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专题10 等效重力场
知识点一 等效重力场
物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。
知识点二 方法应用
(1)求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
(2)将a＝视为等效重力加速度。
(3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”。
注意：这里的最高点不一定是几何最高点。
(4)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。
知识点三 “等效最高点”和“等效最低点”示意图
如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度。下列说法正确的是（ ）
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为
B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到C点时的动能最大
C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点
如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止放着一个可视为质点的带正电的光滑小球，小球质量为m，所带电荷量为+q。轨道的上半圆部分处于水平向右，场强大小的匀强电场中。现给小球一个水平向右的初速度v0，小球恰好能在竖直轨道内完成圆周运动，已知sin37°，sin53°，重力加速度为g，则v0大小为（ ）
A． B． C． D．
（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向右、场强为E＝1×104N/C的匀强电场在匀强电场中有一根长L＝2m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量为0.08kg的带电小球，它静止时悬线与竖直方向成37°角，若小球获得初速度恰能绕O点在竖直平面内做完整的圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，cos37°＝0.8，g取10m/s2。下列说法正确（ ）
A．小球的电荷量q＝3×10﹣5C
B．小球动能的最小值为1J
C．小球在运动至圆周轨迹上的最高点时有机械能的最小值
D．小球绕O点在竖直平面内做圆周运动的电势能和机械能之和保持不变，且为5J
如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g，下列说法不正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度
B．小球动能的最大值为
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大再减小
如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，一内壁光滑、半径为R的绝缘圆轨道固定在竖直平面内，AB为圆轨道的水平直径，CD为竖直直径。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从轨道的最低点C获得一定的初速度v0后，能够在轨道内做圆周运动，已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度E，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到D点时的动能最小
B．小球运动到B点时的机械能最大
C．小球所受重力和电场力的合力方向与竖直方向夹角的正切值为
D．若v0，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动
如图所示，一根长为l的绝缘轻质细绳，一端固定于O点，另一端系着一带电小球，小球所带电荷量为+q，整个装置处在水平方向的匀强电场中，电场强度为E，小球在竖直平面内做圆周运动，a、b为圆周的最高点与最低点，c、d为圆周上与O点等高的两点。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球在b点时动能最大
B．小球在c点时机械能最大
C．小球从a点到d点的过程中电场力做的功为Eql
D．小球从a点到b点的过程中电场力做正功
如图所示，BCD是光滑绝缘的半圆形轨道，位于竖直平面内，直径BD竖直，轨道半径为R，下端与水平光滑绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小球（可视为质点）由水平轨道上的A点静止释放，已知AB之间的距离s＝8R，滑块受到的静电力大小为0.5mg，重力加速度为g。
（1）求小球到达B点时的速度大小；
（2）小球到达D点时轨道对小球的弹力大小；
（3）小球从D点飞出轨道后，落在水平地面上的P点（未画出），求PB之间的距离。
如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b。不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球带负电
B．电场力跟重力平衡
C．小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小
D．小球在运动过程中机械能守恒
如图所示，半径为R的光滑半圆弧槽ABC固定在竖直平面内，B为圆弧槽最低点，质量为m的通电直导体棒a静止于B点，电流方向垂直于纸面向里，空间有水平向右的匀强磁场，重力加速度为g，导体棒对圆弧槽的压力大小等于2mg，现将磁场方向在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转过90°。则此过程中安培力对导体棒做的功为（ ）
A． B．
C． D．
如图，在水平方向的匀强电场中，一质量为m、电量为+q的小球，栓在一长为L的轻绳一端，在水平绝缘光滑桌面上绕O点做圆周运动，小球运动到B点时的速度方向恰与电场方向垂直，小球运动到与B点在同一直径上的A点时，球与绳间刚好没有拉力作用，则（ ）
A．小球在B点时的速度vB
B．小球在B点时的速度vB
C．小球在B点时绳上的拉力大小为5qE
D．小球运动向心加速度的最大值是最小值的6倍
（多选）如图所示，abc是竖直面内的光滑绝缘固定轨道，水平轨道ab与半径为R的圆弧轨道bc相切于b点，轨道所在空间有水平向右的匀强电场，电场强度大小为。现在轨道上的P点由静止释放一个质量为m、电荷量为+q的小滑块，小滑块飞出轨道后到达的最高点为Q（图中未画出）。已知重力加速度大小为g，空气阻力不计，Q点与c点的高度差为，则（ ）
A．Pb长为
B．小滑块在最高点Q的速度为0
C．从c到Q的过程中，小滑块做匀变速运动
D．从b到c的过程中，小滑块对轨道的最大压力为
（多选）如图所示，在场强大小为E的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细线一端栓一个质量为m、电荷量为q的带负电的小球，另一端固定在O点；把小球拉到使细线水平的位置A，然后将小球由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水平成θ＝60°的位置B时速度为零。以下说法正确的是（ ）
A．小球重力与电场力的关系是Eqmg
B．小球重力与电场力的关系是Eq＝mg
C．球在B点时，细线拉力为Tmg
D．球在B点时，细线拉力为Tmg
（多选）如图甲，竖直平面中有平行于该平面的匀强电场，长为l的绝缘轻绳一端固定于O点，另一端连接质量为m、带电量为+q的小球，小球绕O点在竖直面内沿顺时针方向做完整的圆周运动。图中AC为水平直径，BD为竖直直径。从A点开始，小球动能Ek与转过角度θ的关系如图乙所示，已知重力加速度大小为g，则（ ）
A．BD为电场的一条等势线
B．该匀强电场的场强大小为
C．轻绳的最大拉力大小为6mg
D．轻绳在A、C两点拉力的差值为3mg
（多选）如图所示，在足够长的光滑绝缘水平面上竖直固定一光滑绝缘、半径为R的四分之一圆弧轨道BC，B为圆弧的最低点，A点在圆弧左侧的水平面上，且A、B间距为2R。整个装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度大小为E。一质量为m，电荷量为的带正电小球从A点由静止释放，忽略空气阻力，重力加速度大小为g，则（ ）
A．小球运动到B点时的速度大小
B．小球在圆弧BC上运动过程中的最大动能Ekmax＝3mgR
C．小球从离开圆弧轨道到落地过程中的最小速率
D．小球落地点离圆弧轨道B点的距离
如图所示，绝缘光滑轨道ABCD竖直放在与水平方向成θ＝45°的匀强电场中，其中BCD部分是半径为R＝2m的半圆环，轨道的水平部分与半圆平滑相切，现把一质量为m＝0.5kg、电荷量为q＝1C的小球（大小忽略不计），放在水平面上A点由静止开始释放，小球能沿ABCD轨道通过半圆轨道最高点D，且落地时恰好落在B点，重力加速度g＝10N/kg。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）小球过D点时的速度大小；
（3）轨道起点A距B点的距离L的大小。
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专题10 等效重力场
知识点一 等效重力场
物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。
知识点二 方法应用
(1)求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
(2)将a＝视为等效重力加速度。
(3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”。
注意：这里的最高点不一定是几何最高点。
(4)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。
知识点三 “等效最高点”和“等效最低点”示意图
如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度。下列说法正确的是（ ）
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为
B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到C点时的动能最大
C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点
【解答】解：A.由于电场强度
故
mg＝Eq
物体的加速度大小为
故若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为v，则有：
解得
故A错误；
B.若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，根据圆周运动的特点可知，小球在复合场中运动到等效最低点时时，动能最大，根据题意易知C点不是等效最低点，故B错误；
C.小球受合力方向与电场方向夹角45°斜向下，故若将小球在A点由静止开始释放，它将沿合力方向做匀加速直线运动，故C错误；
D.若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，小球将不会沿圆周运动，因此小球在竖直方向做竖直上抛，水平方向做匀加速，因
Eq＝mg
故水平加速度与速度加速大小均为g，当竖直方向上的位移为零时，时间
则水平位移
则说明小球刚好运动到B点，故D正确。
故选：D。
如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止放着一个可视为质点的带正电的光滑小球，小球质量为m，所带电荷量为+q。轨道的上半圆部分处于水平向右，场强大小的匀强电场中。现给小球一个水平向右的初速度v0，小球恰好能在竖直轨道内完成圆周运动，已知sin37°，sin53°，重力加速度为g，则v0大小为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题可知，小球受到的电场力
当小球受到重力和电场力的合力指向圆心时，则该点为小球运动的等效最高点，设该点为P点，如下图
由几何关系
所以
θ＝37°
小球恰好能在竖直轨道内完成圆周运动，则小球在P点受到电场力与重力的合力为其圆周运动提供向心力，由牛顿第二定律
其中
由于小球带正电，故小球从最低点到P点的过程中，重力与电场力均做负功，根据动能定理可得
联立解得
故BCD错误，A正确。
故选：A。
（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向右、场强为E＝1×104N/C的匀强电场在匀强电场中有一根长L＝2m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量为0.08kg的带电小球，它静止时悬线与竖直方向成37°角，若小球获得初速度恰能绕O点在竖直平面内做完整的圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，cos37°＝0.8，g取10m/s2。下列说法正确（ ）
A．小球的电荷量q＝3×10﹣5C
B．小球动能的最小值为1J
C．小球在运动至圆周轨迹上的最高点时有机械能的最小值
D．小球绕O点在竖直平面内做圆周运动的电势能和机械能之和保持不变，且为5J
【解答】解：A、小球静止时受到重力、电场力和绳子的拉力，如图所示。
根据平衡条件可得，小球受到的电场力为
F＝qE＝mgtan37°
解得小球的电荷量为q＝6×10﹣5C，故A错误；
B、小球静止时，电场力和重力的合力反向延长线与轨迹的交点A为动能的最小位置，此时合力可以看成等效重力，即
可得小球动能的最小值为
Ekm L，解得Ekm＝1J，故B正确；
C、在小球运动过程中，只有电场力做功能改变小球的机械能，所以机械能最小的位置是在圆轨道的最左边，故C错误；
D、小球绕O点在竖直平面内做圆周运动的电势能和机械能之和保持不变，因取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，所以电势能和机械能之和等于经过平衡位置时的动能，设为E。从A到平衡位置，由动能定理可知E 2L，即，解得E＝5J，故D正确。
故选：BD。
如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g，下列说法不正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度
B．小球动能的最大值为
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大再减小
【解答】解：A、小球静止时细线与竖直方向成角，对小球受力分析如图所示，
小球受重力、细绳的拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有mgtanθ＝qE，解得：，故A正确；
B、小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A由重力和电场力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有，则小球从A点运动到B点的过程中，由功能关系可知小球在等效最低点B的动能最大，故由功能关系可得，联立解得：，故B正确；
C、小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点与圆心等高处时机械能最小，故C错误；
D、小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大再减小，故D正确。
故选：C。
如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，一内壁光滑、半径为R的绝缘圆轨道固定在竖直平面内，AB为圆轨道的水平直径，CD为竖直直径。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从轨道的最低点C获得一定的初速度v0后，能够在轨道内做圆周运动，已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度E，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到D点时的动能最小
B．小球运动到B点时的机械能最大
C．小球所受重力和电场力的合力方向与竖直方向夹角的正切值为
D．若v0，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动
【解答】解：A、小球除受重力外，还受到水平向右的电场力，根据等效重力场的思想，D点并非等效最高点，故小球运动到D点时的动能并非最小，故A错误；
B、小球具有机械能和电势能，且机械能和电势能之和保持不变，B点电势最低，小球带正电，电势能也最小，因此小球在B点机械能最大，故B错误；
C、小球所受电场力为，设重力与电场力的合力方向与竖直方向的夹角为θ，则，故C错误；
D、为使小球恰好能够沿着轨道做圆周运动，需要小球恰好能够经过等效最高点M点，如图所示
对小球处于M点时进行分析，根据牛顿第二定律得，对小球从C到M的过程分析，根据动能定理得﹣mgR（1，联立解得v0，故D正确。
故选：D。
如图所示，一根长为l的绝缘轻质细绳，一端固定于O点，另一端系着一带电小球，小球所带电荷量为+q，整个装置处在水平方向的匀强电场中，电场强度为E，小球在竖直平面内做圆周运动，a、b为圆周的最高点与最低点，c、d为圆周上与O点等高的两点。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球在b点时动能最大
B．小球在c点时机械能最大
C．小球从a点到d点的过程中电场力做的功为Eql
D．小球从a点到b点的过程中电场力做正功
【解答】解：B.小球在竖直面内做圆周运动，只有电场力和重力做功，则小球的电势能、动能和重力势能之和守恒，根据沿着电场线方向电势降低，可知d点的电势最低，根据Ep＝qφ可知在d点时的电势能最小，可知在d点时的机械能最大，故B错误；
A.小球所受电场力方向水平向右，重力方向竖直向下，重力和电场力的合力方向为斜向右下，在bd 之间，当小球经过重力和电场力的合力方向与圆弧的交点时，在等效最低点，小球的速度最大，此时动能最大，故A错误；
C.小球从a点到d点过程中电场力做功W＝Eql，故C正确；
D.若小球顺时针从a点到b点，电场力方向先与速度方向的夹角为锐角，后为钝角，根据W＝Fxcosθ，可知小球从a点到b点过程中电场力先做正功后做负功，由于ab两点电势相等，电场力总功为零，故D错误。
故选：C。
如图所示，BCD是光滑绝缘的半圆形轨道，位于竖直平面内，直径BD竖直，轨道半径为R，下端与水平光滑绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小球（可视为质点）由水平轨道上的A点静止释放，已知AB之间的距离s＝8R，滑块受到的静电力大小为0.5mg，重力加速度为g。
（1）求小球到达B点时的速度大小；
（2）小球到达D点时轨道对小球的弹力大小；
（3）小球从D点飞出轨道后，落在水平地面上的P点（未画出），求PB之间的距离。
【解答】解：（1）小球从A到B做匀加速直线运动，由动能定理可得：，解得 ；
（2）小球从A到D的过程中，由动能定理可得：
小球在D点受力分析：，
解得FN＝3mg；
（3）小球从D点飞出轨道后做匀变速曲线运动，竖直方向：
水平方向：
设PB之间的距离为x，则 ，
解得x＝3R。
如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b。不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球带负电
B．电场力跟重力平衡
C．小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小
D．小球在运动过程中机械能守恒
【解答】解：AB、由于小球在竖直平面内做匀速圆周运动，所以重力与电场力的合力为0，电场力方向竖直向上，小球带正电，故A错误，B正确；
C、小球从a点运动到b点的过程中，原因电场力做负功，电势能增大，故C错误；
D、由于小球运动过程中有电场力做功，小球机械能不守恒，故D错误。
故选：B。
如图所示，半径为R的光滑半圆弧槽ABC固定在竖直平面内，B为圆弧槽最低点，质量为m的通电直导体棒a静止于B点，电流方向垂直于纸面向里，空间有水平向右的匀强磁场，重力加速度为g，导体棒对圆弧槽的压力大小等于2mg，现将磁场方向在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转过90°。则此过程中安培力对导体棒做的功为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由左手定则可知，匀强磁场水平向右时，安培力竖直向下，根据题意，导体棒对圆弧槽的压力大小等于2mg，由牛顿第三定律可知，圆弧槽对导体棒的支持力为2mg，由平衡条件有
FA+mg＝2mg
解得
FA＝mg
将磁场方向在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转过90°，使导体棒a沿凹槽ABC内壁向A点缓慢移动，导体棒a在移动的过程中处于动态平衡，最终静止于D点，如图所示
由几何关系可得
θ＝45°
则从B点到D点，由动能定理有WA﹣mgR（1﹣cos45°）＝0
解得，故C正确，ABD错误；
故选：C。
如图，在水平方向的匀强电场中，一质量为m、电量为+q的小球，栓在一长为L的轻绳一端，在水平绝缘光滑桌面上绕O点做圆周运动，小球运动到B点时的速度方向恰与电场方向垂直，小球运动到与B点在同一直径上的A点时，球与绳间刚好没有拉力作用，则（ ）
A．小球在B点时的速度vB
B．小球在B点时的速度vB
C．小球在B点时绳上的拉力大小为5qE
D．小球运动向心加速度的最大值是最小值的6倍
【解答】解：AB、由题意可知，小球在A点时，球与绳间刚好没有拉力，即，得：，
小球从A到B，应用动能定理：，解得：，故A错误，B正确；
C、小球在B点时，对小球受力分析：，解得：T＝6qE，故C错误；
D、小球在圆周运动过程中，A点的速度最小、B点的速度最大，由加速度和速度的关系可知：，
即，解得：，故D错误。
故选：B。
（多选）如图所示，abc是竖直面内的光滑绝缘固定轨道，水平轨道ab与半径为R的圆弧轨道bc相切于b点，轨道所在空间有水平向右的匀强电场，电场强度大小为。现在轨道上的P点由静止释放一个质量为m、电荷量为+q的小滑块，小滑块飞出轨道后到达的最高点为Q（图中未画出）。已知重力加速度大小为g，空气阻力不计，Q点与c点的高度差为，则（ ）
A．Pb长为
B．小滑块在最高点Q的速度为0
C．从c到Q的过程中，小滑块做匀变速运动
D．从b到c的过程中，小滑块对轨道的最大压力为
【解答】解：AB．小滑块从c点飞出时速度方向竖直向上，离开c点后在竖直方向做竖直上抛运动，在水平方向做初速度是零的匀加速运动，竖直方向速度减到零时到达最高点Q，可水平方向的速度不是零，小滑块从c点到最高点在竖直方向则有
小滑块从P到c的运动中，由动能定理可得
解得
故A正确，B错误；
C．由前面分析可知，小滑块从c到Q的过程中，竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做初速度是零的匀加速运动，合运动加速度恒定，因此小滑块从c到Q的运动中做匀变速运动，故C正确；
D．从b到c的过程中，小滑块在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方向做匀减速运动，因此小滑块在等效平衡位置d时速度最大，对轨道的压力为最大，如图所示，此时小滑块的重力大小等于所受的电场力，则有θ＝45°，则小滑块从P到d的运动中，由动能定理可得
在d点，对小滑块，由牛顿第二定律可得
解得
由牛顿第三定律可知，从b到c的过程中，小滑块对轨道的最大压力为，D错误。
故选：AC。
（多选）如图所示，在场强大小为E的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细线一端栓一个质量为m、电荷量为q的带负电的小球，另一端固定在O点；把小球拉到使细线水平的位置A，然后将小球由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水平成θ＝60°的位置B时速度为零。以下说法正确的是（ ）
A．小球重力与电场力的关系是Eqmg
B．小球重力与电场力的关系是Eq＝mg
C．球在B点时，细线拉力为Tmg
D．球在B点时，细线拉力为Tmg
【解答】解：AB、小球由A到B根据动能定理有：mglsinθ﹣qE（l﹣lcosθ）＝0，（l为绳子的长度），
化简可知Eqmg，故B错误，A正确；
CD、小球到达B点时速度为零，则沿细线方向合力为零，此时对小球受力分析可知：FT＝qEcos60°+mgsin60°，故细线拉力FTmg＝Eq，故C正确、D错误。
故选：AC。
（多选）如图甲，竖直平面中有平行于该平面的匀强电场，长为l的绝缘轻绳一端固定于O点，另一端连接质量为m、带电量为+q的小球，小球绕O点在竖直面内沿顺时针方向做完整的圆周运动。图中AC为水平直径，BD为竖直直径。从A点开始，小球动能Ek与转过角度θ的关系如图乙所示，已知重力加速度大小为g，则（ ）
A．BD为电场的一条等势线
B．该匀强电场的场强大小为
C．轻绳的最大拉力大小为6mg
D．轻绳在A、C两点拉力的差值为3mg
【解答】解：AB、将恒定的重力mg与电场力qE的合力F作为等效重力如下图所示
由图乙可知当θ＝ 时动能最大为3mgl，此处是等效最低点（图中的P点），当时动能最小为mgl，此处是等效最高点（图中的Q点），F的方向平行的直径PQ，可得重力方向与F方向的夹角为60°。
设电场力方向与F方向的夹角为β，对小球由P到Q点的过程，应用动能定理得
﹣F×2l＝mgl﹣3mgl
解得
F＝mg
由几何关系可知mg、qE、F组成的矢量三角形为等边三角形，可得
qE＝mg，β＝ 60°，F＝mg
解得电场强度大小为
其方向与直径AC的夹角为30°，与直径BD的夹角为60°，可见BD不是电场的一条等势线，故A错误，B正确；
C、在小球运动到等效最低点P点时细绳拉力最大，设在 P点的速度为vP，则有
设轻绳拉力的最大为Tm，根据牛顿第二定律得
解得
T＝7mg
故C错误；
D、设轻绳在C点拉力的为TC，受力分析如上图所示，根据牛顿第二定律得
同理在A点可得
两式联立可得
由A到C的过程，应用动能定理得：
联立可得
故D正确。
故选：BD。
（多选）如图所示，在足够长的光滑绝缘水平面上竖直固定一光滑绝缘、半径为R的四分之一圆弧轨道BC，B为圆弧的最低点，A点在圆弧左侧的水平面上，且A、B间距为2R。整个装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度大小为E。一质量为m，电荷量为的带正电小球从A点由静止释放，忽略空气阻力，重力加速度大小为g，则（ ）
A．小球运动到B点时的速度大小
B．小球在圆弧BC上运动过程中的最大动能Ekmax＝3mgR
C．小球从离开圆弧轨道到落地过程中的最小速率
D．小球落地点离圆弧轨道B点的距离
【解答】A．小球从出发至运动到B点的过程，对小球由动能定理得：
得
故A正确；
B．小球在圆弧BC上运动过程中的最大动能出现在圆弧BC的中点（此时速度方向与重力和电场力的合力方向垂直，重力和电场力的合力方向相当于等效重力方向，速度有极大值），从出发到此处，由动能定理有
Eq（2R+Rsin45°）﹣mg（R﹣Rcos45°）＝Ekmax
得
故B错误；
C．由运动的对称性可知
小球从离开圆弧轨道到落地过程中做类斜抛运动，将vC沿合外力和垂直合外力的方向分解，两个分速度大小均为，在类斜抛运动的最高点有最小速率，此时与合外力反向的分速度减小到零，另一与合外力垂直的分速度为最小速率
故C正确；
D．由于小球在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做加速度为g的匀加速运动，对小球在竖直方向以及水平方向由运动学规律有
则
故D错误。
故选：AC。
如图所示，绝缘光滑轨道ABCD竖直放在与水平方向成θ＝45°的匀强电场中，其中BCD部分是半径为R＝2m的半圆环，轨道的水平部分与半圆平滑相切，现把一质量为m＝0.5kg、电荷量为q＝1C的小球（大小忽略不计），放在水平面上A点由静止开始释放，小球能沿ABCD轨道通过半圆轨道最高点D，且落地时恰好落在B点，重力加速度g＝10N/kg。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）小球过D点时的速度大小；
（3）轨道起点A距B点的距离L的大小。
【解答】解：（1）设小球所受的电场力为F，方向与场强方向相同；
当小球通过D点时，设速度为v，根据牛顿第二定律和向心力公式
小球通过D点后在水平方向做匀减速直线运动，加速度的大小
由于小球落地时恰好落在B点，水平位移
竖直方向做匀加速直线运动，加速度的大小
竖直位移
根据电场力公式F＝Eq
代入数据联立解得
（2）在D点由重力和电场力的竖直分力共同提供向心力，则
代入数据解得过D点的速度为
（3）由A到D的过程，根据动能定理
代入数据解得 L＝5m。
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