【培优练】人教版数学八年级下册 18.1.2平行四边形的判定
一、选择题
1．（2024八下·香洲期中）下面各项不能判断是平行四边形的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．（2024八下·奉贤期末）小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ）
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．（2024八下·乌鲁木齐期中） 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·普宁期末）如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A． B． C． D．
5．（2023八下·连平期末）如图，在中，，点分别是中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·江门期中）如图，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
8．如图， 在△ABC中， 延长BC至点 D， 使得，过AC的中点E作EF∥CD(点 F位于点 E 右侧)， 且EF=BC，连结 DF．若AB=4， 则DF的长为( )
A．3 B．2 C． D．
9．（2024八下·深圳期末）如图， 四边形中，，，，，， 则的长为（ ）
A．8 B． C． D．
10．（2024八下·深圳期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．30
11．（2020八下·南海期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
12．（2023八下·禅城期末）如图，点、在直线上，为直线外一点，连接，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则可以判定四边形是平行四边形的理由是 ．
13．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有 个．
14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则 秒时四边形ADFE是平行四边形．
15．（2021八下·海珠期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
16．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2015=
三、解答题
17．（2024八下·南海期末）在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连接，若平分，，，求四边形的面积．
18．（2024八下·南海月考）如图，平行四边形中，点、分别是，的中点，点、在对角线上，且
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点，若，，求的长．
19．（2024八下·高州期末）在中，，，分别是，的中点，延长到点，使得，连接，，，，于交于点．
（1）证明：与互相平分；
（2）如果，，求的长．
20．（2023八下·花都期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a，b满足．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）直接写出B，C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．
21．（2023八下·榕城期末）在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，不可以判定四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC=3，OB=OD=5，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
B、∵AD=BC=6，AB=CD=4，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
C、∵∠DAC=∠ACB=40°，∴AD∥BC，AB=CD=4，一组对边平行且另一组对边相等不能判断四边形ABCD是平行四边形，此选项符合题意；
D、∵∠DAC=∠ACB=40°，∴AD∥BC，∠ABD=∠CDB=35°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据对角线互相平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
C、一组对边平行且另一组对边相等不能判断四边形ABCD是平行四边形，如等腰梯形；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、当BC∥AD，AB=CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
B、∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
D、∵BC∥AD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此逐项判断即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=35°，
∵点D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=35°，
∴∠AED=∠C+∠EDC=70°.
故答案为：C.
【分析】根据等边对等角得∠B=∠C=35°，由三角形的中位线定理得DE∥AB，再由平行线的性质得∠EDC=∠B=35°，最后根据三角形的外角性质可算出答案.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点、分别是的边、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
故答案为：D．
【分析】先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，，再结合，证出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得，再求出即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED= BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG=BC，
∴ED=FG=BC=4，
同理GD=EF=AO=3，
∴四边形DEFG的周长为3+4+3+4=14．
故选B．
【分析】根据三角形中位线定理，可得ED=FG=BC=4，GD=EF=AO=3，进而求出四边形DEFG的周长．
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设EF与AB交于G，如图，
∵E是AC的中点，EF∥CD，
∴G是AB的中点，GE是△ABC的中位线，∴GE＝BC，
EF＝BC，CD＝BC，
∴GE+EF＝CD+BC，∴GF＝BD，
又GF∥BD，∴四边形BDFG是平行四边形，
∴DF＝BG＝AB＝2
故答案为：B.
【分析】先根据平行线等分线段定理证明G是AB中点，得GE是△ABC的中位线，得出GE＝BC＝CD，再证明GF＝BD，得四边形BDFG是平行四边形，从而得出DF＝BG。
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E，如图所示：
∵，CE∥BD，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E，如图所示：由两组对边分别平行得四边形是平行四边形，得四边形BCED为平行四边形，由平行四边形的对边相等得出DE=BC=1，CE=BD=6，由垂直的定义及平行线的性质可得∠ACE=90°，在Rt△ACE中，根据勾股定理算出AE，最后根据AE-DE=AD即可得出结果．
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长DM交AC于E，
∵AM平分∠CAD，AM⊥DM，
∴∠DAM=∠EAM，∠AMD=∠AME=90°，
∴在△ADM和△AEM中，
，
∴△ADM≌△AEM（ASA），
∴DM=EM，AE=AD=12，
∴M点是DE的中点，
∵N是CD的中点，
∴CE=2MN=4，
∴AC=AE+CE=12+4=16，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD∥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC⊥AD，
∴∠CAD=90°，
．
故答案为：B．
【分析】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的中位线，勾股定理，求解AC的长是解题关键．
延长DM交AC于E，由三角形全等的判定定理：ASA可证明△ADM≌△AEM，再由全等三角形的性质：对应边相等可得：AE=AD=12，DM=EM，由三角形中位线的定义可知：MN是△CDE的中位线，结合三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于底边的一半可得：CE=2MN=4，再由线段的和差运算可得：AC=AE+CE=12+4=16，再结合平行四边形的性质利用勾股定理即可求解得出答案．
11．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①符合题意；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
又∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②符合题意；
∴∠DFE=∠DAE=150°，故③符合题意；
∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，
过点 作 于点 ，
∴ ，
故④不符合题意；
∴正确的个数是3个，
故答案为：C．
【分析】由 ，得出∠BAC=90°，则①符合题意；由等边三角形的性质得∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAE=150°，由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB=EF=AD=3，得出四边形AEFD是平行四边形，则②符合题意；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③符合题意；∠FDA=180°－∠DFE=30°，过点 作 于点 ， ，则④不符合题意；即可得出结果．
12．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图过程可知AD=BC，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【分析】由作图过程可知AD=BC，CD=AB，从而根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可得结论.
13．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：当AB平行且等于NM时，四边形ABMN是平行四边形，
当AB平行且等于N′M′时，四边形ABN′M′是平行四边形．
当AB为对角线时，四边形ABN′M′是平行四边形．
故符合题意的有3个点．
故答案为：3．
【分析】利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形进而得出答案．
14．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设t秒时四边形ADFE是平行四边形；
理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，
即t=9﹣2t，
解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．
故答案为：3．
【分析】直接利用平行四边形的判定与性质得出AE=DF，进而得出答案．
15．【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，
∴BD＝ ＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝ DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
【分析】连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，在根据三角形中位线定理得到EF＝ DN，在结合图形解答即可。
16．【答案】
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵E是BC的中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=，AD=AC=，
∵EF∥AC，
∴四边形EDAF是菱形，
∴C1=4×；
同理求得：C2=4×；
…
Cn=4×，
∴C2015=4×=．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理可求出C1的值，进而可得出C2的值，找出规律即可得出C2015的值．
17．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由垂直的概念可得到一组同位角相等，先证明AC平行DF，再由等角的补角相等可得一组同旁内角互补，可得AD平行CF即可；
（2）可利用证得，则，可判定四边形CFD是菱形此时可设，则，利用勾股定理可得到关于的一元二次方程，求解即可得到EF的长，则CE可求，则四边形面积可求．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
18．【答案】（1）证明：∵ABCD为平行四边形
∴AB=DC，∠GAE=∠HCF
∵ 点、分别是，的中点
∴AG=CH
∵AE=CF
∴△AGE≌△CHF(SAS)
∴GE=HF，∠GEA=∠HFC
又∵∠GEA+∠GEF=∠HFC+∠HFE=180°
∴∠GEF=∠HFE
∴GE∥HF
∴ 四边形是平行四边形
（2）解：如图所示
∵四边形ABCD、均为平行四边形，BD=14
∴OA=OC，OB=BD=7，OE=OF
又∵AE=CF，
∴AE=EO=OF=FC，点E为AO中点
又∵点G为AB中点
∴GE为△ABO的中位线
∴
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证明△AGE≌△CHF(SAS)，得到GE=HF，∠GEA=∠HFC，再推出补角∠GEF=∠HFE，得到GE∥HF，继而证明 四边形是平行四边形； （2）由（1）中结论和（2）所给条件可证明，AE=EO=OF=FC，说明点点E为AO中点，再利用中位线性质，即可求出EG的长。
19．【答案】（1）证明：，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分．
（2）解：在中，，，，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键。（1）由，得，，再证AD=EF，可证四边形是平行四边形，则AF与互相平分．（2）根据勾股定理得AC=8，由（1）得EF=3，OF=2，则可得OD.
20．【答案】（1）B(20，12)，C(16，0)；
（2）解：由题意得： ， ，
则： ， ，
当 时，四边形 是平行四边形，
，
解得： ．
（3）解：当 时，过Q作 ，
，
由题意得： ，
解得： ，
故 ， ，
当 时，过P作 轴，
由题意得： ， ，
，
解得： ，
，
故 ， ， ， ．
综上所述： ， ， 或 ， ， ， ．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-20≥0，20-a≥0，
∴a=20，
∴b=16，
∵AB∥OC，A（0，12），∴c=12，
∴ B(20，12)，C(16，0)；
故答案为： B(20，12)，C(16，0)；
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）由题意得 ， ，则 ， ，根据平行线的判定知PB=QC，据此列出方程并解之即可；
（3） 分两种情况：①当 时，过Q作 ，利用勾股定理建立方程并解之即可； ②当 时，过P作 轴， 可得QM=CM，据此建立方程并解之即可.
21．【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE，
又∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN-EN＝4；
②∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由平行线的性质得∠ADB=∠CBD，通过“ASA”证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，由等腰三角形的三线合一得EN=CN=2，根据勾股定理求得DN，由等腰直角三角形得BN=DN，进而根据线段和差即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，根据直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠EDN=∠ECG，由等腰三角形的三线合一得∠EDN＝∠CDN，则∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，进而根据三角形外角性质及角的和差可求出∠CDB=∠DHC，由等角对等边得出CD＝CH.
1 / 1【培优练】人教版数学八年级下册 18.1.2平行四边形的判定
一、选择题
1．（2024八下·香洲期中）下面各项不能判断是平行四边形的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，不可以判定四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
2．（2024八下·奉贤期末）小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ）
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
3．（2024八下·乌鲁木齐期中） 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC=3，OB=OD=5，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
B、∵AD=BC=6，AB=CD=4，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
C、∵∠DAC=∠ACB=40°，∴AD∥BC，AB=CD=4，一组对边平行且另一组对边相等不能判断四边形ABCD是平行四边形，此选项符合题意；
D、∵∠DAC=∠ACB=40°，∴AD∥BC，∠ABD=∠CDB=35°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据对角线互相平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
C、一组对边平行且另一组对边相等不能判断四边形ABCD是平行四边形，如等腰梯形；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形.
4．（2024八下·普宁期末）如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、当BC∥AD，AB=CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
B、∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
D、∵BC∥AD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此逐项判断即可.
5．（2023八下·连平期末）如图，在中，，点分别是中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=35°，
∵点D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=35°，
∴∠AED=∠C+∠EDC=70°.
故答案为：C.
【分析】根据等边对等角得∠B=∠C=35°，由三角形的中位线定理得DE∥AB，再由平行线的性质得∠EDC=∠B=35°，最后根据三角形的外角性质可算出答案.
6．（2024八下·江门期中）如图，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点、分别是的边、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
故答案为：D．
【分析】先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，，再结合，证出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得，再求出即可.
7．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED= BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG=BC，
∴ED=FG=BC=4，
同理GD=EF=AO=3，
∴四边形DEFG的周长为3+4+3+4=14．
故选B．
【分析】根据三角形中位线定理，可得ED=FG=BC=4，GD=EF=AO=3，进而求出四边形DEFG的周长．
8．如图， 在△ABC中， 延长BC至点 D， 使得，过AC的中点E作EF∥CD(点 F位于点 E 右侧)， 且EF=BC，连结 DF．若AB=4， 则DF的长为( )
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设EF与AB交于G，如图，
∵E是AC的中点，EF∥CD，
∴G是AB的中点，GE是△ABC的中位线，∴GE＝BC，
EF＝BC，CD＝BC，
∴GE+EF＝CD+BC，∴GF＝BD，
又GF∥BD，∴四边形BDFG是平行四边形，
∴DF＝BG＝AB＝2
故答案为：B.
【分析】先根据平行线等分线段定理证明G是AB中点，得GE是△ABC的中位线，得出GE＝BC＝CD，再证明GF＝BD，得四边形BDFG是平行四边形，从而得出DF＝BG。
9．（2024八下·深圳期末）如图， 四边形中，，，，，， 则的长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E，如图所示：
∵，CE∥BD，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E，如图所示：由两组对边分别平行得四边形是平行四边形，得四边形BCED为平行四边形，由平行四边形的对边相等得出DE=BC=1，CE=BD=6，由垂直的定义及平行线的性质可得∠ACE=90°，在Rt△ACE中，根据勾股定理算出AE，最后根据AE-DE=AD即可得出结果．
10．（2024八下·深圳期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．30
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长DM交AC于E，
∵AM平分∠CAD，AM⊥DM，
∴∠DAM=∠EAM，∠AMD=∠AME=90°，
∴在△ADM和△AEM中，
，
∴△ADM≌△AEM（ASA），
∴DM=EM，AE=AD=12，
∴M点是DE的中点，
∵N是CD的中点，
∴CE=2MN=4，
∴AC=AE+CE=12+4=16，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD∥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC⊥AD，
∴∠CAD=90°，
．
故答案为：B．
【分析】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的中位线，勾股定理，求解AC的长是解题关键．
延长DM交AC于E，由三角形全等的判定定理：ASA可证明△ADM≌△AEM，再由全等三角形的性质：对应边相等可得：AE=AD=12，DM=EM，由三角形中位线的定义可知：MN是△CDE的中位线，结合三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于底边的一半可得：CE=2MN=4，再由线段的和差运算可得：AC=AE+CE=12+4=16，再结合平行四边形的性质利用勾股定理即可求解得出答案．
11．（2020八下·南海期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①符合题意；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
又∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②符合题意；
∴∠DFE=∠DAE=150°，故③符合题意；
∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，
过点 作 于点 ，
∴ ，
故④不符合题意；
∴正确的个数是3个，
故答案为：C．
【分析】由 ，得出∠BAC=90°，则①符合题意；由等边三角形的性质得∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAE=150°，由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB=EF=AD=3，得出四边形AEFD是平行四边形，则②符合题意；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③符合题意；∠FDA=180°－∠DFE=30°，过点 作 于点 ， ，则④不符合题意；即可得出结果．
二、填空题
12．（2023八下·禅城期末）如图，点、在直线上，为直线外一点，连接，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则可以判定四边形是平行四边形的理由是 ．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图过程可知AD=BC，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【分析】由作图过程可知AD=BC，CD=AB，从而根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可得结论.
13．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有 个．
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：当AB平行且等于NM时，四边形ABMN是平行四边形，
当AB平行且等于N′M′时，四边形ABN′M′是平行四边形．
当AB为对角线时，四边形ABN′M′是平行四边形．
故符合题意的有3个点．
故答案为：3．
【分析】利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形进而得出答案．
14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则 秒时四边形ADFE是平行四边形．
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设t秒时四边形ADFE是平行四边形；
理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，
即t=9﹣2t，
解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．
故答案为：3．
【分析】直接利用平行四边形的判定与性质得出AE=DF，进而得出答案．
15．（2021八下·海珠期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，
∴BD＝ ＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝ DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
【分析】连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，在根据三角形中位线定理得到EF＝ DN，在结合图形解答即可。
16．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2015=
【答案】
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵E是BC的中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=，AD=AC=，
∵EF∥AC，
∴四边形EDAF是菱形，
∴C1=4×；
同理求得：C2=4×；
…
Cn=4×，
∴C2015=4×=．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理可求出C1的值，进而可得出C2的值，找出规律即可得出C2015的值．
三、解答题
17．（2024八下·南海期末）在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连接，若平分，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由垂直的概念可得到一组同位角相等，先证明AC平行DF，再由等角的补角相等可得一组同旁内角互补，可得AD平行CF即可；
（2）可利用证得，则，可判定四边形CFD是菱形此时可设，则，利用勾股定理可得到关于的一元二次方程，求解即可得到EF的长，则CE可求，则四边形面积可求．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
18．（2024八下·南海月考）如图，平行四边形中，点、分别是，的中点，点、在对角线上，且
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵ABCD为平行四边形
∴AB=DC，∠GAE=∠HCF
∵ 点、分别是，的中点
∴AG=CH
∵AE=CF
∴△AGE≌△CHF(SAS)
∴GE=HF，∠GEA=∠HFC
又∵∠GEA+∠GEF=∠HFC+∠HFE=180°
∴∠GEF=∠HFE
∴GE∥HF
∴ 四边形是平行四边形
（2）解：如图所示
∵四边形ABCD、均为平行四边形，BD=14
∴OA=OC，OB=BD=7，OE=OF
又∵AE=CF，
∴AE=EO=OF=FC，点E为AO中点
又∵点G为AB中点
∴GE为△ABO的中位线
∴
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证明△AGE≌△CHF(SAS)，得到GE=HF，∠GEA=∠HFC，再推出补角∠GEF=∠HFE，得到GE∥HF，继而证明 四边形是平行四边形； （2）由（1）中结论和（2）所给条件可证明，AE=EO=OF=FC，说明点点E为AO中点，再利用中位线性质，即可求出EG的长。
19．（2024八下·高州期末）在中，，，分别是，的中点，延长到点，使得，连接，，，，于交于点．
（1）证明：与互相平分；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分．
（2）解：在中，，，，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键。（1）由，得，，再证AD=EF，可证四边形是平行四边形，则AF与互相平分．（2）根据勾股定理得AC=8，由（1）得EF=3，OF=2，则可得OD.
20．（2023八下·花都期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a，b满足．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）直接写出B，C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．
【答案】（1）B(20，12)，C(16，0)；
（2）解：由题意得： ， ，
则： ， ，
当 时，四边形 是平行四边形，
，
解得： ．
（3）解：当 时，过Q作 ，
，
由题意得： ，
解得： ，
故 ， ，
当 时，过P作 轴，
由题意得： ， ，
，
解得： ，
，
故 ， ， ， ．
综上所述： ， ， 或 ， ， ， ．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-20≥0，20-a≥0，
∴a=20，
∴b=16，
∵AB∥OC，A（0，12），∴c=12，
∴ B(20，12)，C(16，0)；
故答案为： B(20，12)，C(16，0)；
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）由题意得 ， ，则 ， ，根据平行线的判定知PB=QC，据此列出方程并解之即可；
（3） 分两种情况：①当 时，过Q作 ，利用勾股定理建立方程并解之即可； ②当 时，过P作 轴， 可得QM=CM，据此建立方程并解之即可.
21．（2023八下·榕城期末）在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE，
又∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN-EN＝4；
②∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由平行线的性质得∠ADB=∠CBD，通过“ASA”证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，由等腰三角形的三线合一得EN=CN=2，根据勾股定理求得DN，由等腰直角三角形得BN=DN，进而根据线段和差即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，根据直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠EDN=∠ECG，由等腰三角形的三线合一得∠EDN＝∠CDN，则∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，进而根据三角形外角性质及角的和差可求出∠CDB=∠DHC，由等角对等边得出CD＝CH.
1 / 1
