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专题03 等量同种（异种）电荷问题
知识点一 等量异种点电荷与等量同种点电荷的电场线比较
等量异种点电荷 等量同种(正)点电荷
电场线 分布图
连线上电场强度大小 O点最小，从O点沿连线向两边逐渐变大 O点为零，从O点沿连线向两边逐渐变大
中垂线上电场强度大小 O点最大，从O点沿中垂线向两边逐渐变小 O点为零，从O点沿中垂线向两边先变大后变小
关于O点对称的点A与A′、B与B′的电场强度 等大同向 等大反向
知识点二 等量同种点电荷中垂线场强最大位置
如图所示
因为场强最大点与B的连线和连线的夹角的正切值为
如图，真空中有两个电荷量均为q（q＞0）的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为（ ）
A． B．
C． D．
如图，真空中xOy平面直角坐标系上的E、F、G三点构成等边三角形，边长为L。若将两个等量异种点电荷﹣q和+q分别固定在E、F点，则（ ）
A．O点电场强度的方向沿x轴正方向
B．G点电场强度的方向沿y轴正方向
C．O点电场强度的大小为零
D．G点电场强度的大小为
如图所示，A、B为两个等量同种点电荷，a、O、b在点电荷A、B的连线上，c、O、d在连线的中垂线上Oa＝Ob＝Oc＝Od，则（ ）
A．a、b两点的场强大小相同，电势也相同
B．c、d两点的场强大小相同，电势不相同
C．O点是A、B连线上电势最低的点，也是A、B连线上场强最大的点
D．O点是中垂线cd上电势最高的点，也是中垂线cd上场强最大的点
如图所示，真空中固定两个等量同种点电荷+Q，Q为两电荷连线的中点，直线MN是两电荷连线的中垂线，a、b是两电荷连线上关于O对称的两个点，c、d是直线MN上关于O对称的两个点。下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点的场强相同，将一质子沿两电荷连线由a移动到b，其所受静电力先减小后增大
B．a、b两点的场强不同，将一质子沿两电荷连线由a移动到b，其电势能先减小后增大
C．c、d两点的场强不同，将一电子沿直线MN由c移动到d，其所受静电力先增大后减小
D．c，d两点的场强相同，将一电子沿直线MN由c移动到d，其电势能先减小后增大
知识点三 电偶极子系统中的匀速圆周运动
1.带电粒子在等量异号电荷的电场中某点P引入负电荷q，其受到负点电荷的库仑斥力和正点电荷的库仑引力，若满足
且
则给负电荷q一合适的垂直纸面方向的初速度，它就可以以O为圆心、以OP为半径在垂直于纸面的平面内做匀速圆周运动。
2.如图所示，竖直平面内有两个固定的点电荷，电荷量均为＋Q，与其连线中点O的距离均为h，质量为m、电荷量为－q的试探电荷以O为圆心垂直两固定的点电荷的连线做匀速圆周运动，圆周上的两点A、B与O在同一直线上，A、B两点各自和两个正点电荷连线与AB连线的夹角均为θ＝30°，已知静电力常量为k，重力忽略不计，
以试探电荷为研究对象，其做匀速圆周运动，两正点电荷对其静电力的合力提供向心力，做匀速圆周运动所需的向心力大小为
由
可得负点电荷做匀速圆周运动的角速度
（多选）如图所示，竖直平面内有两个固定的点电荷，电荷量均为+Q，与其连线中点O的距离均为h，质量为m、电荷量为﹣q的试探电荷以O为圆心垂直两固定的点电荷的连线做匀速圆周运动，圆周上的两点A、B与O在同一直线上，A、B两点各自和两个正点电荷连线与AB连线的夹角均为θ＝30°，已知静电力常量为k，重力忽略不计，则（ ）
A．试探电荷做匀速圆周运动所需的向心力大小为
B．若将θ增大，试探电荷仍能以O为圆心做匀速圆周运动，则试探电荷的向心力可能变小
C．试探电荷做匀速圆周运动的角速度为
D．若在A点由静止释放负点电荷，该电荷将加速到达B点
如图所示，两个固定的带电荷量均为+q的点电荷a、b，相距为L，通过它们连线中点O作此线段的垂直平面，在此平面上恰好有一个质量为m、带电荷量为﹣q的点电荷c以O为圆心，做半径为L的匀速圆周运动。已知静电力常量为k，则c的速率为（ ）
A．q B．q C．q D．q
（多选）如图甲所示，两个带正电的等量同种点电荷固定于光滑绝缘水平地面上，间距为L，其连线的中点为O点，A、B为水平地面上两点电荷连线的中垂线上的两个点。一电荷量为q、质量为m的试探电荷从A点由静止释放，其运动的v﹣t图像如图乙所示，已知试探电荷t1时刻位于B点，且B点是图乙中图线切线斜率最大的位置（图乙中画出了该切线），下列说法正确的是（ ）
A．试探电荷带正电
B．B点的电场强度大小为
C．试探电荷从A点到B点电势能减小了
D．A点电场强度大于B点电场强度
（多选）电场线能直观、方便地反映电场的分布情况。如图甲是等量异种点电荷形成的电场线分布图，图乙是电场中的一些点，O是两点电荷连线的中点，E、F是两点电荷连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D也关于O对称。则（ ）
A．E、F两点场强相同
B．A、D两点场强不同
C．B、O、C三点中，O点场强最小
D．从E点沿直线向O点运动的电子所受电场力逐渐减小
等量异种点电荷产生的电场等势面分布如图中实线所示，相邻等势面间电势差相等。O是两电荷连线的中点，a、c为两电荷连线上关于O点对称的两点。已知电子在b点电势能比在a点电势能大，则（ ）
A．a、c两点的电场强度方向相反
B．O点左边是正电荷，右边是负电荷
C．a点电场强度比b点的电场强度大
D．把电子从a点移到b点电场力做正功
如图，两个等量负点电荷分别位于x轴上的P、Q两点，其位置关于原点O对称。a、b、c、d四点位于以O点为圆心的圆周上，a、b连线平行于x轴，c、d是圆周与y轴的交点。下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点的电场强度相同
B．a、b两点的电势不相等
C．将正试探电荷从c点沿y轴移动到d点，电势能先增大后减小
D．若两电荷在图中圆周上任一点的电场强度大小分别是E1、E2，则为定值
电场线能直观反映电场的分布情况。如图是等量异号点电荷形成的电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点。则（ ）
A．E、O、F三点中，O点电场强度最小
B．B、O、C三点中，O点电场强度最小
C．A、D两点电场强度不同
D．从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大
如图所示为真空中两点电荷A、B形成的电场中的电场线，已知该电场线关于图中虚线对称，O点为A、B两点电荷连线的中点，a、b为A、B两电荷连线的中垂线上关于O点对称的两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．A、B可能带不等量异种电荷
B．A、B可能带等量同种电荷
C．a、b处电场强度相同
D．a、b处无电场线经过，故其电场强度均为0
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专题03 等量同种（异种）电荷问题
知识点一 等量异种点电荷与等量同种点电荷的电场线比较
等量异种点电荷 等量同种(正)点电荷
电场线 分布图
连线上电场强度大小 O点最小，从O点沿连线向两边逐渐变大 O点为零，从O点沿连线向两边逐渐变大
中垂线上电场强度大小 O点最大，从O点沿中垂线向两边逐渐变小 O点为零，从O点沿中垂线向两边先变大后变小
关于O点对称的点A与A′、B与B′的电场强度 等大同向 等大反向
知识点二 等量同种点电荷中垂线场强最大位置
如图所示
因为场强最大点与B的连线和连线的夹角的正切值为
如图，真空中有两个电荷量均为q（q＞0）的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：M点的电场强度为零，说明两个点电荷在M点处的场强和带电细杆在M点的场强大小相等且方向相反，设均匀细杆在M点的电场强度为E0，根据库仑定律和几何关系可得：
，方向竖直向下
根据对称性可知，均匀细杆在A点的场强大小为E0，方向竖直向上，则A处的场强大小为：
，故D正确，ABC错误；
故选：D。
如图，真空中xOy平面直角坐标系上的E、F、G三点构成等边三角形，边长为L。若将两个等量异种点电荷﹣q和+q分别固定在E、F点，则（ ）
A．O点电场强度的方向沿x轴正方向
B．G点电场强度的方向沿y轴正方向
C．O点电场强度的大小为零
D．G点电场强度的大小为
【解答】解：A、根据等量异种电荷的电场线特点可知，O点的电场强度方向沿x轴负方向，故A错误；
C、根据真空中点电荷场强公式可得O点电场强度大小为，故C错误；
BD、正负电荷在G点的电场强度方向如图所示
根据图中几何关系可知α＝β＝30°，两电荷在G点的场强大小相等为，它们在沿y方向的场强大小相等方向相反，即沿y方向的合场强为零，沿x轴负方向的合场强大小为E，故B错误，D正确。
故选：D。
如图所示，A、B为两个等量同种点电荷，a、O、b在点电荷A、B的连线上，c、O、d在连线的中垂线上Oa＝Ob＝Oc＝Od，则（ ）
A．a、b两点的场强大小相同，电势也相同
B．c、d两点的场强大小相同，电势不相同
C．O点是A、B连线上电势最低的点，也是A、B连线上场强最大的点
D．O点是中垂线cd上电势最高的点，也是中垂线cd上场强最大的点
【解答】解：作出两个电荷连线上的电场线和中垂线上的电场线如图。
A、根据电场线分布可知，a、b两点场强大小相等；由电场线的方向和对称性可知，a、b两点电势相等。故A正确。
B、根据电场线分布可知，c、d两点场强大小相等，方向相反，则场强不同。由电场线的方向和对称性可知，c点电势等于d点电势。故B错误。
C、由图可知，O点电势是A、B连线上的最低点，根据电场强度的叠加可知，O点的电场强度是零，是A、B连线上场强最小的点。故C错误。
D、根据图可知，O点是中垂线cd上电势最高的点，但不是中垂线cd上场强最大的点，而是场强最小的点。故D错误。
故选：A。
如图所示，真空中固定两个等量同种点电荷+Q，Q为两电荷连线的中点，直线MN是两电荷连线的中垂线，a、b是两电荷连线上关于O对称的两个点，c、d是直线MN上关于O对称的两个点。下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点的场强相同，将一质子沿两电荷连线由a移动到b，其所受静电力先减小后增大
B．a、b两点的场强不同，将一质子沿两电荷连线由a移动到b，其电势能先减小后增大
C．c、d两点的场强不同，将一电子沿直线MN由c移动到d，其所受静电力先增大后减小
D．c，d两点的场强相同，将一电子沿直线MN由c移动到d，其电势能先减小后增大
【解答】解：AB．根据等量同种电荷周围的电场特点可知，a、b两点的电场强度大小相等，方向相反，因此两点的电场强度不同，由于O点的场强为零，则质子从a到b的过程中，质子受到的静电力先减小后增大，静电力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，故A错误，B正确；
CD．同理可知，c、d两点的电场强度大小相等，方向相反。由于O点的场强为零，且从O点到无穷远处时电场强度先增大后减小，所以将一电子沿直线MN由c移动到d，电子从c到O的过程中，电子受到的电场力可能一直减小，也可能先增大再减小；从c到O的过程中，电场力做正功，电势能减小；同理，从O到d的过程中，电子受到的电场力可能一直减小，也可能先增大再减小，电场力做负功，电势能增大，故从c到d的过程中，电子的电势能先减小后增大，CD错误。
故选：B。
知识点三 电偶极子系统中的匀速圆周运动
1.带电粒子在等量异号电荷的电场中某点P引入负电荷q，其受到负点电荷的库仑斥力和正点电荷的库仑引力，若满足
且
则给负电荷q一合适的垂直纸面方向的初速度，它就可以以O为圆心、以OP为半径在垂直于纸面的平面内做匀速圆周运动。
2.如图所示，竖直平面内有两个固定的点电荷，电荷量均为＋Q，与其连线中点O的距离均为h，质量为m、电荷量为－q的试探电荷以O为圆心垂直两固定的点电荷的连线做匀速圆周运动，圆周上的两点A、B与O在同一直线上，A、B两点各自和两个正点电荷连线与AB连线的夹角均为θ＝30°，已知静电力常量为k，重力忽略不计，
以试探电荷为研究对象，其做匀速圆周运动，两正点电荷对其静电力的合力提供向心力，做匀速圆周运动所需的向心力大小为
由
可得负点电荷做匀速圆周运动的角速度
（多选）如图所示，竖直平面内有两个固定的点电荷，电荷量均为+Q，与其连线中点O的距离均为h，质量为m、电荷量为﹣q的试探电荷以O为圆心垂直两固定的点电荷的连线做匀速圆周运动，圆周上的两点A、B与O在同一直线上，A、B两点各自和两个正点电荷连线与AB连线的夹角均为θ＝30°，已知静电力常量为k，重力忽略不计，则（ ）
A．试探电荷做匀速圆周运动所需的向心力大小为
B．若将θ增大，试探电荷仍能以O为圆心做匀速圆周运动，则试探电荷的向心力可能变小
C．试探电荷做匀速圆周运动的角速度为
D．若在A点由静止释放负点电荷，该电荷将加速到达B点
【解答】解：A．以试探电荷为研究对象，其做匀速圆周运动，两正点电荷对其静电力的合力提供向心力，做匀速圆周运动所需的向心力大小为
故A错误；
B．θ越大，越靠近O点，由等量同种点电荷产生的电场可知，电场强度可能变小，所以将θ增大向心力有可能变小，故B正确；
C．由向心力公式
可得负点电荷做匀速圆周运动的角速度
故C正确；
D．AO之间的电场强度方向向左，电场力向右，接着由O到B，电场力反向，故先加速后减速运动，到B点速度为零，故D错误。
故选：BC。
如图所示，两个固定的带电荷量均为+q的点电荷a、b，相距为L，通过它们连线中点O作此线段的垂直平面，在此平面上恰好有一个质量为m、带电荷量为﹣q的点电荷c以O为圆心，做半径为L的匀速圆周运动。已知静电力常量为k，则c的速率为（ ）
A．q B．q C．q D．q
【解答】解：c做匀速圆周运动所需要的向心力由两个点电荷+q库仑力的合力提供，对c进行受力分析如图所示，由于c到O点距离RL，所以△abc是等边三角形。
a、b对c的库仑力大小 F1＝F2＝k，
合力为：F合＝2Fcos30°。
由牛顿第二定律得：F合＝m
即m，
解得：v＝q
故选：B。
（多选）如图甲所示，两个带正电的等量同种点电荷固定于光滑绝缘水平地面上，间距为L，其连线的中点为O点，A、B为水平地面上两点电荷连线的中垂线上的两个点。一电荷量为q、质量为m的试探电荷从A点由静止释放，其运动的v﹣t图像如图乙所示，已知试探电荷t1时刻位于B点，且B点是图乙中图线切线斜率最大的位置（图乙中画出了该切线），下列说法正确的是（ ）
A．试探电荷带正电
B．B点的电场强度大小为
C．试探电荷从A点到B点电势能减小了
D．A点电场强度大于B点电场强度
【解答】解：AD、由乙图可知，试探电荷先做加速度逐渐增加的加速运动，再做加速度逐渐隇小的加速运动，试探电荷受到电场力的方向从A到B，故带正电，由于A点的加速度小于B点的加速度，所以A点的电场强度小于B点的电场强度，故A正确、D错误；
B、由乙图可知，B点的加速度
由牛顿第二定律
qE＝maB
解得
故B错误；
C、A到B的过程中，电场力做正功，电势能减小，由动能定理可知
故C正确。
故选：AC。
（多选）电场线能直观、方便地反映电场的分布情况。如图甲是等量异种点电荷形成的电场线分布图，图乙是电场中的一些点，O是两点电荷连线的中点，E、F是两点电荷连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D也关于O对称。则（ ）
A．E、F两点场强相同
B．A、D两点场强不同
C．B、O、C三点中，O点场强最小
D．从E点沿直线向O点运动的电子所受电场力逐渐减小
【解答】解：A、在等量异种点电荷连线的中垂线上，电场强度的方向相同，因此E、F两点场强方向相同，由于E、F是中垂线上关于O对称的两点，电场线疏密程度相同，则其场强大小也相等，故A正确；
B、根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点场强大小相同，由图甲可以看出，A、D两点场强方向也相同，则A、D两点场强相同，故B错误；
C、结合甲、乙两图可以看出，B、O、C三点，O点的电场线最稀疏，场强最小，故C正确；
D、结合甲、乙两图可知，电子从E点沿直线向O点运动过程中，电场强度逐渐增大，则电场力逐渐增大，故D错误。
故选：AC。
等量异种点电荷产生的电场等势面分布如图中实线所示，相邻等势面间电势差相等。O是两电荷连线的中点，a、c为两电荷连线上关于O点对称的两点。已知电子在b点电势能比在a点电势能大，则（ ）
A．a、c两点的电场强度方向相反
B．O点左边是正电荷，右边是负电荷
C．a点电场强度比b点的电场强度大
D．把电子从a点移到b点电场力做正功
【解答】解：AB．由题意及电势能计算式E＝qφ可知，已知电子在b点电势能比在a点电势能大，b点电势低于a点电势，所以O点右边是负电荷，左边是正电荷，所以可画出一对等量异种点电荷产生的电场的分布图。
a、c为两电荷连线上关于O点对称的两点，所以电场强度大小相等方向相同，故A错误，B正确；
C．a点处的电场线比b点处的电场线稀疏，所以a点电场强度比b点的电场强度小，故C错误；
D．电子在b点的电势能比a点的电势能大，从a点到b点电势能增大，电场力做负功，故D错误。
故选：B。
如图，两个等量负点电荷分别位于x轴上的P、Q两点，其位置关于原点O对称。a、b、c、d四点位于以O点为圆心的圆周上，a、b连线平行于x轴，c、d是圆周与y轴的交点。下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点的电场强度相同
B．a、b两点的电势不相等
C．将正试探电荷从c点沿y轴移动到d点，电势能先增大后减小
D．若两电荷在图中圆周上任一点的电场强度大小分别是E1、E2，则为定值
【解答】解：A.由等量负电荷的电场线分布特点可知，a、b两点的场强大小相等，方向不同，故A错误；
B.由等量负电荷的电场线分布特点及对称性可知，a、b两点的电势相等，故B错误；
C.正检验电荷由静止开始仅在电场力作用下从c点运动到d点的过程中，电场力先做正功后做负功，所以检验电荷的电势能先减小后增大，故C错误；
D.设圆半径为R，M为半圆上任一点，P、Q带电量为q，PM与PQ夹角为 θ，则P、Q在M点的场强为，
则
故D正确。
故选：D。
电场线能直观反映电场的分布情况。如图是等量异号点电荷形成的电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点。则（ ）
A．E、O、F三点中，O点电场强度最小
B．B、O、C三点中，O点电场强度最小
C．A、D两点电场强度不同
D．从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大
【解答】解：A.E、O、F三点中，O点电场线最密集，可知电场强度最大，故A错误；
B.B、O、C三点中，O点电场线最稀疏，则电场强度最小，故B正确；
C.A、D两点电场强度大小和方向都相同，故C错误；
D.C点到O点场强逐渐减小，则从C点向O点运动的电子受电场力逐渐减小，则加速度逐渐减小，故D错误。
故选：B。
如图所示为真空中两点电荷A、B形成的电场中的电场线，已知该电场线关于图中虚线对称，O点为A、B两点电荷连线的中点，a、b为A、B两电荷连线的中垂线上关于O点对称的两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．A、B可能带不等量异种电荷
B．A、B可能带等量同种电荷
C．a、b处电场强度相同
D．a、b处无电场线经过，故其电场强度均为0
【解答】解：AB．根据电场线的方向及对称性可知该电场是由等量正点电荷形成的，故A错误，B正确；
C．据等量同种电荷形成的电场的特点，关于O点对称的点场强大小相等，方向相反，可知a、b处电场强度大小相等，方向相反，故C错误；
D．a、b两点处无电场线，电场线只是为了形象描述电场的假想曲线，但其电场强度与有无电场线无关，其电场强度不为零，故D错误。
故选：B。
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