专题提升五 动量、动力学和能量观点在力学中的应用
(分值：60分)
1.(12分)(2024·广东茂名高一统考期末)如图所示，水平地面虚线的左侧是光滑区域，右侧是粗糙区域，质量为3m的物块乙(视为质点)静止在虚线处，物块甲在乙的左侧获得一个水平向右的初速度v0，甲、乙发生弹性碰撞刚结束时，两者的速度大小相等。已知甲、乙与粗糙区域之间的动摩擦因数均为μ，甲的质量小于乙的质量，重力加速度为g，求：
(1)(6分)甲的质量；
(2)(6分)乙在粗糙区域滑行的时间。
2.(18分)如图所示，小物块A、B的质量均为m＝0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h＝0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为x＝0.30 m，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)(6分)两物块在空中运动的时间t；
(2)(6分)两物块碰前A的速度v0的大小；
(3)(6分)两物块碰撞过程中损失的机械能ΔE。
3.(18分)(2023·北京卷，17)如图所示，质量为m的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在O点，在O点正下方的光滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B，B距O点的距离等于绳长L。现将A拉至某一高度，由静止释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：
(1)(6分)A释放时距桌面的高度H；
(2)(6分)碰撞前瞬间绳子的拉力大小F；
(3)(6分)碰撞过程中系统损失的机械能ΔE。
4.(12分)儿童智力拼装玩具“云霄飞车”的部分轨道简化为如图所示的模型。光滑水平轨道MN与半径为R的竖直光滑圆弧轨道相切于N点，质量为m的小球A静止于P点，小球半径远小于R。与A相同的小球B以速度v0向右运动，A、B碰后粘连在一起。当v0的大小在什么范围时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道？(已知重力加速度为g)
专题提升五 动量、动力学和能量观点在力学中的应用
1.(1)m (2)
解析 (1)由于甲的质量小于乙的质量，碰后甲反弹，设甲的质量为M，碰撞过程根据动量守恒定律可得Mv0＝－Mv＋3mv
由机械能守恒定律可得Mv＝Mv2＋×3mv2
联立解得M＝m，v＝v0。
(2)乙在粗糙区域滑行过程，根据牛顿第二定律可得
μ·3mg＝3ma
滑行的时间为t＝
联立解得t＝。
2.(1)0.30 s (2)2.0 m/s (3)0.10 J
解析 (1)两物块碰撞后，竖直方向的运动为自由落体运动
则有h＝gt2
解得t＝0.30 s。
(2)设A、B碰后瞬间的速度为v，水平方向的运动为匀速运动，则有x＝vt
解得v＝1.0 m/s
根据动量守恒定律有mv0＝2mv
解得v0＝2.0 m/s。
(3)根据能量守恒定律可得，两物块碰撞过程中损失的机械能
ΔE＝mv－×2mv2
解得ΔE＝0.10 J。
3.(1) (2)mg＋m (3)mv2
解析 (1)A从释放到与B碰撞前，根据动能定理得
mgH＝mv2
解得H＝。
(2)碰前瞬间，对A由牛顿第二定律得F－mg＝m
解得F＝mg＋m。
(3)A、B碰撞过程中，根据动量守恒定律得mv＝2mv1
解得v1＝v
则碰撞过程中损失的机械能为
ΔE＝mv2－×2m＝mv2。
4.v0≤2或v0≥2
解析 设A、B碰撞后的速度为v1，A、B恰好运动到圆弧轨道最高点时的速度为v2
对A、B，碰撞过程中动量守恒，由动量守恒定律得mv0＝2mv1
欲使A、B运动时不脱离圆弧轨道，有两种临界情况：
①当v0较小时，A、B恰能运动到与圆弧轨道圆心等高的地方。
对A、B整体，从碰后至运动到与圆弧轨道圆心等高的地方，由动能定理有－2mgR＝0－×2mv
联立解得v0＝2
②当v0较大时，A、B恰好能够运动到圆弧轨道最高点。对A、B，从碰后至运动到圆弧轨道最高点的过程中，由动能定理有
－2mg·2R＝×2mv－×2mv
在最高点时，由牛顿第二定律得2mg＝2m
联立解得v0＝2
综上所述，当v0≤2或v0≥2时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道。专题提升五 动量、动力学和能量观点在力学中的应用
学习目标 1.进一步熟悉牛顿第二定律、动能定理、动量守恒定律、能量守恒定律等规律。
2.灵活运用动力学观点、动量观点和能量观点解决力学问题。
1.解决力学问题的三个基本观点和五个规律如下表所示：
三个基本观点 对应规律 公式表达
动力学观点 运动学 vt＝v0＋at，s＝v0t＋at2等
牛顿第二定律 F合＝ma
能量观点 动能定理 W合＝ΔEk F合s＝mv－mv
机械能守恒定律 mgh1＋mv＝mgh2＋mv
动量观点 动量定理 F合t＝p′－p I合＝Δp
动量守恒定律 m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
2.力学规律的选用原则
(1)如果物体受恒力作用，涉及运动细节可用动力学观点去解决。
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题。
(3)若研究的对象为几个物体组成的系统，且它们之间有相互作用，一般用两个守恒定律解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件。
(4)在涉及相对位移问题时优先考虑利用能量守恒定律求解，根据系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量(即转化为系统内能)列方程。
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转化，这种问题由于作用时间极短，因此动量守恒定律一般能派上大用场。
角度1 动量观点与动力学观点的综合应用
例1 如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。先将B竖直向上再举高h＝1.8 m(未触及滑轮)然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g＝10 m/s2，空气阻力不计。求：
(1)B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；
(2)A的最大速度v的大小；
(3)初始时B离地面的高度H。
角度2 动量观点和能量观点的综合应用
例2 (2024·广东深圳高二期末)如图所示，一不可伸长的轻质细绳长为R，一端悬于O点，另一端系一质量为m的小球a。上表面为圆弧轨道、质量为2m的小车静止在水平地面上，圆弧轨道的圆心在O点，半径也为R且最低点与水平面相切，质量为m的小球b静止于圆弧轨道的最低点。现将小球a的悬线拉至水平，然后由静止释放，小球a到达最低点时与小球b相碰，碰撞时间极短且无能量损失，已知重力加速度为g，所有接触面摩擦忽略不计。求：
(1)小球a碰前瞬间的速度大小；
(2)小球a、b碰撞后瞬间各自的速度大小；
(3)小球b在小车上上滑的最大高度。
角度3 力学三大观点的综合应用
例3 (2024·广东肇庆高二期末)某生产线上有间距为2R的上、下两条平行轨道，上轨道光滑，下轨道粗糙，与物块间的动摩擦因数为μ，下轨道右侧与半径为R的竖直光滑半圆轨道平滑连接。现在上轨道的A点有质量为m的物块甲，以初速度大小v0＝从B点滑进半圆轨道，沿半圆轨道做圆周运动，重力加速度为g。物块可视为质点，空气阻力不计。
(1)求物块甲到达半圆轨道最低点C时的速度大小；
(2)求物块甲到达半圆轨道最低点C时对轨道的压力大小；
(3)若在半圆轨道最低点C处静止放置一质量也为m的物块乙，甲与乙发生弹性碰撞，求最终甲、乙两物块的间距。
1.灵活选取研究对象。根据题目的特点可选取其中动量守恒或能量守恒的几个物体为研究对象，也可选单个物体为研究对象。
2.灵活选取物理过程。在综合题目中，物体运动常有几个不同的过程，根据题目的已知、未知条件灵活地选取物理过程来研究。列方程前要注意分析、判断所选过程动量、能量的守恒情况。
随堂对点自测
1.汽车A在水平冰雪路面上行驶。驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B。两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示。碰撞后B车向前滑动了4.5 m，A车向前滑动了2.0 m。已知A和B的质量分别为2.0×103 kg和1.5×103 kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小取g＝10 m/s2。求：
(1)碰撞后瞬间B车速度的大小；
(2)碰撞前瞬间A车速度的大小。
2.(2024·广东中山高二期末)如图所示，滑块B静止在粗糙水平面上，质量为m＝1 kg的小球A用长l＝0.8 m的细线固定在O点，将细线水平拉直，然后由静止释放小球A，小球A到达最低点时与滑块B发生正碰，碰后小球A被弹回，上升的最大高度h＝0.2 m，碰后滑块B在水平面上滑行s＝2 m后静止。整个过程中A球与地面没有接触。已知滑块B与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.1，小球A、滑块B均可视为质点，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)小球A与滑块B碰撞前的速度大小；
(2)滑块B的质量M。
专题提升五 动量、动力学和能量观点在力学中的应用
例1 (1)0.6 s (2)2 m/s (3)0.6 m
解析 (1)B从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动，
由h＝gt2
解得t＝0.6 s。
(2)设细绳绷直前瞬间B速度大小为v0，有v0＝gt＝6 m/s
细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B的重力，A、B系统动量守恒，则有mBv0＝(mA＋mB)v
细绳绷直瞬间，A、B系统获得的速度v＝2 m/s
之后A做匀减速运动，所以细绳绷直瞬间的速度v即为A的最大速度，即A的最大速度为2 m/s。
(3)细绳绷直后，A、B一起减速运动，B恰好可以和地面接触，说明此时A、B的速度为零，此过程mAg－mBg＝(mA＋mB)a
所以a＝ m/s2
应用逆向思维可得v2＝2aH
所以H＝0.6 m。
例2 (1) (2)0， (3)R
解析 (1)小球a下摆过程中，由动能定理得
mgR＝mv－0
解得v0＝。
(2)小球a与小球b碰撞，由动量守恒定律得mv0＝mv1＋mv2
根据机械能守恒定律得mv＝mv＋mv
联立以上各式得v1＝0
v2＝。
(3)小球b在小车圆弧轨道上滑到最大高度时小球与小车具有共同速度，由动量守恒定律得
mv2＝(m＋2m)v3
由机械能守恒定律得mv＝(m＋2m)v＋mgh
联立解得h＝R。
例3 (1) (2)6mg (3)
解析 (1)物块甲从B到C，设C点速度大小为vC，由题意可知初速度大小v0＝
根据机械能守恒定律得mg·2R＝mv－mv
解得vC＝。
(2)在C点对物块甲受力分析，得FN－mg＝
解得FN＝6mg
由牛顿第三定律可知，物块甲对轨道的压力大小FN′＝FN＝6mg。
(3)因甲与乙发生弹性碰撞，设碰撞后甲、乙的速度大小分别为v1、v2，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得
mvC＝mv1＋mv2
mv＝mv＋mv
解得v1＝0，v2＝
即弹性碰撞后物块甲静止，由动能定理－μmgs＝0－mv
解得s＝。
随堂对点自测
1.(1)3.0 m/s (2)4.25 m/s
解析 (1)设B车的质量为mB，碰后加速度大小为aB，根据牛顿第二定律有μmBg＝mBaB①
式中μ是汽车与路面间的动摩擦因数
设碰撞后瞬间B车速度的大小为vB′，碰撞后滑行的距离为sB
由运动学公式有vB′2＝2aBsB②
联立①②式并利用题给数据得
vB′＝3.0 m/s③
(2)设A车的质量为mA，碰后加速度大小为aA，根据牛顿第二定律有
μmAg＝mAaA④
设碰撞后瞬间A车速度的大小为vA′，碰撞后滑行的距离为sA
由运动学公式有vA′2＝2aAsA⑤
设碰撞前瞬间A车速度的大小为vA，两车在碰撞过程中动量守恒，有mAvA＝mAvA′＋mBvB′⑥
联立③④⑤⑥式并利用题给数据得vA＝4.25 m/s。
2.(1)4 m/s (2)3 kg
解析 (1)小球A向下摆动的过程中，由机械能守恒定律有
mgl＝mv
解得vA＝4 m/s。
(2)小球A弹回向上摆动的过程中，由机械能守恒定律有
mgh＝mvA′2
解得vA′＝2 m/s
滑块B在水平面上滑行过程中，由动量定理有
－μMgs＝0－Mv
联立解得vB＝2 m/s
取向右为正方向，小球A与滑块B碰撞的过程中，由动量守恒定律有mvA＝m(－vA′)＋MvB
联立解得M＝3 kg。(共29张PPT)
专题提升五 动量、动力学和能量观点在力学
中的应用
第一章 动量和动量守恒定律
1.进一步熟悉牛顿第二定律、动能定理、动量守恒定律、能量守恒定律等规律。
2.灵活运用动力学观点、动量观点和能量观点解决力学问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
随堂对点自测
01
课后巩固训练
02
1.解决力学问题的三个基本观点和五个规律如下表所示：
2.力学规律的选用原则
(1)如果物体受恒力作用，涉及运动细节可用动力学观点去解决。
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题。
(3)若研究的对象为几个物体组成的系统，且它们之间有相互作用，一般用两个守恒定律解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件。
(4)在涉及相对位移问题时优先考虑利用能量守恒定律求解，根据系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量(即转化为系统内能)列方程。
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转化，这种问题由于作用时间极短，因此动量守恒定律一般能派上大用场。
角度1 动量观点与动力学观点的综合应用
例1 如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。先将B竖直向上再举高h＝1.8 m(未触及滑轮)然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g＝10 m/s2，空气阻力不计。求：
(1)B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；
(2)A的最大速度v的大小；
(3)初始时B离地面的高度H。
解得t＝0.6 s。
(2)设细绳绷直前瞬间B速度大小为v0，有v0＝gt＝6 m/s
细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B的重力，A、B系统动量守恒，则有
mBv0＝(mA＋mB)v
细绳绷直瞬间，A、B系统获得的速度v＝2 m/s
之后A做匀减速运动，所以细绳绷直瞬间的速度v即为A的最大速度，即A的最大速度为2 m/s。
(3)细绳绷直后，A、B一起减速运动，B恰好可以和地面接触，说明此时A、B的速度为零，此过程mAg－mBg＝(mA＋mB)a
应用逆向思维可得v2＝2aH
所以H＝0.6 m。
答案 (1)0.6 s (2)2 m/s (3)0.6 m
(1)小球a碰前瞬间的速度大小；
(2)小球a、b碰撞后瞬间各自的速度大小；
(3)小球b在小车上上滑的最大高度。
解析 (1)小球a下摆过程中，由动能定理得
(2)小球a与小球b碰撞，由动量守恒定律得mv0＝mv1＋mv2
(3)小球b在小车圆弧轨道上滑到最大高度时小球与小车具有共同速度，由动量守恒定律得mv2＝(m＋2m)v3
解得FN＝6mg
由牛顿第三定律可知，物块甲对轨道的压力大小FN′＝FN＝6mg。
(3)因甲与乙发生弹性碰撞，设碰撞后甲、乙的速度大小分别为v1、v2，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得mvC＝mv1＋mv2
即弹性碰撞后物块甲静止，由动能定理
1.灵活选取研究对象。根据题目的特点可选取其中动量守恒或能量守恒的几个物体为研究对象，也可选单个物体为研究对象。
2.灵活选取物理过程。在综合题目中，物体运动常有几个不同的过程，根据题目的已知、未知条件灵活地选取物理过程来研究。列方程前要注意分析、判断所选过程动量、能量的守恒情况。
随堂对点自测
1
1.汽车A在水平冰雪路面上行驶。驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B。两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示。碰撞后B车向前滑动了4.5 m，A车向前滑动了2.0 m。已知A和B的质量分别为2.0×103 kg和1.5×103 kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小取g＝10 m/s2。求：
(1)碰撞后瞬间B车速度的大小；
(2)碰撞前瞬间A车速度的大小。
答案 (1)3.0 m/s (2)4.25 m/s
解析 (1)设B车的质量为mB，碰后加速度大小为aB，根据牛顿第二定律有μmBg＝mBaB①
式中μ是汽车与路面间的动摩擦因数
设碰撞后瞬间B车速度的大小为vB′，碰撞后滑行的距离为sB
由运动学公式有vB′2＝2aBsB②
联立①②式并利用题给数据得vB′＝3.0 m/s③
(2)设A车的质量为mA，碰后加速度大小为aA，根据牛顿第二定律有
μmAg＝mAaA④
设碰撞后瞬间A车速度的大小为vA′，碰撞后滑行的距离为sA
由运动学公式有vA′2＝2aAsA⑤
设碰撞前瞬间A车速度的大小为vA，两车在碰撞过程中动量守恒，有
mAvA＝mAvA′＋mBvB′⑥
联立③④⑤⑥式并利用题给数据得vA＝4.25 m/s。
2.(2024·广东中山高二期末)如图所示，滑块B静止在粗糙水平面上，质量为m＝1 kg的小球A用长l＝0.8 m的细线固定在O点，将细线水平拉直，然后由静止释放小球A，小球A到达最低点时与滑块B发生正碰，碰后小球A被弹回，上升的最大高度h＝0.2 m，碰后滑块B在水平面上滑行s＝2 m后静止。整个过程中A球与地面没有接触。已知滑块B与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.1，小球A、滑块B均可视为质点，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)小球A与滑块B碰撞前的速度大小；
(2)滑块B的质量M。
答案 (1)4 m/s (2)3 kg
解得vA＝4 m/s。
解得vA′＝2 m/s
联立解得vB＝2 m/s
取向右为正方向，小球A与滑块B碰撞的过程中，由动量守恒定律有
mvA＝m(－vA′)＋MvB
联立解得M＝3 kg。
课后巩固训练
2
1.(2024·广东茂名高一统考期末)如图所示，水平地面虚线的左侧是光滑区域，右侧是粗糙区域，质量为3m的物块乙(视为质点)静止在虚线处，物块甲在乙的左侧获得一个水平向右的初速度v0，甲、乙发生弹性碰撞刚结束时，两者的速度大小相等。已知甲、乙与粗糙区域之间的动摩擦因数均为μ，甲的质量小于乙的质量，重力加速度为g，求：
(1)甲的质量；
(2)乙在粗糙区域滑行的时间。
解析 (1)由于甲的质量小于乙的质量，碰后甲反弹，设甲的质量为M，碰撞过程根据动量守恒定律可得Mv0＝－Mv＋3mv
2.如图所示，小物块A、B的质量均为m＝0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h＝0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为x＝0.30 m，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)两物块在空中运动的时间t；
(2)两物块碰前A的速度v0的大小；
(3)两物块碰撞过程中损失的机械能ΔE。
答案 (1)0.30 s (2)2.0 m/s (3)0.10 J
解析 (1)两物块碰撞后，竖直方向的运动为自由落体运动
解得t＝0.30 s。
(2)设A、B碰后瞬间的速度为v，水平方向的运动为匀速运动，则有x＝vt
解得v＝1.0 m/s
根据动量守恒定律有mv0＝2mv
解得v0＝2.0 m/s。
(3)根据能量守恒定律可得，两物块碰撞过程中损失的机械能
3.(2023·北京卷，17)如图所示，质量为m的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在O点，在O点正下方的光滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B，B距O点的距离等于绳长L。现将A拉至某一高度，由静止释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：
(1)A释放时距桌面的高度H；
(2)碰撞前瞬间绳子的拉力大小F；
(3)碰撞过程中系统损失的机械能ΔE。
4.儿童智力拼装玩具“云霄飞车”的部分轨道简化为如图所示的模型。光滑水平轨道MN与半径为R的竖直光滑圆弧轨道相切于N点，质量为m的小球A静止于P点，小球半径远小于R。与A相同的小球B以速度v0向右运动，A、B碰后粘连在一起。当v0的大小在什么范围时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道？(已知重力加速度为g)
解析 设A、B碰撞后的速度为v1，A、B恰好运动到圆弧轨道最高点时的速度为v2
对A、B，碰撞过程中动量守恒，由动量守恒定律得
mv0＝2mv1
欲使A、B运动时不脱离圆弧轨道，有两种临界情况：
①当v0较小时，A、B恰能运动到与圆弧轨道圆心等高的地方。
对A、B整体，从碰后至运动到与圆弧轨道圆心等高的地方，由动能定理有
②当v0较大时，A、B恰好能够运动到圆弧轨道最高点。对A、B，从碰后至运动到圆弧轨道最高点的过程中，由动能定理有
