第3章 不等式——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试（含解析）

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第3章 不等式——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知四个数,,,,其中最小的是( )
A.a B.b C.c D.d
2．函数的最小值为( )
A.1 B.3 C.4 D.5
3．已知正数m,n满足,则的最小值为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
4．已知,若恒成立,则实数b的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．已知对一切实数恒成立,则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6．已知a,b,c为实数,下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
7．已知不等式的解集是,则不等式的解集是( )
A. B.或
C. D.或
8．若a,b都是正数,且,则的最小值为( )
A.4 B.6 C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C若,则 D.若,则
10．设正实数a,b满足,则( )
A.的最大值为 B.的最小值为9
C.的最小值为 D.ab的最大值为
11．下列命题中成立的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，，则
D.若，，则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知正数a，b满足，则的最小值为__________.
13．设实数,的最小值为6,则____________.
14．已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数a的取值范围是________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1）已知x，y是正实数，且，求的最小值；
（2）函数的最小值为多少？
16．已知关于x的不等式.
(1)若,求不等式的解集;
(2)解关于x的不等式.
17．如图,某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带,矩形ABCD的面积为,这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形,这两个梯形上下对齐,且中心对称放置,梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为的人行道,且这两个梯形之间也留有的人行道.设.
(1)用x表示绿化带的面积;
(2)求绿化带面积的最大值.
18．如图,已知直线,A是,之间的一定点,并且点A到,的距离分别为,,B是直线上的一动点,作,且使与直线交于点C.设.
(1)写出面积S关于角的函数解析式;
(2)求的最小值.
19．(1)已知,,且,求的最小值;
(2)解关于x的不等式.
参考答案
1．答案：C
解析：易知,所以可得,
即;
再由基本不等式可得,即;
显然,即;
因此可得,即最小的是c.
故选:C
2．答案：B
解析：因为,所以,
所以,
当且仅当即时取“”.
故选:B
3．答案：A
解析：因为,所以,当且仅当时,取得等号.
故选：A.
4．答案：A
解析：因为,所以恒成立等价于恒成立,
又,当且仅当时取等号,
故.
故选：A.
5．答案：D
解析：当时,,成立.
当时,需满足,
所以.
综上,.
故选：D.
6．答案：B
解析：对A：当时,;当时,.故A错误;
对B：因为,所以,故成立.故B正确;
对C：当时,.故C错误;
对D：若,则.故D错误.
故选：B.
7．答案：A
解析：的解集为
且方程的两根为：和
,解得：
即,解得：
的解集为
故选：A.
8．答案：C
解析：因为,又a,b都是正数,且,
所以,
当且仅当,即时等号成立.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于选项A:若,由不等式的基本性质即可得到,故A正确;
对于选项B:令,,则,故B错误;
对于选项C:当时,则,,设函数,
此函数区间上单调递增,故;
当时,则,设函数,
此函数在区间单调递增,故,
当时,则显然成立,故C正确;
对于选项D:若,设函数,此函数在实数域上单调递增,故,故D正确;
故选:ACD
10．答案：BCD
解析：因为a,,且,
对于A：,当且仅当时取等号,
所以,当且仅当时取等号,故A不正确;
对于B：,当且仅当,即、时取等号,故B正确;
对于C：,当且仅当、时取等号,故C正确;
对于D：,当且仅当时取等号,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：BC
解析：对于A，，时，，，不满足，故A错误，
对于B，由于，，故，B正确，
对于C，若，则，
又，故，C正确，
对于D，若，则，
结合，则，故，D错误，
故选：BC
12．答案：12
解析：因为，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为12.
故答案为：12.
13．答案：16
解析：由于,,根据基本不等式
,
当且仅当时,可取到最小值,
即,解得.
故答案为：16.
14．答案：
解析：（1）当时，方程化为：，此时无解，舍去；
（2）当时，考虑方程正实数根情况，
只需研究当时方程解的情况，
即此时方程化为，，
若此时方程有两个不相等的正实数根，
则需
（3）当时，因为，
所以方程化为，
若此时方程有两个不相等的正实数根，
则需
（4）当时，函数与x轴有两个零点
，，
函数与x轴有两个零点，，
因为，所以，即，
作出函数与函数图象，
由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，
从而方程有两个不相等的正实数根，
综上，满足条件a的取值范围为或，即
故答案为：
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为x，y是正实数，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为；
（2）因为，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
16．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)由,
当时,可得解集为.
(2)对应方程的两个根为a,,
当时,原不等式的解集为,
当时,原不等式的解集为或,
当时,原不等式的解集为或,
17．答案：(1),
(2)
解析：(1)因为矩形ABCD的面积为,,所以,
两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形,
则,解得,
则绿化带面积为,;
(2)由(1)知
,
当且仅当,即时等号成立,
所以绿化带面积的最大值为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)根据题可得,在直角三角形中, ,则,同理,
在直角三角形中可得,则在直角三角形中,
即
(2)由(1)得,要求的最小值,即求的最大值,
即当时,的最大值为1,
因此.
19．答案：(1);
(2)答案见解析
解析：(1)因为,所以得,即,
所以.
因为,所以.
当且仅当,即时,即,时,等号成立;
此时;
(2)当时,,解集为,
当时,,
①当时,,解集为;
②当时,,解集为;
③当时,解集为;
④当时,,解集为.
综上所述：时,解集为;时,解集为;时,解集为;时,解集为;时,解集为.
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