2024-2025学年江苏省苏州市高二下期期中调研测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市高二下期期中调研测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数，则当自变量由变化到时，函数的平均变化率是
A. B. C. D.
2.某个弹簧振子在振动过程中的位移单位：与时间单位：之间的关系为，则该弹簧振子在时的瞬时速度是( )
A. B. C. D.
3.某班有名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是( )
A. B. C. D.
4.如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动转动角度不超过时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是
A. B. C. D.
5.要从 名高二学生中选出名同学分别到两个社区做志愿者，每个社区至少一人，则不同安排的种数是
A. B. C. D.
6.的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则( )
A. B. C. D.
7.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是
A. 所有不同的排法种数为 种
B. 如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为 种
C. 如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为 种
D. 如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为 种
10.若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是
A. 在与处的瞬时增长率相同
B. 在上不单调
C. 可能为奇函数
D.
11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中就有出现在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和则下列命题中正确的是
第行
第行
第行
第行
第行
第行

A. 在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B. 在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为
C. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在原点处的切线方程是 ．
13.在的展开式中，含项的系数是 具体数字作答
14.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，用，，，，这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是 ，其中能被整除的“凹数”的个数是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求值：；．
求证：；
16.本小题分
已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为．
求和的值；
求展开式中按的降幂排列的第项；
求展开式中项的系数最大的项．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若函数在上存在最大值，求实数的范围；
过点可作曲线的三条切线，求实数的范围．
18.本小题分
已知函数，．
若函数的一个极值点是，求实数的值；
若函数在内不单调，求实数的取值范围；
当时，，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值；
若方程有两个不同的解且，
求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：原式
原式
证明：
．
16.解：因为展开式中第项与第项的二项式系数相等，
所以 ，所以 ；
令 ，所以 ，所以 ．
的通项为 ．
因为 ，所以按 的降幂排列的第项是 ．
由 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以展开式中项的系数最大的项是 ．

17.解： ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
所以 的单调增区间是 ；单调减区间是 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
设曲线 上一点 ，
则该点处的切线是 ，
因为过点 可作曲线 的三条切线，
则方程 有三个不同的解，
即 有三个不同的解．
令 ，所以 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ， ，
所以 ．

18.解： ，当 时， ，当 时， ，所以 是 的一个极小值点，又函数 的一个极值点是 ，所以 ，所以
由可知，且又因为函数 在 内不单调，所以 ，
所以 ．
因为 时，所以 等价于 ，
令 ，所以 ，
令 ， ，所以 在 上单调递减，
又因为 ，
所以 时， ，所以 ，
所以 ．

19.解： ，曲线 在 处的切线斜率为 ，
所以曲线 在处的切线方程为 ．
由于切线与曲线 只有一个公共点，
得 有且只有一解，
所以 ，
解得 ．
解：令 ，
因为方程 有两个不同的解 ，
所以 有两个不同的零点．
，
当 时， ；
当 时， ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以 ，所以 ．
一方面因为 ，
另一方面因为 ，
令 ， ，所以 ．
综上： ．
判断： ，
下证： 等价于 ．
因为 ，
所以 ，所以 ，
要证： 即证 ，
即证： ，
因为 ，即证： ，
令
设 ，则 ，
所以 ，所以 ．
所以；
证明：由可知：当 时，
令 ，所以 ．
所以 ， ，， ，
将以上 个不等式进行累加，
所以 ．

第1页，共1页