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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§6.4多边形的内角和与外角和
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）一个多边形的边数增加1，则内角和与外角和增加的度数之和是( )
A．60° B．90° C．180° D．360°
2．（本题3分）下列说法不正确的是（ ）
A．五边形的外角和为360° B．三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角
C．四边形中至多有3个角是锐角 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
3．（本题3分）一个多边形的内角和为，则从这多边形的一个顶点最多可以引出几条对角线？（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．2条
4．（本题3分）如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
6．（本题3分）老师在微信群发了这样一个图：以线段为边作正五边形和正三角形，连接，交于点，下列四位同学的说法不正确的是（ ）
甲 乙 是的垂直平分线丙 是等腰三角形丁 与平行
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（本题3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形内角和为 B．三角形任意两边之和大于第三边
C．内错角相等 D．垂直于同一直线的两条直线平行
8．（本题3分）一个正多边形内角和是，则这个正多边形的一个外角等于（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的内角和（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）在锐角△ABC中，三条高交于点H，若∠BHC =110°，则∠BAC = °
12．（本题3分）如图中的平面图形由多条直线组成，计算 ．
13．（本题3分）在研究多边形的几何性质中，我们常常把它分割成三角形进行研究．已知一个正多边形的每个外角均为45°，则从该正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线．
14．（本题3分）在下列语句中：
①由∠A：∠B：∠C=4：3：2可确定△ABC是锐角三角形；
②若三角形的两边长是3和4，且周长是偶数，则这个三角形的第三边是3或5；
③一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线互相平行；
④若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形是十二边形．
其中正确的是 （只要写序号）．
15．（本题3分）如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠DEF为五边形ABCDE的一个外角，且∠DEF＝60°，则∠D＝ ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想新修一条道路，要求，求的度数．
17．（本题7分）如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是多少？
18．（本题8分）已知一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多，求这个多边形的总的对角线条数．
19．（本题8分）在学完“三角形内角和等于180度”的数学知识后，数学学习小组进行“多边形内角和”的探究活动．
甲：任意画了一个四边形，然后用量角器测量每个角的度数，发现四边形的内角和等于；
乙：任意画了一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合），发现四个角正好拼成一个周角．于是在纸上写下“四边形的内角和等于360度”；
丙：任意画了一个四边形，从某个顶点出发，将四边形分成2个三角形（如图所示），他对乙说：“看，我用这种方法也得到了跟你一样的结论．”
丁：“那我来算一算五边形的内角和的度数．”
根据以上同学的交流，你能解决下列问题吗？
(1)请简单说明，丙同学是如何得到“四边形的内角和等于360度”这个结论的．
(2)已知四边形的三个内角分别是、、，请求出第四个内角的度数．
(3)请用合适的方法求出八边形的内角和的度数．
20．（本题8分）阅读下列材料，并完成相应的任务：
转化思想是我们常用的数学思想方法之一，通俗地讲，就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为已学知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想方法、例如下面的两个数学问题：问题1：如图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CE是∠ACB的平分线，BD与CE相交于点P．若∠A＝α，则容易得到下列结论：∠BPC＝90°α．问题2：如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与外角∠ACM的平分线CE相交于点P，若∠A＝α，请用含α的式子表示∠BPC．对于问题2，我们就可以转化为问题1的结论去解决：作∠ACB的平分线交BP于点H，则∠PCH＝∠ACP+∠ACH∠ACM∠ACB（∠ACM+∠ACB）180°＝90°．∵∠BHC＝∠PCH+∠HPC，（依据*）∴∠BPC＝∠BHC﹣∠HCP．由问题1可知，∠BHC＝90°α．∴∠BPC＝90°α﹣90°α问题3：如图3，在△ABC中，BD是∠CBM的平分线，CE是∠BCN的平分线，BD与CE相交于点P，若∠A＝α，则请用含a的式子表示∠BPC，可采以下两种方法进行转化．方法1：如图3，作出∠ABC的平分线，与∠ACB的平分线交于点H．方法2：如图4，作出∠ABC的平分线，与PC的延长线交于点H，延长BC到点G．……
任务：
(1)材料中问题2解答中的“依据*”是指________________________；
(2)请你在问题3的方法1和方法2中任选一个，并写出解答过程．
21．（本题9分）课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”．
（注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形）
如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（ ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理．
22．（本题9分）如图，凸四边形中，已知，，射线平分．
（1）填空：________；（直接写答案）
（2）已知为射线上一点，记的面积为，的面积为，且．
①请你用直尺圆规作图，找到点的位置，并说明作图理由．
②过点作，分别交、于点、．请你探究、、三者之间的数量关系，并证明．
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§6.4多边形的内角和与外角和
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）一个多边形的边数增加1，则内角和与外角和增加的度数之和是( )
A．60° B．90° C．180° D．360°
解：根据n边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，
可以得到增加一条边时，边数变为n+1，
则内角和是（n-1） 180°，因而内角和增加：（n-1） 180°-（n-2） 180°=180°，外角和不变.
即：一个多边形的边数增加1，则内角和与外角和增加的度数之和是180°，故选C．
2．（本题3分）下列说法不正确的是（ ）
A．五边形的外角和为360° B．三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角
C．四边形中至多有3个角是锐角 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
解：A、多边形外角和为，所以五边形的外角和为，故正确，不符合题意；
B、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故正确，不符合题意；
C、四边形中至多有3个角是锐角，故正确，不符合题意．
D、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，符合题意；
故选：D．
3．（本题3分）一个多边形的内角和为，则从这多边形的一个顶点最多可以引出几条对角线？（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．2条
解：设多边形的边数为n，
根据题意有：，解得，
则从一个顶点引出的对角线最多有：（条），
故选：A．
4．（本题3分）如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连接并延长，
，，
，
、相邻的两外角平分线交于点，
，
，，
即
．
故选：．
5．（本题3分）如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
解：设多边形的边数为n，
，
解得：，
故选A．
6．（本题3分）老师在微信群发了这样一个图：以线段为边作正五边形和正三角形，连接，交于点，下列四位同学的说法不正确的是（ ）
甲 乙 是的垂直平分线丙 是等腰三角形丁 与平行
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：在正五边形和正三角形中，
，正五边形的每个内角为 ，正三角形的每个内角的度数为，
∴，
∴，
即不垂直于，故甲同学的说法错误，符合题意；
如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点G在线段的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，故乙同学说法正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故丙同学说法正确，不符合题意；
∵，
∴与平行，丁同学说法正确，不符合题意；
故选：A
7．（本题3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形内角和为 B．三角形任意两边之和大于第三边
C．内错角相等 D．垂直于同一直线的两条直线平行
解：A、五边形的内角和为，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
8．（本题3分）一个正多边形内角和是，则这个正多边形的一个外角等于（ ）
A． B． C． D．
解：∵正多边形的内角和是，
∴,
解得,
∴正多边形的一个外角等于，
故选：D．
9．（本题3分）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的内角和（ ）
A． B． C． D．
解：多边形的边数为，
这个多边形的内角和是，
故选：B．
10．（本题3分）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ）
A． B． C． D．
解：连接，，，，
∵正五边形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小，
过点E作于H，交于，
同理可求，
∴，
即当的值最小时，．
故选：C．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）在锐角△ABC中，三条高交于点H，若∠BHC =110°，则∠BAC = °
解：如图所示， ∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AFC=∠AEB=90°，
∵∠EHF=∠BHC=110°，
∴∠=360°-∠AFC-∠AEB-∠EHF=360°-90°-90°-110°=70°．
故答案为：70．
12．（本题3分）如图中的平面图形由多条直线组成，计算 ．
解：如下图所示，由对顶角相等可知：∠2=∠6，∠5=∠7，
逆时针数，∠1、∠6、∠3、∠4、∠7组成了多边形的外角和，
由多边形外角和定理可知：∠1+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，
∴，
故答案为：360°．
13．（本题3分）在研究多边形的几何性质中，我们常常把它分割成三角形进行研究．已知一个正多边形的每个外角均为45°，则从该正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线．
解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得：，
∴，
∴从该正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线，
故答案为：5．
14．（本题3分）在下列语句中：
①由∠A：∠B：∠C=4：3：2可确定△ABC是锐角三角形；
②若三角形的两边长是3和4，且周长是偶数，则这个三角形的第三边是3或5；
③一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线互相平行；
④若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形是十二边形．
其中正确的是 （只要写序号）．
解析：①∵∠A：∠B：∠C＝4：3：2，∴∠A＝180°×＝80°，∴△ABC是锐角三角形，故此项正确；
②三角形的两边长是3和4，设第三边长为x，则1＜x＜7，
∵周长是偶数，
∴第三边长为奇数，
∴这个三角形的第三边是3或5，故此项正确；
③一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线互相平行（或在同一条直线上），故此项错误；
④若一个多边形的外角和是内角和的，则多边形的内角和为360°×5＝1800°，则这个多边形是十二边形，故此项正确．
故答案为①②④．
15．（本题3分）如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠DEF为五边形ABCDE的一个外角，且∠DEF＝60°，则∠D＝ ．
解：∵∠DEF＝60°，
∴∠AED＝120°，
∵∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，
∴∠D＝180°×（5﹣2）﹣80°﹣80°﹣140°﹣120°＝120°，
故答案为：120°．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想新修一条道路，要求，求的度数．
解：将图中与交点命名为，如下图所示：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．（本题7分）如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是多少？
解由图可得，5个扇形的圆心角之和为：（5-2）×180°=540°，
则五个阴影部分的面积之和==6π．
18．（本题8分）已知一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多，求这个多边形的总的对角线条数．
解设多边形的边数为，
根据题意，得
解得：，
∴这个多边形是十一边形，
∴这个多边形的总的对角线条数为．
19．（本题8分）在学完“三角形内角和等于180度”的数学知识后，数学学习小组进行“多边形内角和”的探究活动．
甲：任意画了一个四边形，然后用量角器测量每个角的度数，发现四边形的内角和等于；
乙：任意画了一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合），发现四个角正好拼成一个周角．于是在纸上写下“四边形的内角和等于360度”；
丙：任意画了一个四边形，从某个顶点出发，将四边形分成2个三角形（如图所示），他对乙说：“看，我用这种方法也得到了跟你一样的结论．”
丁：“那我来算一算五边形的内角和的度数．”
根据以上同学的交流，你能解决下列问题吗？
(1)请简单说明，丙同学是如何得到“四边形的内角和等于360度”这个结论的．
(2)已知四边形的三个内角分别是、、，请求出第四个内角的度数．
(3)请用合适的方法求出八边形的内角和的度数．
解（1）丙同学从四边形的某个顶点出发，将四边形分成2个三角形，
也就是分成了（4-2）个三角形，
；
（2）360°-（84°+57°+156°）=63°；
（3）仿照丙同学的方法，从八边形的某个顶点出发，将八边形分成（8-2）=6个三角形，得到八边形的内角和，
．
20．（本题8分）阅读下列材料，并完成相应的任务：
转化思想是我们常用的数学思想方法之一，通俗地讲，就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为已学知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想方法、例如下面的两个数学问题：问题1：如图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CE是∠ACB的平分线，BD与CE相交于点P．若∠A＝α，则容易得到下列结论：∠BPC＝90°α．问题2：如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与外角∠ACM的平分线CE相交于点P，若∠A＝α，请用含α的式子表示∠BPC．对于问题2，我们就可以转化为问题1的结论去解决：作∠ACB的平分线交BP于点H，则∠PCH＝∠ACP+∠ACH∠ACM∠ACB（∠ACM+∠ACB）180°＝90°．∵∠BHC＝∠PCH+∠HPC，（依据*）∴∠BPC＝∠BHC﹣∠HCP．由问题1可知，∠BHC＝90°α．∴∠BPC＝90°α﹣90°α问题3：如图3，在△ABC中，BD是∠CBM的平分线，CE是∠BCN的平分线，BD与CE相交于点P，若∠A＝α，则请用含a的式子表示∠BPC，可采以下两种方法进行转化．方法1：如图3，作出∠ABC的平分线，与∠ACB的平分线交于点H．方法2：如图4，作出∠ABC的平分线，与PC的延长线交于点H，延长BC到点G．……
任务：
(1)材料中问题2解答中的“依据*”是指________________________；
(2)请你在问题3的方法1和方法2中任选一个，并写出解答过程．
（1）解：材料中问题2解答中的“依据*”是指：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）解：如图3，作出∠ABC的平分线，与∠ACB的平分线交于点H，
由问题1可得：∠BHC＝90°α，
由问题2可得：∠PBH＝∠PCH＝90°，
∴∠BPC＝360°﹣90°﹣90°﹣（90°α）
＝90°α．
21．（本题9分）课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”．
（注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形）
如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（ ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理．
解：三角形时，,有2个三角形，
四边形时，有3个三角形，
五边形时，有4个三角形，
……
n边形时，有个三角形．
故答案为．
22．（本题9分）如图，凸四边形中，已知，，射线平分．
（1）填空：________；（直接写答案）
（2）已知为射线上一点，记的面积为，的面积为，且．
①请你用直尺圆规作图，找到点的位置，并说明作图理由．
②过点作，分别交、于点、．请你探究、、三者之间的数量关系，并证明．
解：（1）∵∠
∠
∴∠
故答案为：180°
（2）①作图步骤：
a．以点C为圆心，适当长度为半径作圆，与BC，CD交于两点P，Q；
b．分别以点P，点Q为圆心，大于PQ长度为半径画弧，两弧交于点G，
c．连接CG，并延长与射线BE相交，交点即为所求点F．
理由如下：
∵
∴△ABF看作以AB为底，△CDF看作以CD为底
∴△ABF，△CDF中AB，CD边上的高相等，
即点F到AB，CD边上的距离相等，
又∵F在△ABC的角平分线上，
∴点F到AB，BC边上的距离相等，
∴点F到BC，CD边上的距离相等，
∴点F在∠BCD的角平分线上
（3）数量关系为：
理由如下：如图，过点F作
∵
∴∠
∵
∴∠，∠
又∵∠，∠
∴∠
∵∠，∠
∴∠
过点F作，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴
∴
∴△△
∴
∴
∵BF平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠，∠
∴
∴
即：
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