〖数学〗导数的概念 课件(共27张PPT)-2024-2025学年高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册

文档属性

名称 〖数学〗导数的概念 课件(共27张PPT)-2024-2025学年高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
格式 pptx
文件大小 7.0MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-04-19 09:23:02

图片预览

文档简介

(共27张PPT)
2.1 导数的概念
1
导 语
同学们,回顾上节课的内容,在解决问题时,我们都运用了“平
均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法。比如,当大家经过红 绿灯路口时,测速探头会在极短的时间内拍摄两次,通过计算这两次 拍摄之间的位移来判断车速,其原理正是基于无限逼近的思想。今天, 我们将继续运用这种思想方法,研究更一般的问题。
导数的概念
1.设函数y=f(x),当自变量x从x,变到x 时,函数值y从f(x )变 到f(x ),函 数值y
关于x的平均变化率为
平均变化率的极限
2.当x 趋 于x, 即△x趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个 值就是函数y=f(x)在点x 的 瞬时变化率
3.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x) 在点x, 处的_ 导数 ,通常用符号 f(x,)表示,用极限符号表示这个定义,记作:
第3页
微提醒
(1)函数应在x 的附近有定义,否则导数不存在.
(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x) 在x=x 及其附近的函数值有 关,与△x 无关.
(3)导数的实质是一个极限值.
第4页
课堂练习
练习1 根据导数的定义,求函数y=f(x)= x +3 在x=1 处的导数。
解:∵△y=f(1+△x)-f(1)=[(1+△x) +3]-(1 +3)=2△x+(△x) ,
第5页
反思感悟
根据定义求导数的步骤:
第一 步,求函数的变化(增量):对于函数y=f(x), 自变量的增量是△x ,
相应的函数值的增量是△y=f(xo+△x)-f(x ) .
第 二步,求平均变化率(增量之比):
第三步,求瞬时变化率(增量之比的极限):
一差、二比、三极限
第6页
A.-4f(x ) B.f(x )
C. 4f(x )
例1 设f(x) 在xo可导,则
大本P 58
第7页
是 一 个局部概念,它只与函数y=f(x) 在 x=xo 及其附近的函数值有关,与
△x 无 关 .
瞬时变化率的常见变形形式:
反 思 感 悟
导 数 的 形 式 化 计 算 的 本 质 就 是 对 导 数 概 念
的理解 . 需要说明的是导数
lim
△x→0
课堂练习 题型:导数公式的形式化计算
练习2 若函数y=f(x)在x=xo 处可导,则 等于
【思路分析】 本题考查对导数形式化定义的认识,根据导数的定义来求
解,需明确△x, △y 的含义.
( ) A.f(xo) C.-2f(xo)
P .2f(xo)
D.0
第9页
课堂练习
【 解 析 】 方 法 一 :
f'(xo)+f'(xo)=2f'(xo).
(xo).
第10页
对点练 1. 已知函数f(x)可导,且满足 ,则函数y
=f(x) 在x=3 处的导数为
A.-1 B. 一 2
C.1 D.2
解析
因为
所以f(3)= -1, 故选A.
则f(xo)=( )
A.2 B.—1
C. , 1 D. 一 2
【 解 析 】
思考题3 (1)设f(x)是可导函数,且
课堂练习
第12页
课堂练习
(2)若f(xo)=2, 值 .
【解析】 令—k=△x, ∵k→0,∴△x→0.
则原式可变形为
第13页
问题3.一质点的运动位移s(单位:m) 是关于时间t(单位:s)的函数:s=s(t)
=-2t+3. 根据导数的定义你能求出s'(1),并解释它的实际意义吗
提示:
. 当△t 趋于0时, 于 - 2 , 则
s'(1)=-2 m/s, 导数s'(1)=-2 m/s 表示该质点在 t=1 时的瞬时速度.
问题导思
□ 新知构建
对于函数f(x),f(x ) 的意义就是函数f(x) 在x=x 处的 瞬时变化率
例2(1)已知函数y=f(x)=2x +1. 求函数f(x)在x=2 处的瞬时变化率.
解:△y=f(2+△x)-f(2)=2(2+△x) +1-(2×2 +1)=2(△x) +8△x.
所1
故函数f(x)在x=2 处的瞬时变化率为
=lim(2△x+8)=8.
故当△x 无限趋近于0时, 无限趋近于0,
即当x=1 时,函数 的导数为0 .
(2)求函数 x=1 处的导数.
解 : 因 为
1. 求瞬时变化率的主要步骤
第一步:先计算函数值的改变量△y=f(x )- f(x );
第二步:再计算自变量的改变量△x=x -x ;
第三步:得平均变化
规律方法
第四步:得瞬时变化率
2. 由导数的定义,求函数y=f(x) 在点x,处的导数的步骤
第一步:求函数值的增量△y=f(x +△x)-f(x );
第二步:求平均变化
第三步:取极限,得导数
规律方法
A.—4
C.—2
解析
解 得m=±2. 故 选 D.
B.2
±2
9 则 m 的值等于
所以 f(m)=lim
对点练2.
, 所 以
已 知
,m =4,

对点练3.已知函数 函数f(x) 在x=1 处的瞬时变化率是多少
解:函数f(x)在x=1 处的瞬时变化率为
返回
导数在实际问题中的意义
例3 某机械厂生产一种木材旋切机,已知总利润c(单位:万元)与产量x(单
位:千台)之间的关系式为c(x)=-2x +7x+6. 求c'(1) 与c'(2), 并说明它们 的实际意义.
解:设x=1 时产量的改变量为△x,

=-2△x+3,
设x=2 时产量的改变量为△x,
c'(1)的实际意义:当产量为1000台时,多生产1台旋切机可多获利3万元;
c'(2)的实际意义:当产量为2000台时,多生产1台旋切机少获利1万元.
规律方法
首先要理解导数与平均变化率的概念,才能根据实际问题体会
到导数的实际意义.
对点练4.有一边长为10 cm 的正方形铁板(此时铁板温度为0 ℃),加热后铁
板会膨胀,已知铁板温度为t ℃(t>0)时,其边长膨胀为10(1+at)cm, 其中 a为常数,求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率.
解:设温度的增量为△t, 则铁板面积的增量为△S=100[1+a(t+△t)] - 100(1+at)
=200(a+a t)△t+100a (△t) ,

当△t→0时,
故铁板面积对温度t 的瞬时膨胀率为200a(1+at).
谢谢!