2024-2025学年八年级下册第一次月考数学试卷（考试范围：第16~17章）--人教版（含解析）

2024-2025学年八年级下册第一次月考数学试卷（考试范围：第16~17章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
2．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（ ）

A． B． C． D．
3．估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间
C．2和3之间 D．3和4之间
4．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，7 C．5，12，13 D．6，8，10
5．若，把化成最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽 B．小丽和小红
C．小红和小亮 D．小丽和小亮
8．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
9．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则
；
．
下列选项中正确的有（ ）个．
①若a是的小数部分，则的值为；
②若（其中b、c为有理数），则；
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．9
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若，求的值是 ．
12．如图，根据图中标注在点所表示的数为 ．

13．幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ．
A B
5 C
10 D
14．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是 ．
15．有如下一串二次根式： ； ； ； ，仿照，写出第个二次根式 ．
16．如图，在中．点是边上的一点．连接并延长到点，使得．若，，，则的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．(6分)计算：
(1)
(2)
18．(6分)如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度．
19．(6分)定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．
(1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________；
(2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值．
20．(8分)如图1，这是某超市的儿童玩具购物车，图2是它的简化平面示意图，测得支架，，两轮中心之间的距离．
(1)求点到的距离；
(2)如图2，小康建立适当的平面直角坐标系，使得所在的直线为轴，点在轴上，请求，，三点的坐标．
21．(8分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形，
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、
22．(9分)数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
(1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．
①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ；
②据此写出的最小值是 ；
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ；
(3)【感悟探索】
①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值；
②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ．
23．(9分)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①
②
③．
24．（10分）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
25．(10分)如图，中，，，，若动点M从点C出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)当t＝ 时，平分；
(2)求t为何值时，为等腰三角形？
(3)另有一点N，从点C开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线把的周长分成相等的两部分？
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了二次根式有意义及分式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；要使分式有意义，分母不为，据此即可求解，掌握二次根式有意义及分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：若式子在实数范围内有意义，
则且，
∴且，
故选：．
2．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．根据正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方，即可解答．
【详解】解：由图形可知，正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方，
，
正方形、的面积分别为、，
最大正方形的面积，
故选：B．
3．A
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算．熟练掌握二次根式乘法法则，“夹逼法”估算是解题的关键．
先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的值在0和1之间．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵，∴能够成直角三角形，故本不选项符合题意．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握，根据二次根式有意义的条件得到，而，则，再进行化简．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了勾股定理．过点A作于点E，根据勾股定理可得：，进而得出，即可解答．
【详解】解：过点A作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴根据勾股定理可得：，
即，
∴，
∵，
根据勾股定理可得：，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴小明没有出现错误；
∵，
∴小丽出现错误；
∵，
∴小红出现错误；
∵，
∴小亮没有出现错误，
故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红，
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查了勾股定理在实际情况中应用，正确挖掘隐含条件是解题的关键．
通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长即可．
【详解】解：如图：
由题意可知：
∵，
∴，即，
∴，
∴这个风车的外围周长是．
故选：B．
9．D
【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③．
【详解】解：由题意得：，
∵，是的小数部分，
∴，则，故①正确；
∵，
∴，
即
∴，即，
∵b、c为有理数
∴，解得，
∴，故②正确；
∵
，
∴
，故③正确，
故正确的有①②③，共3个，
故选：D．
10．D
【分析】延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则，然后证明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则，即可证明，推出；设，证明△ABG≌△ACK，得到，，即可推出∠ECK=∠K，得到EK=EC，则，由此即可得到答案．
【详解】解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，
∵在三角形，，，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵BF=FE，
∴∠FBE=∠FEB，
设∠BFE=x，则，
∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，
∴AH⊥BC，
∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，
∴CB=FC=FE，
∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，
∴△ABG≌△ACK（SAS），
，，
∴，
∴∠ECK=∠K，
∴EK=EC，
∵，
∴，
∴，
故选D．
二．填空题
11．2
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入中即可解答．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
则，
∴，
故答案为：2．
12．
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，利用勾股定理结合两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：由图和勾股定理，得：到的距离为：，
∴点所表示的数为；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可．
【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为，
根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得，
，解得，
，解得，
，解得，
，解得，
，
故答案为：．
14.114
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴绿地的面积；
故答案为：114．
15．
【分析】本题考查了数字类变化规律，根据已知二次根式找到变化规律即可求解，由已知二次根式找到变化规律是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
∴第个二次根式为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作于，过点作于，由可得，，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，再根据三角形的面积可得，然后证明，得到，最后利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作于，过点作于，则，
∵，
∴，，
即，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：
（2）
18．解：由题意可知：，，
∴，
设，则，
∵，
∴，即，解得：．
答：钟摆的长度．
19．（1）解：根据题意可得，
解得，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，
所以
解得
即m的值为．
20．（1）解：因为，所以，
所以，
所以是直角三角形，．
设点到的距离为，
因为，所以
所以点到的距离为．
（2）因为，
所以 ，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
21．（1）解：如图1所示：正方形即为所求；
（2）解：如图2所示：三角形即为所求．
22．（1）解：①在中，，
在中，，
故答案为：，；
②连接，
由①得，
而（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形，
∴，，
在中，，
∴的最小值为5，
即的最小值是5；
故答案为：5；
（2）解：如图，
设，，，，则，
在中，，
在中，；
∴，
而（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作交的延长线于H，易得四边形为长方形，
∴，，
∴，
在中，，
∴的最小值为20，
即的最小值为20．
故答案为：20；
（3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下：
则，，，，
∴，
利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号），
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为；
②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图，
∴，，，，，
∴，
，
，
∴以，，为边的三角形的面积，
∵
，
∴以，，为边的三角形的面积为，
故答案为：．
23．（1）设（其中a、b、m、n均为整数），
则有，；
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∵a、m、n均为正整数，
∴，或，，
当，时，；
当，时，；
即a的值为12或28；
（3）①
②
③设，
则
，
∴．
24．解：（1）如图，连接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝＝＝5（dm），
即线段BG的长度为5dm；
（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为＝
②把ABEF展开，如图
此时的总路程为＝＝
③如图所示，把BCFGF展开，
此时的总路程为＝
由于＜，所以第三种方案路程更短，最短路程为．
25．（1）解：过点M作于D，
则，
平分，
，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，
在中， ，
解得：，
，
即当t为3时，平分；
（2）解:①当点M在上，如图，时，，
则；
②当点M在上，时，过点C作于D，
，
，
在中，，
，为边上的高，
，
，
，
则，
当时，，
，
，
当时，
，，
，
，
，
③当点M在边上时，不能构成三角形；
综上所述，当或或12或13时，为等腰三角形；
（3）解：分两种情况：
①M、N相遇前，当M点在上，N在上，如图所示：
则，
；
②在M、N相遇后，当M点在上，N在上，如图所示：
则，
；
为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分．
故答案为：4或12．