2024-2025学年八年级数学下册第一次月考测试卷（考试范围：第16~17章）--人教版（含解析）

2024-2025学年八年级数学下册第一次月考测试卷（考试范围：第16~17章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若，化简的结果是（ ）
A． B．5 C． D．
2．如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
3．已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知为等腰直角三角形，则，，三者的关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）．
A． B． C． D．
6．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　）
A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是
7．如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（　　）

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
8．如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得，，，米，米，则的长为（ ）
A．50 B．40 C． D．
9．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　）
①只存在一组和使得；
②只存在两组和使得；
③不存在和使得；
④若只存在三组和使得，则的值为49或64
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，以Rt△ABC各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图所示依次叠在③上，已知四边形EMNC与四边形MPQN的面积分别为9与7，则斜边BC的长为（　　）
A．5 B．9 C．10 D．16
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知、满足，则 ．
12．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米．
13．若，那么的值为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是 ．
15．已知，则的值是 ．
16．如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
(3)先化简，再求值：，其中．
18．（6分）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：
设，求不超过的最大整数是多少？
19．（6分）平面直角坐标系中，已知点是第一象限角平分线上的点，点，，点，，且．
(1)以下两个结论：①是一个定值；②是一个定值．其中有且只有一个结论正确，请选出来，并求出这个定值．
(2)求四边形的面积．
20．（8分）小明家正在装修，电视背景墙是矩形，其中，，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．

(1)矩形的面积是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布的造价为8元，大理石的造价为150元，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
21．（8分）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)请求出喷泉B到小路的最短距离．
22．（9分）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算： ；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
23．（9分）探究一：如图，均为正方形．
问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________；
（）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形．
探究二：图形变化：
（）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由；
（）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由．
24．（10分）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．

【知识运用】
（2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）；
（3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长．
（4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　．
25．（10分）我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为
（1）在中，若，，求的值．
（2）如图2，在中，，，求，的值．
（3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长．
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，整式的加减．根据二次根式有意义的条件求得，推出，，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案．
【详解】解：∵在，，，，
∴，
设，则，
由折叠可知，
在中，，
∴，
∴，
∴．
∴．
故选：A
3．C
【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故选C．
4．C
【分析】过点C作，使，连接，，证明，进而得出，，再得出是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可得解．
【详解】解：如图，过点C作，使，连接，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
故选C．
5．C
【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：
故选：C．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．
6．C
【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．
【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数，
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
7．B
【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足，则，即为直角三角形，解出的长满足，进而得出点F的位置．
【详解】解：由题意可得，．
∵以为边能构成一个直角三角形，且
∴，
即，
解得，
∴F点的位置如图所示，共2处．

故选：B．
8．A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，等腰三角形的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键，如图，过作于，过作于，求解，，，，延长交于，则，由勾股定理可得：，可得：，，同理可得：，可得：，，，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，过作于，过作于，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
延长交于，则，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
解得：，
∴，，
∴．
故选：A
9．C
【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案．
【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式，
，
，
当时，
故该选项①正确；
②，
当，则
当则．
故选项②正确；
③，
当时，
，所以不存在，
故该选项③正确；
④，
，
当时，，
，
，
有无数和满足等式，故该选项④错误．
故选：C．
10．C
【分析】设等边三角形△EBC，△ABD，△ACF的面积分别是S3，S2，S1，AC=b，BC=a，AB=c，根据勾股定理得到c2+b2=a2，根据等式的性质得到c2+b2=a2．根据等边三角形的面积公式得到S3=a2，S2=c2，S1=b2，根据已知条件列方程即可得到结论．
【详解】解：如图，设等边三角形△EBC，△ABD，△ACF的面积分别是S3，S2，S1，AC=b，BC=a，AB=c，
∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90度，
∴c2+b2=a2，
∴c2+b2=a2．
∵S3=a2，S2=c2，S1=b2，
∴S3﹣S2=（a2﹣c2）=b2=9，S3﹣S1=a2﹣b2=（a2﹣b2）=c2=+=，
∴b=6，c=8，
即AB=8，AC=6，
∴BC===10，
故选：C．
二．填空题
11．或34
【分析】本题考查二次根式有意义的条件；根据被开方数大于等于0列式不等式，求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：依题意，得：，
解得：；
当时，
；
∴；
当时，
；
∴；
∴的值为或34，
故答案为：或34．
12．
【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：把圆柱侧面展开，如图，则分米，分米，
由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，
由勾股定理得，分米，
∴需要走的最短路程是分米，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式将变形为，再代入的值进行运算求值即可得．
【详解】解： ，
故答案为：．
14．4或3
【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴AP=A′P，
∴∠PAA′=∠AA′P，
∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，
∴∠PCA′=∠PA′C，
∴PC=PA′，
∴PC=AC=4，
如图2，当∠ACA′=90°时，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．
∴AB=10，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴A′B=AB=10，PA=PA′，
∴A′C=4，
设PC=x，
∴AP=8-x，
∵A′C2+PC2=PA′2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴PC=3，
综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，
故答案为：4或3．
15．9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：9．
16．直角三角形
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为、；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
把绕点逆时针旋转，得，这样就集中成一个与 相等的角，在一条直线上的、、集中为，只需判定的形状即可．
【详解】解：如图：把绕点逆时针旋转，得，
则，
，
又，
∴，
，
又，
，
∴以、、为边长的三角形的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
三．解答题
17．（1）解：当时，
原式
原式
，
小亮错误，
故答案：小亮．
（2）解：由题意得
；
故答案：．
（3）解：当时，
原式
原式
．
18．（1）解：① ；
② ；
③ ，
故．
（2）解：①
；
②
；
③
，
，……
，
故．
故不超过的最大整数是2023．
19．（1）结论①正确，理由如下：
点是第一象限角平分线上的点，
，
解得：，
，，
即点P的坐标为，
点，，点，，且．
连接，
，
在中
，
，
，
即，化简得
，
所以结论①正确，且定值为14；
取，，满足，此时，
若取，，同样满足，但此时，也不是定值．
因此，结论②错误．
（2）解：点，，点，，且．
，，
，
点P到x轴距离为7，到y轴距离为7，
，
，
四边形的面积：，
，
，，
，，
．
20．（1）解：，，
∴矩形的面积为．
答：矩形的面积是．
（2）解：大理石的面积为，
壁布的面积为，
则整个电视墙的总费用为（元）．
答：整个电视墙需要花费元．
21．（1）解：由题意可得，，
在中，，
∴，
，
在，，
∴，
，
即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为；
（2）解：在中，，
，
∴是直角三角形，，
，
∴喷泉B到小路的最短距离为．
22．（1）原式
，
（2）∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
23．解：（）由题意得，，
∴，
故答案为：；
（）∵的面积为，的面积为，同时的面积为，
∴，，，
∵，
∴是直角三角形，
故答案为：直角；
（），理由如下：
设直角三角形的三边分别为 ，
则，，，
∵，
∴；
（）由图②可得，．
24．（1）证明：根据题意，，，，，
则，
四边形的面积，
，
，
；
（2）解：如图2所示，连接，过点作于点，
，，
，
四边形是矩形，
千米，千米，
千米，
（千米），
由勾股定理得：（千米），
则两个村庄之间的距离为25千米．
故答案为：25；
（3）解：如图3所示，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所求；

连接，，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
在（2）的背景下，则千米，千米，千米，
千米，
，
千米．
即的长为6.3125千米；
（4）解：如图4，，
设，则，
先作出点关于的对称点，连接，过点作于点，

则，
当点三点共线时，有最小值，
由轴对称可得：，
的最小值为，
即：就是代数式的最小值．
代数式的最小值为．
故答案为：20．
25．解：(1)已知如图:AO为BC上的中线,
在Rt中,
AO2-OC2=AC2
因为
所以AO2-OC2=81
所以AC2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC的中点D,连接AO,
∵AB=AC,
∴AO⊥BC,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=30°,
在Rt△AOB中,AB=12,∠ABC=30°,
∴AO=6,OB==,
∴ABAC=AO2﹣BO2=36﹣108=﹣72,
②取AC的中点D,连接BD,
∴AD=CD=AC=6,过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E,
在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,
∴∠ABE=30°,
∵AB=12,
∴AE=6,BE=,
∴DE=AD+AE=12,
在Rt△BED中,根据勾股定理得,BD=
∴BABC=BD2﹣CD2=216;
(3)作BD⊥CD,
因为,,
所以BD=2,
因为,是边上的中线,
所以AO2-OC2=-64,
所以OC2-AO2=64,
因为AC2=82=64,
所以OC2-AO2= AC2
所以∠OAC=90°
所以OA=
所以OC=
所以BC=2OC=2,
在Rt△BCD中,
CD=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=