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鲁教版八年级下册数学第六章单元测评卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1.下列说法不正确是（ ）
A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 两条对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是正方形
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M为AD中点，连接CM，交BD于点N，则（ ）
A. 1:2 B. 2:3 C. 1:3 D. 3:4
4.（2024 陕西模拟）在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD
5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
6.已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，矩形中，平分，交于点E，将一块三角板的直角顶点放在点E处，并使它的一条直角边过点A，另一条直角边交于M点，若，，则的长为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
9. 如图，在中，，按以下步骤作图：
（1）以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点E；
（2）分别以点B、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAD的内部交于点G，连接AG并延长交BC于点F．若AB＝5，BE＝6，则AF的长是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
10.如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①△AED≌△GED；②四边形AEGF是菱形；③∠DFG＝112.5°；④BC+FG＝1.5，其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为 cm2．
12.矩形两条对角线的夹角是，一条对角线与短边的和为，其对角线的长为________．
13.如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2cm，AC＝4cm，则BD的长为 cm．
14.如图，把矩形沿直线折叠，点B落在点E处，连接，则顺次连接四边形各边中点，得到的四边形的形状一定是_____________．
15.如图，在边长为8的正方形纸片中，E是边上的一点，，连接，将正方形纸片折叠，使点D落在线段上的点G处，折痕为，则的长为_______
16.如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________．
三、解答题（共52分）
17.（8分）如图，在矩形中，过对角线的中点O作线段，线段分别与和的延长线交于点E，F．求证：．
18.（8分）如图，在中，点F在边上，，连接，O为的中点，的延长线交边于点E，连接．求证：四边形是菱形．
19.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）当∠BOD＝ °时，四边形BECD是菱形．
20.（8分）如图，在中，分别是边上的点，且．
（1）求证：；
（2）请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）
21.（10分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
22.（10分） 问题提出
如图，已知点是菱形边上一点，是等腰三角形，且，，交于点探究与的数量关系．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图，当时，直接写出的大小；
（2）再探究一般情形，如图，求与的数量关系．
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鲁教版八年级下册数学第六章单元测评卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1.下列说法不正确是（ ）
A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 两条对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是正方形
【答案】D
【解析】解：、有一个角是直角的菱形是正方形，原选项正确，不符合题意；
、两条对角线相等的菱形是正方形，原选项正确，不符合题意；
、对角线互相垂直的矩形是正方形，原选项正确，不符合题意；
、四条边都相等的四边形是菱形，原选项错误，符合题意；
故选：．
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】A
【解析】解：A、对角线互相平分且相等四边形是矩形，是真命题，符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M为AD中点，连接CM，交BD于点N，则（ ）
A. 1:2 B. 2:3 C. 1:3 D. 3:4
【答案】A
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，M为AD中点，
∴AD∥BC，BC=AD=2 DM，OB=OD，∴∠BCN=∠DMN，∠NBC=∠MDN，
∴△BCN∽△DMN；∴BN:DN=BC:DM=2:1，
设DN=x，则BN =2x，∴BD=3x，∴OD=x，∴ON=x，∴ON:DN=x: x =1:2，
∴ ON:DN =1:2．故选：A．
4.（2022 陕西）在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD
【答案】D
【解析】解：A．∵ ABCD中，AB＝AD，
∴ ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B．∵ ABCD中，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C． ABCD中，AB＝AC，不能判定 ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D．∵ ABCD中，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】∵ABCD是正方形，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．
∵OE＝OF，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∵∠AFE＝25°，
∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，
∴∠FAO＝20°．
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（SAS）．
∴∠FAO＝∠EOB＝20°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．
故选：C．
6.已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】【详解】解：如图，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形，故A不符合题意；
∵，
根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形是矩形，
故B不符合题意；
∵，
∴，
但不一定与相等，无法判定四边形是矩形，
故C符合题意；
∵，
∴，
∴四边形是矩形，故D不符合题意；
故选：C．
7.如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，则是等边三角形，
∵，为中点，
∴，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴四边形的面积是，
故选：B．
8.如图，矩形中，平分，交于点E，将一块三角板的直角顶点放在点E处，并使它的一条直角边过点A，另一条直角边交于M点，若，，则的长为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】解：在矩形中，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
9. 如图，在中，，按以下步骤作图：
（1）以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点E；
（2）分别以点B、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAD的内部交于点G，连接AG并延长交BC于点F．若AB＝5，BE＝6，则AF的长是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】解：设AF交BE于H，
由题意得AB=AE，AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∴BF=AE，
∵AE∠BF，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴AB=EF，
∴AB=AE=EF=BF，
∴四边形AEFB是菱形，
∴AH=FH，BH=HE=3，AF⊥BE，
∴AH=，
∴AF=2AH=8，
故选：C．
10.如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①△AED≌△GED；②四边形AEGF是菱形；③∠DFG＝112.5°；④BC+FG＝1.5，其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DGH是由△DCB旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△AED和Rt△GED中，
∴△AED≌△GED，故①正确，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=GE，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理GE=GF，
∴AE=GE=GF=AF，
∴四边形AEGF是菱形，故②正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．
∵AE=FG=EG=BG，BE=AE，
∴BE>AE，
∵AE+BE=AB=1
∴AE<，
∴CB+FG<1.5，故④错误．
故选B.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为 48 cm2．
【答案】48
【解析】∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，
∴另一边长＝＝8cm，
∴它的面积为8×6＝48cm2．
故答案为：48．
12.矩形两条对角线的夹角是，一条对角线与短边的和为，其对角线的长为________．
【答案】10
【解析】如图：
在矩形ABCD中，
OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OB=OA=×15=5，
∴AC=BD=2×5=10．
故答案为：10．
13.如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2cm，AC＝4cm，则BD的长为 8 cm．
【答案】8
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC＝4cm，
∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝2cm，
∵AB＝2cm，
∵BO＝＝4cm，
∴DO＝BO＝4cm，
∴BD＝8cm，
故答案为：8．
14.如图，把矩形沿直线折叠，点B落在点E处，连接，则顺次连接四边形各边中点，得到的四边形的形状一定是_____________．
【答案】菱形
【解析】解：∵把矩形沿直线折叠，点B落在E处，
∴，
∵顺次连接四边形各边中点，
∴H、F分别是的中点，
∴．
同理，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形．
∴得到的四边形的形状一定是：菱形．
故答案为：菱形．
15.如图，在边长为8的正方形纸片中，E是边上的一点，，连接，将正方形纸片折叠，使点D落在线段上的点G处，折痕为，则的长为_______
【答案】
【解析】解：∵四边形是边长为8的正方形纸片，，
由翻折可知：
在和中，
解得．
故答案为：．
16.如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________．
【答案】
【解析】解：∵，且，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
如图，连接AD，则，
∴当时，的值最小，此时，的面积，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
三、解答题（共52分）
17.（8分）如图，在矩形中，过对角线的中点O作线段，线段分别与和的延长线交于点E，F．求证：．
【解析】证明：∵矩形， O是的中点，
∴，，
∴，，
∴．
18.（8分）如图，在中，点F在边上，，连接，O为的中点，的延长线交边于点E，连接．求证：四边形是菱形．
【解析】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
19.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）当∠BOD＝ °时，四边形BECD是菱形．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）当∠BOD＝90°时，四边形BECD是菱形；
理由：∵四边形BECD是平行四边形，
∴当∠BOD＝90°时，四边形BECD是菱形．
故答案为：90．
20.（8分）如图，在中，分别是边上的点，且．
（1）求证：；
（2）请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）
【解析】（1）
证明：∵，
∴，，
∵
∴．
（2）解：当时，四边形是菱形．
理由：∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形菱形．
21.（10分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）解：如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∴EM=EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF， 又∠DNE=∠FME=90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED=EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，
∴AC=AE+CE=，
∴CE+CG=8是定值．
22.（10分） 问题提出
如图，已知点是菱形边上一点，是等腰三角形，且，，交于点探究与的数量关系．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图，当时，直接写出的大小；
（2）再探究一般情形，如图，求与的数量关系．
【解析】（1）解：过点F作交延长线于H，如图所示：
∴，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在上截取，使，连接．
，
，
，
，
．
．
∵四边形是菱形，
∴，，
，，
，
．
，
即；
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