二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
【学习目标】1.理解二次根式的概念,并利用(a≥0)的意义解答具体题目.
2. 提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题
【学习过程】
一、复习回顾1、口答:4的平方根是多少?4的算术平方根是多少?
2、填空:的算术平方根是 ;= ;
二、新知探究
(一)概念的形成
1、请同学们预习完成教材中的有关问题,写出这些问题的结果: ;
2、观察上述式子,你有什么发现?
3、您能说说什么样的式子叫二次根式?什么叫二次根号?什么叫被开方数?
4、请指出第一问所列式子的被开方数。
5、你知道在定义中为什么a≥0吗?
特别提示:因为负数没有平方根(算术平方根),所以当a<0,没有意义。
(二)概念的应用
例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:、、、(x>0)、、、、(x≥0,y≥0).
分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.
解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0);不是二次根式的有:、、.
例2.当x是多少时,在实数范围内有意义?
分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,才能有意义.
【学习流程】
①复习回顾:5分钟;②新知探究:15分钟;③巩固练习:10分钟
④拓展应用:10分钟;⑤课堂小结:3分钟;⑥布置作业:2分钟.
三、巩固练习: 教材练习
四、应用拓展: 例3.当x是多少时,+在实数范围内有意义?
分析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0.巩固练习:10分钟
例4已知y=++5,求的值.(变式,求的值)
五、归纳小结:本节课要掌握:
1.形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.
布置作业:
当堂检测:
一、选择题
1.下列式子中,是二次根式的是( )
A.- B. C. D.x
2.下列式子中,不是二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是( )
A.5 B. C. D.以上皆不对
二、填空题:4.当在实数范围内有意义时,x的取值范围是 ;
5.若+有意义,则=_______.
第1课时 二次根式的概念
1.了解二次根式的概念;(重点)
2.理解二次根式有意义的条件;(重点)
3.理解(a≥0)是一个非负数,并会应用(a≥0)的非负性解决实际问题.(难点)
一、情境导入
1.小明准备了一张正方形的纸剪窗花,他算了一下,这张纸的面积是8平方厘米,那么它的边长是多少?
2.已知圆的面积是6π,你能求出该圆的半径吗?
大家在七年级已经学习过数的开方,现在让我们一起来解决这些问题吧!
二、合作探究
探究点一:二次根式的概念
【类型一】 二次根式的识别
(2015·安顺期末)下列各式:①;②;③;④;⑤ ,其中二次根式的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:根据二次根式的概念可直接判断,只有①③满足题意.故选B.
方法总结:判断一个式子是否为二次根式,要看式子是否同时具备两个特征:①含有二次根号“”;②被开方数为非负数.两者缺一不可.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 二次根式有意义的条件
代数式有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥-1且x≠1 B.x≠1
C.x≥1且x≠-1 D.x≥-1
解析:根据题意可知x+1≥0且x-1≠0,解得x≥-1且x≠1.故选A.
方法总结:(1)要使二次根式有意义,必须使被开方数为非负数,而不是所含字母为非负数;(2)若式子中含有多个二次根式,则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数;(3)若式子中含有分母,则字母的取值必须使分母不为零.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点二:利用二次根式的非负性求值
【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值
(1)已知a,b满足+|b-1|=0,求2a-b的值;
(2)已知实数a,b满足a=++3,求a,b的值.
解析:根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可.
解:(1)由题意知得2a=-8,b=1,则2a-b=-9;
(2)由题意知解得b=2.所以a=0+0+3=3.
方法总结:①当几个非负数的和为0时,这几个非负数均为0;②当题目中,同时出现和时(即二次根式下的被开方数互为相反数),则可得a=0.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 与二次根式有关的最值问题
当x=________时,+3的值最小,最小值为________.
解析:由二次根式的非负性知≥0,∴当=0即x=-时,+3的值最小,此时最小值为3.故答案为-,3.
方法总结:对于二次根式≥0(a≥0),可知其有最小值0.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
本节课的内容是在我们已学过的平方根、算术平方根知识的基础上,进一步引入二次根式的概念.教学过程中,应鼓励学生积极参与,并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件