浙江省绍兴市新昌中学2022年自主招生数学试卷
1．（2022·新昌）的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·新昌）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新昌）将0，1，3，6四个数组成四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第10个四位数是（ ）
A．3160 B．3016 C．3601 D．3610
4．（2022·新昌）设a，b，c为整数，且.则可能值是（ ）
A．133 B．1599 C．2916 D．3603
5．（2022·新昌）设为的小数部分，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·新昌）如果实数满足，那么在直角坐标系中，过点与点的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·新昌）中国宋代的数学家秦九韶曾提出"三斜求积术"，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，二角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公、式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足则此三角形面积的最大值为（ ）
A．12 B．6 C． D．
8．（2022·新昌）如图示，在直角坐标系中，点B、C分别在轴正、负半轴上，点在轴正半轴上，（垂足为D），若（O为原点），，，则点B的坐标（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·新昌）若只有三个正整数满足不等式（其中k是常数），那么这三个正整数之和是（ ）
A．8 B．9 C．-10 D．12
10．（2022·新昌）设正方形ABCD的边长为2，P为AB的中点，若光线从点P出发，依次经过三边BC、CD、DA反射后，落到线段PB上（不含端点P、B）.如图示，则入射光线与边AB所成锐角的正切值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·新昌）设关于的方程有两个实根，且，则实数n的取值范围是 .
12．（2022·新昌）某矩形广场的面积为256平方米，则其周长至少 米。
13．（2022·新昌）方程的实数解 .
14．（2022·新昌）锐角中，角，则角的取值范围是 .
15．（2022·新昌）设实数x，y满足，则最大值是 .
16．（2022·新昌）函数，如果存在实数b使方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是 .
17．（2022·新昌）已知二次函数的图象过三点.
（I）求的表达式.
（II）若时，求的最大值.
18．（2022·新昌）（I）写出判断平面内不同三点A，B，C共线的方法（要求至少三种）
（II）求证：在△ABC中，AB，BC，CA三条线没中必存在两条线段的长为m，n，使
19．（2022·新昌）如图，矩形ABCD的边.在边DC上，且是线段EC上的点AF与BE交于点.若与的面积之和为8试确定点的位置。
20．（2022·新昌）关于x，y的方程组有两个实数解和.若，求非零常数.
21．（2022·新昌）设AABC的角A、角C的外角平分线交于点O，延长AO交BC的延长线于D.如图示
（I）证明：
（II）过点作直线BC的垂线，垂足为.若，求的周长.
22．（2022·新昌）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的值.
23．（2022·新昌）如图，直角中，点是斜边AB上的动点
（I）若CH⊥AB，求证：
（II）过作，垂足为，若，求的最小值
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sin30°=，tan60°=，cos45°=，
∴原式=+×=.
故答案为：B.
【分析】本题首先分别计算出各三角函数值的具体值，然后将具体数值和原题中的三角函数替换，进行计算即可求解。
2．【答案】D
【知识点】截一个几何体；由三视图判断几何体；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：如图，
设正方体的每条边长为1；
截去部分体积是，
剩余部分体积是；
∴ 截去部分体积与剩余部分体积的比值是。
故答案为：D.
【分析】根据三视图，如图所示，即为截去部分的体积。截去部分的体积是一个棱锥，根据棱锥计算公式计算出来体积之后，再和剩余部分的体积进行对比做除法计算，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：将0，1，3，6四个数组成无重复数字的四位数，千位为1时有：1036，1063，1306，1360，16.3，1630；
千位为3时有：3016，3061，3106，3160，3601，3610；
千位为6时有：6013，6031，6103，6130，6301，6310；
∴ 第10个四位数为3160.
故答案为：A.
【分析】根据0不能作为千位上的数可知有三种情况选择，分别是1，3，6，根据题意列出四位数，并结合题意即可求解.
4．【答案】C
【知识点】因式分解的应用；完全平方数
【解析】【解答】解：将 两边同时加上a2，得到，
同理，将 两边同时加上b2，可以得到，
将 两边同时加上c2，可以得到，
因此 ，因此值只能是完全平方数。
观察四个选项，选项A，133不是完全平方数，错误；
选项B，1599不是完全平方数，错误；
选项C，2916是完全平方数，即，正确；
选项D，3603不是完全平方数，错误。
故答案为：C.
【分析】本题将式子 变形，尽量凑出来这三个式子，最后发现结果是一个数的平方，因此可以判断最后的值肯定是一个完全平方数，根据四个选项进行二次根式计算即可。
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：本题根据条件，a是的小数部分，因此a＜1，因此可以已排除A、D选项。
令，则，因此原式变为
-10是整数，，因此，因此该式子的小数部分大约是0.731，
选项B是0.707，选项C是0.414，只有选项B最接近答案。
故答案为：B.
【分析】本题利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案。
6．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：根据条件可知。
设同时过点与点的直线方程是ax+by+c=0，并且该直线方程的系数与方程组中方程的系数一致，即a=2、b=3、c=-4，因此该直线方程为 。
故答案为：B.
【分析】本题首先根据条件列出方程组，然后根据过的P和Q两点情况，观察可以得到方程组中方程的系数，即可得出该直线方程。
7．【答案】A
【知识点】二次函数-面积问题；函数几何问题中的最值
【解析】【解答】解：p=（a+b+c）÷2=（10+8）÷2=9，此时该三角形的面积为
要使面积S最大，此时只需要最大即可，即9-a=9-b时满足最大条件，此时a=b=5.
则三角形最大面积是
故答案为：A.
【分析】本题首先求出p，然后将可以代入的数据代入海伦-秦九韶公式中进行化简，最后发现根号下面只含有两个相乘的未知数。要使值最大，只能是让这两个式子相等，此时可以求出a和b的值，最后代入计算即可。
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设点B的坐标是（x，0），其中x＞0。
∵，∠COA=90°，∴OA=OC=3，
∵， ，∴BD=CD=。
∴，即，解得x=4。
∴点B的坐标是（4，0）。
故答案为：B.
【分析】本题根据45°角，放到两个直角三角形中，可以得到两条直角边的长度，然后利用勾股定理列式计算即可。
9．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：令f（x）=x2-kx+17，
∵（其中k是常数） ，∴f（x）有两个不相等的实数根，即k2-4×17＞0，解得k＞或k＜-；而只有三个正整数满足不等式条件，因此k＞。
f（x）的对称轴为，
∵ 只有三个正整数满足不等式（其中k是常数），∴x=4、5肯定满足条件。
当x=3时，f（3）=26-3k＜26-6；
当x=6时，f（6）=53-6k＜53-12；
而26-6＞53-12；且26-6-＞53-12-，
即整数3距离对称轴比整数6距离对称轴更近，因此如果x=6满足不等式，则x=3也满足，这时就有4个整数满足条件，这与只有三个正整数满足不等式（其中k是常数）相矛盾，因此只有x=3满足条件、x=6不满足条件。
因此这三个整数位3、4、5，和为3+4+5=12.
故答案为：D.
【分析】本题首先根据条件和函数的性质，确定k的取值范围，并且确定对称轴的位置。因为不等式，因此对称轴最近的两个整数肯定满足条件，最后讨论x=3和x=6两种情况下的取值范围，并且和对称轴进行比较分析，最后得出只有整数3、4、5满足条件，求和即可。
10．【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，将四边形ABCD分别以BC、DA为对称轴镜面对称至右侧和左侧，取A'B的中点P1，AB'的中点P2，再把AB'以CD为对称轴对称至B''A''，找出P2关于CD的对称点P3，故射线从P1出发反射至B''P3上，
，
设入射光线与边AB所成锐角为，
当射线落在点B''时，；当射线落在点P3时，，
.
故答案为：D.
【分析】将四边形ABCD分别以BC、DA为对称轴镜面对称至右侧和左侧，取A'B的中点P1，AB'的中点P2，则原光线相当于从P1出发经CD平面反射至P2B'上，光线落到PB上即转化成落到P2B'上，再把AB'以CD为对称轴对称至B''A''，找出P2关于CD的对称点P3，转化条件为落在B''P3上，分别求出射线落在点B''和点P3时的正切值即可.
11．【答案】n≥1或n＜0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ，∴，此时可以变形为
而，，因此有k=-2n，此时原方程变为。
∵原方程有两个实根，∴，
解得n≥1或n≤0。∵，∴n≠0.
因此实数n的取值范围是n≥1或n＜0。
故答案为：n≥1或n＜0.
【分析】本题首先将 进行变形，并且用“根与系数关系”进行替换变形，得到新的方程。然后再利用两个实数根的特点确定n的取值范围，即可得出答案。
12．【答案】64
【知识点】函数几何问题中的最值；函数实际问题中的最值
【解析】【解答】解：设矩形广场的长是x米，则宽是米。
则矩形广场的周长为米。
要使周长最少，只有当时成立，此时x=16
因此矩形广场的周长至少为。
故答案为：64.
【分析】本题可以先列出周长公式，此时发现需要求出的最小值即可。该式子和极为相似，所以当的时候最小，因此本题只有当时成立，此时x=16，最后代入计算即可。
13．【答案】
【知识点】无理方程
【解析】【解答】解：，变形为，两边同时平方得到，解得，
而，解得1≤x≤9。
综合得到x=。
故答案为：.
【分析】本题先将原式移项变形，然后等式两边同时平方即可去掉根号，求出x的两个值；然后根据根号里面的数为非负数的特点，进一步确定x的取值范围，最后在范围内得出答案。
14．【答案】30°＜A＜90°
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵是在锐角三角形中，且∠C=60°，∴∠A+∠C＞90°，∴ ∠A ＞30°。因此30°＜ ∠A ＜90°。
故答案为：30°＜A＜90°.
【分析】锐角三角形中，三个角分别都小于90°，并且每两个角之和大于90°。本题中已知∠C=60°，这样代入计算即可求得角A的取值范围。
15．【答案】3
【知识点】绝对值函数的最值
【解析】【解答】解：将 的几何图形画出，如图所示
令，很明显，z为在y轴上的交点，当在点（3，0）的时候，z取到最大值，即z=3+0=3.
故答案为：3.
【分析】本题先将图形画出，发现是一个菱形，然后再将所在的直线画出，最终发现，与y轴的交点就是z的值。这样，只需要找到对应点即可。
16．【答案】a＜2且a≠0
【知识点】函数自变量的取值范围；分段函数；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：x2=2x，解得x1=0，x2=2，
当x=0时，y=0；当x=2时，y=4，
如图1，当a＜0时，
当时，f（x）=x2图象上y随x的增大而减小，此时在合适的范围内，直线y=b与y=f（x）的图象有两个不同的交点，满足方程有两个不同的实数解；
如图2，当a=0时，
y=x2（x≥0）与y=2x（x＜0）的图象在x=0处连接，直线y=b与y=f（x）的图象最多只有一个交点，不符合题意；
如图3，当0＜a＜2时，
两函数图象中y随x的增大而增大，此时在合适的范围内，直线y=b与y=f（x）的图象有两个不同的交点，满足方程有两个不同的实数解；
如图4，当a=2时，
y=x2（x≥2）与y=2x（x＜2）的图象在x=2处连接，直线y=b与y=f（x）的图象最多只有一个交点，不符合题意；
如图5，当a＞2时，
两函数图象中y随x的增大而增大，且a2＞2a，此时对于任意的b，直线y=b与y=f（x）的图象最多只有一个交点，不符合题意，
综上所述， 实数的取值范围是 a＜2且a≠0 .
故答案为： a＜2且a≠0 .
【分析】根据函数解析式作函数图象，利用函数图象的性质进行分类讨论，即可求得实数的取值范围.
17．【答案】解：(I)设
则有解得故
(II)
因为
所以当x=3时f(x)有最大值，即。
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）题可以假设出这个二次函数的式子，然后将三个点代入，此这个二次函数的式子就转变为求三元一次方程组，求解即可；（2）题可以先将该二次函数进行变形，然后发现x的取值范围在对称轴两侧，因此只对x的两个极端点进行比较即可，最后代入计算即可。
18．【答案】解：(I)(1)；
(2)；
(3)
(4)在直角坐标系中，先通过A，B两点写出直线方程，再将点C坐标代入检验
(II)证明：在时.不妨设
因为
故与中至少有一个负数.不妨设.记，则有
综上三条线段中必存在两条线段的长为，使.
【知识点】三角形三边关系；一次函数的性质；平面中直线位置关系；线段的和、差、倍、分的简单计算；邻补角
【解析】【分析】(1) 可利用线段和差、平角的定义、一次函数的性质等来判断平面内不同三点A，B，C共线.
(2) 设 ， 利用三角形的三边关系可得，故与中至少有一个负数 ， 设，记，则有 .
19．【答案】解：以A为坐标原点，AB，AD分别为x轴与y轴建立如图直角坐标系
设DF=t(3那么直线AF的方程：
直线BE的方程：
求得AF与BE的交点
因为，
即
化简得
符合。
即点F的位置是满足
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】本题将点放到坐标中进行方程分析计算，可以求出O点坐标，根据“与的面积之和为8 ”列式，最后求解即可。
20．【答案】解：由已知得，
所以
即（）
把代入得
则有代入（）
得
即又
所以
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题将方程组 分开进行变形讨论，因为该方程组有两个实数解，所以，然后利用根与系数的关系将y1y2和y1+y2用n和a表示出来，最后变形为方程求解即可。
21．【答案】解：过作，垂足为，作，垂足为.连OB因为CO平分平分
所以
则BO平分
则有
同理：
所以
(II)由，得到△BOE≌△BOF，即：
所以
=BF+BE
=10+10
=20
即的周长为20.
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）题首先利用角平分线的性质，得到BO平分，然后利用三角形等高的特点，列出对应底边比等于面积比，最后得出答案；（2）题首先利用全等三角形的特点，找到三条边相等，然后将△ABC的三条边逐步变形，向全等三角形的三条边靠拢，最后化简即可求出答案。
22．【答案】解：记
则
当时
当时
要使有三个不同实数解，的图形必是w型的。
故必
有三个实根的条件是(1)或(2)或
解得：或
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】本题先将原方程进行变形，根据“三个不同的实根”画出图形，即可确定a的取值范围。最后计算即可求出a的值。
23．【答案】解：(I)由已知得CH为斜边AB上的高，则有
即
所以
(II)∵△BHM∽△BAC，∴，将 代入，
∴
则
又，所以的最小值是1.
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质-对应边；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）题利用等面积办法先列出，然后同时平方并且利用勾股定理将AB2变形，最后将乘法等式转变为除法等式，即可得出证明结果。
（2）题先利用相似三角形的性质得出，此时将 代入并尽量出现CM和MH来进行变形，最后利用CM的取值范围计算即可得出最小值。
1 / 1浙江省绍兴市新昌中学2022年自主招生数学试卷
1．（2022·新昌）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sin30°=，tan60°=，cos45°=，
∴原式=+×=.
故答案为：B.
【分析】本题首先分别计算出各三角函数值的具体值，然后将具体数值和原题中的三角函数替换，进行计算即可求解。
2．（2022·新昌）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】截一个几何体；由三视图判断几何体；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：如图，
设正方体的每条边长为1；
截去部分体积是，
剩余部分体积是；
∴ 截去部分体积与剩余部分体积的比值是。
故答案为：D.
【分析】根据三视图，如图所示，即为截去部分的体积。截去部分的体积是一个棱锥，根据棱锥计算公式计算出来体积之后，再和剩余部分的体积进行对比做除法计算，即可得出答案。
3．（2022·新昌）将0，1，3，6四个数组成四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第10个四位数是（ ）
A．3160 B．3016 C．3601 D．3610
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：将0，1，3，6四个数组成无重复数字的四位数，千位为1时有：1036，1063，1306，1360，16.3，1630；
千位为3时有：3016，3061，3106，3160，3601，3610；
千位为6时有：6013，6031，6103，6130，6301，6310；
∴ 第10个四位数为3160.
故答案为：A.
【分析】根据0不能作为千位上的数可知有三种情况选择，分别是1，3，6，根据题意列出四位数，并结合题意即可求解.
4．（2022·新昌）设a，b，c为整数，且.则可能值是（ ）
A．133 B．1599 C．2916 D．3603
【答案】C
【知识点】因式分解的应用；完全平方数
【解析】【解答】解：将 两边同时加上a2，得到，
同理，将 两边同时加上b2，可以得到，
将 两边同时加上c2，可以得到，
因此 ，因此值只能是完全平方数。
观察四个选项，选项A，133不是完全平方数，错误；
选项B，1599不是完全平方数，错误；
选项C，2916是完全平方数，即，正确；
选项D，3603不是完全平方数，错误。
故答案为：C.
【分析】本题将式子 变形，尽量凑出来这三个式子，最后发现结果是一个数的平方，因此可以判断最后的值肯定是一个完全平方数，根据四个选项进行二次根式计算即可。
5．（2022·新昌）设为的小数部分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：本题根据条件，a是的小数部分，因此a＜1，因此可以已排除A、D选项。
令，则，因此原式变为
-10是整数，，因此，因此该式子的小数部分大约是0.731，
选项B是0.707，选项C是0.414，只有选项B最接近答案。
故答案为：B.
【分析】本题利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案。
6．（2022·新昌）如果实数满足，那么在直角坐标系中，过点与点的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：根据条件可知。
设同时过点与点的直线方程是ax+by+c=0，并且该直线方程的系数与方程组中方程的系数一致，即a=2、b=3、c=-4，因此该直线方程为 。
故答案为：B.
【分析】本题首先根据条件列出方程组，然后根据过的P和Q两点情况，观察可以得到方程组中方程的系数，即可得出该直线方程。
7．（2022·新昌）中国宋代的数学家秦九韶曾提出"三斜求积术"，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，二角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公、式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足则此三角形面积的最大值为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数-面积问题；函数几何问题中的最值
【解析】【解答】解：p=（a+b+c）÷2=（10+8）÷2=9，此时该三角形的面积为
要使面积S最大，此时只需要最大即可，即9-a=9-b时满足最大条件，此时a=b=5.
则三角形最大面积是
故答案为：A.
【分析】本题首先求出p，然后将可以代入的数据代入海伦-秦九韶公式中进行化简，最后发现根号下面只含有两个相乘的未知数。要使值最大，只能是让这两个式子相等，此时可以求出a和b的值，最后代入计算即可。
8．（2022·新昌）如图示，在直角坐标系中，点B、C分别在轴正、负半轴上，点在轴正半轴上，（垂足为D），若（O为原点），，，则点B的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设点B的坐标是（x，0），其中x＞0。
∵，∠COA=90°，∴OA=OC=3，
∵， ，∴BD=CD=。
∴，即，解得x=4。
∴点B的坐标是（4，0）。
故答案为：B.
【分析】本题根据45°角，放到两个直角三角形中，可以得到两条直角边的长度，然后利用勾股定理列式计算即可。
9．（2022·新昌）若只有三个正整数满足不等式（其中k是常数），那么这三个正整数之和是（ ）
A．8 B．9 C．-10 D．12
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：令f（x）=x2-kx+17，
∵（其中k是常数） ，∴f（x）有两个不相等的实数根，即k2-4×17＞0，解得k＞或k＜-；而只有三个正整数满足不等式条件，因此k＞。
f（x）的对称轴为，
∵ 只有三个正整数满足不等式（其中k是常数），∴x=4、5肯定满足条件。
当x=3时，f（3）=26-3k＜26-6；
当x=6时，f（6）=53-6k＜53-12；
而26-6＞53-12；且26-6-＞53-12-，
即整数3距离对称轴比整数6距离对称轴更近，因此如果x=6满足不等式，则x=3也满足，这时就有4个整数满足条件，这与只有三个正整数满足不等式（其中k是常数）相矛盾，因此只有x=3满足条件、x=6不满足条件。
因此这三个整数位3、4、5，和为3+4+5=12.
故答案为：D.
【分析】本题首先根据条件和函数的性质，确定k的取值范围，并且确定对称轴的位置。因为不等式，因此对称轴最近的两个整数肯定满足条件，最后讨论x=3和x=6两种情况下的取值范围，并且和对称轴进行比较分析，最后得出只有整数3、4、5满足条件，求和即可。
10．（2022·新昌）设正方形ABCD的边长为2，P为AB的中点，若光线从点P出发，依次经过三边BC、CD、DA反射后，落到线段PB上（不含端点P、B）.如图示，则入射光线与边AB所成锐角的正切值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，将四边形ABCD分别以BC、DA为对称轴镜面对称至右侧和左侧，取A'B的中点P1，AB'的中点P2，再把AB'以CD为对称轴对称至B''A''，找出P2关于CD的对称点P3，故射线从P1出发反射至B''P3上，
，
设入射光线与边AB所成锐角为，
当射线落在点B''时，；当射线落在点P3时，，
.
故答案为：D.
【分析】将四边形ABCD分别以BC、DA为对称轴镜面对称至右侧和左侧，取A'B的中点P1，AB'的中点P2，则原光线相当于从P1出发经CD平面反射至P2B'上，光线落到PB上即转化成落到P2B'上，再把AB'以CD为对称轴对称至B''A''，找出P2关于CD的对称点P3，转化条件为落在B''P3上，分别求出射线落在点B''和点P3时的正切值即可.
11．（2022·新昌）设关于的方程有两个实根，且，则实数n的取值范围是 .
【答案】n≥1或n＜0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ，∴，此时可以变形为
而，，因此有k=-2n，此时原方程变为。
∵原方程有两个实根，∴，
解得n≥1或n≤0。∵，∴n≠0.
因此实数n的取值范围是n≥1或n＜0。
故答案为：n≥1或n＜0.
【分析】本题首先将 进行变形，并且用“根与系数关系”进行替换变形，得到新的方程。然后再利用两个实数根的特点确定n的取值范围，即可得出答案。
12．（2022·新昌）某矩形广场的面积为256平方米，则其周长至少 米。
【答案】64
【知识点】函数几何问题中的最值；函数实际问题中的最值
【解析】【解答】解：设矩形广场的长是x米，则宽是米。
则矩形广场的周长为米。
要使周长最少，只有当时成立，此时x=16
因此矩形广场的周长至少为。
故答案为：64.
【分析】本题可以先列出周长公式，此时发现需要求出的最小值即可。该式子和极为相似，所以当的时候最小，因此本题只有当时成立，此时x=16，最后代入计算即可。
13．（2022·新昌）方程的实数解 .
【答案】
【知识点】无理方程
【解析】【解答】解：，变形为，两边同时平方得到，解得，
而，解得1≤x≤9。
综合得到x=。
故答案为：.
【分析】本题先将原式移项变形，然后等式两边同时平方即可去掉根号，求出x的两个值；然后根据根号里面的数为非负数的特点，进一步确定x的取值范围，最后在范围内得出答案。
14．（2022·新昌）锐角中，角，则角的取值范围是 .
【答案】30°＜A＜90°
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵是在锐角三角形中，且∠C=60°，∴∠A+∠C＞90°，∴ ∠A ＞30°。因此30°＜ ∠A ＜90°。
故答案为：30°＜A＜90°.
【分析】锐角三角形中，三个角分别都小于90°，并且每两个角之和大于90°。本题中已知∠C=60°，这样代入计算即可求得角A的取值范围。
15．（2022·新昌）设实数x，y满足，则最大值是 .
【答案】3
【知识点】绝对值函数的最值
【解析】【解答】解：将 的几何图形画出，如图所示
令，很明显，z为在y轴上的交点，当在点（3，0）的时候，z取到最大值，即z=3+0=3.
故答案为：3.
【分析】本题先将图形画出，发现是一个菱形，然后再将所在的直线画出，最终发现，与y轴的交点就是z的值。这样，只需要找到对应点即可。
16．（2022·新昌）函数，如果存在实数b使方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】a＜2且a≠0
【知识点】函数自变量的取值范围；分段函数；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：x2=2x，解得x1=0，x2=2，
当x=0时，y=0；当x=2时，y=4，
如图1，当a＜0时，
当时，f（x）=x2图象上y随x的增大而减小，此时在合适的范围内，直线y=b与y=f（x）的图象有两个不同的交点，满足方程有两个不同的实数解；
如图2，当a=0时，
y=x2（x≥0）与y=2x（x＜0）的图象在x=0处连接，直线y=b与y=f（x）的图象最多只有一个交点，不符合题意；
如图3，当0＜a＜2时，
两函数图象中y随x的增大而增大，此时在合适的范围内，直线y=b与y=f（x）的图象有两个不同的交点，满足方程有两个不同的实数解；
如图4，当a=2时，
y=x2（x≥2）与y=2x（x＜2）的图象在x=2处连接，直线y=b与y=f（x）的图象最多只有一个交点，不符合题意；
如图5，当a＞2时，
两函数图象中y随x的增大而增大，且a2＞2a，此时对于任意的b，直线y=b与y=f（x）的图象最多只有一个交点，不符合题意，
综上所述， 实数的取值范围是 a＜2且a≠0 .
故答案为： a＜2且a≠0 .
【分析】根据函数解析式作函数图象，利用函数图象的性质进行分类讨论，即可求得实数的取值范围.
17．（2022·新昌）已知二次函数的图象过三点.
（I）求的表达式.
（II）若时，求的最大值.
【答案】解：(I)设
则有解得故
(II)
因为
所以当x=3时f(x)有最大值，即。
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）题可以假设出这个二次函数的式子，然后将三个点代入，此这个二次函数的式子就转变为求三元一次方程组，求解即可；（2）题可以先将该二次函数进行变形，然后发现x的取值范围在对称轴两侧，因此只对x的两个极端点进行比较即可，最后代入计算即可。
18．（2022·新昌）（I）写出判断平面内不同三点A，B，C共线的方法（要求至少三种）
（II）求证：在△ABC中，AB，BC，CA三条线没中必存在两条线段的长为m，n，使
【答案】解：(I)(1)；
(2)；
(3)
(4)在直角坐标系中，先通过A，B两点写出直线方程，再将点C坐标代入检验
(II)证明：在时.不妨设
因为
故与中至少有一个负数.不妨设.记，则有
综上三条线段中必存在两条线段的长为，使.
【知识点】三角形三边关系；一次函数的性质；平面中直线位置关系；线段的和、差、倍、分的简单计算；邻补角
【解析】【分析】(1) 可利用线段和差、平角的定义、一次函数的性质等来判断平面内不同三点A，B，C共线.
(2) 设 ， 利用三角形的三边关系可得，故与中至少有一个负数 ， 设，记，则有 .
19．（2022·新昌）如图，矩形ABCD的边.在边DC上，且是线段EC上的点AF与BE交于点.若与的面积之和为8试确定点的位置。
【答案】解：以A为坐标原点，AB，AD分别为x轴与y轴建立如图直角坐标系
设DF=t(3那么直线AF的方程：
直线BE的方程：
求得AF与BE的交点
因为，
即
化简得
符合。
即点F的位置是满足
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】本题将点放到坐标中进行方程分析计算，可以求出O点坐标，根据“与的面积之和为8 ”列式，最后求解即可。
20．（2022·新昌）关于x，y的方程组有两个实数解和.若，求非零常数.
【答案】解：由已知得，
所以
即（）
把代入得
则有代入（）
得
即又
所以
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题将方程组 分开进行变形讨论，因为该方程组有两个实数解，所以，然后利用根与系数的关系将y1y2和y1+y2用n和a表示出来，最后变形为方程求解即可。
21．（2022·新昌）设AABC的角A、角C的外角平分线交于点O，延长AO交BC的延长线于D.如图示
（I）证明：
（II）过点作直线BC的垂线，垂足为.若，求的周长.
【答案】解：过作，垂足为，作，垂足为.连OB因为CO平分平分
所以
则BO平分
则有
同理：
所以
(II)由，得到△BOE≌△BOF，即：
所以
=BF+BE
=10+10
=20
即的周长为20.
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）题首先利用角平分线的性质，得到BO平分，然后利用三角形等高的特点，列出对应底边比等于面积比，最后得出答案；（2）题首先利用全等三角形的特点，找到三条边相等，然后将△ABC的三条边逐步变形，向全等三角形的三条边靠拢，最后化简即可求出答案。
22．（2022·新昌）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的值.
【答案】解：记
则
当时
当时
要使有三个不同实数解，的图形必是w型的。
故必
有三个实根的条件是(1)或(2)或
解得：或
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】本题先将原方程进行变形，根据“三个不同的实根”画出图形，即可确定a的取值范围。最后计算即可求出a的值。
23．（2022·新昌）如图，直角中，点是斜边AB上的动点
（I）若CH⊥AB，求证：
（II）过作，垂足为，若，求的最小值
【答案】解：(I)由已知得CH为斜边AB上的高，则有
即
所以
(II)∵△BHM∽△BAC，∴，将 代入，
∴
则
又，所以的最小值是1.
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质-对应边；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）题利用等面积办法先列出，然后同时平方并且利用勾股定理将AB2变形，最后将乘法等式转变为除法等式，即可得出证明结果。
（2）题先利用相似三角形的性质得出，此时将 代入并尽量出现CM和MH来进行变形，最后利用CM的取值范围计算即可得出最小值。
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