第4章 指数与对数——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试（含解析）

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第4章 指数与对数——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．( )
A.16 B. C.32 D.
2．化简·的结果为( )
A. B. C. D.
3．根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为,则下列各数中与最接近的是( )
（参考数据：）
A. B. C. D.
4．已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为,其中m是正常数,若经过时间,该物质的能量由减少到,则再经过时间,该物质的能量为( )
A. B. C. D.
5．已知函数是偶函数,则( )
A. B. C.0 D.1
6．已知函数,若,则( )
A.4046 B.2026 C. D.
7．已知,,,则( )
A. B. C. D.
8．已知，.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列表达式中不正确的是( )
A. B.
C. D.
10．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家经过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放的能量（单位:焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为,则下列说法正确的是( )
A.地震释放的能量为焦耳时,地震里氏震级为七级
B.八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍
C.八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍
D.记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则
11．若,则( )
A.的最小值是 B.的最小值是
C.的最大值是 D.的最大值是
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知，，则__________.
13．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是小时________.
14．已知,,,则_______________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．若,,则____________.
16．已知函数
（1）若函数为奇函数,求实数k的值;
（2）对于给定的常数,是否存在实数m,使得函数的图象关于直线对称,如果存在,求出m的值,如果不存在,说明理由;
（3）当时,比较与的大小,并给出证明.
17．已知函数（且）,,.
（1）求a,b的值;
（2）若函数,求的值.
18．计算：
(1);
(2).
19．计算:
（1）;
（2）若,,求的值.
参考答案
1．答案：A
解析：由.
故选:A
2．答案：A
解析：由题意,可知,
.
故选：A.
3．答案：D
解析：设 ,两边取对数,
,
所以,即最接近,
故选：D.
4．答案：C
解析：设的能量为,则,又经过时间,该物质的能量由减少到,
所以,所以,
则再经过时间时,该物质的能量为.
故选:C.
5．答案：D
解析：由题意可得,
即,
整理得,恒成立,
即,
易得：,
故选：D.
6．答案：A
解析：,
令,定义域为R
则,
,
,
即
.
故选：A.
7．答案：B
解析：幂函数在上单调递增, .
对数函数在上单调递增, ,
.
故选：B.
8．答案：D
解析：由题意可得，，
因为，，
所以两边取对数整理可得，，所以
又，，，
且，
即，
所以，，所以.
故选：D.
9．答案：CD
解析：，故A正确，
，故B正确，
，故C错误，
当时，无意义，故D错误.
故选:CD.
10．答案：ACD
解析：
11．答案：B
解析：若,则,,,即.
对于A,,当且仅当,
即,时,等号成立,可得,故A错误;
对于B,由,可得,
所以,
当且仅当,即,时,等号成立,故B正确;
对于C,由,可得,
所以,
当且仅当,时,等号成立,故C错误;
对于D,由,可得,可知,
故,
因为,故,,,故D错误.
故选:B
12．答案：
解析：由题意可知，
由，
可得，
则，，则，
故,
故答案为:
13．答案：24
解析：由已知得①，②，
将①代入②得，则.
当时，，
所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时，
故答案为：24
14．答案：
解析：因为,,,
所以,,
所以,
所以.
故答案为：.
15．答案：8
解析：依题意,,所以.
故答案为：8.
16．答案：（1）
（2）存在,
（3）相等,证明见解析
解析：（1）因为为奇函数,
所以,
故,
所以,
因此,
（2）存在.
假设函数的图象关于直线对称,
则函数为偶函数,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,,
因此当时,使得函数的图象关于直线对称;
（3）
.
17．答案：（1）,
（2）2
解析：（1）由题意得,,,所以,
（2）由（1）知,,
则
所以,则
所以,
故.
18．答案：(1)4
(2)
解析：(1)由换底公式可得,;
(2)原式
.
19．答案：（1）19
（2）6
解析：（1）原式
.
（2）原式
,
因为,,所以原式.
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