2024-2025学年八年级下册期中数学试卷（考试范围：第16~18章）--人教版（含解析）

2024-2025学年八年级下册期中数学试卷（考试范围：第16~18章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．估计的值应在（ ）
A．18到19之间 B．19到20之间
C．20到21之间 D．21到22之间
2．如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点和点重合于点，则的长是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
4．如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使C点落在的位置，若，则的长为　(　　)

A． B．2 C．4 D．3
5．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是( )
A．6 B． C． D．
6．如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，两个大小相同的正方形，如图放置，点，分别在边，上，若要求出阴影部分的周长，只要知道下列哪条线段的长度即可（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，若，则下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④若，，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图在中，，，点C关于AD的对称点为E，连接交于点，点为的中点，．则的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．9
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ．
12．如图，点E、F分别是菱形的边、上的点，且，，则 ．

13．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ．
14．如图，菱形中，，点在对角线上，将沿翻折，得到，当 时，、、三点共线．
15．如图，在中，，，，M是的中点，N是上任意一点，以为对称轴折叠，得到，点A的对应点为点D（点B，N，D在的同一侧）．
（1）当时， ；
（2）当时，的长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）阅读下列解题过程： ，请解答下列问题：
(1)观察上面解题过程，计算
(2)请直接写出的结果．
(3)利用上面的解法，请化简：
18．（6分）如图1，在中，，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，．
(1)求的度数；
(2)如图2，过点作于点，连接，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明．
19．（6分）如图，某公园有一块四边形草坪，计划修一条到的小路，经测量，，，，，．
(1)求小路的长；
(2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？
20．（8分）如图，正方形的边长为，点是 边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接；
(1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明；
(2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值．
21．（8分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点．
(1)在图①中，连结、、，使；
(2)在图②中，连结、，使；
(3)在图③中，连结，使．
22．（10分）已知，分别为的边上的动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为．
(1)如图，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，则的值为________；
(3)若，，的面积为，求的取值范围．
23．（10分）现有四个全等的矩形如图镶嵌（在公共顶点O周围不重叠无空隙），将不相邻的四个外顶点顺次连接（如图1、2所示）；
(1)如图1，求证：四边形是正方形：
(2)判断图2中的四边形_______正方形（填“一定是”或“不一定是”）；若已知四边形的面积为18，在下列三个条件中：①；②；③，再选择一个作为已知条件，求出四边形的面积，你的选择是______（填序号），写出求四边形的面积解答过程；
(3)在（2）的条件下，在图2中连接，与交于Y，求的值；
(4)如图3，四个全等的平行四边形，在O点处镶嵌，将不相邻的外顶点顺次连接，若，则_____．
24．（12分）如图，点为所在平面内的一点，连接，．
(1)如图，点为外一点，点在边的延长线上，连接．若，，，求的度数：
(2)如图，点为内一点，若，，求证：；
(3)如图，在（）的条件下，延长交于点，当为等腰三角形时，请直接写出的值．
25．（12分）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”
(1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)；
①平行四边形②菱形③矩形④正方形
(2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．
求证：四边形是“忧乐四边形”
(3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴
即的值应在20到21之间，
故选：C．
2．D
【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案．
【详解】解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5）
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，过点作于点，则于点，由勾股定理可求，，设，则，由勾股定理求出，从而进一步可得出结论．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
由折叠得，，，，，
，
，
，
，
过点作于点，则于点，如图，则，
，
由勾股定理得，，
，
设，则，
在直角中，，
，
解得，，
，
即，
，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理解三角形等知识，准确添加辅助线，掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键．
根据已知条件和图形折叠的性质可得：，过点D作于E，再由含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：解：∵是边的中线，
∴，
，
∴，
∴，
过点D作于E，
∴，
∴，
，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，作点关于的对称点，连接，则，，当，且点在上时，则取得最小值，利用求解可得答案．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，
∴，
∴，
当时，点在上，则取得最小值，
四边形是菱形，
点在上，
，，
，
由，
得，
解得：，
即的最小值是；
故选：B．
6．C
【分析】过作于点，于点，可证四边形是正方形，再可得，从而可得，结合已知即可求解．
【详解】解：如图，过作于点，于点，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
是直角三角形，
，
，
是的角平分线，
，
，
四边形是正方形，
在和中，
，
（）
，
，
正方形的边长为，
，
，
，
，
，
重叠部分四边形的面积为；
故选：C．
7．C
【分析】过B作BN⊥EH，垂足为N，连接BE，BK，KP，分别证明△ABE≌△FEB，△BAE≌△BNE，△BNK≌△BCK，△KHP≌△PCK，再将△KHQ的周长进行转化，得到ED=KC+KH=C△KQH，可得结果．
【详解】解：过B作BN⊥EH，垂足为N，连接BE，BK，KP，
∵两个大小相同的正方形，
∴AB=EF，又∵∠A=∠F，BE=EB，
∴Rt△ABE≌Rt△FEB（HL），
∴∠AEB=∠FBE=∠NEB，AE=BF，
同理可得：Rt△BAE≌Rt△BNE，Rt△BNK≌Rt△BCK，
∴∠EBK=45°，
∴AE+KC=EK，
∵AE=BF，
∴DE=BG，
∵∠H=∠C=90°，∠PQC=∠KQH，
∴∠BPG=∠CPQ=∠QKH=∠EKD，
∴△BGP≌△EDK，
∴PG=KD，
∴PH=KC，
同理可证：△KHP≌△PCK，
∴△KQH的周长为KC+KH，
又∵AE+ED=EK+KH，AE+KC=EK，
∴AE+ED=AE+KC+KH，
∴ED=KC+KH=△KQH的周长，
∴要求出阴影部分的周长，只要知道线段ED的长度，
故选C．
8．C
【分析】此题主要考查了平行四边形的平判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握平行四边形的平判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．①根据平行四边形的性质得，进而可证和全等，从而得，据此可对命题①进行判断；②证，，再根据得，进而得，从而得，据此可对命题②进行判断；③根据是边的中点，得，再根据得，据此可对命题③进行判断；④根据为直角三角形，，，利用勾股定理得，进而得，据此可对命题④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①四边形为平行四边形，如图所示：
，
，
，，
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故①正确；
②四边形为平行四边形，
，，，，
，，，
是边的中点，
，
，
，
，，
，，
，，
，
即，
，
即，
故②正确；
③是边的中点，，
，
，
，
，
故③正确；
④，
为直角三角形，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
故④不正确．
综上所述：正确的命题是①②③，
故选：C
9．B
【分析】如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．构建计算即可．
【详解】解：如图，取中点，连接交于，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
，
故选：．
10．D
【分析】延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则，然后证明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则，即可证明，推出；设，证明△ABG≌△ACK，得到，，即可推出∠ECK=∠K，得到EK=EC，则，由此即可得到答案．
【详解】解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，
∵在三角形，，，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵BF=FE，
∴∠FBE=∠FEB，
设∠BFE=x，则，
∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，
∴AH⊥BC，
∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，
∴CB=FC=FE，
∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，
∴△ABG≌△ACK（SAS），
，，
∴，
∴∠ECK=∠K，
∴EK=EC，
∵，
∴，
∴，
故选D．
二．填空题
11．6
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形都是平行四边形，然后证明，根据，求出即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6．
12．
【分析】首先证明，然后推出，证明是等边三角形，可求出，的度数，从而可求的度数．
【详解】解：连接，

菱形，
，，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，即，
又，即，
，
在与中，
，
，
，
又，则是等边三角形，
，
又，
则．
∴．
故答案为：．
13．100
【分析】本题考查平面展开 最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短．
则，
根据题意：，，
∴，
∴，
∴最短路线长为，
故答案为：．
14．或
【分析】当、、三点共线时，分两种情况：当在线段上时，连接，当在延长线上时，连接，；由轴对称的性质易证得，则；设，由菱形的性质及容易求得菱形内各个角的度数；然后，根据用表示的各个角之间的等量关系列方程求解，即可分别求得两种情况下的度数．
【详解】解：当、、三点共线时，分两种情况：
当在线段上时，如图，连接，
为关于的对称点，
，，，
，
，
设，
四边形为菱形，且，
，，
，
，
，
，
，
在菱形的对角线上，
，
，
又，
而，
，
；
当在延长线上时，如图，连接，，
同上，设，
，
，
又在菱形的对角线上，
，
，
，
又，
，
；
当或时，、、三点共线，
故答案为：或．
15． /
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质：
（1）当时，由直角三角三角形的性质，求出，再根据折叠的性质可得，最后利用三角形内角和定理即可求解；
（2）过点M作 于点E，根据折叠的性质可知，证明，利用直角三角形的性质求出，，利用勾股定理求出，进而求出，同理求出，由即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故答案为：；
（2）过点M作 于点E，
∵，
∴，
根据折叠的性质可知，
∴，
∴，
.∴，
∵ M是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了规律型：点的坐标．根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手．
【详解】解：由图形可知，，
，
，
,
每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的倍，同时，各个B点每次旋转，每八次旋转一周．
∴顶点到原点的距离，
∵，
∴顶点的恰好在x轴的正半轴上，
∴顶点的恰好在第一象限角平分线上，
∴顶点的坐标是．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：原式；
（2）；
（3）原式．
18．（1）解：，，
，，
；
（2）解：，
证明：过点作交的延长线于点
为平行四边形
，，，
，
，
，
又
，
在和中，

，
，
．
19．（1）解：∵，，，
∴在中，，
∴小路的长为；
（2）解：如图所示：过B作，

依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与萌萌的距离最近．
∵，．，
∴，
即，
∴，
则，
即，
∴
∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，
∴，
则
∴当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与萌萌的距离最近．
20．（1）解：四边形是平行四边形
证明：如图，过点作于点，
∴，
∵四边形是正方形，且边长为，
∴，，，，，，
AC⊥BD，∠BAC＝∠CAD＝45°
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵点是中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形；
（2），，之间的数量关系为：．
如图，设平行四边形的边与交于点，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
即平分，
即与的交点为符合条件的点，
在中，，，，
∴，．
21．（1）解：如图①，点即为所求；
点在，的垂直平分线上，
；
（2）如图②，点或点即为所求；
由网格可知：，
由网格可知：，，
；
；
（3）如图③，点即为所求；
由网格可知：，
，
由网格可知：，，，
，
，
．
22．（1）证明：由折叠性质得：，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：延长交于，如图，
∵四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
设，则，
∴，
由折叠性质可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴＝；
（3）解：求取值范围即是求取值范围，当时，最小，
作，
∵，的面积为，
∴，
∴，
设，
∴，
∴,
∴，
解得：，
∴的最小值为；
当与重合时，最大，
在中，，
∴，
∴，
∴最大值为，
∴．
23．（1）证明：由题，，
所以A，O，C三点共线，B，O，D三点共线，
所以，
又，
所以，
所以四边形为正方形．
（2）解：一定是，理由如下，
连接，如图，
，
同理可得，，
由题意可得，
则四边形是平行四边形
则四边形是矩形，
又，
则四边形是正方形；
如图，延长交于点Q，可得
选择②
因为正方形的面积为18，
所以，即，则选择①无效，
由添加的条件可知，，
所以，
中，
所以正方形的面积为．
选择③同理可得所以，即，
由添加的条件可知，，
所以，
所以正方形的面积为．
（3）如图，作，
由，可得，
所以，
所以
（4）解：设平行四边形边上的高为，
如图，设交于点，过点作的垂线，交于，的延长线于点，过点作的垂线交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平行四边形的面积为，
，同理可得，
根据中心对称可得，
，
根据题意可知，
则四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，，
，
．
24．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长交于点，过作于点，交延长线于点，
∴，
∵，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长交于点，过作于点，交延长线于点，过作于点，则，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
同（）理得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，
由（）得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
25．（1）①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合．
②菱形，④正方形一定是忧乐四边形；
故答案为：②④；
（2）证明：如图2，连接，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
将沿折叠后得到，
，，，
，
，
，
四边形沿折叠完全重合，
四边形是“忧乐四边形”；
（3）．
若，连接，则四边形是矩形，
，
由（2）知，，
设，则，，
，
，
，
；
若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，
，
（负值舍），
．
综上所述，的长为或．