2025年广东省中考总复习·数学 第一部分 第三章 第15课时 二次函数(2) 课件(共39张PPT)

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第15课时　二次函数(2)
第三章 函数
1.掌握用待定系数法确定二次函数的解析式.
2.掌握二次函数图象的平移.
3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.会求二次
函数图象与坐标轴的交点坐标.
4.能用二次函数解决实际问题.
1.用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：________________.已知图象上三点或三对 x，y
的值，通常选择一般式.
y＝ax2＋bx＋c
y＝a(x－h)2＋k
(2)顶点式：__________________.已知图象的顶点或对称轴，
通常选择顶点式.
y＝a(x－x1)(x－x2)
(3)交点式：___________________.已知图象与 x 轴的交点坐
标 x1，x2，通常选择交点式.
2.二次函数图象的平移：
y＝ax2±k
y＝a(x±h)2
抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将 y＝ax2 的图象沿
着y 轴(上“＋”，下“－”)平移 k(k>0)个单位长度得到函数
_____________，将 y＝ax2 的图象沿着 x 轴(左“＋”，右“－”)
平移 h(h>0)个单位长度得到_______________.在平移之前先将函
数解析式化为顶点式，再来平移.
3.二次函数图象与坐标轴的公共点：
(1)y 轴与抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的交点为________.
(2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的两个公共点的横坐
标 x1，x2，是对应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个实数根.抛物
线与 x 轴的公共点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式
判定：
(0, c)
两个
相切
相离
①有________公共点 Δ>0 抛物线与 x 轴相交.
②有一个公共点(顶点在 x 轴上) Δ＝0 抛物线与 x 轴_____.
③没有公共点 Δ<0 抛物线与 x 轴________.
二次函数图象的平移
1.将抛物线 y＝2x2 向下平移 2 个单位长度，所得的抛物线
的解析式为__________________.
答案：y＝2x2－2
二次函数图象与坐标轴的交点
2.抛物线 y＝2x2＋3x－4 与 y 轴的交点坐标是___________.
答案：(0，－4)
二次函数图象与一元二次方程的解
3.已知二次函数 y＝－x2＋2x＋m 的部分图象如图所示，则关
于 x 的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0 的解为________________.
答案：x1＝－1，x2＝3
用待定系数法确定二次函数解析式
4.已知二次函数的图象经过点(0，1)，(2，1)和(3，4)，求该
二次函数的解析式.
1.图象平移的本质
(1)抛物线的上下平移本质上是 y 的增减变化，因此对于无论
何种二次函数表达形式，只需结合口诀“上加下减”在函数表达
式的最后进行加减即可.如 y＝－3(x＋1)(x－2)向上平移 3 个单位长
度得到 y＝－3(x＋1)(x－2)＋3；如 y＝2(x－1)2＋1 向下平移 2 个单
位长度得到 y＝2(x－1)2＋1－2.
(2)抛物线的左右平移本质上是 x 的增减变化，因此对于无论
何种二次函数表达形式，只需结合口诀“左加右减”对 x 作等量
代换即可.如 y＝－x2＋2x＋1 向右平移 3 个单位长度得到 y＝－(x
－3)2＋2(x－3)＋1；如 y＝3(x＋1)(x－2)向左平移 2 个单位长度得
到 y＝3[(x＋2)＋1][(x＋2)－2].
2.求抛物线与 x 轴和 y 轴的交点坐标容易把横、纵坐标写反，
需特别注意.
1.如图，已知抛物线 y＝ax2＋c 与直线 y＝kx＋m交于 A(－3，
y1)，B(1，y2)两点，则关于 x 的不等式 ax2＋c≥－kx＋m 的解集
是(　　)
A.x≤－3 或 x≥1
B.x≤－1 或 x≥3
C.－3≤x≤1
D.－1≤x≤3
答案：D
2.(2022·绍兴)已知抛物线 y＝x2＋mx 的对称轴为直线 x＝2，则
)
关于 x 的方程 x2＋mx＝5 的根是(
A.x1＝0，x2＝4
B.x1＝1，x2＝5
C.x1＝1，x2＝－5
D.x1＝－1，x2＝5
答案：D
3.(2023·徐州)在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝(x＋1)2＋
3 的图象向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得
)
B.y＝(x－1)2＋2
D.y＝(x＋3)2＋4
抛物线对应的函数表达式为(
A.y＝(x＋3)2＋2
C.y＝(x－1)2＋4
答案：B
4.(2023·达州)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数)
关于直线 x＝1 对称.有下列五个结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；
③4a＋2b ＋c ＞0 ；④am2 ＋bm＞a ＋b ；⑤3a ＋c ＞0.其中正
确的有(　　)
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
答案：B
5. 抛物线 y＝x2 －4x ＋c 的顶点在 x 轴上，则 c 的值是
(
)
A.0
B.4
C.－4
D.2
答案：B
答案：D
A.x＜－1
B.－1＜x＜0
C.0＜x＜2
D.x＞1
答案：D
x … －1 0 1 2 3 …
y … 3 0 －1 m 3 …
8.已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 上的部分点的横坐标x 与纵坐标
y 的对应值如表：
以下结论正确的是(
)
A.抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向下
B.当 x<3 时，y 随 x 增大而增大
C.方程 ax2＋bx＋c＝0 的根为 0 和 2
D.当 y>0 时，x 的取值范围是 0答案：C
9.(2024·滨州)将抛物线 y＝－x2 先向右平移 1 个单位长度，
再向上平移 2 个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_____.
答案：(1，2)
10.(2022·黔东南州)在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2＋2x
－1 先绕原点旋转 180°，再向下平移 5 个单位长度，所得到的抛
物线的顶点坐标是________.
答案：(1，－3)
11.从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图
所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度 y(单位：m)与它距
离喷头的水平距离 x(单位：m)之间满足函数关系式 y＝－2x2＋4x
＋1，则喷出水珠的最大高度是________m.
答案：3
12.(2024·宁夏)若二次函数 y＝2x2－x＋m 的图象与 x 轴有交
点，则 m 的取值范围是________.
13.(2024·福建)如图，已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与 x
轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 A(－2，0)，C(0，－2).
(1)求二次函数的解析式.
(2)若 P 是二次函数图象上的一点，且点 P 在第二象限，线段
PC 交 x 轴于点 D，△PDB 的面积是△CDB 的面积的 2 倍，求点P
的坐标.
解：(1)由题意，将 A(－2，0)，C(0，－2)代入 y＝x2＋bx＋c，
∴二次函数的解析式为 y＝x2＋x－2.
(2)由题意，设 P(m，n)(m＜0，n＞0)，
又△PDB 的面积是△CDB 的面积的 2 倍，
又 CO＝2，∴n＝2CO＝4.由 m2＋m－2＝4，
∴m1＝－3，m2＝2 (舍去).∴点 P 的坐标为 (－3，4).
14.(2024·广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展
工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远
销欧美.某果商以每吨 2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若
按每吨 5 万元出售，平均每天可售出 100 吨.市场调查反映：如果
每吨降价 1 万元，每天销售量相应增加 50 吨.该果商如何定价才
能使每天的“利润”或“销售收入”最大？请求出其最大值.(题
中“元”为人民币)
解：设该果商定价 x 万元时，每天的“利润”为 w 万元，
每天的“销售收入”为 y 万元，由题意，得
w＝(x－2)[100＋50(5－x)]
＝－50(x－4.5)2＋312.5，
∵－50＜0，
∴w 随 x 的增大而减小，
∴当 x＝4.5 时，w 有最大值，最大值为 312.5 万元.
y＝x[100＋50(5－x)]＝－50(x－3.5)2＋612.5，
∵－50＜0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∴当 x＝3.5 时，y 有最大值，最大值为 612.5 万元.
答：该果商定价为 4.5 万元时才能使每天的“利润”最大，
其最大值为 312.5 万元，定价为 3.5 万元时才能使每天的“销售
收入”最大，其最大值为 612.5 万元.
(3)如图 2，点 P 在第二象限，x2＝－2x1，若点 M 在直线 PQ
上，且横坐标为 x1－1，过点 M 作 MN⊥x 轴于点 N，求线段 MN
长度的最大值.
图 1
图 2
(1)解：将点 A 的坐标代入 y＝－x2＋c，
得 5＝－4＋c，则 c＝9，
∴二次函数的解析式为 y＝－x2＋9.
(2)证明：在y＝－x2＋9中，令y＝0，则x＝±3，
则点 B(3，0).
由点 A，B 的坐标得直线 AB 的解析式为 y＝－x＋3.
16.(2022·广东)如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c(b，c 是常数)的顶
点为 C，与 x 轴交于 A，B 两点，A(1，0)，AB＝4，点 P 为线段
AB 上的动点，过 P 作 PQ∥BC 交 AC 于点 Q.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)求△CPQ 面积的最大值，并求此时 P 点坐标.
解：(1)∵A(1，0)，AB＝4，
∴B(－3，0).
(2)如图，过Q作QE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x 轴于点F，
设 P(m，0)，则 PA ＝1－m.
∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴C(－1，－4)，CF＝4.