑块到达B点时的速度大小为
滑块到达B点时小车的速度大小为
弹簧获得的最大弹性势能为MgR
滑块从A点运动到B点的过程中，小车运动的位移大小为R
10.(12分)如图所示，将一半径R＝0.3 m、质量M＝3 kg的光滑半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧靠在固定的竖直墙壁上。现让一质量m＝1 kg的小球(可视为质点)自左侧槽口A点正上方的B点从静止开始落下，A、B间的距离h＝0.5 m，小球与半圆槽相切滑入槽内。已知重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)(4分)小球运动到半圆槽最低点时的速度大小v0；
(2)(4分)小球第一次离开半圆槽时的速度大小v1；
(3)(4分)小球第一次离开半圆槽后，能够上升的最大高度H。
培优加强练
11.(16分)(2024·广东广州高二期末)如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA＝6.0 kg和mB＝4.0 kg。用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C从t＝0时刻以一定速度向右运动，在t＝4 s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图像如图乙所示。求：
(1)(8分)物块C的质量；
(2)(8分)B离开墙后，弹簧中的弹性势能最大时，B的速度多大？最大弹性势能多大？
专题提升三 弹簧—小球模型 滑块—光滑斜(曲)面模型
1.A [两球具有共同速度时，弹簧的弹性势能最大，规定向右为正方向，根据动量守恒定律与能量守恒定律，则有2mv0＝(m＋2m)v，Ep＝×2mv－(m＋2m)v2，解得Ep＝mv，故A正确。]
2.C [在小球沿圆弧轨道下滑的过程中，小车静止且受到墙壁的弹力，即小球、弹簧、小车组成的系统所受合外力不为零，所以系统的动量不守恒，但系统在墙壁的弹力方向上没有位移，墙壁对系统不做功，只有小球重力做功，所以系统机械能守恒，故A、B错误；在小球从圆弧轨道最低点运动到弹簧首次恢复原长的过程中，系统所受合外力为零，只有弹簧弹力做功，所以系统动量守恒，机械能守恒，故C正确，D错误。]
3.B [Q只要受到弹簧弹力作用就有加速度，则当弹簧恢复原长时，Q的加速度为零，速度最大，选项A错误；当弹簧恢复原长时，设P、Q的速度分别为v1、v2，且设P、Q的质量分别为2m和m，则由动量守恒定律和能量守恒定律可知2mv0＝2mv1＋mv2，×2mv＝×2mv＋mv，解得v1＝，v2＝，则Q的动能EkQ＝mv＝mv，P的初动能EkP0＝×2mv＝mv，P的末动能EkP＝×2mv＝mv，则Q最终动能是P的初动能的，P的最终动能是它初动能的，选项B正确，C、D错误。]
4.BC [小球与半圆槽组成的系统在水平方向所受合外力为零，初状态时系统在水平方向动量为零，由动量守恒定律可知，小球第一次离开槽时，系统水平方向动量守恒，球与槽在水平方向的速度都为零，球离开槽后做竖直上抛运动，故A错误，B正确；小球沿槽的右侧下滑到底端过程，槽向右做加速运动，球从底端向左侧上升过程，槽向右做减速运动，球离开槽时，槽静止，球做竖直上抛运动，然后小球落回槽的左侧，球从槽的左侧下滑过程，槽向左做加速运动，从最低点向右上滑时，槽向左做减速运动，然后球离开槽做竖直上抛运动，此后重复上述过程，由此可知，槽在水平面上做往复运动，故C正确，D错误。]
5.B [小球沿圆弧槽上升至h高处时，两者具有共同的水平速度，根据水平方向动量守恒mv0＝(m＋M)v，解得v＝1 m/s，圆弧槽的速度大小为1 m/s，A错误；根据机械能守恒定律有mv＝(m＋M)v2＋mgh，解得h＝0.6 m，B正确；从初态到分离由动量守恒定律和机械能守恒定律有mv0＝mv1＋Mv2，mv＝mv＋Mv，解得v2＝2 m/s，v1＝－2 m/s，C错误；根据C选项分析可知小球下滑脱离圆弧槽时的速度大小为2 m/s，方向与原来速度方向相反，D错误。]
6.AC [根据动量守恒定律得0＝2mvA－mvB，解得vA＝，两滑块的动能之比EkA∶EkB＝×2mv∶mv＝1∶2，故A正确；两滑块的动量大小之比pA∶pB＝2mvA∶mvB＝1∶1，故B错误；弹簧对两滑块的冲量大小之比IA∶IB＝ΔpA∶ΔpB＝(2mvA－0)∶(mvB－0)＝1∶1，故C正确；弹簧对两滑块做功之比等于两滑块动能之比为1∶2，故D错误。]
7.C [根据动量守恒定律得mBv0＝(mA＋mB)，解得mA＝mB，A错误；因为两物块质量相等，弹簧对两物块的弹力大小相等，根据牛顿第二定律可知二者加速度大小相等，B、D错误；当两物块共速时，弹簧被压缩到最短，所以t2时刻弹簧的弹性势能最大，C正确。]
8.AD [以A、B、C及弹簧为系统，水平方向不受外力，所以动量守恒，系统内只有弹簧弹力做功，所以机械能守恒，故A正确；由于B、C发生弹性碰撞满足动量守恒、机械能守恒，有mv＝mv1＋mv2，mv2＝mv＋mv，联立解得v1＝0，v2＝v，故B错误；A、B速度相等时，弹簧压缩量最大，弹性势能最大，从B、C碰撞后瞬间到A、B速度相等过程，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有mv＝2mv′，mv2＝×2mv′2＋Epm，联立解得弹簧的最大弹性势能为Epm＝mv2，故C错误；B、C碰撞结束后， C以速度v做匀速直线运动，当弹簧再次恢复到原长时，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有mv＝mv3＋mv4，mv2＝mv＋mv，解得v3＝0，v4＝v，故当弹簧再次恢复到原长时，B、C速度相等且都为v，故D正确。]
9.D [从A滑到B的过程，滑块和小车组成的系统水平方向动量守恒，则由动量守恒定律有mv1－Mv2＝0，根据能量守恒定律有mgR＝mv＋Mv，解得v1＝，v2＝，A、B错误；当弹簧压缩到最短时弹簧弹性势能最大，此时滑块与小车共速，由动量守恒定律可知，共同速度v＝0，根据能量守恒定律有Epm＝mgR，C错误；滑块从A到B过程，在水平方向上，根据动量守恒定律的位移表达式有ms1－Ms2＝0，根据题意有s1＋s2＝R，解得s2＝R，D正确。]
10.(1)4 m/s (2) m/s (3)0.3 m
解析 (1)小球从静止开始自由下落到滑至半圆槽最低点的过程，根据机械能守恒定律有
mg(h＋R)＝mv
解得v0＝4 m/s。
(2)小球即将离开半圆槽时，小球和半圆槽在水平方向上速度相同，设其为v，小球从半圆槽内最低点运动到即将离开半圆槽的过程中，根据水平方向系统动量守恒有mv0＝(M＋m)v
根据机械能守恒定律有mv＝mv＋Mv2＋mgR
联立解得v1＝ m/s。
(3)小球离开半圆槽后做斜上抛运动，当竖直方向的分速度等于0时，小球上升的高度最大，小球离开半圆槽时竖直方向的分速度v1y＝＝ m/s
竖直方向有v＝2gH
解得H＝0.3 m。
11.(1)2 kg (2)2 m/s 12 J
解析 (1)由题图乙知，C与A碰前速度为v1＝12 m/s，碰后速度为v2＝3 m/s，C与A碰撞过程动量守恒，以C的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mCv1＝v2
解得mC＝2 kg。
(2)12 s末B离开墙壁，v3＝3 m/s ，之后A、B、C及弹簧组成的系统动量和机械能守恒，当A、C与B速度相等时弹簧的弹性势能最大。设共速的速度为v4，根据动量守恒定律，有
v3＝v4
根据能量守恒定律得
v＝v＋Ep
解得v4＝2 m/s，Ep＝12 J。专题提升三 弹簧—小球模型 滑块—光滑斜(曲)面模型
学习目标 1.会应用动量观点和能量观点分析两类模型。 2.能熟练运用动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律解决有关问题。
提升1 弹簧—小球模型
1.对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统所受合外力为零，则满足动量守恒定律。
2.在能量方面，由于弹簧发生形变，具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的合外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。若还有其他外力和内力做功，这些力做功之和等于系统机械能的变化量。
3.(1)如图所示，弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小。
(2)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大。
例1 两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示。B与C碰撞后二者会粘在一起运动。则在以后的运动中：
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
训练1 (2024·广东佛山一中高二月考)如图所示，两滑块A、B位于光滑水平面上，已知A的质量mA＝4 kg，B的质量mB＝3 kg，滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块A以v0＝7 m/s的速度水平向右运动，通过弹簧与静止的滑块B相互作用(整个过程弹簧没有超过弹性限度)，直至分开，求：
(1)滑块通过弹簧相互作用过程中弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块B的最大动能；
(3)滑块A的动能最小时，弹簧的弹性势能。
提升2 滑块—光滑斜(曲)面模型
对于滑块—光滑斜(曲)面模型，斜(曲)面体不是固定的，而是在光滑水平面上。这类模型一般情况下所受合外力不为零，但常在水平方向上的合外力为零，则在水平方向上满足动量守恒。当滑块到达斜(曲)面最高点时，滑块与斜(曲)面速度相同，相当于发生了完全非弹性碰撞，损失的动能转化为滑块重力势能，结合能量守恒定律列方程，进行联立求解。当滑块从最低点离开曲面后，相当于完成了弹性碰撞。
例2 (多选)(2024·广东广州高二月考)如图所示，在光滑水平面上放置一个质量为m的滑块，滑块的一侧是一个弧形槽，槽半径为R，A点切线水平，B为最高点。另有一个质量也为m的小球以速度v0从A点冲上滑块，重力加速度为g，不计摩擦力和阻力，下列说法中正确的是( )
A.当v0＝时，小球无法到达B点
B.当v0＝时，小球在弧形凹槽上运动的过程中，滑块的动能先增大再减小
C.小球回到斜槽底部离开A点后做自由落体运动
D.小球回到斜槽底部离开A点后可能做平抛运动
听课笔记
训练2 (多选)(2024·河南郑州高二期末)如图所示，光滑的水平面上静置着小车和光滑的碗组成的轨道，轨道质量为m。在小车最右边的碗边A处无初速度释放一只质量为m的小球。则在小球沿碗内壁下滑到最低点的过程中，下列说法正确的是(碗的半径为R，重力加速度为g)( )
A.小球、碗和车组成的系统机械能守恒
B.小球、碗和车组成的系统动量守恒
C.小球的最大速度等于
D.小球的水平位移为
随堂对点自测
1.(弹簧—小球模型)如图所示，在光滑的水平地面上，P物体与一个连着弹簧的Q物体发生碰撞，碰撞后P物体静止，Q物体以P物体碰撞前的速度v离开，已知P与Q质量相等，弹簧质量忽略不计，那么当弹簧被压缩至最短时，下列结论中正确的是( )
A.P的速度恰好为零 B.P与Q具有相同速度
C.Q刚开始运动 D.Q的速度等于v
2.[滑块—光滑斜(曲)面模型](多选)如图所示，质量为m0的楔形物体静止在光滑的水平地面上，其斜面光滑且足够长，与水平方向的夹角为θ。一个质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上以初速度v0开始运动，当小物块沿斜面向上运动到最高点时，速度大小为v，距地面的高度为h，则下列关系式正确的是( )
A.mv0＝(m＋m0)v
B.mv0cos θ＝(m＋m0)v
C.mgh＝m(v0sin θ)2
D.mgh＋(m＋m0)v2＝mv
3.[滑块—光滑斜(曲)面模型]质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是一个四分之一光滑圆弧轨道，轨道下端切线水平。质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，如图所示。已知小球不从小车上端离开小车，小球滑上小车又滑下，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，则m∶M的值为( )
A.1∶3 B.1∶4
C.3∶5 D.2∶3
专题提升三 弹簧—小球模型 滑块—光滑斜(曲)面模型
提升1
例1 (1)3 m/s (2)12 J
解析 (1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由A、B、C三者组成的系统动量守恒，
(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC )vABC
解得vABC＝ m/s＝3 m/s。
(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为vBC，则
mBv＝(mB＋mC)vBC，vBC＝ m/s＝2 m/s，物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大，设为Ep，根据能量守恒定律
Ep＝(mB＋mC)v＋mAv2－(mA＋mB＋mC)v
＝×(2＋4)×22 J＋×2×62 J－×(2＋2＋4)×32 J＝12 J。
训练1 (1)42 J (2)96 J (3)0
解析 (1)当弹簧压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，此时滑块A和B的速度相同，选取向右为正方向，根据动量守恒定律mAv0＝(mA＋mB)v
解得v＝4 m/s
由能量守恒定律mAv＝(mA＋mB)v2＋Ep
解得滑块通过弹簧相互作用过程中弹簧的最大弹性势能为
Ep＝42 J。
(2)当A、B分离时，滑块B的速度最大，由动量守恒定律和能量守恒定律得
mAv0＝mAvA＋mBvB
mAv＝mAv＋mBv
解得vA＝1 m/s，vB＝8 m/s
则滑块B的最大动能为Ek＝mBv＝96 J。
(3)当A的速度为1 m/s时，滑块A的动能最小，此时弹簧恢复到原长，所以弹簧的弹性势能为Ep′＝0。
提升2
例2 AC [滑块与小球水平方向动量守恒，小球恰能到达B点时有mv0＝2mv，系统机械能守恒，有mv＝×2mv2＋mgR，联立可得v0＝2，可知当v0＝时，小球无法到达B点，故A正确；当v0＝时，小球未到达B点，小球从进入凹槽至最高点的过程中，小球对滑块的作用力始终做正功，所以滑块的动能一直增大，故B错误；小球回到斜槽底部时，设速度为vA，由系统水平方向动量守恒得mv0＝mv′－mvA，系统机械能守恒，有mv＝mv′2＋mv，联立可得vA＝0，所以小球回到斜槽底部离开A点后做自由落体运动，故C正确，D错误。]
训练2 ACD [由于忽略摩擦力，在小球运动的过程中，只有重力对小球做功，故小球、碗和车组成的系统机械能守恒，A正确；当小球在碗内运动时，小球、碗和车组成的系统动量不守恒，但在水平方向上不受外力的作用，水平方向动量守恒，B错误；由水平方向动量守恒得mv1＝mv2，由系统的机械能守恒得mgR＝mv＋mv，联立解得v1＝v2＝，C正确；设小球和碗相对地面的位移大小分别为s1、s2，由s1＋s2＝R，ms1＝ms2，可得s1＝s2＝，D正确。]
随堂对点自测
1.B [P物体接触弹簧后，在弹簧弹力的作用下，P物体做减速运动，Q物体做加速运动，P、Q间的距离减小，当P、Q两物体速度相等时，弹簧被压缩到最短，故B正确，A、C错误；由于作用过程中动量守恒，设速度相等时速度为v′，则mv＝(m＋m)v′，所以弹簧被压缩至最短时，P、Q的速度v′＝，故D错误。]
2.BD [取向右为正方向，在小物块上升过程中，由水平方向系统动量守恒得mv0cos θ＝
(m＋m0)v，故A错误，B正确；系统机械能守恒，由机械能守恒定律得mv＝mgh＋(m＋m0)v2，故C错误，D正确。]
3.C [设小球的初速度方向为正方向，由水平方向动量守恒可知mv0＝Mv1－mv2
由题意知＝
对整体由机械能守恒定律可得
mv＝Mv＋mv
联立解得＝，故C正确。](共48张PPT)
专题提升三 弹簧—小球模型 滑块—光滑
斜(曲)面模型
第一章 动量和动量守恒定律
1.会应用动量观点和能量观点分析两类模型。
2.能熟练运用动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律解决有关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2 滑块—光滑斜(曲)面模型
提升1 弹簧—小球模型
提升1 弹簧—小球模型
1.对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统所受合外力为零，则满足动量守恒定律。
2.在能量方面，由于弹簧发生形变，具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的合外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。若还有其他外力和内力做功，这些力做功之和等于系统机械能的变化量。
3.(1)如图所示，弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小。
(2)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大。
例1 两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示。B与C碰撞后二者会粘在一起运动。则在以后的运动中：
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
解析 (1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由A、B、C三者组成的系统动量守恒，(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC )vABC
训练1 (2024·广东佛山一中高二月考)如图所示，两滑块A、B位于光滑水平面上，已知A的质量mA＝4 kg，B的质量mB＝3 kg，滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块A以v0＝7 m/s的速度水平向右运动，通过弹簧与静止的滑块B相互作用(整个过程弹簧没有超过弹性限度)，直至分开，求：
(1)滑块通过弹簧相互作用过程中弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块B的最大动能；
(3)滑块A的动能最小时，弹簧的弹性势能。
答案 (1)42 J (2)96 J (3)0
解析 (1)当弹簧压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，此时滑块A和B的速度相同，选取向右为正方向，根据动量守恒定律mAv0＝(mA＋mB)v
解得v＝4 m/s
解得滑块通过弹簧相互作用过程中弹簧的最大弹性势能为Ep＝42 J。
(2)当A、B分离时，滑块B的速度最大，由动量守恒定律和能量守恒定律得
mAv0＝mAvA＋mBvB
解得vA＝1 m/s，vB＝8 m/s
(3)当A的速度为1 m/s时，滑块A的动能最小，此时弹簧恢复到原长，所以弹簧的弹性势能为Ep′＝0。
提升2 滑块—光滑斜(曲)面模型
对于滑块—光滑斜(曲)面模型，斜(曲)面体不是固定的，而是在光滑水平面上。这类模型一般情况下所受合外力不为零，但常在水平方向上的合外力为零，则在水平方向上满足动量守恒。当滑块到达斜(曲)面最高点时，滑块与斜(曲)面速度相同，相当于发生了完全非弹性碰撞，损失的动能转化为滑块重力势能，结合能量守恒定律列方程，进行联立求解。当滑块从最低点离开曲面后，相当于完成了弹性碰撞。
AC
ACD
随堂对点自测
2
B
1.(弹簧—小球模型)如图所示，在光滑的水平地面上，P物体与一个连着弹簧的Q物体发生碰撞，碰撞后P物体静止，Q物体以P物体碰撞前的速度v离开，已知P与Q质量相等，弹簧质量忽略不计，那么当弹簧被压缩至最短时，下列结论中正确的是( )
A.P的速度恰好为零
B.P与Q具有相同速度
C.Q刚开始运动
D.Q的速度等于v
BD
C
3.[滑块—光滑斜(曲)面模型]质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是一个四分之一光滑圆弧轨道，轨道下端切线水平。质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，如图所示。已知小球不从小车上端离开小车，小球滑上小车又滑下，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，则m∶M的值为( )
A.1∶3 B.1∶4
C.3∶5 D.2∶3
解析 设小球的初速度方向为正方向，由水平方向动量守恒可知mv0＝Mv1－mv2
课后巩固训练
3
A
基础对点练
题组一 弹簧—小球模型
1.(2024·广东湛江高二期末)如图所示，在光滑的水平面上，有两个小球A和B，球A的质量为2m，球B的质量为m，两球之间用处于原长状态的轻质弹簧相连，小球B一开始静止，小球A以速度v0向右运动，求这以后的运动过程中，弹簧获得的最大弹性势能为( )
答案 C
B
BC
题组二 滑块—光滑斜(曲)面模型
4.(多选)如图所示，光滑的半圆槽置于光滑的水平地面上，从一定高度自由下落的小球m恰能沿半圆槽边缘的切线方向滑入原先静止的槽内，对此情况，下列说法正确的是( )
A.小球第一次离开槽时，将向右上方做斜抛运动
B.小球第一次离开槽时，将做竖直上抛运动
C.小球离开槽后，仍能落回槽内，而槽将做往复运动
D.槽一直向右运动
解析 小球与半圆槽组成的系统在水平方向所受合外力
为零，初状态时系统在水平方向动量为零，由动量守恒
定律可知，小球第一次离开槽时，系统水平方向动量守
恒，球与槽在水平方向的速度都为零，球离开槽后做竖
直上抛运动，故A错误，B正确；小球沿槽的右侧下滑
到底端过程，槽向右做加速运动，球从底端向左侧上升过程，槽向右做减速运动，球离开槽时，槽静止，球做竖直上抛运动，然后小球落回槽的左侧，球从槽的左侧下滑过程，槽向左做加速运动，从最低点向右上滑时，槽向左做减速运动，然后球离开槽做竖直上抛运动，此后重复上述过程，由此可知，槽在水平面上做往复运动，故C正确，D错误。
B
5.如图所示，质量为1.5 kg的四分之一圆弧槽静止在光滑的水平面上，圆弧槽的弧面光滑，底部与水平轨道相切。一个质量为0.5 kg的小球以4 m/s的初速度滑上圆弧槽，小球沿圆弧槽上升至h高处后(未冲出圆弧槽)，再沿圆弧槽下滑脱离圆弧槽(g＝10 m/s2)，则( )
A.小球沿圆弧槽上升至h高处时，圆弧槽的速度大小为2 m/s
B.小球沿圆弧槽上升的最大高度为0.6 m
C.圆弧槽所能获得的最大速度为1 m/s
D.小球下滑脱离圆弧槽时的速度大小为2 m/s，方向与原来速度方向相同
AC
综合提升练
6.(多选)(2024·广东广州高二期中)如图所示，在光滑水平面上，有质量分别为2m和m的A、B两滑块，它们中间夹着一根处于压缩状态的轻质弹簧，由于被一根细绳拉着而处于静止状态。当剪断细绳，在两滑块脱离弹簧之后，下列说法正确的是( )
A.两滑块的动能之比EkA∶EkB＝1∶2
B.两滑块的动量大小之比pA∶pB＝2∶1
C.弹簧对两滑块的冲量大小之比IA∶IB＝1∶1
D.弹簧对两滑块做功之比WA∶WB＝1∶1
C
7.如图甲所示，水平轻质弹簧一端与物块A左侧相连，一起静止在光滑水平面上，物块B从左侧以大小为v0的初速度向弹簧和物块A运动。运动过程中两物块的v－t图像如图乙所示，则下列说法正确的是( )
A.物块A的质量大于物块B的质量
B.t1时刻物块A的加速度大于物块B的加速度
C.t2时刻弹簧的弹性势能最大
D.t3时刻物块A的加速度大于物块B的加速度
AD
8.(多选)如图所示，静置于光滑水平面上的物块A、B、C质量均为m，A、B之间用一根轻弹簧拴接，初始时弹簧处于自然长度，三个物块均处于静止状态。现同时给A、B一个水平向右的初速度v，A、B一起运动一段距离后，B、C发生弹性碰撞，碰撞时间极短，则在整个运动过程中( )
D
10.如图所示，将一半径R＝0.3 m、质量M＝3 kg的光滑半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧靠在固定的竖直墙壁上。现让一质量m＝1 kg的小球(可视为质点)自左侧槽口A点正上方的B点从静止开始落下，A、B间的距离h＝0.5 m，小球与半圆槽相切滑入槽内。已知重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)小球运动到半圆槽最低点时的速度大小v0；
(2)小球第一次离开半圆槽时的速度大小v1；
(3)小球第一次离开半圆槽后，能够上升的最大高度H。
解析 (1)小球从静止开始自由下落到滑至半圆槽最低点的过程，根据机械能守恒定律有
解得v0＝4 m/s。
(2)小球即将离开半圆槽时，小球和半圆槽在水平方向上速度相同，设其为v，小球从半圆槽内最低点运动到即将离开半圆槽的过程中，根据水平方向系统动量守恒有mv0＝(M＋m)v
(3)小球离开半圆槽后做斜上抛运动，当竖直方向的分速度等于0时，小球上升的高度最大，小球离开半圆槽时竖直方向的分速度
培优加强练
11.(2024·广东广州高二期末)如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA＝6.0 kg和mB＝4.0 kg。用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C从t＝0时刻以一定速度向右运动，在t＝4 s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图像如图乙所示。求：
(1)物块C的质量；
(2)B离开墙后，弹簧中的弹性势能最大时，B的速度多大？最大弹性势能多大？
答案 (1)2 kg (2)2 m/s 12 J
解得mC＝2 kg。
(2)12 s末B离开墙壁，v3＝3 m/s ，之后A、B、C及弹簧组成的系统动量和机械能守恒，当A、C与B速度相等时弹簧的弹性势能最大。设共速的速度为v4，根据动量守恒定律，有(mA＋mC)v3＝(mA＋mB＋mC)v4
解析 (1)由题图乙知，C与A碰前速度为v1＝12 m/s，碰后速度为v2＝3 m/s，C与A碰撞过程动量守恒，以C的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mCv1＝(mA＋mC)v2
解得v4＝2 m/s，Ep＝12 J。
