第6章 幂函数、指数函数和对数函数——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试（含解析）

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第6章 幂函数、指数函数和对数函数——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
2．函数的图象一定经过点( )
A. B.
C. D.
3．已知函数,则在上的最大值为( )
A. B. C.0 D.1
4．已知是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．若函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．若且，已知是R上的单调函数，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7．函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
8．若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中,为幂函数的是( )
A. B. C. D.
10．已知函数且在上单调递减,则a的值可能为( )
A.2 B. C. D.
11．为得到函数的图像，可将函数的图像( )
A.向上平移一个单位长度
B.向下平移一个单位长度
C.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍
D.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．函数（且）图象恒过定点A,则点A的坐标为___________.
13．如图是对数函数的图像,已知a取,,,,则相应于,,,的a值依次为________.
14．已知幂函数在上单调递增，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数（且）的图象过点.
（1）求函数的解析式;
（2）解不等式.
16．已知函数为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)求不等式的解集.
17．已知函数为奇函数.
（1）求a的值;
（2）若,求不等式的解集.
18．已知函数是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)求的最小值;
(3)若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.
19．已知定义在R上的函数是偶函数.
(1)求a的值；
(2)当时，函数的最小值为-2，求的值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为与均在定义域上单调递增,
所以在上单调递增,
又,
,,
,
又,
函数的零点所在区间是.
故选:B.
2．答案：A
解析：令,则,
则,
所以函数的图象一定过点.
故选:A.
3．答案：C
解析：,令,则,
则,,
,且,则
因,则,则,
又,则,即,
则在上单调递增,
则的最大值为.
故选:C
4．答案：C
解析：因为是R上的单调递减函数,
所以,解得.
故选：C.
5．答案：C
解析：设,
则要使在区间上单调递增,
由复合函数单调性可得：
满足,即,
得a,
即实数a的取值范围是,
故选：C.
6．答案：B
解析：因为在R上单调，
且当时，单调递增，
∴在R上单调递增，
则需满足，
解得，
即a的取值范围是，
故选：B.
7．答案：B
解析：由,得,即,解得.
所以函数的定义域为,
又的对称轴为,开口向下,
所以在上单调递增,在上单调递减,
又在上单调递增,
故由复合函数的单调性可得的单调递增区间是.
故选：B.
8．答案：A
解析：是由，复合而成，
由题意知：，在区间上单调递增，
若函数（其中且）在区间上单调递减，
所以单调递减，可得：，
又对于恒成立，
所以，解得：，
综上所述：.
故选：A
9．答案：AC
解析：
10．答案：BC
解析：由于函数且在上单调递减,设,
当时,关于t在定义域内单调递增,则
在上单调递减,且在上恒成立,
即,解得,综上可知.
当时,关于t在定义域内单调递减,则在上
单调递增,即,解得,与矛盾,因此这种情况不成立.
由此可知,因此和符合题意.
故选：BC.
11．答案：AD
解析：由题意可得，函数的图像纵坐标不变，
横坐标缩短为原来的，可得到函数的图像，
故选项C错误，选项D正确.
∵，
∴将函数的图像向上平移一个单位长度可得到函数的图像，
故选项A正确，选项B错误.
故选：AD.
12．答案：
解析：由对数函数的性质,令可知.
所以（且）图象恒过定点,
故答案为：.
13．答案：,,,
解析：,的底数都大于1,当时底数大的图低(第一象限内),
所以,对应的a值分别为,,
,的底数都大于0小于1,当时底数大的图低(第四象限内),
所以,对应的a值分别为,,
综合以上解题思路,可得,,,对应的a值依次为,,,.
故答案为:,,,.
14．答案：8
解析：因为为幂函数，
所以，得，
，解得或，
因为幂函数在上单调递增，
所以，得，所以，
所以，所以.
故答案为：8
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为函数（且）的图象过点.
,所以,即;
（2）因为单调递增,所以,
即不等式的解集是.
16．答案：(1)2
(2)或
解析：(1)因为为R上的奇函数,则,
即,整理可得,可得,
此时,经检验符合题意;
(2)由(1)可得,则在R上的单调递增.
证明如下：设,,且,
则,
因为,根据指数函数的性质可得,则,,,
所以,即,
所以在R上的单调递增,
因为为奇函数,
不等式化为,
又因为在R上的单调递增,所以,解得或,
所以不等式的解集为或
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由为奇函数,得,
代入计算可得.
（2）由（1）可得,,令,
由在上单调递减,在上单调递减,
所以在上单调递增,
又在上也单调递增,
所以在上单调递增,
由的定义域为得,,
所以的定义域为,
又,则,
则可转化为,
因为在上单调递增,
所以,解得,即不等式的解集为.
18．答案：(1)
(2)1
(3)
解析：(1)函数的定义域为R,
因为为偶函数,所以,
即,解得,
此时函数的定义域为R,
且,
所以为偶函数,符合题意,
所以;
(2)由(1)可得,
因为,,所以,当且仅当,即时等号成立;
所以,
即的最小值为1,当时取得最小值;
(3)由(1)可得,
则,
由不等式对任意恒成立,
即不等式对任意恒成立,
令,则,
所以不等式对任意恒成立,
所以对任意恒成立,
因为函数在上单调递增,
所以当时取得最小值,
所以,即实数m的取值范围为.
19．答案：(1)；
(2)
解析：(1)是偶函数，，
即，
即，；
(2)由(1)可知，，
，
令，由，
可得，
上述函数转化为，
当时，在上单调递增，
当时，，，满足题意；
当时，在上单调递减，
当时，，不合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，显然不合题意，
综上所述：
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