广西壮族自治区南宁市天桃实验学校2024-2025学年八年级下学期开学数学试题
1．（2025八下·青秀开学考）下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、是分数，不是二次根式，则此项不符合题意；
B、是二次根式，则此项符合题意；
C、中的，不是二次根式，则此项不符合题意；
D、是无理数，不是二次根式，则此项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】“形如的式子叫做二次根式”，据此逐项判断即可．
2．（2025八下·青秀开学考）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，则此项符合题意；
B、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，则此项的二次根式中，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】满足“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式”的二次根式就是最简二次根式，据此逐项判断即可得．
3．（2025八下·青秀开学考）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 B．2，2， C．1，3， D．1，3，3
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，则此项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此逐一判断得出答案.
4．（2025八下·青秀开学考）如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】先根据平行四边形的对边平行可得AB∥CD，再根据二直线平行，同旁内角互补求解即可．
5．（2025八下·青秀开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、C、中不含同类二次根式，不能合并，不符合题意；
D．，符合题意．
故答案为：D．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式（被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式 ），再合并同类二次根式（几个最简二次根式，如果被开方数完全相同，则这几个二次根式就是同类二次根式），合并的时候，只需要将同类二次根式的系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B、C选项；根据二次根式的乘法法则“”进行计算可判断D选项.
6．（2025八下·青秀开学考）如图中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．16 B．6 C．4 D．10
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分可得OB=OD，再根据三角形的中位线等于第三边的一半可得答案.
7．（2025八下·青秀开学考）如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第1幅图中阴影部分面积为，
第2幅图中阴影部分面积为，
∵这两幅图形中阴影部分面积相等，
∴可以验证的公式是，
故答案为：B．
【分析】第1幅图中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，结合正方形面积公式表示出图1中阴影面积；第2幅图中，根据梯形的面积公式计算出阴影部分的面积，利用图形剪拼可得这两幅图形中阴影部分面积相等，据此可得结论.
8．（2025八下·青秀开学考）如图，在中，，，平分，交边于点E，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】先根据平行四边形的对边平行且相等得，BC=AD=12，再根据二直线平行，内较长相等得，结合角平分线的定义得，由等角对等边得出，最后根据得出答案．
9．（2025八下·青秀开学考）海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：D．
【分析】先将a、b、c的值代入 算出p的值，再将p及a、b、c的值同时代入根据含括号的有理数的混合运算的运算顺序计算被开方数，再根据二次根式的性质化简即可.
10．（2025八下·青秀开学考）如图，点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵点A在原点的左侧，
∴点A在数轴上表示的实数是．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可求得OB的长为，由同圆半径相等可得，再根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，结合点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．
11．（2025八下·青秀开学考）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体的质量是，物体的质量是时，物体的体积比物体的体积大．如果设物体的体积是，那么根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设物体A的体积是 ，则物体B的体积为，
∵两个物体的密度之比为，
∴可列方程为，
故答案为：D．
【分析】设物体A的体积是 ，则物体B的体积为，根据物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积v之比 分别表示出A、B两个物体的密度分别为与，进而结合A、B两个物体的密度之比等于3∶1，列出方程，进而根据比例性质变形得.
12．（2025八下·青秀开学考）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，则A'F=AF=3cm，
易得，四边形CDBN是矩形，CD=32÷2=16cm，
∴，，
∴，
∴，
即蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为，
故答案为：A．
【分析】圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，则A'F=AF=3cm，易得，四边形CDBN是矩形，CD=32÷2=16cm，由矩形的性质得，，进而根据线段和差算出A'N的长，在Rt△A'NB中，利用勾股定理求出A'B的长，由此即可得．
13．（2025八下·青秀开学考）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】x≥9
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x 9≥0，解得x≥9，
故答案为：x≥9．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
14．（2025八下·青秀开学考）已知分式（为常数）满足表格中的信息：
的取值
分式的值 无意义
则的值是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；负整数指数幂
【解析】【解答】解：当时，分式无意义，
，
，
当时，分式值为，
，
，
，
故答案为：．
【分析】分式无意义的条件是“分母等于0”据此列出方程可求出b的值，分式值为零的条件是“分子等于零，且分母不为零”，据此列出方程可求出a的值，最后根据负整数指数幂的性质“”进行计算即可.
15．（2025八下·青秀开学考）古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形（如图）：分别以等腰Rt的边，，为直径画半圆，若斜边，则图中两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和为 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵△ACD是等腰直角三角形，AD=4，
∴AC=CD，AC2+CD2=AD2，
∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
∴S半圆ACD=，S半圆AEC=，S半圆CFD=，
∴S半圆ACD=S半圆AEC+S半圆CFD，
∴所得两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）
=Rt△ACD的面积
=××
=4；
故答案为：4．
【分析】根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出AC=CD=，AC2+CD2=AD2，进而根据半圆面积计算方法可推出S半圆ACD=S半圆AEC+S半圆CFD，从而利用割补法得出两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和=Rt△ACD的面积，再利用直角三角形面积计算公式列式计算即可.
16．（2025八下·青秀开学考）如图，在中，，，点是线段上的动点，连结，．当是以为腰的等腰三角形时，的长为 ．
【答案】5或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：①当时，是以为腰的等腰三角形；
②当时，是以为腰的等腰三角形，
如图，过点作于点，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴在中，；
综上，的长为5或，
故答案为：5或．
【分析】分两种情况：①当时，②当时，过点作于点，先利用三角形的面积公式可得，在Rt△APQ中，利用勾股定理求出，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
17．（2025八下·青秀开学考）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】解：（1）
．
（2），
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解，
所以分式方程的解为．
【知识点】二次根式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法与除法，再根据二次根式性质分别化简，最后计算减法即可得；
（2）在原分式方程两边同乘以最简公分母约去分母，将分式方程转化为整式方程，解方程可得的值，再代入进行检验即可得．
18．（2025八下·青秀开学考）已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
（1）求证：△AFD≌△CEB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先根据平行线得到∠DFE=∠BEF，然后根据SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据△AFD≌△CEB可得AD=BC且AD∥BC，然后根据平行四边形的判定定理解题即可．
19．（2025八下·青秀开学考）如图，．
（1）作线段边的垂直平分线，直线交边于点，连接；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求的度数．
【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧在AB的两侧分别相交，再过弧的两个交点作直线MN，交AC于点D，连接BD即可；
（）由垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得DA=DB，由等边对等角得∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠ACB=70°，最后利用角的和差关系，由∠DBC=∠ABC-∠ABD即可求解.
（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．（2025八下·青秀开学考）为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量．
（1）求、两点之间的距离．
（2）求购买运动型塑胶地板的费用．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
答：、两点之间的距离．
（2）解：由（1）已得：，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积为
，
∵运动型塑胶地板每平方米200元，
∴购买运动型塑胶地板的费用为（元），
答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）两点间的距离就是连接这两点的线段的长，故连接AC，直接利用勾股定理求解即可得；
（2）先根据勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，且，再由S四边形ABCD=，结合直角三角形的面积计算公式求出四边形ABCD的面积，最后根据购买运动型塑胶地板的费用等于单价乘以数量列式计算即可.
（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
答：、两点之间的距离．
（2）解：如图，连接，
由（1）已得：，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积为
，
∵运动型塑胶地板每平方米200元，
∴购买运动型塑胶地板的费用为（元），
答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元．
21．（2025八下·青秀开学考）在数学学习中，观察实验猜想证明是研究几何图形性质的一般思路．某班同学运用这个思路对三角形三边平方的关系展开了研究：
【观察】在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方（设直角边长分别为，斜边为，那么．对于一般的三角形，三边长分别为，且，其边长的平方是否也存在某种关系．
【实验操作】小组成员通过测量不同类型三角形（锐角三角形，钝角三角形）三边的长度，计算它们的平方并进行比较，猜想三边平方之间的关系：
当是锐角三角形时，三边之间的关系是：；
当是钝角三角形时，三边之间的关系是： ① ．
【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来，过点作，垂足为．这样就把锐角分成了两个直角三角形和，从而可以运用勾股定理进行边的关系推导．
以下是小组成员的证明过程：
如图①，过点作，垂足为．设． 在中，， 在中， ② ， ② ． 化简得，． ． ． ．
（1）其中，①是_______；②是_______．
【知识迁移】（2）如图②，当是钝角三角形时，请证明与之间的关系．
【答案】解：（1）①是；②是；
（2）如图，过点作，交延长线于点．
设，则，
∵在中，，
在中，，
∴，
化简得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）∵当是直角三角形时，三边之间的关系是：，
当是锐角三角形时，三边之间的关系是：，
则猜想当是钝角三角形时，三边之间的关系是：．
如图①，过点作，垂足为．设．
在中，，
在中，，．
化简得，．
．
∴．
．
所以①是；②是；
故答案为：；；
【分析】（1）过点作，垂足为．设，则BD=a-x，在中，利用勾股定理表示出AD2，在中，利用勾股定理表示出AD2，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等得，进而由即可得结论；
（2）过点作，交延长线于点．设，则，利用勾股定理表示出AD2，在中，利用勾股定理表示出AD2，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等得，然后根据即可得结论．
22．（2025八下·青秀开学考）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：
等．
【猜想】（1）_______，并证明你的猜想；
【推理证明】（2）请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
【创新应用】（3）按此规律，若（为正整数），则的值为_______．
【答案】解：（1），证明如下，
，
故答案为：；
（2），证明如下，
（3）
【知识点】二次根式的性质与化简；猜想与证明
【解析】【解答】解：（3），
，，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）先将被开方数化为假分数，再根据二次根式性质将分子中能开得尽方的因数开出去即可；
（2）通过观察发现：等式左边二次根式的被开方数是一个带分数，其整数部分就是“穿墙”数，分数部分的分子与“穿墙”数一致，分母比“穿墙”数的平方少1；等式右边“穿墙”数作了二次根式的系数，二次根式的被开方数就是左边被开方数的分数部分，据此即可用含n的式子表示出规律；然后将被开方数化为假分数形式，再根据二次根式性质将分子中能开得尽方的因数开出去即可；
（3）根据（2）总结的规律得，，据此计算求出的值，代入计算即可．
23．（2025八下·青秀开学考）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654 1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系．
任务：
（1）填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______．
（2）如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
（3）请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数．
【答案】（1）三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下：
分别为的中点，
∴．
分别为的中点，
∴．
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为
．
（3）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当时，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
②如图2，当时，则，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）证明：如图2，连接，
分别为的中点，
，（三角形的中位线定理）
分别为的中点，
．
，
同理：，
四边形是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得答案；
（2）根据三角形的中位线等于第三边的一半可得，，进而根据四边形周长计算方法列式计算可得答案；
（3）分两种情况画出图形，①如图1，当时，先根据三角形的中位线平行于第三边可得，，再根据二直线平行同位角相等，内错角相等得出；②如图2，当时，由邻补角得，先根据三角形的中位线平行于第三边可得，，再根据二直线平行同位角相等，内错角相等得出，综上即可得出答案.
（1）证明：如图2，连接，
分别为的中点，
．（三角形的中位线定理）
分别为的中点，
．
，
同理：，
四边形是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下：
分别为的中点，
∴．
分别为的中点，
∴．
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为
．
（3）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当时，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
②如图2，当时，则，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或．
1 / 1广西壮族自治区南宁市天桃实验学校2024-2025学年八年级下学期开学数学试题
1．（2025八下·青秀开学考）下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·青秀开学考）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八下·青秀开学考）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 B．2，2， C．1，3， D．1，3，3
4．（2025八下·青秀开学考）如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八下·青秀开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·青秀开学考）如图中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．16 B．6 C．4 D．10
7．（2025八下·青秀开学考）如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·青秀开学考）如图，在中，，，平分，交边于点E，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．（2025八下·青秀开学考）海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
10．（2025八下·青秀开学考）如图，点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025八下·青秀开学考）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体的质量是，物体的质量是时，物体的体积比物体的体积大．如果设物体的体积是，那么根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025八下·青秀开学考）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025八下·青秀开学考）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
14．（2025八下·青秀开学考）已知分式（为常数）满足表格中的信息：
的取值
分式的值 无意义
则的值是 ．
15．（2025八下·青秀开学考）古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形（如图）：分别以等腰Rt的边，，为直径画半圆，若斜边，则图中两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和为 ．
16．（2025八下·青秀开学考）如图，在中，，，点是线段上的动点，连结，．当是以为腰的等腰三角形时，的长为 ．
17．（2025八下·青秀开学考）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
18．（2025八下·青秀开学考）已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
（1）求证：△AFD≌△CEB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
19．（2025八下·青秀开学考）如图，．
（1）作线段边的垂直平分线，直线交边于点，连接；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求的度数．
20．（2025八下·青秀开学考）为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量．
（1）求、两点之间的距离．
（2）求购买运动型塑胶地板的费用．
21．（2025八下·青秀开学考）在数学学习中，观察实验猜想证明是研究几何图形性质的一般思路．某班同学运用这个思路对三角形三边平方的关系展开了研究：
【观察】在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方（设直角边长分别为，斜边为，那么．对于一般的三角形，三边长分别为，且，其边长的平方是否也存在某种关系．
【实验操作】小组成员通过测量不同类型三角形（锐角三角形，钝角三角形）三边的长度，计算它们的平方并进行比较，猜想三边平方之间的关系：
当是锐角三角形时，三边之间的关系是：；
当是钝角三角形时，三边之间的关系是： ① ．
【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来，过点作，垂足为．这样就把锐角分成了两个直角三角形和，从而可以运用勾股定理进行边的关系推导．
以下是小组成员的证明过程：
如图①，过点作，垂足为．设． 在中，， 在中， ② ， ② ． 化简得，． ． ． ．
（1）其中，①是_______；②是_______．
【知识迁移】（2）如图②，当是钝角三角形时，请证明与之间的关系．
22．（2025八下·青秀开学考）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：
等．
【猜想】（1）_______，并证明你的猜想；
【推理证明】（2）请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
【创新应用】（3）按此规律，若（为正整数），则的值为_______．
23．（2025八下·青秀开学考）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654 1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系．
任务：
（1）填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______．
（2）如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
（3）请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、是分数，不是二次根式，则此项不符合题意；
B、是二次根式，则此项符合题意；
C、中的，不是二次根式，则此项不符合题意；
D、是无理数，不是二次根式，则此项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】“形如的式子叫做二次根式”，据此逐项判断即可．
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，则此项符合题意；
B、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，则此项的二次根式中，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】满足“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式”的二次根式就是最简二次根式，据此逐项判断即可得．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，则此项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】先根据平行四边形的对边平行可得AB∥CD，再根据二直线平行，同旁内角互补求解即可．
5．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、C、中不含同类二次根式，不能合并，不符合题意；
D．，符合题意．
故答案为：D．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式（被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式 ），再合并同类二次根式（几个最简二次根式，如果被开方数完全相同，则这几个二次根式就是同类二次根式），合并的时候，只需要将同类二次根式的系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B、C选项；根据二次根式的乘法法则“”进行计算可判断D选项.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分可得OB=OD，再根据三角形的中位线等于第三边的一半可得答案.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第1幅图中阴影部分面积为，
第2幅图中阴影部分面积为，
∵这两幅图形中阴影部分面积相等，
∴可以验证的公式是，
故答案为：B．
【分析】第1幅图中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，结合正方形面积公式表示出图1中阴影面积；第2幅图中，根据梯形的面积公式计算出阴影部分的面积，利用图形剪拼可得这两幅图形中阴影部分面积相等，据此可得结论.
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】先根据平行四边形的对边平行且相等得，BC=AD=12，再根据二直线平行，内较长相等得，结合角平分线的定义得，由等角对等边得出，最后根据得出答案．
9．【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：D．
【分析】先将a、b、c的值代入 算出p的值，再将p及a、b、c的值同时代入根据含括号的有理数的混合运算的运算顺序计算被开方数，再根据二次根式的性质化简即可.
10．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵点A在原点的左侧，
∴点A在数轴上表示的实数是．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可求得OB的长为，由同圆半径相等可得，再根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，结合点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．
11．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设物体A的体积是 ，则物体B的体积为，
∵两个物体的密度之比为，
∴可列方程为，
故答案为：D．
【分析】设物体A的体积是 ，则物体B的体积为，根据物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积v之比 分别表示出A、B两个物体的密度分别为与，进而结合A、B两个物体的密度之比等于3∶1，列出方程，进而根据比例性质变形得.
12．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，则A'F=AF=3cm，
易得，四边形CDBN是矩形，CD=32÷2=16cm，
∴，，
∴，
∴，
即蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为，
故答案为：A．
【分析】圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，则A'F=AF=3cm，易得，四边形CDBN是矩形，CD=32÷2=16cm，由矩形的性质得，，进而根据线段和差算出A'N的长，在Rt△A'NB中，利用勾股定理求出A'B的长，由此即可得．
13．【答案】x≥9
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x 9≥0，解得x≥9，
故答案为：x≥9．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
14．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；负整数指数幂
【解析】【解答】解：当时，分式无意义，
，
，
当时，分式值为，
，
，
，
故答案为：．
【分析】分式无意义的条件是“分母等于0”据此列出方程可求出b的值，分式值为零的条件是“分子等于零，且分母不为零”，据此列出方程可求出a的值，最后根据负整数指数幂的性质“”进行计算即可.
15．【答案】4
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵△ACD是等腰直角三角形，AD=4，
∴AC=CD，AC2+CD2=AD2，
∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
∴S半圆ACD=，S半圆AEC=，S半圆CFD=，
∴S半圆ACD=S半圆AEC+S半圆CFD，
∴所得两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）
=Rt△ACD的面积
=××
=4；
故答案为：4．
【分析】根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出AC=CD=，AC2+CD2=AD2，进而根据半圆面积计算方法可推出S半圆ACD=S半圆AEC+S半圆CFD，从而利用割补法得出两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和=Rt△ACD的面积，再利用直角三角形面积计算公式列式计算即可.
16．【答案】5或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：①当时，是以为腰的等腰三角形；
②当时，是以为腰的等腰三角形，
如图，过点作于点，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴在中，；
综上，的长为5或，
故答案为：5或．
【分析】分两种情况：①当时，②当时，过点作于点，先利用三角形的面积公式可得，在Rt△APQ中，利用勾股定理求出，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
17．【答案】解：（1）
．
（2），
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解，
所以分式方程的解为．
【知识点】二次根式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法与除法，再根据二次根式性质分别化简，最后计算减法即可得；
（2）在原分式方程两边同乘以最简公分母约去分母，将分式方程转化为整式方程，解方程可得的值，再代入进行检验即可得．
18．【答案】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先根据平行线得到∠DFE=∠BEF，然后根据SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据△AFD≌△CEB可得AD=BC且AD∥BC，然后根据平行四边形的判定定理解题即可．
19．【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧在AB的两侧分别相交，再过弧的两个交点作直线MN，交AC于点D，连接BD即可；
（）由垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得DA=DB，由等边对等角得∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠ACB=70°，最后利用角的和差关系，由∠DBC=∠ABC-∠ABD即可求解.
（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
答：、两点之间的距离．
（2）解：由（1）已得：，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积为
，
∵运动型塑胶地板每平方米200元，
∴购买运动型塑胶地板的费用为（元），
答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）两点间的距离就是连接这两点的线段的长，故连接AC，直接利用勾股定理求解即可得；
（2）先根据勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，且，再由S四边形ABCD=，结合直角三角形的面积计算公式求出四边形ABCD的面积，最后根据购买运动型塑胶地板的费用等于单价乘以数量列式计算即可.
（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
答：、两点之间的距离．
（2）解：如图，连接，
由（1）已得：，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积为
，
∵运动型塑胶地板每平方米200元，
∴购买运动型塑胶地板的费用为（元），
答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元．
21．【答案】解：（1）①是；②是；
（2）如图，过点作，交延长线于点．
设，则，
∵在中，，
在中，，
∴，
化简得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）∵当是直角三角形时，三边之间的关系是：，
当是锐角三角形时，三边之间的关系是：，
则猜想当是钝角三角形时，三边之间的关系是：．
如图①，过点作，垂足为．设．
在中，，
在中，，．
化简得，．
．
∴．
．
所以①是；②是；
故答案为：；；
【分析】（1）过点作，垂足为．设，则BD=a-x，在中，利用勾股定理表示出AD2，在中，利用勾股定理表示出AD2，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等得，进而由即可得结论；
（2）过点作，交延长线于点．设，则，利用勾股定理表示出AD2，在中，利用勾股定理表示出AD2，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等得，然后根据即可得结论．
22．【答案】解：（1），证明如下，
，
故答案为：；
（2），证明如下，
（3）
【知识点】二次根式的性质与化简；猜想与证明
【解析】【解答】解：（3），
，，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）先将被开方数化为假分数，再根据二次根式性质将分子中能开得尽方的因数开出去即可；
（2）通过观察发现：等式左边二次根式的被开方数是一个带分数，其整数部分就是“穿墙”数，分数部分的分子与“穿墙”数一致，分母比“穿墙”数的平方少1；等式右边“穿墙”数作了二次根式的系数，二次根式的被开方数就是左边被开方数的分数部分，据此即可用含n的式子表示出规律；然后将被开方数化为假分数形式，再根据二次根式性质将分子中能开得尽方的因数开出去即可；
（3）根据（2）总结的规律得，，据此计算求出的值，代入计算即可．
23．【答案】（1）三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下：
分别为的中点，
∴．
分别为的中点，
∴．
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为
．
（3）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当时，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
②如图2，当时，则，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）证明：如图2，连接，
分别为的中点，
，（三角形的中位线定理）
分别为的中点，
．
，
同理：，
四边形是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得答案；
（2）根据三角形的中位线等于第三边的一半可得，，进而根据四边形周长计算方法列式计算可得答案；
（3）分两种情况画出图形，①如图1，当时，先根据三角形的中位线平行于第三边可得，，再根据二直线平行同位角相等，内错角相等得出；②如图2，当时，由邻补角得，先根据三角形的中位线平行于第三边可得，，再根据二直线平行同位角相等，内错角相等得出，综上即可得出答案.
（1）证明：如图2，连接，
分别为的中点，
．（三角形的中位线定理）
分别为的中点，
．
，
同理：，
四边形是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下：
分别为的中点，
∴．
分别为的中点，
∴．
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为
．
（3）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当时，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
②如图2，当时，则，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或．
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