2024-2025学年湖北省荆州中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省荆州中学高二下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，为其前项和，若，则( )
A. B. C. D.
3.函数的极值点是( )
A. B.
C. D.
4.将个数学竞赛名额全部分给个不同的班，每个班至少有个名额，则不同的分配方案种数为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点，若，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.如图，一环形花坛分成四块，现有种不同的花供选种，要求在每块里种种花，且相邻的块种不同的花，则不同的种法总数为( )
A. B. C. D.
7.设数列的前项和为，若，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A. 如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法有种
B. 最左端只能排或，最右端不能排，则不同的排法共有种
C. 不相邻的排法种数为种
D. 按从左到右的顺序排列的排法有种
10.已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是( )
A. 的最大值是
B. 的最大值是
C. 的最小值是
D. 过点作曲线的切线，则切线方程为
11.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 在区间单调递减，在区间单调递增
B. 有极小值，且极小值是的最小值
C. 设，若对任意，都存在，使成立，则
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 ．
13.将名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种用数字作答
14.已知数列，均为正项等比数列，，分别为数列，的前项积，且，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
求的图象在点处的切线方程；
求在上的最大值与最小值．
16.本小题分
在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点．
证明：平面；
若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17.本小题分
已知双曲线．
过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率；
若直线与双曲线相交于，两点，均异于左、右顶点，且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点试问：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
18.本小题分
数列的前项和为，且
求数列的通项公式；
若数列满足：，求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
19.本小题分
英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶导数都存在时，注：表示的阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
写出泰勒展开式只需写出前项；
根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位；
证明：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.，，
所以，函数的图象在点处的切线的斜率为，
，所以，函数的图象在点处的切线方程为，
即；
，．
当时，；当时，．
所以，，
因为，，
所以，，则，
所以，函数在上的最大值为．

16.解：证明：取中点，连接，，
为的中点，，
又，
，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面；
平面平面，平面平面，
平面，，平面，
取中点，连接，，则，平面，
，，
，
又，，
，，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，，，
，，
设平面的一个法向量，
，，
取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成锐二面角为，
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

17.由题意得直线的斜率必存在，设，
联立，得
若，即时，满足题意，
若，即时，
令，解之得，
综上，的斜率为，，，；
设，，由，得，
则
，，
，
以为直径的圆过双曲线的左顶点，，
因为，
，，
，解得或．
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，直线的方程为，直线过定点，经检验符合题意．
直线过定点，定点坐标为．

18.解：因为，
当时，，
两式相减得：．
当时，，符合上式，
所以，
设，为数列的前项和．
由条件知：，
当时，，
两式相减得：．
当时，，符合上式，
所以，．
所以；
．
设数列的前项和为，
则，
所以，
两式相减得：
，
所以．
所以．
19.，，，；
，，；
所以．
因为，
由该公式可得，
故．
法一：由泰勒展开，
易知当，，
所以
，
令，
则，所以在上单调递增，
故，
即证得．
法二：
令，
，
易知当均为增函数，
所以单调递增，
所以，
所以当单调递增，
所以，
当
令，则，则单调递增，
则，
综上，原不等式得证．

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