第5章 函数概念与性质——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试（含解析）

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第5章 函数概念与性质——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．函数的单调增区间是( )
A. B. C. D.
2．中文“函数”一词,最早是由近代数学家李善兰翻译出来的,之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”.已知集合,,给出下列四个对应法则,请由函数定义判断,其中能构成从集合M到集合N的函数的是( )
A. B. C. D.
3．已知函数满足对任意的,,恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知函数满足,,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
5．已知函数是偶函数，则实数( )
A. B.0 C.2 D.4
6．已知函数为偶函数，则( )
A. B. C. D.
7．已知是奇函数，则( )
A. B.0 C.1 D.2
8．已知函数，则( )
A.为奇函数 B.为偶函数
C.为奇函数 D.为偶函数
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中,既是奇函数又是增函数的是( )
A. B.
C. D.
10．已知函数的定义域为R,在上单调递减,,且是奇函数,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.不等式的解集是
D.不等式的解集是
11．设是R上的奇函数,且对都有,当时,,则下列说法正确的是( )
A.的最大值是1,最小值是0 B.当时,
C.点是函数的对称中心 D.在区间上是增函数
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若,分别为奇函数、偶函数,,且,则________.
13．已知函数的定义域为R,为奇函数,当时,,则_______________.
14．已知是定义在上的奇函数,当时,的图象如图所示,则不等式的解集为____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数的定义域为R,且对任意,都有,且当时,恒成立.
(1)证明函数是R上的减函数;
(2)若,求x的取值范围.
16．设函数,.
(1)解方程：;
(2)令,求的值
(3)若是实数集R上的奇函数,且对任意实数x恒成立,求实数k的取值范围.
17．已知函数（,,）是定义在上的奇函数.
（1）求和实数b的值;
（2）当时,若满足,求实数t的取值范围;
（3）若,问是否存在实数m,使得对定义域内的一切t,都有恒成立
18．已知定义域为R的函数为奇函数,且满足,当时,,求.
19．已知指数函数的图象过点,为奇函数.
(1)求的解析式;
(2)判断的单调性,并用定义法证明;
(3)若不等式对任意的恒成立,求k的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：,故单调增区间是.
故选：C.
2．答案：C
解析：A选项,当时,,故A错误;
B选项,当时,,故B错误;
C选项,当时,,当时,,当时,,故满足要求,
正确;D选项,当时,,D错误,
故选:C.
3．答案：A
解析：因为,且,
不妨设,则,,
所以在定义域上单调递减,
当时,在区间上单调递减,所以,
当时,,,为减函数,
又,解得,
综上：
故选：A.
4．答案：A
解析：令得;
令,得,所以;
令,得,所以;
令,得,所以;
令,得.
综上只有A正确.
故选:A
5．答案：B
解析：对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为，且，
因为函数为偶函数，则，即，
可得对任意的恒成立，则.
故选：B.
6．答案：A
解析：因为函数为偶函数，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以且，
则.
故选：A.
7．答案：C
解析：是奇函数，
由得，
所以恒成立，则，解得.
故选：C
8．答案：D
解析：，则，即故A错误；
，故C错误；
，，则，故B错误；
，，则，故D正确.
故选择：D.
9．答案：AD
解析：对于A,易知其定义域为R,满足奇函数定义,且为增函数,即A正确;
对于B,易知其定义域为R,满足偶函数定义,不符合题意,B错误;
对于C,易知其定义域为,关于原点对称,
但它在和上单调递减,C错误;
对于D,显然的定义域为R,且满足,为奇函数,
当时,在上单调递增,
由奇函数性质可知函数在定义域内单调递增,即D正确.
故选：AD.
10．答案：BCD
解析：因为函数是由函数向左平移1个单位得到的,
而是奇函数,所以函数关于对称,
且,,故B正确;
所以,故A错误;
又因为函数在上单调递减,
所以函数在R上是减函数,
则不等式,即为,所以,
所以不等式的解集是,故C正确;
又,则当时,,当时,,
因为,
所以或,解得或,
所以不等式的解集是,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：BD
解析：因为是R上的奇函数,所以,
又对都有,所以的图象关于对称,
因为,即,所以,
所以是周期为4的周期函数,
又当时,单调递增,所以在上单调递增,
则在上单调递增,由的图象关于对称,
得在上单调递增,所以在上的最大值是,
最小值是,故A错误;
当时,,则,故B正确;
由对都有,得的图象关于对称,故C错误;
由在上单调递增,且周期为4,则在区间上是增函数,故D正确;
故选:BD
12．答案：4
解析：依题意得,又,解得,,
所以.
故答案为:4
13．答案：
解析：由题意可得,所以,
所以,所以,
又,所以,所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：观察图象知,奇函数在上单调递增,则在上单调递增,且,
不等式,当时,不等式成立;
当时,,解得;
当时,,解得,
所以不等式的解集为.
故答案为：.
15．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)设,则,
当时,恒成立,则,
,即
函数是R上的减函数.
(2)易知,则,,
所以,解得或
故x的取值范围是.
16．答案：(1)
(2)9
(3)
解析：(1)因为,,,
所以,即,即,
解得,或（舍）,所以.
(2)由,
则,
故.
(3)由题知
因为是实数集R上的奇函数,所以,所以,解得,
所以,又因为,所以,即
解得.
即,经检验是实数集R上的奇函数,
所以,在实数集R上单调递增.
由得,
又因为是实数集上的奇函数,所以,
又因为在实数集上单调递增,所以,
即对任意的都成立,
即对任意的都成立,
因为,当且仅当时取等号,
所以.
17．答案：（1）,
（2）
（3）存在
解析：（1）依题意,,
又是上的奇函数,则,即,
亦即,整理得,于是,而,
所以.
（2）由（1）知,,
显然函数在上单调递减,
由奇函数性质及,得,
当时,函数在上单调递增,则在上单调递减,
不等式化为,解得,
（3）假定存在实数m,对定义域内的一切t,都有恒成立,
即恒成立,
当时,由（2）知函数在上单调递增,
不等式化为,整理得,
于是有对任意恒成立,则,
当时,,,因此;
有对任意恒成立,设,
①当时,函数的图象开口向上,对称轴,
（i）当,即时,必有,则;
（ii）当,即时,在上恒成立,则;
（iii）当,即时,在上恒成立,则;
②当时,,不满足在上恒成立,
综上得且,
所以存在使得对定义域内的一切t,都有恒成立.
18．答案：
解析：因为,所以,
所以的周期为4,
所以
,
因为函数为奇函数,
所以,
因为,所以,
所以.
19．答案：(1)
(2)函数是增函数,证明见解析
(3)
解析：(1)设且,
由,解得,
所以,
则,
因为为奇函数,
所以,即,解得,
经检验,符合题意,
所以;
(2)函数是增函数,证明如下：
令,
则
,
因为,所以,
所以,即,
所以函数是增函数;
(3),
即为,
因为函数是增函数,
所以,即,
令,,
则对于任意的恒成立,
所以,解得,
所以k的取值范围为.
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