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专题02 点电荷及电场叠加
知识点一 点电荷
1.点电荷
(1)定义：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。
(2)带电体看成点电荷的条件：带电体本身的大小远小于它们之间的距离。
(3)点电荷类似于力学中的质点，也是一种理想化模型。
2．点电荷的电场强度
(1)表达式： E ＝ k。
(2)适用条件：真空、静止、点电荷。
3．点电荷电场的方向
当Q为正电荷时，电场强度E的方向沿半径向外(如图甲);
当Q为负电荷时，电场强度E的方向沿半径向内(如图乙)。
注意：如果以Q为圆心、r为半径作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等，但方向不同。
知识点二 点电荷的电场线
①点电荷的电场线呈辐射状，正电荷的电场线向外至无限远，负电荷则相反。
②以点电荷为球心的同一球面上，电场线疏密相同，但方向不同，说明电场强度大小相等，但方向不同。离场源电荷越近，电场线越密集，电场强度越大。
③同一条电场线上，电场强度方向相同，但大小不等。实际上，点电荷形成的电场中，任意两点的电场强度都不同。
如图是点电荷Q周围的电场线，以下判断正确的是（ ）
A．Q是正电荷，A点的电场强度大于B点的电场强度
B．Q是正电荷，A点的电场强度小于B点的电场强度
C．Q是负电荷，A点的电场强度大于B点的电场强度
D．Q是负电荷，A点的电场强度小于B点的电场强度
如图是某一点电荷的电场线分布图，下列表述正确的是（ ）
A．该点电荷带正电
B．该点电荷带负电
C．a点和b点电场强度的方向相同
D．a点的电场强度小于b点的电场强度
点电荷Q产生的电场电场线分布情况如图所示，在电场中A、B、C三点，下列说法正确的是（ ）
A．点电荷Q带正电
B．任意两个电荷在B点和C点受到的电场力方向一定相同
C．同一点电荷在A点和B点受到的电场力大小相同
D．同一点电荷在B点和C点受到的电场力大小相同
知识点三 电场强度的叠加
(1)电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。
例如，图中P点的电场强度E，等于点电荷＋Q1在该点产生的电场强度E1与点电荷－Q2在该点产生的电场强度E2的矢量和。
(2)电场强度是矢量，对于同一直线上电场强度的合成，可先规定正方向，进而把矢量运算转化成代数运算；对于互成角度的电场强度的叠加，合成时遵循平行四边形定则或三角形定则。
(3)如图所示，均匀带电球体(或球壳)在球外某点产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同，即E＝k。
如图所示，真空中M、N两点分别放有电荷量为+2q和﹣q（q＞0）的点电荷，O、P为MN连线上的两点，虚线为两电荷形成的以O为球心、电势为零的球形等势面（取无穷处电势为零），S为等势面与直线MN的交点，T、Q为等势面上关于MN对称的两点，下列说法正确的是（ ）
A．T、Q两点电场强度相同
B．O点的电势比S点的高
C．将正试探电荷从T点移到P点，静电力做负功
D．除无穷远处外，再没有电场强度为零的点
如图所示，Q是真空中固定的点电荷，a、b，c是以Q所在位置为圆心，半径分别为r或2r球面上的三点，电荷量为﹣q的试探电荷在a点受到的库仑力方向指向Q。则（ ）
A．Q带负电
B．b、c两点电场强度相同
C．a、b两点的电场强度大小之比为4：1
D．将a处试探电荷电荷量变为+2q，该处电场强度变为原来两倍
（多选）电场线能直观、方便的反映电场的分布情况。如图甲所示是等量正点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点，O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D分别是两电荷连线上关于O对称的点。则（ ）
A．E、F两点电场强度相同
B．A、D两点电势相等
C．从E向O运动的电子受到的电场力一定逐渐减小
D．从E向O运动的电子具有的电势能逐渐减小
（多选）如图，A、B、C、D是正方形的四个顶点，A点和C点固定有电荷量都为q的正点电荷，在B点放一未知电荷后，恰好D点的电场强度等于0。正方形边长为L，则（ ）
A．未知电荷带正电
B．未知电荷的电荷量
C．A、C两点处的电荷在D点产生的电场强度相同
D．未知电荷受其他两电荷的静电力的合力大小为
如图所示，两个固定的等量异种电荷，在它们连线的垂直平分线上有a、b、c三点，则（ ）
A．a、b两点场强方向相同
B．a点电势比b点高
C．c点场强为零
D．a、b、c三点中，b点场强最大
等量异种点电荷的电场线和等量同种点电荷的电场线如图所示，下列选项正确的是（ ）
A．对于等量异种点电荷，两电荷连线上的电场强度在中点处最大
B．对于等量异种点电荷，两电荷连线中垂线上的电势处处不相等
C．对于等量同种正点电荷，两电荷连线中垂线上关于中点对称的两点，电势相等
D．对于等量同种正点电荷，两电荷连线上关于中点对称的两点，电场强度大小相等、方向相同
如图所示为两个固定在同一水平面上的点电荷，距离为d，电荷量分别为+Q和﹣Q。在它们的中垂线上水平固定一根内壁光滑的绝缘细管，一电量为+q的小球缓慢经过细管，则小球（ ）
A．小球的加速度先减小后增加
B．小球的速度先减小后增加
C．受到的库仑力最大值为
D．管壁对小球的弹力最大值为
甲、乙、丙、丁四个点电荷形成如图所示的电场线，下列关于其电性描述正确的是（ ）
A．甲带负电 B．乙带正电 C．丙带正电 D．丁带负电
如图所示，真空中固定两个等量同种点电荷+Q，Q为两电荷连线的中点，直线MN是两电荷连线的中垂线，a、b是两电荷连线上关于O对称的两个点，c、d是直线MN上关于O对称的两个点。下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点的场强相同，将一质子沿两电荷连线由a移动到b，其所受静电力先减小后增大
B．a、b两点的场强不同，将一质子沿两电荷连线由a移动到b，其电势能先减小后增大
C．c、d两点的场强不同，将一电子沿直线MN由c移动到d，其所受静电力先增大后减小
D．c，d两点的场强相同，将一电子沿直线MN由c移动到d，其电势能先减小后增大
如图，一半径为R的均匀带电球体，其所带电量为+Q，在球体表面贴上一对电荷量分别为+q、﹣q的点电荷，两点电荷所在位置关于球心O对称，点电荷和带电球体之间无电荷转移，M、N点的电场强度大小和电势分别为EM、EN、φM、φN。则下列说法正确的是（ ）
A．EM＞EN，φM＞φN B．EM＞EN，φM＝φN
C．EM＜EN，φM＞φN D．EM＜EN，φM＝φN
如图所示为两个电荷量均为+q的带电小球A和B（均可视为质点），球A固定在O点的正下方L处，球B用长为L的细线悬挂在O点，静止时，细线与竖直方向的夹角为60°，已知静电常量为k，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．B的质量为
B．B的质量为
C．O点处的电场强度的大小为
D．O点处的电场强度的大小为
如图所示，在边长为a的等边三角形的三个顶点A、B、C上，分别固定三个电荷量相等的点电荷，其中A、B处的点电荷均带正电，C处的点电荷带负电，O为三角形中心。已知点电荷Q的电势表达式为，式中k为静电力常量，r为电场中某点到点电荷的距离，则下列说法正确的是（ ）
A．O点的电场强度大小为
B．O点的电场强度大小为
C．O点的电势为
D．O点的电势为
物理学家在研究带电粒子在特殊电场中运动规律时，设计了一种特殊的电场：在正方形四个顶点固定等量同种电荷，电场线如图，则正方形内部电场强度为零的点个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
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专题02 点电荷及电场叠加
知识点一 点电荷
1.点电荷
(1)定义：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。
(2)带电体看成点电荷的条件：带电体本身的大小远小于它们之间的距离。
(3)点电荷类似于力学中的质点，也是一种理想化模型。
2．点电荷的电场强度
(1)表达式： E ＝ k。
(2)适用条件：真空、静止、点电荷。
3．点电荷电场的方向
当Q为正电荷时，电场强度E的方向沿半径向外(如图甲);
当Q为负电荷时，电场强度E的方向沿半径向内(如图乙)。
注意：如果以Q为圆心、r为半径作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等，但方向不同。
知识点二 点电荷的电场线
①点电荷的电场线呈辐射状，正电荷的电场线向外至无限远，负电荷则相反。
②以点电荷为球心的同一球面上，电场线疏密相同，但方向不同，说明电场强度大小相等，但方向不同。离场源电荷越近，电场线越密集，电场强度越大。
③同一条电场线上，电场强度方向相同，但大小不等。实际上，点电荷形成的电场中，任意两点的电场强度都不同。
如图是点电荷Q周围的电场线，以下判断正确的是（ ）
A．Q是正电荷，A点的电场强度大于B点的电场强度
B．Q是正电荷，A点的电场强度小于B点的电场强度
C．Q是负电荷，A点的电场强度大于B点的电场强度
D．Q是负电荷，A点的电场强度小于B点的电场强度
【解答】解：电场线总是从正电荷后无穷远处出发终止于负电荷或无穷远处。
所以Q是正电荷，
电场线的疏密表示场强的强弱，电场线密的地方电场强，疏的地方电场弱，所以A点的电场强度大于B点的电场强度。
故选：A。
如图是某一点电荷的电场线分布图，下列表述正确的是（ ）
A．该点电荷带正电
B．该点电荷带负电
C．a点和b点电场强度的方向相同
D．a点的电场强度小于b点的电场强度
【解答】解：AB、根据电场线从无穷远出发到负电荷终止可知，该电荷是负电荷。故A错误，B正确。
C、依据电场线某点的切线方向即为电场强度方向，由图看出，a、b两点场强方向不同。故C错误。
D、由图知，a处电场线较密，则a处电场强度大。故D错误。
故选：B。
点电荷Q产生的电场电场线分布情况如图所示，在电场中A、B、C三点，下列说法正确的是（ ）
A．点电荷Q带正电
B．任意两个电荷在B点和C点受到的电场力方向一定相同
C．同一点电荷在A点和B点受到的电场力大小相同
D．同一点电荷在B点和C点受到的电场力大小相同
【解答】解：A、由于电场线的方向都是指向圆心的，根据电场线是从正电荷发出到负电荷可知，点电荷Q带负电，所以A错误。
B、正电荷受到电场力沿着电场线的方向，负电荷受到的电场力与电场线的方向相反，所以正负电荷受到的电场力的方向是相反的，所以B错误。
C、A点和B点在同一圆周上，说明A点和B点的场强的大小是相同的，根据点电荷的场强公式F＝K可知，同一点电荷在A点和B点受到的电场力大小相同，所以C正确。
D、由C的分析可知，B点和C点的场强的大小不同，所以同一点电荷在B点和C点受到的电场力大小不同，所以D错误。
故选：C。
知识点三 电场强度的叠加
(1)电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。
例如，图中P点的电场强度E，等于点电荷＋Q1在该点产生的电场强度E1与点电荷－Q2在该点产生的电场强度E2的矢量和。
(2)电场强度是矢量，对于同一直线上电场强度的合成，可先规定正方向，进而把矢量运算转化成代数运算；对于互成角度的电场强度的叠加，合成时遵循平行四边形定则或三角形定则。
(3)如图所示，均匀带电球体(或球壳)在球外某点产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同，即E＝k。
如图所示，真空中M、N两点分别放有电荷量为+2q和﹣q（q＞0）的点电荷，O、P为MN连线上的两点，虚线为两电荷形成的以O为球心、电势为零的球形等势面（取无穷处电势为零），S为等势面与直线MN的交点，T、Q为等势面上关于MN对称的两点，下列说法正确的是（ ）
A．T、Q两点电场强度相同
B．O点的电势比S点的高
C．将正试探电荷从T点移到P点，静电力做负功
D．除无穷远处外，再没有电场强度为零的点
【解答】解：A．根据点电荷叠加电场中的对称性，可知T、Q两点电场强度大小相等，方向不同，故A错误；
B．负点电荷附近电势一定小于零而且越靠近负点电荷电势越低，故O点电势一定小于S，故B错误；
C．由B选项分析可知，T点电势比P点电势低，将正试探电荷从T点移到P点，电势能增加，静电力做负功，故C正确；
D．由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在N左侧电场强度不可能为零，则N右侧，设MN距离为L，根据
可知除无穷远处外，直线MN电场强度为零的点只有一个，故D错误。
故选：C。
如图所示，Q是真空中固定的点电荷，a、b，c是以Q所在位置为圆心，半径分别为r或2r球面上的三点，电荷量为﹣q的试探电荷在a点受到的库仑力方向指向Q。则（ ）
A．Q带负电
B．b、c两点电场强度相同
C．a、b两点的电场强度大小之比为4：1
D．将a处试探电荷电荷量变为+2q，该处电场强度变为原来两倍
【解答】解：A、电量为﹣q的试探电荷受到的库仑力指向Q，则Q带正电，故A错误；
B、根据点电荷的电场强度计算公式：
可知，bc两点的电场强度大小相等，方向不同，故B错误；
C、根据场强的计算公式可知，因为ab两点与Q点的距离之比为1：2，所以电场强度之比为4：1，故C正确；
D、电场强度与试探电荷无关，所以当电荷量变为原来的2倍时，电场强度依旧保持不变，故D错误；
故选：C。
（多选）电场线能直观、方便的反映电场的分布情况。如图甲所示是等量正点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点，O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D分别是两电荷连线上关于O对称的点。则（ ）
A．E、F两点电场强度相同
B．A、D两点电势相等
C．从E向O运动的电子受到的电场力一定逐渐减小
D．从E向O运动的电子具有的电势能逐渐减小
【解答】解：A.由甲图，根据两等量正点电荷电场的对称性可知，E、F两点电场强度大小相等，方向相反，故E、F两点电场强度不同，故A错误；
B.由甲图，根据两等量正点电荷电场的对称性可知，A、D两点电势相等，故B正确；
C.E点位置不确定，从E点到O点，电场强度可能先增大后减小，也可能一直减小，则电子受到的电场力可能先增大后减小，也可能一直减小，故C错误；
D.由图可知，E点电场强度方向向上，则电子所受电场力方向向下，电子由E到O电场力做正功，则电势能减小，故D正确；
故选：BD。
（多选）如图，A、B、C、D是正方形的四个顶点，A点和C点固定有电荷量都为q的正点电荷，在B点放一未知电荷后，恰好D点的电场强度等于0。正方形边长为L，则（ ）
A．未知电荷带正电
B．未知电荷的电荷量
C．A、C两点处的电荷在D点产生的电场强度相同
D．未知电荷受其他两电荷的静电力的合力大小为
【解答】解：A、A点电荷在D点的场强方向沿AC方向，C点电荷在D点的场强方向沿CD方向，D点的合场强方向沿BD方向，故B点放的未知电荷在D点的场强方向沿DB方向，故B点放的未知电荷带负电，故A错误；
B、A点和C点电荷在D点产生的合强场大小为：，则B点放的未知电荷在D点的场强大小为：，又E＝E'，解得：，故B正确；
C、A和C两点处的电荷在D点产生的电场强度大小相同，方向不同，故C错误；
D、未知电荷受其他两电荷的静电力的合力大小为：F，解得：F，故D正确。
故选：BD。
如图所示，两个固定的等量异种电荷，在它们连线的垂直平分线上有a、b、c三点，则（ ）
A．a、b两点场强方向相同
B．a点电势比b点高
C．c点场强为零
D．a、b、c三点中，b点场强最大
【解答】解：A.a、b两点的场强方向都与垂直平分线垂直向右，方向相同，故A正确；
B.a、b、c是两个等量异种电荷连线的垂直平分线的三点，电势相等，而且与无穷远处电势相等，故B错误；
C.c点场强不等于零，故C错误；
D.根据等量异种点电荷的电场分布，可知在它们连线的垂直平分线上由中点向两侧电场线越来越稀疏，中点c的电场强度最大，a、b、c三点的电场强度大小关系为：Ea＜Eb＜Ec，故D错误。
故选：A。
等量异种点电荷的电场线和等量同种点电荷的电场线如图所示，下列选项正确的是（ ）
A．对于等量异种点电荷，两电荷连线上的电场强度在中点处最大
B．对于等量异种点电荷，两电荷连线中垂线上的电势处处不相等
C．对于等量同种正点电荷，两电荷连线中垂线上关于中点对称的两点，电势相等
D．对于等量同种正点电荷，两电荷连线上关于中点对称的两点，电场强度大小相等、方向相同
【解答】解：A、电场线密的地方电场强度大。根据等量异种点电荷电场线的分布情况可知，两电荷连线上的电场强度在中点处最小，故A错误；
B、对于等量异种点电荷，两电荷连线中垂线是等势线，中垂线上的电势处处相等，故B错误；
C、根据电场线可知，等量同种正点电荷，两电荷连线中垂线上关于中点对称的两点电势相等，故C正确；
D、根据图像可知，等量同种正点电荷，两电荷连线上关于中点对称的两点，电场强度大小相等、方向相反，故D错误。
故选：C。
如图所示为两个固定在同一水平面上的点电荷，距离为d，电荷量分别为+Q和﹣Q。在它们的中垂线上水平固定一根内壁光滑的绝缘细管，一电量为+q的小球缓慢经过细管，则小球（ ）
A．小球的加速度先减小后增加
B．小球的速度先减小后增加
C．受到的库仑力最大值为
D．管壁对小球的弹力最大值为
【解答】解：AB．根据等量异种点电荷电场线分布特点可知，带电小球运动过程中一直受到水平向右的电场力，电场力与细管对其水平弹力平衡，小球的合力为零，加速度为零，小球做匀速直线运动，速度保持不变，故AB错误；
CD．等量异种点电荷连线的中垂线上，连线中点处场强最大，小球在该处受到的库仑力最大，管壁对小球的水平弹力也最大，等量异种点电荷连线中点处场强为
其中
小球受到的库仑力为
F＝qE
联立解得：F
在等量异种点电荷连线中点处，管壁对小球的水平弹力与库仑力平衡，则此时管壁对小球的水平弹力最大值为，故C正确，D错误。
故选：C。
甲、乙、丙、丁四个点电荷形成如图所示的电场线，下列关于其电性描述正确的是（ ）
A．甲带负电 B．乙带正电 C．丙带正电 D．丁带负电
【解答】解：因为电场线始于正电荷（或无穷远），终于负电荷（或无穷远），电场线的疏密程度表示电场的强弱，
所以两图分别是：两等量异种点电荷的电场线分布、两等量负点电荷的电场线分布，
由电场线的方向可知：甲带正电、乙带负电、丙带负电、丁带负电，故D正确，ABC错误；
故选：D。
如图所示，真空中固定两个等量同种点电荷+Q，Q为两电荷连线的中点，直线MN是两电荷连线的中垂线，a、b是两电荷连线上关于O对称的两个点，c、d是直线MN上关于O对称的两个点。下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点的场强相同，将一质子沿两电荷连线由a移动到b，其所受静电力先减小后增大
B．a、b两点的场强不同，将一质子沿两电荷连线由a移动到b，其电势能先减小后增大
C．c、d两点的场强不同，将一电子沿直线MN由c移动到d，其所受静电力先增大后减小
D．c，d两点的场强相同，将一电子沿直线MN由c移动到d，其电势能先减小后增大
【解答】解：AB．根据等量同种电荷周围的电场特点可知，a、b两点的电场强度大小相等，方向相反，因此两点的电场强度不同，由于O点的场强为零，则质子从a到b的过程中，质子受到的静电力先减小后增大，静电力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，故A错误，B正确；
CD．同理可知，c、d两点的电场强度大小相等，方向相反。由于O点的场强为零，且从O点到无穷远处时电场强度先增大后减小，所以将一电子沿直线MN由c移动到d，电子从c到O的过程中，电子受到的电场力可能一直减小，也可能先增大再减小；从c到O的过程中，电场力做正功，电势能减小；同理，从O到d的过程中，电子受到的电场力可能一直减小，也可能先增大再减小，电场力做负功，电势能增大，故从c到d的过程中，电子的电势能先减小后增大，CD错误。
故选：B。
如图，一半径为R的均匀带电球体，其所带电量为+Q，在球体表面贴上一对电荷量分别为+q、﹣q的点电荷，两点电荷所在位置关于球心O对称，点电荷和带电球体之间无电荷转移，M、N点的电场强度大小和电势分别为EM、EN、φM、φN。则下列说法正确的是（ ）
A．EM＞EN，φM＞φN B．EM＞EN，φM＝φN
C．EM＜EN，φM＞φN D．EM＜EN，φM＝φN
【解答】解：根据点电荷电场叠加可知靠近Q的电场越大，则EM＞EN，点电荷+q、﹣q连线的中垂线为等势线，沿着电场线电势逐渐降低，则φM＞φN，故A正确，BCD错误；
故选：A。
如图所示为两个电荷量均为+q的带电小球A和B（均可视为质点），球A固定在O点的正下方L处，球B用长为L的细线悬挂在O点，静止时，细线与竖直方向的夹角为60°，已知静电常量为k，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．B的质量为
B．B的质量为
C．O点处的电场强度的大小为
D．O点处的电场强度的大小为
【解答】解：AB、由图中的几何关系可知，ABO恰好组成等边三角形，即B与A的间距恰好为L；由库仑定律可知，B受到的库仑力为：；
对B受力分析如图：
由图可知，mBg＝F，解得：，故AB错误；
CD、由点电荷电场强度的表达式，即几何关系，可知A、B在O处产生的电场强度大小均为：，方向分别为沿AO指向O，及沿BO指向O，合成如图所示：
由图可知，合场强为：，故C正确，D错误。
故选：C。
如图所示，在边长为a的等边三角形的三个顶点A、B、C上，分别固定三个电荷量相等的点电荷，其中A、B处的点电荷均带正电，C处的点电荷带负电，O为三角形中心。已知点电荷Q的电势表达式为，式中k为静电力常量，r为电场中某点到点电荷的距离，则下列说法正确的是（ ）
A．O点的电场强度大小为
B．O点的电场强度大小为
C．O点的电势为
D．O点的电势为
【解答】解：如图所示，
A、B、C三处的点电荷到O的距离
AB.根据点电荷的场强公式，A、B、C三处的点电荷在O点产生的场强的大小
由于场强E1、E2之间的夹角为120°，根据平行四边形定则，它们的合场强，方向由O指向C
所以O点的合场强，故AB错误；
CD.由于电荷A、C为等量异种电荷，根据等量异种电荷等势面的分布规律，它们的连线的中垂线上的电势为零，即电荷A、C在O点的电势为零；根据点电荷Q的电势表达式可知，点电荷B在O点的电势，故C正确，B错误。
故选：C。
物理学家在研究带电粒子在特殊电场中运动规律时，设计了一种特殊的电场：在正方形四个顶点固定等量同种电荷，电场线如图，则正方形内部电场强度为零的点个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解答】解：由点电荷场强公式可知，四个等量同种电荷在正方形中心O点产生的合场强为零。在正方形内部取A、B、C、D四个点，AOC所在直线、BOD所在直线与正形的边平行。
上方两个点电荷在A点产生的合场强竖直向下，下方两个点电荷在A点产生的合场强竖直向上，又因为AO间的电场线方向向下，A点上方的电场线方向向上，则A点的场强应该为零，同理B、C、D三点的合场强也为零，则正方形内部电场强度为零的点个数是5个，故ACD错误，B正确；
故选：B。
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