江苏省镇江市2024-2025学年高二下学期期中质量监测数学试题（扫描版，含答案）

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2024～2025 学年度第二学期高二期中质量检测
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：
题号 答案 出处 考查知识 能力素养
1 C 共案原题 百分位数概念 逻辑推理
2 B 原创 排列运算公式 数学运算
3 C 原创 导数运算 数学运算
4 D 共案原题 统计中的平均数、标准差 数学运算、数据分析
5 A 共案原题 排列组合 逻辑推理、数学运算
6 D 共案原题 函数导数单调性 逻辑推理
7 D 原创 二项式展开式 数学运算
8 D 共案原题 函数导数切线 逻辑推理、数学运算
二、多项选择题：
题号 答案 出处 考查知识 能力素养
9 BD 改编共案 统计中线性回归方程 逻辑推理、数据分析
10 ACD 原创 导数在三次函数中应用 数学建模、数学运算
11 ABD 原创 排列组合 逻辑推理、数学运算
三、填空题：
题号 答案 出处 考查知识 能力素养
12 x
2 + x + C（C 为常数） 高三期初改编 平均变化率 数学运算
13 180 原创 二项式定理 数学运算
14 2+ 3 教材原题 导数求最值 数学建模、数学运算
四、解答题：
15．（本小题共 13 分）
2 x
解：（1）因为 f (x) = ， ………………2 分
e x
所以 k = f (0) = 2，， ………………4 分
所求得的切线方程为 2x y 1= 0 . ………………6 分
（2）由（1）令 f (x) = 0 ，解得： x = 2， ………………8 分
则函数 f (x) 在 ( ,2]递增，在 (2,+ )递减， ………………10 分
1
所以 fmax (x) = f (2) = ， ………………12 分e2
高二数学答案及评分标准 第1页（共 4 页）
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1
所以函数 f (x) 最大值为 ，无最小值． ………………13 分
e2
（注意：不交代无最小值不扣分）
【说明】本题来源于教科院共案例题改编。考查导数中的切线、单调区间及最值；考查运算能力。
16．（本小题 15 分）
解：（1）当n = 4时，学校共有5种不同的荤菜和4 种不同的素菜，
学生餐荤菜的选法有C1 种，素菜的选法有C35 5 种，（注意：每个 2 分） ………………4 分
1 3
由乘法原理得，不同的选择方法数为C5C4 = 5 4 = 20 . ………………6 分
答：共有 20 种不同的配餐供学生选择. ………………7 分
（2）从5种不同的荤菜和 n种不同的素菜中，任取2 荤 2 素，
荤菜的选法有C2 2 5 种，荤菜的选法有Cn 种，（注意：每个 2 分） ………………11 分
由乘法原理得，不同的选择种数为C25C
2
n ≥100 . ………………13 分
整理可得 n(n 1)≥20 ， 因为 n N ，所以 n≥5 . ………………14 分
答：n的最小值为 5. ………………15 分
（注意：如果没有文字说明，只有表达式，每一问扣 2 分；没有“答”且没有“下结论”，每一问扣 1 分）
【说明】本题改编教科院共案，考查计数原理；考查组合数运算；考查分析能力、运算能力。
17．（本小题 15 分）
解：（1）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1可得：
(a + 0.01 2 + 0.005+ 0.015+ 0.025) 10 =1， ………………2 分
解得 a = 0.035， ………………3 分
10
样本容量为 =100 . ………………4 分
0.01 10
（2）所有参赛学生的平均成绩为
x = 95 0.1+105 0.1+115 0.25+125 0.35+135 0.15+145 0.05 =120 . ………………7 分
（3）由题意可知，获奖人数为100 (0.015+ 0.005) 10 = 20， ………………8 分
计算得如下 2 2列联表：
奖励
性别 合计
获奖 未获奖
高二数学答案及评分标准 第2页（共 4 页）
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男 15 45 60
女 5 35 40
合计 20 80 100
………………10 分
提出假设H0 ：男生与女生的获奖无没有差异性.
根据列联表的数据求得：
2 100 (15 35 45 5)
2
= 2.344 6.635， ………………13 分
20 80 60 40
答：没有95%的把握认为获奖与性别有关. ………………15 分
（注意：运算结果正确，但没有公式表达形式，每个扣 1 分）
【说明】本题改编于教科院共案。考查频率分布直方图的应用；考查统计中的平均数和卡方检验；考查分
析能力、运算能力。
18.（本小题 17 分）
解：（1）由 (x + 3)n = a0 + a1x + a2x
2 + + aax
n ，
令 x =1， 得 a + a + a + + a = 4n， ………………2 分 0 1 2 n
令 x = 0，得 a n 0 = 3 ， ………………3 分
a + a + + a = 4n所以 1 2 n 3
n
. ………………4 分
r n 1 r r n r
（2） (3+ x)n 的展开式的通项为Tr+1 = Cn 3 x ， r = 0,1,2, ,n，则ar = Cn 3 . ………………5 分
因为a5是 a0，a1，a2， ，an 中唯一的最大值，
n! 3 n!
，
C5 3n 5 C4 3n 4， n n 5!(n 5)! 4!(n 4)!
得 即 ………………7 分
C5 3n 5 C6 3n 6 ， 3 n! n! n n ，
5!(n 5)! 6!(n 6)!
解得19 n 23，所以 n的所有可能取值为 20，21，22. ………………9 分
n n（3）因为 (x + 3) = 1+ (x + 2) = C0 1 2n +Cn (x + 2) +Cn (x + 2)
2 + + Cnn (x + 2)
n ， ………………11 分
则b =Cr ， r = 0,1,2, ,nr n ， ………………12 分
n C1b C
n 1
则 r 1 = C0 nn + + + n .
r=1 r 2 n
Cr 1 r
因为 n
1 n! 1 (n +1)! C
= = = n+1 ， ………………15 分
r r (r 1)!(n r +1)! n +1 r!(n r +1)! n +1
高二数学答案及评分标准 第3页（共 4 页）
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n 2n+1 C0 Cn+1br 1 1 1 2 n n+1 n+1 2
n+1 2
所以 = (Cn+1 +Cn+1 + + Cn+1) = = . ………………17 分
r=1 r n +1 n +1 n +1
【说明】本题改编于教科院共案教学案。考查二项式定理、二项式系数性质、组合数运算；考查分析能
力、运算能力。
19. 解：（1）当 a = 1时， f (x) = ln x x2 x，
1 (2x 1)(x +1)
则 f (x) = 2x 1= (x 0)， ………………1 分
x x
1
令 f (x) = 0 ，则 x = . ………………2 分
2
1 1
则当0 x 时， f (x) 0 ， f (x) 在 (0, ) 上单调递增； ………………3分
2 2
1 1
当 x 时， f (x) 0 ， f (x) 在 ( ，+ )上单调递减. ………………4 分
2 2
1 3
所以 f (x) 的极大值 f (x) = f ( ) = ln 2 ，无极小值. ………………5 分 max
2 4
（2）当 a≥0时，显然 f (x) = ln x + ax2 + (2a +1)x 在 (0,+ )上为增函数， ………………6 分
1 (2ax +1)(x +1)
当 a 0时， f (x) = + 2ax + (2a +1) = . ………………7 分
x x
1 1
当 x (0, )时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 (0, ) 上为增函数； ………………8 分
2a 2a
1 1
当 x ( ,+ ) 时，f (x) 0 ；所以 f (x) 在 ( ,+ ) 上为减函数； ………………9 分
2a 2a
1 1 1
（3）当 a = 时， f (x) = ln x + x2 + 2x， f (x) = + x + 2 ， ………………10 分
2 2 x
1 1
令 S = [ f (x) 2]n f (xn ) = ( + x)n ( + xn ) 2，
x xn
则 S =C1 xn 2 +C2xn 4 + +Ck xn 2k + +Cn 1x2 n 2①， ………………11 分 n n n n
又 S =Cn 1x2 nn +C
n 2x4 nn + +C
1 xn 2 2② ， n
①+②得：2S =C1 (xn 2 + x2 n ) +C2n n (x
n 4 + x4 n ) + +Cn 1(x2 nn + x
n 2 ) 4 …………………13 分
≥C1 2+C2 2+ +Cn 1 2 4 …………………15 分 n n n
= 2(C1 +C2 + +Cn 1 +C0 +Cnn n n n n 2) 4
= 2(2n 2) 4 .
所以，[ f (x) 2]n f (xn)≥2n 4 . ………………17 分
【说明】本题改编题。考查用导数判断函数的单调性；考查二项式定理、二项式系数性质；考查运用基本
不等式证明不等式；考查分析能力、运算能力。
高二数学答案及评分标准 第4页（共 4 页）
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