【培优练】人教版数学八年级下册 17.2勾股定理的逆定理
一、选择题
1．（2022八下·潼关月考）下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1，3，2 D．7，24，25
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A.，∴不是勾股数，不符合题意；
B.∵0.3，0.4，0.5不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C.，∴不是勾股数，不符合题意；
D.，∴是勾股数，符合题意.
故答案为：D.
【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可.
2．（2024八下·南昌期中）五根小棒，其长度（单位：cm）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、72+202≠242，不能构成直角三角形，152+202=252，能构成直角三角形，A错误；
B、72+242=252，能构成直角三角形，152+202≠242，不能构成直角三角形，B错误；
C、72+242=252，能构成直角三角形，152+202=252，能构成直角三角形，C正确；
D、72+242=252，能构成直角三角形，152+242≠252，不能构成直角三角形，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项进行判断即可.
3．（2025八下·南山开学考）在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件：；；；，能判定为直角三角形的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴为直角三角形，故符合题意；
∵，，
∴，
∴为直角三角形，故符合题意；
∵，
∴，
∴为直角三角形，故符合题意；
∵，
∴，
∴为直角三角形，故符合题意；
综上可知：能判定为直角三角形，共个，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理逐项进行判断即可求出答案.
4．（2022八下·义乌开学考）有下列说法：
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为
，
，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①根据等边三角形的判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，可知①的说法正确；
②由
，可得三边长为 ， ，3的三角形为直角三角形，故②的说法正确；
③等腰三角形的两条边长为2，4，当腰为2，底为4时不构成三角形；当腰为4，底为2时，构成三角形，周长为10，故③说法正确；
④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形，故④说法错误.
正确的说法有3个.
故答案为：B.
【分析】利用等边三角性判定定理，可直接判断①；利用勾股定理的逆定理，计算出三边的平方，可判断②；根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系，分类讨论2为腰以及4为腰的情况，可判断③；根据三角形的中线性质以及等腰直角三角形的判定可判断④，由此可得出答案.
5．（2024八下·遵义期中）在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．∵，，，
∴三角形不是直角三角形；
B．∵，，，，
∴三角形不是直角三角形；
C．∵，，，
∴三角形是直角三角形；
D．∵，，，，
∴三角形不是直角三角形．
故选C．
【分析】
根据三角形各顶点在网格线上的位置利用勾股定理可分别求出各边长、再利用勾股定理的逆定理判断即可．
6．（2024八下·新城期中）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．的面积为10
C． D．点A到直线BC的距离是2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵ 每个小正方形的边长均为1，
∴ 由勾股定理得，AC=，AB=，BC=5，故C项正确；
∵ AC2+AB2=BC2，
∴ △ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，故A项正确；
∴ S==5，故B项错误，符合题意；
设点A到直线BC的距离是h，
∴ S=，
∴ h=2，故D项正确.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理可得AC，AB，BC的长，根据勾股定理的逆定理可判定∠BAC=90°，根据三角形的面积公式求得三角形的面积，进而求得点A到直线BC的距离，即可求得.
7．（2024八下·岫岩月考）已知的三边长分别为，且，则的面积为（ ）
A．30 B．60 C．65 D．无法计算．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股数；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴a=5，b=12，c=13.
∵，
∴ 为直角三角形，以a，b为直角边，c为斜边.
∴.
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根、平方数、绝对值的非负性，先行计算a，b，c的值并判断出其为勾股数，是解题关键.
8．（2024八下·南海期中）已知a、b、c为的三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴（舍去负值）或，
∴是等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
【分析】
将等式左边和右边分别因式分解、 移项 、提取公因式，可求得(a2-b2)(c2 - (a2 + b2)) = 0，进而可得：或，可得或，进而判定三角形的形状．
9．（2024八下·柳州期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，，
，
∴∠ABC=90°，
∵BD是AC边上的中线，
，
故答案为：B．
【分析】
本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，根据勾股定理在正方形网格图中求出各边长度，再根据勾股定理的逆定理：在△ABC中，∠AABC=90°，利用直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
10．（2024八下·吉安月考）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P是网格交点）
A．30 B．45 C．60 D．75
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在网格中作△BCE≌△APD，连接PC，
∴∠PAB=∠CBE，
由图知：BC=PC==，
∵，
∴BC2+PC2==5+5=10，PB2==10，
∴，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴∠PBC=45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠PBA+∠CBE=90°-∠PBC=45°.
故答案为：B．
【分析】根据网格图的特征，在网格中作△BCE≌△APD，连接PC，由全等三角形的对应角相等可得∠PAB=∠CBE，根据网格图的特征并结合勾股定理和勾股定理的逆定理易证△BCP是等腰直角三角形，得到∠PBC=45°，然后由角的构成∠PAB+∠PBA＝∠PBA+∠CBE=90°-∠PBC可求解．
11．（2024八下·乌鲁木齐期中） 如图，在 中，，，于点，以为直径的半圆的面积为，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；圆的面积
【解析】【解答】解：∵以为直径的半圆的面积为，
∴，解得：AD=5，
∵AC=3，CD=4，
∴AC2+CD2=32+42=25=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∵CE⊥AD，
∴S△ACD=AC·CD=AD·CE，
即：×3×4=×5×CE，
解得：CE==2.4.
故答案为：A.
【分析】根据以为直径的半圆的面积为，可得关于AD的方程，解方程求出AD的值，然后用勾股定理的逆定理可判断△ACD是直角三角形，在Rt△ACD中，用面积法可得关于CE的方程，解方程可求解.
12．（2024八下·兴宁期中）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO'＝6+3．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图，
由题意可得，∠1+∠2=∠3+∠3=60°，
∠1+∠3，
又
可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到 ，故 ① 正确，符合题意；
是等边三角形，
故 ② 正确，符合题意；
在中，三边长为3，4，5，是一组勾股数，
是直角三角形，
故 ③ 正确，符合题意；
S四边形AOBO'故 ④ 正确，符合题意；
正确的有 ①②③ ，
故答案为：A.
【分析】连接，先证明结合得到 可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到 ，可判断① 正确，符合题意；根据是等边三角形，可判断 ② 正确，符合题意；在中，三边长为3，4，5，是一组勾股数，得到是直角三角形，可判断③ 正确，符合题意；由S四边形AOBO'，代入数据计算可判断 ④ 正确，符合题意；从而求解.
二、填空题
13．（2024八下·岫岩月考）如图，为内一点，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股数
【解析】【解答】解：∵在中，AD=5，BD=4，
∴.
∵，
∴为直角三角形，∠BAC=90°.
∴.
故答案为：.
【分析】先计算出AB，并判断5，5，为一组勾股数是解题关键. 后利用三角形ABC的面积减去三角形ADB的面积即为阴影面积.
14．（2019八下·宣州期中）若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以 的长为边的三条线段能组成直角三角形，符合题意结论的序号为 ．
【答案】②③
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①选项：根据勾股定理得出 ，所以 不成立，即不满足两边之和大于第三边，本选项不符合题意；
②
即
，
．
故本选项符合题意；
③选项：
，
故本选项符合题意；
④选项：
本选项不符合题意；
故答案是：②③
【分析】已知直角三角形的三条边长，根据勾股定理得出 ，同时直角三角形作为三角形，满足三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即 ，再判断各选项中各个线段是否能组成三角形．
15．（2017八下·洛阳期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA= ，则BD的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：
则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=25，
∴AC=5，
∵AD=5 ，CD=5，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴ = = =1，
∴CM=AB=3，DM=BC=4，
∴BM=BC+CM=7，
∴BD= = = ，
故答案为： ．
【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=AB=3，DM=BC=4，得出BM=BC+CM=7，再由勾股定理求出BD即可
16．（2024八下·瑞金期中）如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB⊥BC，图中阴影是草地，其余是水面．那么乘游艇游点C出发，行进速度为每小时11千米，到达对岸AD最少要用 小时．
【答案】0.4
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图连接AC，过点C 作CE⊥AD于E，
∴ CE即为点C到AD的最短距离，
∵ AB⊥BC，AB=3，BC=4
∴ AC=
∴AC2=25
∵ AD=13，CD=12
∴ AC2+CD2=25+122=132=AD2
∴ ∠ACD=90°
∴ AC×CD=AD×CE
∴ CE=
∴ 到达对岸AD最少要用的时间==0.4
故答案为：0.4.
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等面积法等知识，熟练掌握勾股定理及逆定理是关键。连接AC，过点C 作CE⊥AD于E，则CE即为点C到AD的最短距离，用勾股定理得 AC=5，AC2=25，再用逆定理得 AC2+CD2=25+122=132=AD2，则∠ACD=90°，根据等面积法得 AC×CD=AD×CE，得 CE=，可计算C到AD的最短时间。
17．（2022八下·盂县期中）勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a=20时，b+c的值为 ．
【答案】200
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：根据表中数据可得：
∴
∴当a=20时，．
故答案为：200．
【分析】根据表格中的数据先找出规律，再将a=20代入计算即可。
三、解答题
18．（江西省赣州市兴国县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，已知AC⊥BC，AC＝CB＝BD＝2，．
（1）求AB的长；
（2）求△ABD的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴AB的长为
（2）解：∵，，
∴，
∴△ABD是直角三角形，，
∴△ABD的面积
，
∴△ABD的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证出△ABD是直角三角形，，再利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
19．（2024八下·南昌期中）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地ABCD内进行绿化改造，∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，BC＝17m，CD＝8m．
（1）若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m；最低花费为多少元？
（2）如果种植草皮的费用是200元/m2，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？
【答案】（1）解：如图，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，
∴BD＝＝＝15（m），
∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为120×15＝1800（元）；
（2）解：∵CD＝8m，BC＝17m，BD＝15m，
∴CD2+BD2＝82+152＝289＝172＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴整块空地的面积为：，
∴整块空地上种植草皮共需投入114×200＝22800（元）．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）连接BD，然后利用勾股定理先求BD，即可求解；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，接下来利用三角形的面积公式求出整块空地的面积，最后再计算总费用即可．
20．（2024八下·江城期中）如图所示，某公路一侧有两个送奶站，为公路上一供奶站，和为供奶路线，现已测得，若有一人从处出发，沿公路边向右行走，速度为，问：多长时间后这个人距送奶站最近？
【答案】解：如图，过作公路于
，
是直角三角形，且，
，
，
在Rt中，，
，
小时后这人距离送奶站最近．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】过作公路于，根据勾股定理逆定理即可知：是直角三角形，然后根据题意和角的运算求出最后根据含30°角的直角三角形的性质求出CD的长度，进而即可求解.
21．（2023八下·西华期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米？
【答案】（1）解：∵在中，，，，
∴，
是以∠BHC为直角的直角三角形，
∴CH⊥AB，
∵点到直线垂线段的长度最短，
∴CH是村庄C到河边的最近路；
（2）解：设，
千米，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
千米，
∴CH比CA短千米．
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出△CHB是以∠BHC为直角的直角三角形，再利用垂线段最短的性质可得CH是村庄C到河边的最近路；
（2）设，利用勾股定理可得，即，求出x的值，最后求出CH比CA短千米即可．
22．（2024八下·柳南期中）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口如图，向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行，已知它们离港口后相距30海里（即海里），问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度
【答案】解：根据题意得：∠AOD=40°，OA=16×1.5=24海里，
OB=12×1.5=18海里，
∵AB=30海里，
∴，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=50°，
答：另一艘轮船航行的方向是北偏西度．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据题意得：∠AOD=40°，OA=16×1.5=24海里，OB=12×1.5=18海里，再结合AB=30海里，根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两条边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形 可知：，即∠AOB=90°，再根据角的和差运算可知：∠BOD=∠AOB-∠AOD=50°，即可得出答案.
23．（2024八下·罗定期中）3月15日是国际消费者权益日，广东各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进高质量发展，营造良好消费环境．图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】答：该车符合安全标准，理由如下：
解：在中，由勾股定理，得，
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴该车符合安全标准．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先在中，根据勾股定理求出，然后结合已知条件根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可得出结论．
24．（2024八下·海珠期中）如图，在平面坐标系中，点A、点分别在轴、轴的正半轴上，且，另有两点，和，（、均大于）．
（1）连接、、，求证：为等腰直角三角形；
（2）连接、、，若，，，求的度数；
（3）若，在线段上有一点，且，，，求的面积．
【答案】（1）证明：过点、点向轴、轴作垂线，垂足分别为、．
∵（、均大于），
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形.
（2）解：连接，如图所示：
在与中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作，为垂足，如图所示：
由勾股定理得，，，
设，可得，
解得：，
∴，
在中，得，
∵，，
∴，
∴的面积．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）过点、点向轴、轴作垂线，垂足分别为、，先利用“SAS”证出，可得，，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到是等腰直角三角形；
（2）连接DA，先利用“SAS”证出，可得，，再利用勾股定理的逆定理证出，最后利用角的运算求出即可；
（3）作，为垂足，设，利用勾股定理可得，求出x的值，可得EF的长，再利用勾股定理求出CF的长，再求出，最后利用三角形的面积公式求解即可.
（1）证明：过点、点向轴、轴作垂线，垂足分别为、．
∵（、均大于），
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：连接，
在与中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作，为垂足，
由勾股定理得，，，
设，可得，
解得，
∴，
在中，得，
∵，，
∴，
∴的面积．
1 / 1【培优练】人教版数学八年级下册 17.2勾股定理的逆定理
一、选择题
1．（2022八下·潼关月考）下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1，3，2 D．7，24，25
2．（2024八下·南昌期中）五根小棒，其长度（单位：cm）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八下·南山开学考）在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件：；；；，能判定为直角三角形的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2022八下·义乌开学考）有下列说法：
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为
，
，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2024八下·遵义期中）在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·新城期中）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．的面积为10
C． D．点A到直线BC的距离是2
7．（2024八下·岫岩月考）已知的三边长分别为，且，则的面积为（ ）
A．30 B．60 C．65 D．无法计算．
8．（2024八下·南海期中）已知a、b、c为的三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
9．（2024八下·柳州期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．5
10．（2024八下·吉安月考）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P是网格交点）
A．30 B．45 C．60 D．75
11．（2024八下·乌鲁木齐期中） 如图，在 中，，，于点，以为直径的半圆的面积为，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八下·兴宁期中）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO'＝6+3．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③
二、填空题
13．（2024八下·岫岩月考）如图，为内一点，，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（2019八下·宣州期中）若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以 的长为边的三条线段能组成直角三角形，符合题意结论的序号为 ．
15．（2017八下·洛阳期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA= ，则BD的长为 ．
16．（2024八下·瑞金期中）如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB⊥BC，图中阴影是草地，其余是水面．那么乘游艇游点C出发，行进速度为每小时11千米，到达对岸AD最少要用 小时．
17．（2022八下·盂县期中）勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a=20时，b+c的值为 ．
三、解答题
18．（江西省赣州市兴国县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，已知AC⊥BC，AC＝CB＝BD＝2，．
（1）求AB的长；
（2）求△ABD的面积．
19．（2024八下·南昌期中）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地ABCD内进行绿化改造，∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，BC＝17m，CD＝8m．
（1）若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m；最低花费为多少元？
（2）如果种植草皮的费用是200元/m2，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？
20．（2024八下·江城期中）如图所示，某公路一侧有两个送奶站，为公路上一供奶站，和为供奶路线，现已测得，若有一人从处出发，沿公路边向右行走，速度为，问：多长时间后这个人距送奶站最近？
21．（2023八下·西华期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米？
22．（2024八下·柳南期中）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口如图，向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行，已知它们离港口后相距30海里（即海里），问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度
23．（2024八下·罗定期中）3月15日是国际消费者权益日，广东各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进高质量发展，营造良好消费环境．图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
24．（2024八下·海珠期中）如图，在平面坐标系中，点A、点分别在轴、轴的正半轴上，且，另有两点，和，（、均大于）．
（1）连接、、，求证：为等腰直角三角形；
（2）连接、、，若，，，求的度数；
（3）若，在线段上有一点，且，，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A.，∴不是勾股数，不符合题意；
B.∵0.3，0.4，0.5不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C.，∴不是勾股数，不符合题意；
D.，∴是勾股数，符合题意.
故答案为：D.
【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、72+202≠242，不能构成直角三角形，152+202=252，能构成直角三角形，A错误；
B、72+242=252，能构成直角三角形，152+202≠242，不能构成直角三角形，B错误；
C、72+242=252，能构成直角三角形，152+202=252，能构成直角三角形，C正确；
D、72+242=252，能构成直角三角形，152+242≠252，不能构成直角三角形，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴为直角三角形，故符合题意；
∵，，
∴，
∴为直角三角形，故符合题意；
∵，
∴，
∴为直角三角形，故符合题意；
∵，
∴，
∴为直角三角形，故符合题意；
综上可知：能判定为直角三角形，共个，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①根据等边三角形的判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，可知①的说法正确；
②由
，可得三边长为 ， ，3的三角形为直角三角形，故②的说法正确；
③等腰三角形的两条边长为2，4，当腰为2，底为4时不构成三角形；当腰为4，底为2时，构成三角形，周长为10，故③说法正确；
④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形，故④说法错误.
正确的说法有3个.
故答案为：B.
【分析】利用等边三角性判定定理，可直接判断①；利用勾股定理的逆定理，计算出三边的平方，可判断②；根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系，分类讨论2为腰以及4为腰的情况，可判断③；根据三角形的中线性质以及等腰直角三角形的判定可判断④，由此可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．∵，，，
∴三角形不是直角三角形；
B．∵，，，，
∴三角形不是直角三角形；
C．∵，，，
∴三角形是直角三角形；
D．∵，，，，
∴三角形不是直角三角形．
故选C．
【分析】
根据三角形各顶点在网格线上的位置利用勾股定理可分别求出各边长、再利用勾股定理的逆定理判断即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵ 每个小正方形的边长均为1，
∴ 由勾股定理得，AC=，AB=，BC=5，故C项正确；
∵ AC2+AB2=BC2，
∴ △ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，故A项正确；
∴ S==5，故B项错误，符合题意；
设点A到直线BC的距离是h，
∴ S=，
∴ h=2，故D项正确.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理可得AC，AB，BC的长，根据勾股定理的逆定理可判定∠BAC=90°，根据三角形的面积公式求得三角形的面积，进而求得点A到直线BC的距离，即可求得.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股数；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴a=5，b=12，c=13.
∵，
∴ 为直角三角形，以a，b为直角边，c为斜边.
∴.
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根、平方数、绝对值的非负性，先行计算a，b，c的值并判断出其为勾股数，是解题关键.
8．【答案】C
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴（舍去负值）或，
∴是等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
【分析】
将等式左边和右边分别因式分解、 移项 、提取公因式，可求得(a2-b2)(c2 - (a2 + b2)) = 0，进而可得：或，可得或，进而判定三角形的形状．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，，
，
∴∠ABC=90°，
∵BD是AC边上的中线，
，
故答案为：B．
【分析】
本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，根据勾股定理在正方形网格图中求出各边长度，再根据勾股定理的逆定理：在△ABC中，∠AABC=90°，利用直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在网格中作△BCE≌△APD，连接PC，
∴∠PAB=∠CBE，
由图知：BC=PC==，
∵，
∴BC2+PC2==5+5=10，PB2==10，
∴，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴∠PBC=45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠PBA+∠CBE=90°-∠PBC=45°.
故答案为：B．
【分析】根据网格图的特征，在网格中作△BCE≌△APD，连接PC，由全等三角形的对应角相等可得∠PAB=∠CBE，根据网格图的特征并结合勾股定理和勾股定理的逆定理易证△BCP是等腰直角三角形，得到∠PBC=45°，然后由角的构成∠PAB+∠PBA＝∠PBA+∠CBE=90°-∠PBC可求解．
11．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；圆的面积
【解析】【解答】解：∵以为直径的半圆的面积为，
∴，解得：AD=5，
∵AC=3，CD=4，
∴AC2+CD2=32+42=25=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∵CE⊥AD，
∴S△ACD=AC·CD=AD·CE，
即：×3×4=×5×CE，
解得：CE==2.4.
故答案为：A.
【分析】根据以为直径的半圆的面积为，可得关于AD的方程，解方程求出AD的值，然后用勾股定理的逆定理可判断△ACD是直角三角形，在Rt△ACD中，用面积法可得关于CE的方程，解方程可求解.
12．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图，
由题意可得，∠1+∠2=∠3+∠3=60°，
∠1+∠3，
又
可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到 ，故 ① 正确，符合题意；
是等边三角形，
故 ② 正确，符合题意；
在中，三边长为3，4，5，是一组勾股数，
是直角三角形，
故 ③ 正确，符合题意；
S四边形AOBO'故 ④ 正确，符合题意；
正确的有 ①②③ ，
故答案为：A.
【分析】连接，先证明结合得到 可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到 ，可判断① 正确，符合题意；根据是等边三角形，可判断 ② 正确，符合题意；在中，三边长为3，4，5，是一组勾股数，得到是直角三角形，可判断③ 正确，符合题意；由S四边形AOBO'，代入数据计算可判断 ④ 正确，符合题意；从而求解.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股数
【解析】【解答】解：∵在中，AD=5，BD=4，
∴.
∵，
∴为直角三角形，∠BAC=90°.
∴.
故答案为：.
【分析】先计算出AB，并判断5，5，为一组勾股数是解题关键. 后利用三角形ABC的面积减去三角形ADB的面积即为阴影面积.
14．【答案】②③
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①选项：根据勾股定理得出 ，所以 不成立，即不满足两边之和大于第三边，本选项不符合题意；
②
即
，
．
故本选项符合题意；
③选项：
，
故本选项符合题意；
④选项：
本选项不符合题意；
故答案是：②③
【分析】已知直角三角形的三条边长，根据勾股定理得出 ，同时直角三角形作为三角形，满足三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即 ，再判断各选项中各个线段是否能组成三角形．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：
则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=25，
∴AC=5，
∵AD=5 ，CD=5，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴ = = =1，
∴CM=AB=3，DM=BC=4，
∴BM=BC+CM=7，
∴BD= = = ，
故答案为： ．
【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=AB=3，DM=BC=4，得出BM=BC+CM=7，再由勾股定理求出BD即可
16．【答案】0.4
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图连接AC，过点C 作CE⊥AD于E，
∴ CE即为点C到AD的最短距离，
∵ AB⊥BC，AB=3，BC=4
∴ AC=
∴AC2=25
∵ AD=13，CD=12
∴ AC2+CD2=25+122=132=AD2
∴ ∠ACD=90°
∴ AC×CD=AD×CE
∴ CE=
∴ 到达对岸AD最少要用的时间==0.4
故答案为：0.4.
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等面积法等知识，熟练掌握勾股定理及逆定理是关键。连接AC，过点C 作CE⊥AD于E，则CE即为点C到AD的最短距离，用勾股定理得 AC=5，AC2=25，再用逆定理得 AC2+CD2=25+122=132=AD2，则∠ACD=90°，根据等面积法得 AC×CD=AD×CE，得 CE=，可计算C到AD的最短时间。
17．【答案】200
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：根据表中数据可得：
∴
∴当a=20时，．
故答案为：200．
【分析】根据表格中的数据先找出规律，再将a=20代入计算即可。
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴AB的长为
（2）解：∵，，
∴，
∴△ABD是直角三角形，，
∴△ABD的面积
，
∴△ABD的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证出△ABD是直角三角形，，再利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
19．【答案】（1）解：如图，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，
∴BD＝＝＝15（m），
∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为120×15＝1800（元）；
（2）解：∵CD＝8m，BC＝17m，BD＝15m，
∴CD2+BD2＝82+152＝289＝172＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴整块空地的面积为：，
∴整块空地上种植草皮共需投入114×200＝22800（元）．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）连接BD，然后利用勾股定理先求BD，即可求解；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，接下来利用三角形的面积公式求出整块空地的面积，最后再计算总费用即可．
20．【答案】解：如图，过作公路于
，
是直角三角形，且，
，
，
在Rt中，，
，
小时后这人距离送奶站最近．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】过作公路于，根据勾股定理逆定理即可知：是直角三角形，然后根据题意和角的运算求出最后根据含30°角的直角三角形的性质求出CD的长度，进而即可求解.
21．【答案】（1）解：∵在中，，，，
∴，
是以∠BHC为直角的直角三角形，
∴CH⊥AB，
∵点到直线垂线段的长度最短，
∴CH是村庄C到河边的最近路；
（2）解：设，
千米，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
千米，
∴CH比CA短千米．
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出△CHB是以∠BHC为直角的直角三角形，再利用垂线段最短的性质可得CH是村庄C到河边的最近路；
（2）设，利用勾股定理可得，即，求出x的值，最后求出CH比CA短千米即可．
22．【答案】解：根据题意得：∠AOD=40°，OA=16×1.5=24海里，
OB=12×1.5=18海里，
∵AB=30海里，
∴，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=50°，
答：另一艘轮船航行的方向是北偏西度．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据题意得：∠AOD=40°，OA=16×1.5=24海里，OB=12×1.5=18海里，再结合AB=30海里，根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两条边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形 可知：，即∠AOB=90°，再根据角的和差运算可知：∠BOD=∠AOB-∠AOD=50°，即可得出答案.
23．【答案】答：该车符合安全标准，理由如下：
解：在中，由勾股定理，得，
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴该车符合安全标准．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先在中，根据勾股定理求出，然后结合已知条件根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可得出结论．
24．【答案】（1）证明：过点、点向轴、轴作垂线，垂足分别为、．
∵（、均大于），
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形.
（2）解：连接，如图所示：
在与中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作，为垂足，如图所示：
由勾股定理得，，，
设，可得，
解得：，
∴，
在中，得，
∵，，
∴，
∴的面积．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）过点、点向轴、轴作垂线，垂足分别为、，先利用“SAS”证出，可得，，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到是等腰直角三角形；
（2）连接DA，先利用“SAS”证出，可得，，再利用勾股定理的逆定理证出，最后利用角的运算求出即可；
（3）作，为垂足，设，利用勾股定理可得，求出x的值，可得EF的长，再利用勾股定理求出CF的长，再求出，最后利用三角形的面积公式求解即可.
（1）证明：过点、点向轴、轴作垂线，垂足分别为、．
∵（、均大于），
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：连接，
在与中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作，为垂足，
由勾股定理得，，，
设，可得，
解得，
∴，
在中，得，
∵，，
∴，
∴的面积．
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