广西南宁市第二十中学2024—2025学年下学期九年级2月质量评估数学试题
1．（2025九下·南宁开学考）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、不是中心对称图形，不合题意；
、不是中心对称图形，不合题意；
、是中心对称图形，符合题意；
、不是中心对称图形，不合题意；
故答案为：．
【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐项判断解题．
2．（2025九下·南宁开学考）下列判断正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播百家讲坛”是必然事件
B．“在标准大气压下，水加热到会沸腾”是必然事件
C．一组数据，，，，，的众数和中位数都是
D．“篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中”是不可能事件
【答案】B
【知识点】事件的分类；中位数；众数
【解析】【解答】解：A.“打开电视机，正在播百家讲坛”是一个随机事件，因为在打开电视机时，可能会播百家讲坛，也可能不会播；
B.“在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾”是一个必然事件，因为在标准大气压下，水加热到100℃一定会沸腾；
C.一组数据2，3，4，5，5，6的众数是出现次数最多的数，即5；中位数是将数据按从小到大排列后，位于中间的数，对于偶数个数据，中位数是中间两个数的平均值，即；
D.“篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中”是个随机事件，因为篮球运动员在罚球线上投篮一次，可能会投中，也可能不会投中.
故答案选：B．
【分析】根据中位数的定义，众数的定义，随机事件，必然事件，确定性事件的意义逐项判断即可.
3．（2025九下·南宁开学考）关于的一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：方程的一次项系数为，
故答案选：．
【分析】一元二次方程的一般形式是，b叫一次项系数，根据方程即可求解.
4．（2025九下·南宁开学考）如图，在⊙O中，，. 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BC⊥OA，
∴
∴∠AOC=2∠ADB=2×25°=50°
【分析】根据垂径定理可得 ，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等解答即可．
5．（2025九下·南宁开学考）把抛物线向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把抛物线向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为
故答案选：A．
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减的原则求解即可．
6．（2025九下·南宁开学考）抛掷一枚均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率是 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【分析】列举出所有情况，看硬币正面朝上的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】共抛掷一枚均匀的硬币一次，有正反两种情况，有一次硬币正面朝上，
所以概率为．
故选A．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到至少有一次硬币正面朝上的情况数是解决本题的关键．
7．（2025九下·南宁开学考）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】原方程为x2－2x+4＝0，则其△＝（－2）2－4×1×4＝－12＜0；
由此可得原方程x2－2x+4＝0无实数根.
故答案为：D．
【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式.先求出一元二次方程根的判别式△＝b2－4ac可得：△＝－12＜0，再根据△＜0时，一元二次方程没有实数根，据此可选出选项.
8．（2025九下·南宁开学考）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图），组成了一个完美的六边形（正六边形），图是其平面示意图，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
六边形是正六边形，
，
，
，
同理，，
，
故选：．
【分析】先求出正六边形的内角度数，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理解答即可．
9．（2025九下·南宁开学考）60°的圆心角所对的弧长是3πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵l= ，
∴r= =9，
故选D．
【分析】根据弧长公式求解即可．
10．（2025九下·南宁开学考）嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设原方程为x2+bx+c=0，
根据题意得-b=-7-2，c=3×6，
∴b=9，c=18，
∴原方程为x2+9x+18=0.
故答案选：B．
【分析】设原方程为x2+bx+c=0，根据根与系数的关系得到b=9，c=18，从而得到原方程.
11．（2025九下·南宁开学考）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为（单位：米），下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：D．
【分析】 设车道宽度为 ，即可得到停车位的面积为长和宽都减少x米的矩形的面积，根据矩形的面积公式列方程即可．
12．（2025九下·南宁开学考）如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图②得：当时，在减小，
当时，先变小后变大，
∴应从出发沿运动到，再运动到，
或应从出发沿运动到，再运动到，
设应从出发沿运动到，再运动到，
如图，连接交于，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴当在处时，，即，
∴，
当在处时，，即，
当位于处时，，即，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去），
∴，
∴菱形的周长为；
故答案为：C.
【分析】先根据函数图象中y随x的变化过程得到点的运动过程，然后得到点P在点B和D处时表示AB和BD长，然后利用勾股定理求出a的值解题即可.
13．（2025九下·南宁开学考）二次函数 的顶点坐标是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴二次函数图象的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】因为二次函数是二次函数的顶点式，根据顶点式即可直接写出顶点坐标.
14．（2025九下·南宁开学考）某批乒乓球的质量检验结果如表：
抽取的乒乓球数
优等品的频数
优等品的频率
从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是 精确到
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95．
故答案为：0.95．
【分析】根据“大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定数值左右，这个固定的近似值就是这个事件的概率”解答即可.
15．（2025九下·南宁开学考）如图，一个五角星图案，绕着它的中心O旋转，则旋转角至少为 时，旋转后的五角星与自身重合．
【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由图形可得，五角星图案被分成相同的五份，
∴，
∴只要是旋转的整数倍都可以与原图形重合，
故答案为：．
【分析】根据五角星图案被分成相同的五份，用圆心角360°除以5即可得到最小旋转度数，继而得解.
16．（2025九下·南宁开学考）如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解∶如图，取AB中点H，连接HG，HC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=a，∠ABC=∠BCD=90°，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABG=∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠AGB=90°，
∴，
∵HG、HC的长不变，
∴当H、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
Rt△BCH中，
，
∴CG的最小值，
故答案为：．
【分析】先证明，即可得到，再取AB中点H，，由于HG、HC不变，因此当H、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，依据HG与CH的长，即可得出CG的最小值.
17．（2025九下·南宁开学考）计算：
（1）．
（2）解方程：
【答案】（1）解：原式
（2）解：∵
∴，
则，
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算，即可作答．
（2）运用公式法进行解方程，即可作答．
（1）解：
；
（2）解：∵
∴，
则，
解得，．
18．（2025九下·南宁开学考）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请你画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请你画出关于原点对称的；
（3）在轴上找一点，使的周长最小，请你标出点的位置，此时点的坐标为______．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】（3）解：取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
此时，为最小值，
∴最小，
即的周长最小，
则点即为所求．
由图可知，点的坐标为．
故答案为：．
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时，为最小值，再结合图形求出点P的坐标即可.
19．（2025九下·南宁开学考）化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________；
（2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由题意得，选到的概率为
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式计算解题；
（2）根据列表法得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）由题意得，选到的概率为
故答案为：
（2）列表如下：
由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．
20．（2025九下·南宁开学考）如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为．
（1）的长为_________；的取值范围是_________；
（2）当为何值时，可使矩形花园的面积为；
（3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由.
【答案】（1）；；
（2）解：由题意得矩形花园的面积为，当时，
整理得，
解得（舍），，
∴当时，可使矩形花园的面积为；
（3）解：嘉嘉的说法不正确；理由：根据题意得.
∵，
∴该方程无实数根，
∴矩形花园的面积不可以为，
即嘉嘉的说法不正确．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；；
【分析】（1）利用材料的长得到，用x表示BC长，并根据矩形的边长为正数求出x的取值范围；
（2）根据矩形的面积公式得到一元二次方程，解方程求出符合条件的x值即可；
（3）根据矩形的面积公式得到一元二次方程，利用跟的判别式解答即可．
（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由题意得矩形花园的面积为，
当时，
整理得，
解得（舍），，
∴当时，可使矩形花园的面积为；
（3）嘉嘉的说法不正确；
理由：根据题意得.
∵，
∴该方程无实数根，
∴矩形花园的面积不可以为，
即嘉嘉的说法不正确．
21．（2025九下·南宁开学考）阅读与思考
直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线… 证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，，垂足为O，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，当点B恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由． 小王的解题思路如下：与相切． 理由：连接． ∵点B恰好落在上， ．（依据1） ， ． ， ， ． ，（依据2） ， ∴与相切．
任务：
（1）依据1：_____________________________．
依据2：________________________________．
（2）在图2中，的半径为6，，求的长．
【答案】（1）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形的内角和等于
（2）解：如图2，过点作于点，
，
与相切，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）如图2，连接．
点恰好落在上，
（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
，
．
，
，
．
（三角形内角和是，
，
与相切．
故答案为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形内角和是.
【分析】（1）结合圆周角定理及三角形内角和定理求出，根据切线的判定定理即可得解；
（2）过点作于点，根据直角三角形的性质及角的和差求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求出，结合勾股定理及比例的性质求出，，，再根据勾股定理求解即可．
（1）解：（1）如图2，连接．
点恰好落在上，
（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
，
．
，
，
．
（三角形内角和是，
，
与相切．
故答案为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形内角和是；
（2）解：如图2，过点作于点，
，
与相切，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
．
22．（2025九下·南宁开学考）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
【答案】（1）解：∵ 抛物线（b为常数）的顶点横坐标为x=， 抛物线顶点横坐标为x=1
∴-1=1，
解得b=4.
（2）∵ 点在抛物线上 ，
∴，
∵点在抛物线上 ，
∴，
∴，
整理得h=-t2-2x1t+2x1+4t，
（ⅰ） 若 ，则3t=-t2-2x1t+2x1+4t，
整理t(t+2x1)=t+2x1，
∵，，
∴t+2x1＞0，
∴t=1，
∴h=3t=3.
（ⅱ）把 代入h=-t2-2x1t+2x1+4t中得h=-3t2+8t-2=-3（t-）2+
∵-3＜0，
∴当t=时，h取最大值，最大值为.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）分别求出各抛物线的顶点的横坐标，再利用1抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，建立关于b的等式并解之即可；
（2） 把点点分别代入各函数解析式中，从而求出h=-t2-2x1t+2x1+4t，（ⅰ） 若，即得3t=-t2-2x1t+2x1+4t，解之即可；
（ⅱ）把 代入h=-t2-2x1t+2x1+4t中得h=-3t2+8t-2=-3（t-）2+，利用二次函数的性质求解即可.
23．（2025九下·南宁开学考）综合与实践：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长．
【答案】（1）解：四边形是矩形，理由：
∵点D是的中点，点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图2，过点N作于G，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延长到点G，使得，连接，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
设AM＝AN＝a，则，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，即可得到，然后根据三个角是直角的四边形是矩形得到结论即可．
（2）过点N作于G，先根据勾股定理求出的长，然后求出CG长，再根据余弦的定义解答即可．
（3）延长到点G，使得，连接，，，即可得到，得到，，然后求出，再根据勾股定理求出AN长即可解题．
（1）四边形是矩形，
理由：∵点D是的中点，点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）如图2，过点N作于G，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）延长到点G，使得，连接，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
设AM＝AN＝a，则，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
1 / 1广西南宁市第二十中学2024—2025学年下学期九年级2月质量评估数学试题
1．（2025九下·南宁开学考）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九下·南宁开学考）下列判断正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播百家讲坛”是必然事件
B．“在标准大气压下，水加热到会沸腾”是必然事件
C．一组数据，，，，，的众数和中位数都是
D．“篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中”是不可能事件
3．（2025九下·南宁开学考）关于的一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．5 B．4 C． D．
4．（2025九下·南宁开学考）如图，在⊙O中，，. 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九下·南宁开学考）把抛物线向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·南宁开学考）抛掷一枚均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率是 （ ）
A． B． C． D．1
7．（2025九下·南宁开学考）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
8．（2025九下·南宁开学考）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图），组成了一个完美的六边形（正六边形），图是其平面示意图，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九下·南宁开学考）60°的圆心角所对的弧长是3πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
10．（2025九下·南宁开学考）嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025九下·南宁开学考）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为（单位：米），下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025九下·南宁开学考）如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025九下·南宁开学考）二次函数 的顶点坐标是 ．
14．（2025九下·南宁开学考）某批乒乓球的质量检验结果如表：
抽取的乒乓球数
优等品的频数
优等品的频率
从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是 精确到
15．（2025九下·南宁开学考）如图，一个五角星图案，绕着它的中心O旋转，则旋转角至少为 时，旋转后的五角星与自身重合．
16．（2025九下·南宁开学考）如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ．
17．（2025九下·南宁开学考）计算：
（1）．
（2）解方程：
18．（2025九下·南宁开学考）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请你画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请你画出关于原点对称的；
（3）在轴上找一点，使的周长最小，请你标出点的位置，此时点的坐标为______．
19．（2025九下·南宁开学考）化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________；
（2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．
20．（2025九下·南宁开学考）如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为．
（1）的长为_________；的取值范围是_________；
（2）当为何值时，可使矩形花园的面积为；
（3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由.
21．（2025九下·南宁开学考）阅读与思考
直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线… 证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，，垂足为O，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，当点B恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由． 小王的解题思路如下：与相切． 理由：连接． ∵点B恰好落在上， ．（依据1） ， ． ， ， ． ，（依据2） ， ∴与相切．
任务：
（1）依据1：_____________________________．
依据2：________________________________．
（2）在图2中，的半径为6，，求的长．
22．（2025九下·南宁开学考）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
23．（2025九下·南宁开学考）综合与实践：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、不是中心对称图形，不合题意；
、不是中心对称图形，不合题意；
、是中心对称图形，符合题意；
、不是中心对称图形，不合题意；
故答案为：．
【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐项判断解题．
2．【答案】B
【知识点】事件的分类；中位数；众数
【解析】【解答】解：A.“打开电视机，正在播百家讲坛”是一个随机事件，因为在打开电视机时，可能会播百家讲坛，也可能不会播；
B.“在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾”是一个必然事件，因为在标准大气压下，水加热到100℃一定会沸腾；
C.一组数据2，3，4，5，5，6的众数是出现次数最多的数，即5；中位数是将数据按从小到大排列后，位于中间的数，对于偶数个数据，中位数是中间两个数的平均值，即；
D.“篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中”是个随机事件，因为篮球运动员在罚球线上投篮一次，可能会投中，也可能不会投中.
故答案选：B．
【分析】根据中位数的定义，众数的定义，随机事件，必然事件，确定性事件的意义逐项判断即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：方程的一次项系数为，
故答案选：．
【分析】一元二次方程的一般形式是，b叫一次项系数，根据方程即可求解.
4．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BC⊥OA，
∴
∴∠AOC=2∠ADB=2×25°=50°
【分析】根据垂径定理可得 ，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等解答即可．
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把抛物线向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为
故答案选：A．
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减的原则求解即可．
6．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【分析】列举出所有情况，看硬币正面朝上的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】共抛掷一枚均匀的硬币一次，有正反两种情况，有一次硬币正面朝上，
所以概率为．
故选A．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到至少有一次硬币正面朝上的情况数是解决本题的关键．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】原方程为x2－2x+4＝0，则其△＝（－2）2－4×1×4＝－12＜0；
由此可得原方程x2－2x+4＝0无实数根.
故答案为：D．
【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式.先求出一元二次方程根的判别式△＝b2－4ac可得：△＝－12＜0，再根据△＜0时，一元二次方程没有实数根，据此可选出选项.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
六边形是正六边形，
，
，
，
同理，，
，
故选：．
【分析】先求出正六边形的内角度数，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理解答即可．
9．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵l= ，
∴r= =9，
故选D．
【分析】根据弧长公式求解即可．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设原方程为x2+bx+c=0，
根据题意得-b=-7-2，c=3×6，
∴b=9，c=18，
∴原方程为x2+9x+18=0.
故答案选：B．
【分析】设原方程为x2+bx+c=0，根据根与系数的关系得到b=9，c=18，从而得到原方程.
11．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：D．
【分析】 设车道宽度为 ，即可得到停车位的面积为长和宽都减少x米的矩形的面积，根据矩形的面积公式列方程即可．
12．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图②得：当时，在减小，
当时，先变小后变大，
∴应从出发沿运动到，再运动到，
或应从出发沿运动到，再运动到，
设应从出发沿运动到，再运动到，
如图，连接交于，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴当在处时，，即，
∴，
当在处时，，即，
当位于处时，，即，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去），
∴，
∴菱形的周长为；
故答案为：C.
【分析】先根据函数图象中y随x的变化过程得到点的运动过程，然后得到点P在点B和D处时表示AB和BD长，然后利用勾股定理求出a的值解题即可.
13．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴二次函数图象的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】因为二次函数是二次函数的顶点式，根据顶点式即可直接写出顶点坐标.
14．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95．
故答案为：0.95．
【分析】根据“大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定数值左右，这个固定的近似值就是这个事件的概率”解答即可.
15．【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由图形可得，五角星图案被分成相同的五份，
∴，
∴只要是旋转的整数倍都可以与原图形重合，
故答案为：．
【分析】根据五角星图案被分成相同的五份，用圆心角360°除以5即可得到最小旋转度数，继而得解.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解∶如图，取AB中点H，连接HG，HC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=a，∠ABC=∠BCD=90°，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABG=∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠AGB=90°，
∴，
∵HG、HC的长不变，
∴当H、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
Rt△BCH中，
，
∴CG的最小值，
故答案为：．
【分析】先证明，即可得到，再取AB中点H，，由于HG、HC不变，因此当H、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，依据HG与CH的长，即可得出CG的最小值.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：∵
∴，
则，
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算，即可作答．
（2）运用公式法进行解方程，即可作答．
（1）解：
；
（2）解：∵
∴，
则，
解得，．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】（3）解：取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
此时，为最小值，
∴最小，
即的周长最小，
则点即为所求．
由图可知，点的坐标为．
故答案为：．
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时，为最小值，再结合图形求出点P的坐标即可.
19．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由题意得，选到的概率为
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式计算解题；
（2）根据列表法得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）由题意得，选到的概率为
故答案为：
（2）列表如下：
由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．
20．【答案】（1）；；
（2）解：由题意得矩形花园的面积为，当时，
整理得，
解得（舍），，
∴当时，可使矩形花园的面积为；
（3）解：嘉嘉的说法不正确；理由：根据题意得.
∵，
∴该方程无实数根，
∴矩形花园的面积不可以为，
即嘉嘉的说法不正确．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；；
【分析】（1）利用材料的长得到，用x表示BC长，并根据矩形的边长为正数求出x的取值范围；
（2）根据矩形的面积公式得到一元二次方程，解方程求出符合条件的x值即可；
（3）根据矩形的面积公式得到一元二次方程，利用跟的判别式解答即可．
（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由题意得矩形花园的面积为，
当时，
整理得，
解得（舍），，
∴当时，可使矩形花园的面积为；
（3）嘉嘉的说法不正确；
理由：根据题意得.
∵，
∴该方程无实数根，
∴矩形花园的面积不可以为，
即嘉嘉的说法不正确．
21．【答案】（1）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形的内角和等于
（2）解：如图2，过点作于点，
，
与相切，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）如图2，连接．
点恰好落在上，
（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
，
．
，
，
．
（三角形内角和是，
，
与相切．
故答案为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形内角和是.
【分析】（1）结合圆周角定理及三角形内角和定理求出，根据切线的判定定理即可得解；
（2）过点作于点，根据直角三角形的性质及角的和差求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求出，结合勾股定理及比例的性质求出，，，再根据勾股定理求解即可．
（1）解：（1）如图2，连接．
点恰好落在上，
（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
，
．
，
，
．
（三角形内角和是，
，
与相切．
故答案为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形内角和是；
（2）解：如图2，过点作于点，
，
与相切，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
．
22．【答案】（1）解：∵ 抛物线（b为常数）的顶点横坐标为x=， 抛物线顶点横坐标为x=1
∴-1=1，
解得b=4.
（2）∵ 点在抛物线上 ，
∴，
∵点在抛物线上 ，
∴，
∴，
整理得h=-t2-2x1t+2x1+4t，
（ⅰ） 若 ，则3t=-t2-2x1t+2x1+4t，
整理t(t+2x1)=t+2x1，
∵，，
∴t+2x1＞0，
∴t=1，
∴h=3t=3.
（ⅱ）把 代入h=-t2-2x1t+2x1+4t中得h=-3t2+8t-2=-3（t-）2+
∵-3＜0，
∴当t=时，h取最大值，最大值为.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）分别求出各抛物线的顶点的横坐标，再利用1抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，建立关于b的等式并解之即可；
（2） 把点点分别代入各函数解析式中，从而求出h=-t2-2x1t+2x1+4t，（ⅰ） 若，即得3t=-t2-2x1t+2x1+4t，解之即可；
（ⅱ）把 代入h=-t2-2x1t+2x1+4t中得h=-3t2+8t-2=-3（t-）2+，利用二次函数的性质求解即可.
23．【答案】（1）解：四边形是矩形，理由：
∵点D是的中点，点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图2，过点N作于G，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延长到点G，使得，连接，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
设AM＝AN＝a，则，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，即可得到，然后根据三个角是直角的四边形是矩形得到结论即可．
（2）过点N作于G，先根据勾股定理求出的长，然后求出CG长，再根据余弦的定义解答即可．
（3）延长到点G，使得，连接，，，即可得到，得到，，然后求出，再根据勾股定理求出AN长即可解题．
（1）四边形是矩形，
理由：∵点D是的中点，点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）如图2，过点N作于G，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）延长到点G，使得，连接，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
设AM＝AN＝a，则，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
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