2024-2025学年八年级数学下册期中测试卷【考试范围：第16~18章】--人教版（含解析）

2024-2025学年八年级数学下册期中测试卷【考试范围：第16~18章】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．要把中根号外的因式移入根号内，下面式子正确的是 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
8．已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形，对角线，，过点作于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（ ）
A． B．5 C． D．6
10．图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理，如图，连结，，，记四边形与正方形的面积分别为，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知，，则的值为 ．
12．如图，点为数轴的原点，点和分别对应的实数是1和2．过点作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数是 ．
13．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝ ．
15．如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且．
（1）则的长是 ；
（2）若，且，则 ．
16．如图，在长方形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，若点A的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：
(1) (2)
18．（6分）如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米．
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值．
19．（6分）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，．
(1)求证：是矩形；
(2)若点E为的中点，求的度数．
20．（8分）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如：，
再如：，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且为正整数，求的值．
21．（8分）如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到地面的距离，点到的距离于，，，求点A地面的距离的长为多少米？
22．（10分）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．

(1)证明：线段能组成直角三角形；
(2)当是边上的中点时，判断：的位置关系．
23．（10分）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律：
①化简：______；
②若（a，b均为正整数），则的值为______．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(2)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
25．（12分）在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且．
(1)如图1，若四边形是正方形．
①求的度数；
②探究与的数量关系并说明理由．
(2)如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由.
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的计算法则是解答本题的关键．
根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意；
B． ，故选项B错误，不符合题意；
C． ，故选项C错误，不符合题意；
D． ，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得，，，再由勾股定理求出，即可得解．
【详解】解：由题意可得：，，，
∵，
∴，
∴点表示的数为，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等，平行四边形的对角相等是解本题的关键．根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：．
4．D
【分析】根据非负数才能移入根号内或根号外，变成非负数后，变形化简即可．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握根式的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故
，
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
，
故选：．
6．A
【分析】过点E作于点P，证明四边形和四边形为矩形，得出，，根据证明，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可．
【详解】解：过点E作于点P，
在矩形中
，，
∴四边形和四边形为矩形，
又，，
∴，，
∵G是的中点，
∴，
又∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
令，则，
又∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴
解得．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了二次根式的应用，设，，，则，再根据计算即可得出答案．
【详解】解：设，，，
∴，
∴，
故选：D．
8．B
【分析】作，垂足为，设与相交于点，根据菱形的判定与性质可知，最后利用菱形面积的两种表示方法即可解答．
【详解】解：作，垂足为，设与相交于点，
∵两张等宽的纸条，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
答：的长是；
故选．
9．A
【分析】延长到点F，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，，于是就变成了，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，过点F作于点G，求即可．
此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．
【详解】解：延长到点F，使得，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
连接，
∴，，
∴就变成了，
根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，
过点F作于点G，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10．D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而证明，设，则，，分别表示出，，然后作比值求解即可．
【详解】解：过点作于点，
，四边形是正方形，
，四边形是矩形，
，
四边形，四边形，四边形都是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
设，
则，，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
四边形的面积，
正方形的面积为：，
，
故选：D．
二．填空题
11．8
【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
，
当，，原式，
故答案为：8．
12．
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，，再由勾股定理求出，则，然后求出，即可得出结论．
【详解】解：点和分别对应的实数是1和2，
，，
由题意可知，，，
，
，
，
，
，
即点对应的实数是，
故答案为：．
13．②（或③，或④）
【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质．
若添加添加①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证．
【详解】解：若添加添加①，无法证明四边形是平行四边形．
若添加条件②，可得四边形是平行四边形．
理由如下：
连接，交于点O
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
若添加条件③，可得四边形是平行四边形．
理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形．
若添加条件④，可得四边形是平行四边形．
理由如下：
连接，交于点O
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
综上所述，添加的条件可以是②或③或④．
故答案为：②（或③，或④）
14．45°
【分析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,证明为等腰直角三角形，从而可得答案．
【详解】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．
由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．
∴AE2＝AP2+PE2．
∴△APE是等腰直角三角形．
∴∠PAE＝45
∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．
15． 10 6
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，可证，所以，即可得解；
（2）由条件易证 ，得到，所以，即可求解．
【详解】解：（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在中，，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
故答案为：6．
16．
【分析】由矩形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，由折叠的性质得到：，由勾股定理求出，由矩形的性质得到，求出，令，由勾股定理得到，求出，即可得到的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，
∵垂直平分，
∴垂直平分，
，
由折叠的性质得到：，
，
，
四边形是矩形，
，
，
令，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：如图1，
根据题意得：，
设，则，
，
解得，
即的长为475米；
（2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P．
则，
，
的最小值为，
如图，作于点E，
在中，
米，米，
米，
的最小值为1000米．
19．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
20．（1）解：；
故答案为：
（2）；
故答案为：
（3）∵
∴，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴k的值为：或．
21．解：由题知：，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
，
答：点A地面的距离的长为2.5米．
22．（1）证明：∵，，
∴，
∴线段能组成直角三角形；
（2）解：．
理由：延长，使得，连接，

∵是边上的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
23．（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：，
故答案为：；
（2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：，
故答案为：；
（3）解：，
等式左边等式右边；
（4）①解：
．
② ，
，
，
．
24．（1）解：如图，∵四边形为矩形，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵动点的速度为每秒个单位长度，
∴（秒）．
（2）解：如图，四边形是矩形；
理由如下：由（1）可知，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（3）解：如图，点M在点N右侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒），
如图，点M在点N左侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴（秒），
综上所述：线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒．
25．（1）解：①如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，理由如下：
如图2，在上取一点N，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图3，过点D作于E，连接，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
由（1）同理得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．