2024-2025学年湖北省武汉市部分重点学校高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市部分重点学校高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
2.二项式的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
3.从这个数字中任意取出个数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数是( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6.某校名同学打算去武汉旅游，现有黄鹤楼、古德寺、湖北省博物馆三个景区可供选择，若每个景区中至少有名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为( )
A. B. C. D.
7.如图，湖面上有个相邻的小岛，，，，现要建座桥梁，将这个小岛连通起来，则建设方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.函数的两个极值点，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数，则( )
A. B. 在上单调递增
C. 没有零点 D. 最大值为
10.已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有( )
A. 数列为等比数列 B. 数列为等差数列
C. D.
11.已知函数若曲线恰有三条过点的切线，其中实数的所有取值组成集合，的所有取值组成集合，则下列说法正确的有( )
A. B. 若，则
C. 直线上存在满足要求的点 D. 直线上存在满足要求的点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.除以所得余数为 ．
13.已知函数，若方程有三个相异的实根，则实数的取值范围为 ．
14.已知，，，是，，，满足下列性质的一个排列，性质排列，，，中存在唯一使得满足性质的数列，，，的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
高二某班计划从名男生、名女生中选拔人负责本周校会．
若要求选出的人中同时包含男生和女生，有多少种不同的组合方式写出必要的数学式，结果用数字作答
已经按照中要求选出甲、乙、丙、丁四人，现要从已选择的人中安排人担任校会主持，人进行国旗下的讲话，人负责升旗仪式，有多少种不同的职务分配方案写出必要的数学式，结果用数字作答
在完成的职务分配后，校会结束后这位同学和班主任共人需合影留念，要求两位升旗手必须相邻站立，有多少种不同的排列方法写出必要的数学式，结果用数字作答
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程
若恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．
证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列
设，数列的前项和为
求
若恒成立，求实数的最大值．
18.本小题分
已知函数，的导函数为．
当时，求函数的最小值
若，
证明：恰有个零点
证明：的所有零点之和为定值．
19.本小题分
对于正整数和正整数，现定义函数．
当时，分别计算在，，，处的取值
为了研究函数的单调性，现定义差分比
证明：当时，
对于任意正整数，当取到最大值时，求正整数．
参考答案
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15.解：从名男生、名女生共人中选人的总组合数为，
只选男生的组合数为，
所以同时包含男生和女生的组合方式数为；
从人中选人担任校会主持有种选法，
从剩下人中选人进行国旗下的讲话有种选法，剩下人负责升旗仪式，
只有种安排方法．
将两位升旗手看作一个整体，与另外人全排列，有种排法，
两位升旗手之间又有种排法，
根据分步乘法计数原理，总的排列方法数为．
16.解：，
当时，，
，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
由得，
因为，所以由，
得舍负，
所以当时，，单调递减
当时，，单调递增．
所以，
由，得，
解得，
所以实数的取值范围为
17.解：点在函数的图象上，
，，数列是“平方递推数列”．
因为对两边同时取对数，得，
数列是以为首项、为公比的等比数列
由知，所以，
则，
，
两式相减可得
，
，
，
恒成立
恒成立，
又，当且仅当时，取到等号，
，即．
18.解：由题意，；
令，
当时，，
在上为增函数当时，，
在上为减函数，
．
由题，
令令；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，又，
所以，且当时，时，；
所以在与上各有一个零点，不妨分别记为，
所以时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
且，所以；
则，又当时，时，；
所以在与上各有一个零点，且，所以有且仅有三个零点．
设的三个零点分别为，不妨设，则；
则，
同乘，即，
再同乘，得．
则，
又，，，所以，
即，得，因此该函数所有零点之和为．

19.解：由题意，，，，
．
，
，，即，
，
当时，．
由可知，对于任意正整数，，即在时，单调递减．
当时，，，
，
即在时，单调递增．
故对于任意正整数，总在附近取到最大值．
当为偶数时，设，，此时，故仅比较与的大小，
，
当时，取到最大值
当为奇数时，设，，此时，
当时，仅比较与的大小，
．
当时，仅有．
当时，取到最大值
综上，当取到最大值时，．
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