湖南省衡阳市四校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题
1．（2025九下·衡阳开学考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九下·衡阳开学考）下列计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九下·衡阳开学考）抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025九下·衡阳开学考）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·衡阳开学考）已知一元二次方程的两个实数解分别为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·衡阳开学考）如图，，，，，的周长为，则的周长为（ ）
A．20 B．25 C．35 D．30
7．（2025九下·衡阳开学考）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九下·衡阳开学考）如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九下·衡阳开学考）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，她在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九下·衡阳开学考）如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，点A的坐标为，则下面的结论中：①；②；③；④当时，或，其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2025九下·衡阳开学考）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．（2025九下·衡阳开学考）如图，在中，，且分别交，于点D、E，若，，则 ．
13．（2025九下·衡阳开学考）若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为，则 ．
14．（2025九下·衡阳开学考）如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为
15．（2025九下·衡阳开学考）已知的值是10，则代数式的值是 ．
16．（2025九下·衡阳开学考）如图，点A在反比例函数的图象上，点在轴的负半轴上，交轴于点，且满足，轴于点，点在轴正半轴上，交于点，若，，则 ．
17．（2025九下·衡阳开学考）计算：．
18．（2025九下·衡阳开学考）解方程：
19．（2025九下·衡阳开学考）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）若两个实数根和满足，求k的整数值．
20．（2025九下·衡阳开学考）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A篮球，B足球，C绘画，D舞蹈四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有_____人，估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为_________人．
（2）请将以上两个统计图补充完整．
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
21．（2025九下·衡阳开学考）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点．
（1）以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为；
（2）将向上平移个单位长度得到，请画出．
22．（2025九下·衡阳开学考）如图，在中，，D为边上的一点，，．
（1）求的长．
（2）若，求的值．
23．（2025九下·衡阳开学考）某商场购进单价40元的毛绒玩具．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每个月可销售100个，而当销售单价每降低10元时，平均每个月就多销售20个．其中按物价部门的有关规定，该商品的销售单价不能高于70元，也不能低于40元．
（1）当销售单价定为多少元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到2000元？
（2）当单价定价为多少时，销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大？最大利润是多少？
24．（2025九下·衡阳开学考）如图，在梯形中，是梯形对角线，．
（1）求证：；
（2）以为一边作交边于点，求证：．
25．（2025九下·衡阳开学考）如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标；
（3）如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：选项A：，故不符合题意，
选项B：，故不符合题意，
选项C：，故不符合题意，
选项D：是最简二次根式，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数中不含能开放的因数或因数，也不含分母”逐项判断解答．
2．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
所以抛物线的顶点坐标在第二象限，
故答案为：B．
【分析】由抛物线解析式的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标进而求解．
4．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：A．
【分析】利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，，代入数据即可求出 x1+x2的值.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵的周长为，即，设的周长为，
∴，
∴，
故答案为：B ．
【分析】证明△ABC∽△ADE，得△ABC的周长：△ADE的周长=AB：AD=3：5，进而可以解决问题.
7．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：A ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征进行回答即可.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：，，
．
，
．
故答案为：B．
【分析】由锐角的正弦定义得到，即可得到BC=6sinα.
9．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在0.4左右，
∴点落在黑色区域的概率约为0.4，
点落在白色区域的频率稳定在左右，
∵该二维码的面积为9cm2，
估计此二维码中白色区域的面积为．
故答案为：B．
【分析】先计算出点落在白色区域的频率稳定值，再用总面积乘以落入白色部分的频率稳定值即可求解.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，
故①正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
故②不正确，不符合题意；
∵当时，，
即，
故③正确，符合题意；
∵点与点B关于对称轴直线对称，
∴，
∴当时，或，
故④正确，符合题意．
所以正确的有①③④共3个．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线开口向下，得，对称轴是直线， 得，与y轴的交点在x轴上方，得，得，即可判断①；根据，得，即可判断②；当时，，即可判断③；根据点关于对称轴直线对称的点为，得当时，或，即可判断④．
11．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2x+3≥0且x≠0，
解得：且x≠0.
故答案为：且．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数可得2x+3≥0，再根据分式有意义的条件是分母不等于零可得x≠0，再解即可.
12．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例得到，代入数值计算解题．
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题知，
将抛物线先向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为，
再将所得抛物线向下平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为.
又∵平移后的抛物线解析式为y=ax2+k，
∴-2-h=0，k=-1，
则h=-2，k=-1，
∴h+k=-2+(-1)= -3.
故答案为：.
【分析】根据平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：设每个网格正方形的边长为1，且，交的延长线于点D，根据题意，得，
故，
故，
故答案为：．
【分析】设每个网格正方形的边长为1，且，利用勾股定理求出AC长，再根据正弦的定义解答即可．
15．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题目的要求，先求出2x2+3x+1的值，然后根据这个值，求出的值.
16．【答案】16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图：连接，设，则，
∵，
∴，
∴，即，则，
∵和等高，
∴，即，解得：，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∵函数图象在第一象限，
∴．
故答案为：16．
【分析】连接，设，则，易证可得，再根据和等高可得，最后根据反比例函数k的几何意义即可解答．
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据绝对值的性质，零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再算加减即可.
18．【答案】解：因式分解得： ，解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可。
19．【答案】（1）解：，，
由已知得，
∴
（2）解：由根与系数得关系可知，，
∵，
∴
解得，
由（1）知，
∴，
∴整数k的值为或0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，列出不等式，求出k的取值范围.
（2）根据根与系数的关系，列出不等式，求出k的取值范围再结合(1)中k的取值范围，求出k的整数值．
（1）解：，，
由已知得，
所以；
（2）由根与系数得关系可知，，
因为，
所以，
解得，
由（1）知，
所以，，
所以，整数k的值为或0．
20．【答案】（1）50；300
（2）解：喜欢篮球的学生人数人（人），
喜欢绘画的学生所占百分比为，
喜欢舞蹈的学生所占百分比为．
则补全两个统计图如下：
（3）解：由题意，画树状图如下：
由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，
则两人恰好选择同一类的概率为，
答：两人恰好选择同一类的概率为
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【答案】（1）解：本次抽取调查学生的总人数为（人），
估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人），
故答案为：50；300．
【分析】（1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000乘以喜欢舞蹈的学生所占百分比即可得；
（2）先求出喜欢篮球的学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜绘画和舞蹈的学生所占百分比，据此补全扇形统计图即可得；
（3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得．
（1）解：本次抽取调查学生的总人数为（人），
估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人），
故答案为：50，300．
（2）解：喜欢篮球的学生人数人（人），
喜欢绘画的学生所占百分比为，
喜欢舞蹈的学生所占百分比为．
则补全两个统计图如下：
（3）解：由题意，画树状图如下：
由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，
则两人恰好选择同一类的概率为，
答：两人恰好选择同一类的概率为．
21．【答案】（1）解：如图所示，连接，延长，使得，，，顺次连接，
∴即为所求；
（2）解：如图所示，
∴即为所求
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（）连接，延长，使得，，，顺次连接即可；
（）根据平移的性质即可画出.
（1）解：如图所示，连接，延长，使得，，，顺次连接，
∴即为所求；
（2）解：如图所示，
∴即为所求．
22．【答案】（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
答：
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由正切三角函数计算公式知，；
（2）因为直角三角形ACD中：，需要计算出AD的长，因为AC已知，则CD可知，应用勾股定理即可。
（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
23．【答案】（1）解：设销售单价为元，由题意得，解得，，
∵该商品的销售单价不能高于元，
∴，
答：当销售单价定为元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到元；
（2）解：设每月获得的利润为元，由题意得：
∵，
∴当时，随的增大而增大
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为元时，销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设销售单价为元，根据利润=单利润×销售量列一元二次方程求解即可；
（2）设每月获得的利润为元，根据利润=单利润×销售量列二次函数关系式，根据二次函数的增减性解答即可．
（1）解：设销售单价为元，由题意得，
解得，，
∵该商品的销售单价不能高于元，
∴，
答：当销售单价定为元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到元；
（2）设每月获得的利润为元，由题意得：
∵，
∴当时，随的增大而增大
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为元时，销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大．
24．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
（2）解：作交边于点 ，
由（1）得，
，
又，
，
，
，
又，
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由BD2=AD·BC，得，由AD//BC，得∠ADB=∠DBC，即可证明，即可得证；
（2）证明，得到，结合，即可得证．
（1），
，
，
，
，
，
；
（2）作交边于点 ，
由（1）得，
，
又，
，
，
，
又，
．
25．【答案】（1）解：（1）在中，令得，
令得，
解得或，
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
直线的解析式为，
点在第二象限的抛物线上，点在直线上，
，，，
，
当时，最大，
此时点的坐标为
（3）解：设直线的解析式为，将代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，将代入得，
，
，
直线的解析式为，
，
线段的中点坐标为，
平分线段，
线段的中点在直线上，
将代入得，
解得：，，（舍去）
直线的解析式为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
1 / 1湖南省衡阳市四校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题
1．（2025九下·衡阳开学考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：选项A：，故不符合题意，
选项B：，故不符合题意，
选项C：，故不符合题意，
选项D：是最简二次根式，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数中不含能开放的因数或因数，也不含分母”逐项判断解答．
2．（2025九下·衡阳开学考）下列计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断.
3．（2025九下·衡阳开学考）抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
所以抛物线的顶点坐标在第二象限，
故答案为：B．
【分析】由抛物线解析式的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标进而求解．
4．（2025九下·衡阳开学考）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：A．
【分析】利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
5．（2025九下·衡阳开学考）已知一元二次方程的两个实数解分别为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，，代入数据即可求出 x1+x2的值.
6．（2025九下·衡阳开学考）如图，，，，，的周长为，则的周长为（ ）
A．20 B．25 C．35 D．30
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵的周长为，即，设的周长为，
∴，
∴，
故答案为：B ．
【分析】证明△ABC∽△ADE，得△ABC的周长：△ADE的周长=AB：AD=3：5，进而可以解决问题.
7．（2025九下·衡阳开学考）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：A ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征进行回答即可.
8．（2025九下·衡阳开学考）如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：，，
．
，
．
故答案为：B．
【分析】由锐角的正弦定义得到，即可得到BC=6sinα.
9．（2025九下·衡阳开学考）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，她在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在0.4左右，
∴点落在黑色区域的概率约为0.4，
点落在白色区域的频率稳定在左右，
∵该二维码的面积为9cm2，
估计此二维码中白色区域的面积为．
故答案为：B．
【分析】先计算出点落在白色区域的频率稳定值，再用总面积乘以落入白色部分的频率稳定值即可求解.
10．（2025九下·衡阳开学考）如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，点A的坐标为，则下面的结论中：①；②；③；④当时，或，其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，
故①正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
故②不正确，不符合题意；
∵当时，，
即，
故③正确，符合题意；
∵点与点B关于对称轴直线对称，
∴，
∴当时，或，
故④正确，符合题意．
所以正确的有①③④共3个．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线开口向下，得，对称轴是直线， 得，与y轴的交点在x轴上方，得，得，即可判断①；根据，得，即可判断②；当时，，即可判断③；根据点关于对称轴直线对称的点为，得当时，或，即可判断④．
11．（2025九下·衡阳开学考）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2x+3≥0且x≠0，
解得：且x≠0.
故答案为：且．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数可得2x+3≥0，再根据分式有意义的条件是分母不等于零可得x≠0，再解即可.
12．（2025九下·衡阳开学考）如图，在中，，且分别交，于点D、E，若，，则 ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例得到，代入数值计算解题．
13．（2025九下·衡阳开学考）若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为，则 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题知，
将抛物线先向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为，
再将所得抛物线向下平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为.
又∵平移后的抛物线解析式为y=ax2+k，
∴-2-h=0，k=-1，
则h=-2，k=-1，
∴h+k=-2+(-1)= -3.
故答案为：.
【分析】根据平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
14．（2025九下·衡阳开学考）如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为
【答案】
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：设每个网格正方形的边长为1，且，交的延长线于点D，根据题意，得，
故，
故，
故答案为：．
【分析】设每个网格正方形的边长为1，且，利用勾股定理求出AC长，再根据正弦的定义解答即可．
15．（2025九下·衡阳开学考）已知的值是10，则代数式的值是 ．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题目的要求，先求出2x2+3x+1的值，然后根据这个值，求出的值.
16．（2025九下·衡阳开学考）如图，点A在反比例函数的图象上，点在轴的负半轴上，交轴于点，且满足，轴于点，点在轴正半轴上，交于点，若，，则 ．
【答案】16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图：连接，设，则，
∵，
∴，
∴，即，则，
∵和等高，
∴，即，解得：，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∵函数图象在第一象限，
∴．
故答案为：16．
【分析】连接，设，则，易证可得，再根据和等高可得，最后根据反比例函数k的几何意义即可解答．
17．（2025九下·衡阳开学考）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据绝对值的性质，零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再算加减即可.
18．（2025九下·衡阳开学考）解方程：
【答案】解：因式分解得： ，解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可。
19．（2025九下·衡阳开学考）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）若两个实数根和满足，求k的整数值．
【答案】（1）解：，，
由已知得，
∴
（2）解：由根与系数得关系可知，，
∵，
∴
解得，
由（1）知，
∴，
∴整数k的值为或0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，列出不等式，求出k的取值范围.
（2）根据根与系数的关系，列出不等式，求出k的取值范围再结合(1)中k的取值范围，求出k的整数值．
（1）解：，，
由已知得，
所以；
（2）由根与系数得关系可知，，
因为，
所以，
解得，
由（1）知，
所以，，
所以，整数k的值为或0．
20．（2025九下·衡阳开学考）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A篮球，B足球，C绘画，D舞蹈四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有_____人，估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为_________人．
（2）请将以上两个统计图补充完整．
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
【答案】（1）50；300
（2）解：喜欢篮球的学生人数人（人），
喜欢绘画的学生所占百分比为，
喜欢舞蹈的学生所占百分比为．
则补全两个统计图如下：
（3）解：由题意，画树状图如下：
由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，
则两人恰好选择同一类的概率为，
答：两人恰好选择同一类的概率为
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【答案】（1）解：本次抽取调查学生的总人数为（人），
估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人），
故答案为：50；300．
【分析】（1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000乘以喜欢舞蹈的学生所占百分比即可得；
（2）先求出喜欢篮球的学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜绘画和舞蹈的学生所占百分比，据此补全扇形统计图即可得；
（3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得．
（1）解：本次抽取调查学生的总人数为（人），
估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人），
故答案为：50，300．
（2）解：喜欢篮球的学生人数人（人），
喜欢绘画的学生所占百分比为，
喜欢舞蹈的学生所占百分比为．
则补全两个统计图如下：
（3）解：由题意，画树状图如下：
由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，
则两人恰好选择同一类的概率为，
答：两人恰好选择同一类的概率为．
21．（2025九下·衡阳开学考）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点．
（1）以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为；
（2）将向上平移个单位长度得到，请画出．
【答案】（1）解：如图所示，连接，延长，使得，，，顺次连接，
∴即为所求；
（2）解：如图所示，
∴即为所求
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（）连接，延长，使得，，，顺次连接即可；
（）根据平移的性质即可画出.
（1）解：如图所示，连接，延长，使得，，，顺次连接，
∴即为所求；
（2）解：如图所示，
∴即为所求．
22．（2025九下·衡阳开学考）如图，在中，，D为边上的一点，，．
（1）求的长．
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
答：
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由正切三角函数计算公式知，；
（2）因为直角三角形ACD中：，需要计算出AD的长，因为AC已知，则CD可知，应用勾股定理即可。
（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
23．（2025九下·衡阳开学考）某商场购进单价40元的毛绒玩具．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每个月可销售100个，而当销售单价每降低10元时，平均每个月就多销售20个．其中按物价部门的有关规定，该商品的销售单价不能高于70元，也不能低于40元．
（1）当销售单价定为多少元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到2000元？
（2）当单价定价为多少时，销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设销售单价为元，由题意得，解得，，
∵该商品的销售单价不能高于元，
∴，
答：当销售单价定为元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到元；
（2）解：设每月获得的利润为元，由题意得：
∵，
∴当时，随的增大而增大
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为元时，销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设销售单价为元，根据利润=单利润×销售量列一元二次方程求解即可；
（2）设每月获得的利润为元，根据利润=单利润×销售量列二次函数关系式，根据二次函数的增减性解答即可．
（1）解：设销售单价为元，由题意得，
解得，，
∵该商品的销售单价不能高于元，
∴，
答：当销售单价定为元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到元；
（2）设每月获得的利润为元，由题意得：
∵，
∴当时，随的增大而增大
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为元时，销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大．
24．（2025九下·衡阳开学考）如图，在梯形中，是梯形对角线，．
（1）求证：；
（2）以为一边作交边于点，求证：．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
（2）解：作交边于点 ，
由（1）得，
，
又，
，
，
，
又，
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由BD2=AD·BC，得，由AD//BC，得∠ADB=∠DBC，即可证明，即可得证；
（2）证明，得到，结合，即可得证．
（1），
，
，
，
，
，
；
（2）作交边于点 ，
由（1）得，
，
又，
，
，
，
又，
．
25．（2025九下·衡阳开学考）如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标；
（3）如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式．
【答案】（1）解：（1）在中，令得，
令得，
解得或，
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
直线的解析式为，
点在第二象限的抛物线上，点在直线上，
，，，
，
当时，最大，
此时点的坐标为
（3）解：设直线的解析式为，将代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，将代入得，
，
，
直线的解析式为，
，
线段的中点坐标为，
平分线段，
线段的中点在直线上，
将代入得，
解得：，，（舍去）
直线的解析式为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
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