四川省泸州市泸县第五中学2024-2025学年八年级下学期开学数学试题
1．（2025八下·泸县开学考）下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形”逐项判断解答．
2．（2025八下·泸县开学考）以下各组数为三角形的三边长，其中不能够构成直角三角形的是（ ）
A．13、14、15 B．7、24、25
C．0.3、0.4、0.5 D．9、12、15
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、132+142≠152，不能组成直角三角形，符合题意；
B、72+242＝252，能组成直角三角形，不符合题意；
C、0.32+0.42＝0.52，能组成直角三角形，不符合题意；
D、92+122＝152，能组成直角三角形，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用三角形的三边关系和勾股定理的逆定理逐项判断即可.
3．（2025八下·泸县开学考）平面直角坐标系有一点，则点M关于y轴的对称点是（ ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（-2，-3） D．（-3，2）
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：纵坐标不变，将横坐标改为相反数，可得（﹣2，﹣3），
故答案为：C．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点求点的坐标即可。
4．（2025八下·泸县开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；积的乘方运算；分式的乘方
5．（2025八下·泸县开学考）下列各图形中，分别是四位同学所画的中边上的高，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A．不是任何边的高，故不符合题意；
B．不是任何边的高，故不符合题意；
C．是边的高，故不符合题意；
D．是边的高，故符合题意
故答案为：D．
【分析】根据三角形的高的定义“三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高”逐项判断解题．
6．（2025八下·泸县开学考）科幻作品《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学记数法表示这个数（ ）
A．米 B． 米
C． 厘米 D．厘米
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：厘米厘米米；
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为小数点向右移动位数的相反数．
7．（2025八下·泸县开学考）如果把分式中x、y的值都变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．变为原来的2倍 B．不变
C．变为原来的 D．变为原来的4倍
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： 分式中x、y的值都变为原来的2倍，所得分式为，
∴分式的值变为原来的2倍.
故答案为：A
【分析】利用已知条件x、y的值都变为原来的2倍，可将分式转化为，观察可得答案.
8．（2025八下·泸县开学考）如图，与相交于，且，如果添加一个条件还不能判定，则添加的这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意，已知AE=DE，∠AEB=∠DEC，
∴只需添加对顶角的邻边，即EB=EC（由AC=DB可以得到），
或任意一组对应角，即∠A=∠D，∠B=∠C；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可.
9．（2025八下·泸县开学考）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】A、x2-4y2=（x-2y）（x+2y），A选项错误，不符合题意；
B、等式右边不是积的形式，B选项错误，不符合题意；
C、式子从左到右的变形为因式分解，C选项正确，符合题意；
D、等式右边不是积的形式，D选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由因式分解的含义，根据将多项式化为几个整式的积的形式进行判断。
10．（2025八下·泸县开学考）已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂乘法的逆用；同底数幂除法的逆用
11．（2025八下·泸县开学考）如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，交于点，过点作于点，
∵平分，
∴，
∴，
∵中，，，，
∵，
∴，
∴，即的最小值是
故答案为：D．
【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，即可得到，然后根据三角形的面积求出CE长，即可得到最小值．
12．（2025八下·泸县开学考）杨辉三角揭示了二项式乘方展开式的系数规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如图所示：
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 …
此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过天是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期日
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵
，
∴除以7，余数为1，
∴再过天是星期二，
故答案为：B．
【分析】根据题意，再过814天是星期几，即814÷7的余数是几，再根据杨辉三角的规律得到814除以7的余数，即可求解.
13．（2025八下·泸县开学考）因式分解： .
【答案】a（x+y）（x-y）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为：a（x+y）（x-y）.
【分析】首先提取公因式a，然后利用平方差公式进行分解.
14．（2025八下·泸县开学考）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即，
此时，
，
若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即，
此时，
综上，等腰三角形的顶角的度数为或．
【分析】分为锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用三角形的内角和定理解答即可．
15．（2025八下·泸县开学考）如图，，A是BO的延长线上一点，，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当是等腰三角形时，移动的时间是 ．
【答案】4s或12s
【知识点】一元一次方程的其他应用；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示：
∵PO＝AO﹣AP＝12﹣2t，OQ＝1t
∴当PO＝QO时，
12﹣2t＝t
解得t＝4；
当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；如图2所示：
∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣12，OQ＝t；
∴当PO＝QO时，2t﹣12＝t；
解得t＝12；
故答案为：4s或12s．
【分析】
根据△OPQ是等腰三角形，分点P在AO上或点P在BO上两种情况，表示OP和OQ，根据PO＝QO列方程求出t值即可．
16．（2025八下·泸县开学考）对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意，得，即，
去分母，得，
解得，
∵方程的解为正数，
∴且
解得且，
故答案为：且．
【分析】根据新定义的运算方法得到分式方程 ，解方程求出，根据题意得到且，解出m的取值范围即可．
17．（2025八下·泸县开学考）计算：
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，然后根据实数的混合计算法则进行求解即可．
18．（2025八下·泸县开学考）计算：
【答案】解：原式
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先利用平方差和完全平方公式计算多项式乘多项式，再进行加减运算．
19．（2025八下·泸县开学考）如图，在中，平分，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，，∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根据“两直线平行，同位角相等”得出，结合可得出，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可得证；
（2）先根据“两直线平行，同位角相等”求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，最后根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
20．（2025八下·泸县开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
（1）将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出；
（2）请画出关于y轴对称的；
（3）直接写出的长度．
【答案】（1）解：如图所示，即为所示；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由题意知，，，
∴，
∴
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）由平移规律先确定A1，B1，C1的坐标，再描点，连线即可；
（2）由轴对称的性质先确定A2，B2，C2的坐标，再描点连线即可；
（3）根据两点坐标，然后利用勾股定理求解即可．
（1）解：如图所示，即为所示；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由题意知，，，
∴，
∴
21．（2025八下·泸县开学考）解方程：
【答案】解：去分母得：2x＝3-2x+2，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】给方程两边同时乘以2(x-1)得2x=3-2(x-1)，求出x的值，然后进行检验即可.
22．（2025八下·泸县开学考）先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为m的值代入求值．
【答案】解：
当和时，分式无意义，
∴从的范围内只能选取，
当时，
原式
．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】掌握分式的加减法、乘除法的运算，本题应用乘法分配律比较简便，为尝试约分多项式应先因式分解，计算到最简；给定m的取值范围内整数只有-2、-1、0三个，但需要特别注意和时，分式无意义，故只能代入m=1求值。
23．（2025八下·泸县开学考）习总书记说：青山绿水就是金山银山．我县随着环境建设的持续推进，雾霾天气的天数已经降到近十年的最低．为了减少雾霾天气对身体的影响，班主任王老师决定为班上的学生每人购买一个口罩．在结算时，商家说：“一共元，但是如果您再多买一个，那么可以打九折，价钱比现在还便宜元．”王老师说：“那好吧．”于是就给自己也买了一个．请你求出这个班有多少名学生？
【答案】解：设这个班有名学生，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，并且符合题意，
答：这个班有名学生
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设这个班有x名学生，则王老师加一个共(x+1)个，根据“如果再多买一个就可以打九折，价钱比现在还便宜45元”列出方程，解方程即可.
24．（2025八下·泸县开学考）已知：在中，是边上的高．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）；
（2）在（1）的条件下：若，，求的度数．
【答案】（1）解：如图，射线，即为所求．
（2）解： ， ，
，
平分，
，
，为高，
，
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）依据角平分线的尺规作图方法，即可得到∠BAC的平分线AE；
（2）依据三角形外角性质即可得到∠BAD的度数，依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得出∠BAE的度数，即可得到∠DAE的度数.
（1）解：如图，射线，即为所求．
（2）解： ， ，
，
平分，
，
，为高，
，
．
25．（2025八下·泸县开学考）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．
【答案】（1）证明：如图1，过点D作，
由题意可得：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
（2）证明∶ ∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解∶ 在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由可证，可得；
（2）由可证，可得，由余角的性质可得结论；
（3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解．
（1）证明：如图1，过点D作，
由题意可得：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明∶ ∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解∶ 在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为．
1 / 1四川省泸州市泸县第五中学2024-2025学年八年级下学期开学数学试题
1．（2025八下·泸县开学考）下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·泸县开学考）以下各组数为三角形的三边长，其中不能够构成直角三角形的是（ ）
A．13、14、15 B．7、24、25
C．0.3、0.4、0.5 D．9、12、15
3．（2025八下·泸县开学考）平面直角坐标系有一点，则点M关于y轴的对称点是（ ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（-2，-3） D．（-3，2）
4．（2025八下·泸县开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·泸县开学考）下列各图形中，分别是四位同学所画的中边上的高，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025八下·泸县开学考）科幻作品《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学记数法表示这个数（ ）
A．米 B． 米
C． 厘米 D．厘米
7．（2025八下·泸县开学考）如果把分式中x、y的值都变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．变为原来的2倍 B．不变
C．变为原来的 D．变为原来的4倍
8．（2025八下·泸县开学考）如图，与相交于，且，如果添加一个条件还不能判定，则添加的这个条件是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025八下·泸县开学考）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·泸县开学考）已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025八下·泸县开学考）如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．
12．（2025八下·泸县开学考）杨辉三角揭示了二项式乘方展开式的系数规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如图所示：
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 …
此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过天是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期日
13．（2025八下·泸县开学考）因式分解： .
14．（2025八下·泸县开学考）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ．
15．（2025八下·泸县开学考）如图，，A是BO的延长线上一点，，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当是等腰三角形时，移动的时间是 ．
16．（2025八下·泸县开学考）对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ．
17．（2025八下·泸县开学考）计算：
18．（2025八下·泸县开学考）计算：
19．（2025八下·泸县开学考）如图，在中，平分，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．（2025八下·泸县开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
（1）将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出；
（2）请画出关于y轴对称的；
（3）直接写出的长度．
21．（2025八下·泸县开学考）解方程：
22．（2025八下·泸县开学考）先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为m的值代入求值．
23．（2025八下·泸县开学考）习总书记说：青山绿水就是金山银山．我县随着环境建设的持续推进，雾霾天气的天数已经降到近十年的最低．为了减少雾霾天气对身体的影响，班主任王老师决定为班上的学生每人购买一个口罩．在结算时，商家说：“一共元，但是如果您再多买一个，那么可以打九折，价钱比现在还便宜元．”王老师说：“那好吧．”于是就给自己也买了一个．请你求出这个班有多少名学生？
24．（2025八下·泸县开学考）已知：在中，是边上的高．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）；
（2）在（1）的条件下：若，，求的度数．
25．（2025八下·泸县开学考）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形”逐项判断解答．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、132+142≠152，不能组成直角三角形，符合题意；
B、72+242＝252，能组成直角三角形，不符合题意；
C、0.32+0.42＝0.52，能组成直角三角形，不符合题意；
D、92+122＝152，能组成直角三角形，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用三角形的三边关系和勾股定理的逆定理逐项判断即可.
3．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：纵坐标不变，将横坐标改为相反数，可得（﹣2，﹣3），
故答案为：C．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点求点的坐标即可。
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；积的乘方运算；分式的乘方
5．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A．不是任何边的高，故不符合题意；
B．不是任何边的高，故不符合题意；
C．是边的高，故不符合题意；
D．是边的高，故符合题意
故答案为：D．
【分析】根据三角形的高的定义“三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高”逐项判断解题．
6．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：厘米厘米米；
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为小数点向右移动位数的相反数．
7．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： 分式中x、y的值都变为原来的2倍，所得分式为，
∴分式的值变为原来的2倍.
故答案为：A
【分析】利用已知条件x、y的值都变为原来的2倍，可将分式转化为，观察可得答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意，已知AE=DE，∠AEB=∠DEC，
∴只需添加对顶角的邻边，即EB=EC（由AC=DB可以得到），
或任意一组对应角，即∠A=∠D，∠B=∠C；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可.
9．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】A、x2-4y2=（x-2y）（x+2y），A选项错误，不符合题意；
B、等式右边不是积的形式，B选项错误，不符合题意；
C、式子从左到右的变形为因式分解，C选项正确，符合题意；
D、等式右边不是积的形式，D选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由因式分解的含义，根据将多项式化为几个整式的积的形式进行判断。
10．【答案】D
【知识点】同底数幂乘法的逆用；同底数幂除法的逆用
11．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，交于点，过点作于点，
∵平分，
∴，
∴，
∵中，，，，
∵，
∴，
∴，即的最小值是
故答案为：D．
【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，即可得到，然后根据三角形的面积求出CE长，即可得到最小值．
12．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵
，
∴除以7，余数为1，
∴再过天是星期二，
故答案为：B．
【分析】根据题意，再过814天是星期几，即814÷7的余数是几，再根据杨辉三角的规律得到814除以7的余数，即可求解.
13．【答案】a（x+y）（x-y）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为：a（x+y）（x-y）.
【分析】首先提取公因式a，然后利用平方差公式进行分解.
14．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即，
此时，
，
若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即，
此时，
综上，等腰三角形的顶角的度数为或．
【分析】分为锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用三角形的内角和定理解答即可．
15．【答案】4s或12s
【知识点】一元一次方程的其他应用；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示：
∵PO＝AO﹣AP＝12﹣2t，OQ＝1t
∴当PO＝QO时，
12﹣2t＝t
解得t＝4；
当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；如图2所示：
∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣12，OQ＝t；
∴当PO＝QO时，2t﹣12＝t；
解得t＝12；
故答案为：4s或12s．
【分析】
根据△OPQ是等腰三角形，分点P在AO上或点P在BO上两种情况，表示OP和OQ，根据PO＝QO列方程求出t值即可．
16．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意，得，即，
去分母，得，
解得，
∵方程的解为正数，
∴且
解得且，
故答案为：且．
【分析】根据新定义的运算方法得到分式方程 ，解方程求出，根据题意得到且，解出m的取值范围即可．
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，然后根据实数的混合计算法则进行求解即可．
18．【答案】解：原式
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先利用平方差和完全平方公式计算多项式乘多项式，再进行加减运算．
19．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，，∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根据“两直线平行，同位角相等”得出，结合可得出，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可得证；
（2）先根据“两直线平行，同位角相等”求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，最后根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所示；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由题意知，，，
∴，
∴
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）由平移规律先确定A1，B1，C1的坐标，再描点，连线即可；
（2）由轴对称的性质先确定A2，B2，C2的坐标，再描点连线即可；
（3）根据两点坐标，然后利用勾股定理求解即可．
（1）解：如图所示，即为所示；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由题意知，，，
∴，
∴
21．【答案】解：去分母得：2x＝3-2x+2，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】给方程两边同时乘以2(x-1)得2x=3-2(x-1)，求出x的值，然后进行检验即可.
22．【答案】解：
当和时，分式无意义，
∴从的范围内只能选取，
当时，
原式
．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】掌握分式的加减法、乘除法的运算，本题应用乘法分配律比较简便，为尝试约分多项式应先因式分解，计算到最简；给定m的取值范围内整数只有-2、-1、0三个，但需要特别注意和时，分式无意义，故只能代入m=1求值。
23．【答案】解：设这个班有名学生，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，并且符合题意，
答：这个班有名学生
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设这个班有x名学生，则王老师加一个共(x+1)个，根据“如果再多买一个就可以打九折，价钱比现在还便宜45元”列出方程，解方程即可.
24．【答案】（1）解：如图，射线，即为所求．
（2）解： ， ，
，
平分，
，
，为高，
，
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）依据角平分线的尺规作图方法，即可得到∠BAC的平分线AE；
（2）依据三角形外角性质即可得到∠BAD的度数，依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得出∠BAE的度数，即可得到∠DAE的度数.
（1）解：如图，射线，即为所求．
（2）解： ， ，
，
平分，
，
，为高，
，
．
25．【答案】（1）证明：如图1，过点D作，
由题意可得：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
（2）证明∶ ∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解∶ 在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由可证，可得；
（2）由可证，可得，由余角的性质可得结论；
（3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解．
（1）证明：如图1，过点D作，
由题意可得：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明∶ ∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解∶ 在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为．
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