华师大版七下（2024版）9.1.3作轴对称图形学案

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第9章轴对称、平移与旋转
9.1.3 作轴对称图形
学习目标与重难点
学习目标：
1.能阐述作轴对称图形依据；熟练用尺规作出简单图形的轴对称图形；
2.通过观察、操作、验证等探究过程，培养观察、动手及逻辑推理能力；学会将实际问题转化为数学问题，建立模型，体会数学建模思想；通过小组合作，提升交流协作能力。
3.感受轴对称在生活中的应用与美学价值，激发学习兴趣；在探究中培养探索精神，增强自信心.
学习重点： 掌握作轴对称图形方法，确定关键点对称点并连线；
学习难点：理解作图方法原理，从轴对称性质推导具体步骤.
预习自测
知识链接
轴对称图形的特征是？
如何画轴对称图形的对称轴？
自学自测
1.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为(　　)
A.30°　 B.50°
C.90°　 D.100°
2.两个图形关于某直线对称，对称点一定在（ ）
A.这条直线的两旁 B.这条直线的同旁
C.这条直线上 D.这条直线两旁或这条直线上
3.下图是轴对称图形，其中相等的线段是___________，相等的角是__________.
教学过程
一、创设情境、导入新课
回顾：轴对称图形的对称轴的画法是？
思考：在如图给出一个图案的左半部分，其中虚线是这个图案的对称轴．请你画出这个图案的右半部分，使它组成一个完整的图案．
二、合作交流、新知探究
探究一：
教材第121页：
如果给出一个图形和一条直线，那么如何画出这个图形关于这条直线的对称图形呢
试一试
如图9.1.1，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，试画出已知图形的轴对称图形.画好之后，你可以通过折叠的方法来验证你画得是否正确.
图(1)需要找到 个关键点，然后顺次连结即可；
图(2)需要找到 个关键点，然后顺次连结即可.
在格点图中，很容易找到格点关于对称轴的对称点，因此可以较方便地作出已知图形的轴对称图形.
如果没有格点，你还能准确地画出已知图形的轴对称图形吗
探究二：
教材第122页
如图 9.1.12， 已知点A和直线l， 要作出点A 关于直线l的对称点A′， 此时就需要过点A作直线l的垂线， 与l相交于点O， 然后在垂线上取一点A′， 使OA′ = OA， 如图9.1.13 所示.
思考：我们已经能利用尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知角的平分线，那么如何利用尺规作图，过已知点作出已知直线的垂线，从而得到已知点关于已知直线的对称点呢？
已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系：点在直线上；点在直线外.现分别按这两种情况作图.
(1)经过已知直线AB上一点C作已知直线AB的垂线.
(2)经过已知直线AB外一点C作已知直线AB的垂线.
由此，你能发现利用尺规作图过一点作已知直线的垂线的方法吗？
[做一做]1.如图9.1.15，经过已知直线AB上一点C，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线AB的垂线.
2.如图9.1.16，经过已知直线AB外一点C，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线AB的垂线.
探究三：例题讲解
例 如图9.1.17，已知△ABC和直线l，作出△ABC关于直线l 对称的图形.
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】
必做题：
1．下列说法错误的是(　　)
A．成轴对称的两个图形一定在对称轴的同侧
B．轴对称图形的对应边相等，对应角相等
C．等腰三角形是轴对称图形
D．成轴对称的两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分
2．下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是(　　)
3．如图，正六边形ABCDEF与正六边形A′B′C′D′E′F′关于直线l对称下列判断错误的是(　　)
A．AB＝A′B′ B．BC∥B′C′ C．直线l⊥BB′ D．∠A′＝120°
选做题：
4．如图3，已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：
(1)分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是__________；
(2)分别延长DM，EP，FN至________，使MG＝______，PH＝________，NI＝________；
(3)顺次连结点______________，就得到△DEF关于直线AB的对称图形△GHI.
图3
5．如图4，方格图中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都是格点．
(1)画出△ABC关于直线BM对称的△A1B1C1；
(2)写出AA1的长度.
图4
【综合拓展类作业】
6、在学习轴对称的时候，老师让同学们思考下面的问题．
如图 (1)，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气．当泵站修在管道的什么地方时，可使所用的输气管道最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
小华通过思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．她把管道l看成一条直线(如图(2))，问题就转化为“要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小”．她的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′；
②连结AB′交直线l于点P，则点P即为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小，在图中作出点P(保留作图痕迹，不写作法)．
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
知识点：
1.画轴对称图形的依据：
对称轴是对称点连线的垂直平分线，即一对对称点到对称轴的距离相等，所以只要过一个点向对称轴画垂线并截取相等的垂线段便可以得到它的对称点．
2.画轴对称图形的方法步骤：
(1)找出已知图形中的特殊点 (如线段的端点、角的顶点、折线的拐点等)；
(2)作出特殊点关于对称轴的对称点；
(3)依次连结各对称点，得到的图形就是所要求作的图形．
注意事项：如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么只要画出图形中的特殊点(如线段的端点、角的顶点等)的对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形.
五、【作业布置】
【知识技能类作业】
必做题：
1.作已知点关于某直线的对称点的第一步是(　　)
A.过已知点作一条直线与已知直线相交
B.过已知点作一条直线与已知直线垂直
C.过已知点作一条直线与已知直线平行
D.不确定
2.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，将点A沿经过点D的直线DE翻折，点E在AC上，使得点A的对应点A'恰好落在AC边上，作出折痕DE.(不写作法，保留作图痕迹)
3.如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，已知△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A1B1C1；
(2)△A1B1C1的面积为 .
选做题：
4.按要求作图.(不写作法，保留作图痕迹)
(1)如图，请利用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线CD；
(2)如图，请利用直尺和圆规作∠AOB的角平分线OC；
(3)如图，利用网格画出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'.
【综合拓展类作业】
5.如图，∠ACB＝90°，O为△ABC内部的一点，连结OC.
(1)作线段OC关于直线AC、BC的对称线段，分别是MC、NC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)试说明：M、C、N三点在同一条直线上.
答案：
自学测试：
1.D 2.D 3.AB＝CD，BE＝CE ∠B＝∠C
课堂巩固：
1.[答案] A　
2.[答案] B
3.[解析] B　关于某条直线对称的图形，对应线段不一定平行．
4.[答案] (1)M，P，N　(2)点G，H，I　DM　EP FN　(3)G，H，I
5．解：(1)作图如下：
(2)由图直接读出AA1＝10.
6 解：如图，作点D关于BC的对称点D′，连结D′E，与BC交于点P，则点P即为所求．
作业布置：
1.B
2. 如图
3.(1)
(2)3.5
4.
(1)
(2)
(3)
5.(1)如图
(2)证明：关于对称，
，
关于对称，
，
，
，
，
即，
共线．
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