(共83张PPT)
第二节 概率
第八章 统计与概率
考点一 事件的分类
确定事件与随机事件
(1)确定事件：事先能肯定一定会发生的事件称为_________，事先能肯定一定不会发生的事件称为___________，必然事件与不可能事件统称确定性事件．
(2)随机事件：在一定条件下，_____________________的事件，称为随机事件．
链接教材 基础过关
必然事件
不可能事件
可能发生也可能不发生
概率
1
0
3．随机事件概率的计算方法
(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算．
(2)两步完成：列表法、画树状图法．
(3)两步以上完成：画树状图法．
4．几何概率的计算方法
求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率．
1．(人教九上P134复习巩固T1改编)下列说法正确的是( )
A．买一张电影票，座位号是奇数是随机事件
B．任意画一个三角形，其内角和为180°是随机事件
C．打开人教版七下数学课本刚好翻到《平面直角坐标系》是必然事件
D．2025年国庆节天气晴朗是必然事件
√
A [买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故A符合题意；
任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故B不符合题意；
打开人教版七下数学课本刚好翻到《平面直角坐标系》是随机事件，故C不符合题意；
2025年国庆节天气晴朗，是随机事件，故D不符合题意．
故选A．]
2．(人教九上P147复习巩固T2改编)如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
其中合理的是( )
A．① B．② C．①② D．①③
√
B [当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500＝0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误；
随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②正确；
若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误．
故选B．]
√
√
【典例1】 (2024·肥城期末)下列说法正确的是( )
A．“打开电视，正在播放乒乓球比赛”是必然事件
B．“抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件
C．“面积相等的两个三角形全等”是不可能事件
D．“网上任意买的某张电影票，票上排号恰好是偶数”是不可能事件
考点突破 对点演练
命题点1 事件的分类
√
B [A．“打开电视，正在播放乒乓球比赛”是随机事件，故该选项不正确；
B．“抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件，故该选项正确；
C．“面积相等的两个三角形全等”是随机事件，故该选项不正确；
D．“网上任意买的某张电影票，票上排号恰好是偶数”是随机事件，故该选项不正确．故选B．]
必然事件是指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
[对点演练]
1．下列事件是必然事件的是( )
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在某平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
√
B [A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻是随机事件，不符合题意；
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，符合题意；
C．小明在某平台能抢到龙舟节开幕式门票是随机事件，不符合题意；
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》是随机事件，不符合题意．
故选B．]
2．(2024·湖北武汉)小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是( )
A．随机事件 B．不可能事件
C．必然事件 D．确定性事件
A [小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件．
故选A．]
√
命题点2 概率的概念及计算
√
树状图与列表法能不重复不遗漏地列出所有可能的结果，是计算概率的常用方法．
0 2 π
0
0
0 0 0 0 0
2 0 2π
π 0 2π
4．(2024·江苏常州)在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪刀”“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是____；
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回)，乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
(2)列表如下：
石头 剪刀 布
石头 (石头，剪刀) (石头，布)
剪刀 (剪刀，石头) (剪刀，布)
布 (布，石头) (布，剪刀)
√
2．(2023·菏泽)用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为______．
【典例3】 (2023·济宁)某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分(积分用x表示)进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
命题点3 统计与概率的综合应用
等级 劳动积分 人数
A x≥90 4
B 80≤x＜90 m
C 70≤x＜80 20
D 60≤x＜70 8
E x＜60 3
请根据图表信息，解答下列问题：
(1)统计表中m＝_____，C等级对应扇形的圆心角的度数为_______；
15
144°
(2)学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2 000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
(3)A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
[对点演练]
5．乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为了更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食(用A、B、C、D表示)的喜好情况(每人限选一种)，并将调查结果绘制成统计图，如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次抽取的游客总人数为_____人，扇形统计图中m的值为______；
(2)请补全条形统计图；
(3)旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“B和C”的概率．
240
35
6．(2024·济宁三模)为了倡导“节约用水，从我做起”，济宁市政府决定对直属机关300户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量(单位：吨)，将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
月平均用
水量(吨) 3 4 5 6 7
频数(户数) 4 a 9 10 7
频率 0.08 0.40 b 0.20 0.14
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
(1)填空：a＝_____，b＝______．
(2)根据样本数据估计，直属机关300户家庭中月平均用水量小于5吨的约有多少户？
(3)市政府决定从用水最为节约的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、乙两户的概率．
20
0.18
[解] (1)抽取的户数为4÷0.08＝50(户)，
∴a＝50×0.40＝20，b＝9÷50＝0.18．
故答案为20；0.18．
(2)300×(0.08＋0.40)＝144(户)．
∴直属机关300户家庭中月平均用水量小于5吨的约有144户．
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共73分)
题号
1
3
5
2
4
6
8
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13
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15
课时分层评价卷(二十八) 概率
16
√
题号
1
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题号
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√
题号
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题号
1
3
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13
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15
16
√
4．(2024·贵州)小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是( )
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定能投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
题号
1
3
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2
4
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13
14
15
16
√
A [A．小星定点投篮1次，不一定能投中，故符合题意；
B．小星定点投篮1次，不一定能投中，故不符合题意；
C．小星定点投篮10次，不一定投中4次，故不符合题意；
D．小星定点投篮4次，不一定投中1次，故不符合题意．
故选A．]
题号
1
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题号
1
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√
题号
1
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题号
1
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题号
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15
16
7．(2024·浙江)有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是______．
题号
1
3
5
2
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6
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12
13
14
15
16
8．(10分)(2024·江西)某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
(1)“学生甲分到A班”的概率是____；
(2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
题号
1
3
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2
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16
题号
1
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题号
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14
15
16
√
A [列表如下：
题号
1
3
5
2
4
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13
14
15
16
第一次
第二次 红 黄
红 (红，红) (黄，红)
黄 (红，黄) (黄，黄)
题号
1
3
5
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4
6
8
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9
10
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12
13
14
15
16
10．(2024·蒙阴县三模)甲、乙两人一起玩如图的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏( )
A．公平 B．对甲有利
C．对乙有利 D．公平性不可预测
题号
1
3
5
2
4
6
8
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16
√
题号
1
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6
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16
题号
1
3
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9
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11
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13
14
15
16
√
D [设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为A、B、C、D，
画树状图如右：
题号
1
3
5
2
4
6
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题号
1
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14
15
16
√
C [根据题意，列出表格如下：
题号
1
3
5
2
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6
8
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9
10
11
12
13
14
15
16
第一次
第二次 红 白1 白2
红 (红，红) (白1，红) (白2，红)
白1 (红，白1) (白1，白1) (白2，白1)
白2 (红，白2) (白1，白2) (白2，白2)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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12
13
14
15
16
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
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13
14
15
16
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
14．(2024·江苏苏州)如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是_____．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
15．(12分)(2024·贵州)根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩(单位：秒)记录如下：
男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根据以上信息，解答下列问题：
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)男生成绩的众数为________，女生成绩的中位数为________；
(2)判断下列两位同学的说法是否正确．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
7.38
8.26
(3)教练从成绩最好的3名男生(设为甲、乙、丙)中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率．
[解] (1)男生成绩7.38出现的次数最多，即众数为7.38，
女生成绩排列为：8.16，8.23，8.26，8.27，8.32，居于中间的数为8.26，故中位数为8.26，
故答案为7.38，8.26．
(2)∵用时越少，成绩越好，
∴7.38是男生中成绩最好的，故小星的说法正确；
∵女生8.3秒为优秀成绩，8.32>8.3，
∴有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)列表为：
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
甲 乙 丙
甲 甲，乙 甲，丙
乙 乙，甲 乙，丙
丙 丙，甲 丙，乙
16．(12分)(2024·黑龙江绥化)为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动(且只能选择一项)．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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12
13
14
15
16
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)参加本次问卷调查的学生共有_____人．
(2)在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
题号
1
3
5
2
4
6
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11
12
13
14
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题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
60
30%
(3)端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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题号
1
3
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2
4
6
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9
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12
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14
15
16
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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10
11
12
13
14
15
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
13
14
15
16
(3)画树状图如图所示：
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
13
14
15
16
(或列表法如下：
A B C D
A (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D)
)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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13
14
15
题号
1
3
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2
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13
14
15
16 概率
考点一 事件的分类
确定事件与随机事件
(1)确定事件：事先能肯定一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件与不可能事件统称确定性事件．
(2)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
考点二 概率的计算
1．概率的意义
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．
2．概率的公式
(1)随机事件A的概率：
P(A)＝．
(2)P(必然事件)＝1．
(3)P(不可能事件)＝0．
3．随机事件概率的计算方法
(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算．
(2)两步完成：列表法、画树状图法．
(3)两步以上完成：画树状图法．
4．几何概率的计算方法
求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率．
1．(人教九上P134复习巩固T1改编)下列说法正确的是( )
A．买一张电影票，座位号是奇数是随机事件
B．任意画一个三角形，其内角和为180°是随机事件
C．打开人教版七下数学课本刚好翻到《平面直角坐标系》是必然事件
D．2025年国庆节天气晴朗是必然事件
A [买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故A符合题意；
任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故B不符合题意；
打开人教版七下数学课本刚好翻到《平面直角坐标系》是随机事件，故C不符合题意；
2025年国庆节天气晴朗，是随机事件，故D不符合题意．
故选A．]
2．(人教九上P147复习巩固T2改编)如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
其中合理的是( )
A．① B．② C．①② D．①③
B [当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500＝0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误；
随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②正确；
若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误．
故选B．]
3．象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为“黑马”的概率为( )
A． B． C． D．
C [一副象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成，其中有2个“黑马”，
故从中随机摸出一枚棋子，能摸到“黑马”的概率是＝．
故选C．]
4．(青岛版九下P111拓展与延伸T9改编)一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是( )
A． B．
C． D．
C [设每小格的面积为1，
∴整个墙的面积为9，
阴影区域的面积为3，
∴停留在阴影区域上的概率为＝．
故选C．]
命题点1 事件的分类
【典例1】 (2024·肥城期末)下列说法正确的是( )
A．“打开电视，正在播放乒乓球比赛”是必然事件
B．“抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件
C．“面积相等的两个三角形全等”是不可能事件
D．“网上任意买的某张电影票，票上排号恰好是偶数”是不可能事件
B [A．“打开电视，正在播放乒乓球比赛”是随机事件，故该选项不正确；
B．“抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件，故该选项正确；
C．“面积相等的两个三角形全等”是随机事件，故该选项不正确；
D．“网上任意买的某张电影票，票上排号恰好是偶数”是随机事件，故该选项不正确．故选B．]
必然事件是指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
[对点演练]
1．下列事件是必然事件的是( )
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在某平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
B [A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻是随机事件，不符合题意；
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，符合题意；
C．小明在某平台能抢到龙舟节开幕式门票是随机事件，不符合题意；
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》是随机事件，不符合题意．
故选B．]
2．(2024·湖北武汉)小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是( )
A．随机事件 B．不可能事件
C．必然事件 D．确定性事件
A [小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件．
故选A．]
命题点2 概率的概念及计算
【典例2】 (2024·山东)某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是( )
A． B． C． D．
C [设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C，
画树状图如下，
共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，
故他们选择同一项活动的概率是＝，
故选C．]
树状图与列表法能不重复不遗漏地列出所有可能的结果，是计算概率的常用方法．
[对点演练]
3．(2023·聊城)在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字－，0，2，π的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为________．
[根据题意列表如下：
－ 0 2 π
－ －3 0 －2 －π
－3 0 2 π
0 0 0 0 0
2 －2 2 0 2π
π －π π 0 2π
共有20种等可能出现的结果，两球上的数字之积恰好是有理数的有8种，
∴两球上的数字之积恰好是有理数的概率为P＝＝．
故答案为．]
4．(2024·江苏常州)在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪刀”“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回)，乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
[解] (1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，
所以从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是．
故答案为．
(2)列表如下：
石头 剪刀 布
石头 (石头，剪刀) (石头，布)
剪刀 (剪刀，石头) (剪刀，布)
布 (布，石头) (布，剪刀)
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共3种，
∴甲取胜的概率为＝．
【教师备选资源】
1．(2023·临沂)在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学(两名男生，两名女生)中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是( )
A． B． C． D．
D [画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．故选D．]
2．(2023·菏泽)用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为________．
[画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，
∴是偶数的概率为，
故答案为．]
命题点3 统计与概率的综合应用
【典例3】 (2023·济宁)某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分(积分用x表示)进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
等级 劳动积分 人数
A x≥90 4
B 80≤x＜90 m
C 70≤x＜80 20
D 60≤x＜70 8
E x＜60 3
请根据图表信息，解答下列问题：
(1)统计表中m＝________，C等级对应扇形的圆心角的度数为________；
(2)学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2 000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
(3)A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
[解] (1)抽取的学生人数为：8÷16%＝50(人)，
∴m＝50－4－20－8－3＝15，
C等级对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝144°．
故答案为15，144°．
(2)2 000×＝760(人)，
答：估计该学校“劳动之星”大约有760人．
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，
∴恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为＝．
[对点演练]
5．乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为了更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食(用A、B、C、D表示)的喜好情况(每人限选一种)，并将调查结果绘制成统计图，如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次抽取的游客总人数为________人，扇形统计图中m的值为________；
(2)请补全条形统计图；
(3)旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“B和C”的概率．
[解] (1)本次抽取的游客总人数为72÷30%＝240(人)，
m＝×100%＝35%．
故答案为240，35．
(2)D对应的人数为240－(48＋72＋84)＝36(人)，
补全图形如下：
(3)画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中选到“B和C”的结果数为2，
∴选到“B和C”的概率是＝．
6．(2024·济宁三模)为了倡导“节约用水，从我做起”，济宁市政府决定对直属机关300户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量(单位：吨)，将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
月平均用
水量(吨) 3 4 5 6 7
频数(户数) 4 a 9 10 7
频率 0.08 0.40 b 0.20 0.14
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
(1)填空：a＝________，b＝________．
(2)根据样本数据估计，直属机关300户家庭中月平均用水量小于5吨的约有多少户？
(3)市政府决定从用水最为节约的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、乙两户的概率．
[解] (1)抽取的户数为4÷0.08＝50(户)，
∴a＝50×0.40＝20，b＝9÷50＝0.18．
故答案为20；0.18．
(2)300×(0.08＋0.40)＝144(户)．
∴直属机关300户家庭中月平均用水量小于5吨的约有144户．
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选到甲、乙两户的结果有：甲乙，乙甲，共2种，
∴恰好选到甲、乙两户的概率为＝．
课时分层评价卷(二十八) 概率
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共73分)
1．(2024·广西)不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是( )
A．1 B． C． D．
D [从袋子中随机取出1个球，有2＋1＝3种等可能的结果，其中取出白球的情况有2种，
∴P＝．
故选D．]
2．(2024·济宁二模)下列说法正确的是( )
A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B．抛出的篮球会下落是随机事件
C．了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用全面调查的方式
D．若甲、乙两组数据的平均数相同＝＝2.5，则甲组数据较稳定
D [A．将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A不符合题意；
B．抛出的篮球会下落是必然事件，故B不符合题意；
C．了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D．若甲、乙两组数据的平均数相同＝＝2.5，则甲组数据较稳定，故D符合题意．
故选D．]
3．(2024·巨野县一模)从，3.14，，－中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是( )
A． B． C． D．1
A [从，3.14，，－中随机抽取一个数，抽到的无理数有这1种可能，
则抽到的无理数的概率是．
故选A．]
4．(2024·贵州)小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是( )
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定能投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
A [A．小星定点投篮1次，不一定能投中，故符合题意；
B．小星定点投篮1次，不一定能投中，故不符合题意；
C．小星定点投篮10次，不一定投中4次，故不符合题意；
D．小星定点投篮4次，不一定投中1次，故不符合题意．
故选A．]
5．[跨学科](2024·深圳)二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季(立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨)，夏季(立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑)，秋季(立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降)，冬季(立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒)，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为( )
A． B． C． D．
D [从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为＝．故选D．]
6．(2024·四川甘孜)某校组织多项活动加强科学教育，八年级(一)班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为________人．
5 [设第一批次确定的人员中，男生为x人，
根据题意得：＝，
解得x＝5．
故答案为5．]
7．(2024·浙江)有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是________．
[因为有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8，其中卡片上的数是4的整数倍的数是4，8，
所以该卡片上的数是4的整数倍的概率是＝．故答案为．]
8．(10分)(2024·江西)某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
(1)“学生甲分到A班”的概率是________；
(2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
[解] (1)有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况，
则“学生甲分到A班”的概率是，
故答案为．
(2)画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况，
∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为＝．
9．(2024·北京)不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是( )
A． B． C． D．
A [列表如下：
第一次 第二次 红 黄
红 (红，红) (黄，红)
黄 (红，黄) (黄，黄)
共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，
所以两次摸出的都是红球的概率为．
故选A．]
10．(2024·蒙阴县三模)甲、乙两人一起玩如图的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏( )
A．公平 B．对甲有利
C．对乙有利 D．公平性不可预测
A [画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中甲胜的结果有4种，乙胜的结果有4种，
∴甲胜的概率＝＝，乙胜的概率＝＝，
∴甲胜的概率＝乙胜的概率，
∴这个游戏公平，
故选A．]
11．(2024·内蒙古包头)为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是( )
A． B． C． D．
D [设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为A、B、C、D，
画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能，
∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是＝，
故选D．]
12．(2024·内蒙古通辽)不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是( )
A． B． C． D．
C [根据题意，列出表格如下：
第一次 第二次 红 白1 白2
红 (红，红) (白1，红) (白2，红)
白1 (红，白1) (白1，白1) (白2，白1)
白2 (红，白2) (白1，白2) (白2，白2)
一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，
所以两次都摸出白球的概率是．
故选C．]
13．[跨学科](2024·郓城县模拟)如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个，能让小灯泡发光的概率是( )
A． B． C． D．
A [画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，能使灯泡发光的有6种情况，
∴能让小灯泡发光的概率为＝，
故选A．]
14．(2024·江苏苏州)如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是________．
[∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份，
∴指针落在阴影区域的概率为，
故答案为．]
15．(12分)(2024·贵州)根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩(单位：秒)记录如下：
男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根据以上信息，解答下列问题：
(1)男生成绩的众数为________，女生成绩的中位数为________；
(2)判断下列两位同学的说法是否正确．
(3)教练从成绩最好的3名男生(设为甲、乙、丙)中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率．
[解] (1)男生成绩7.38出现的次数最多，即众数为7.38，
女生成绩排列为：8.16，8.23，8.26，8.27，8.32，居于中间的数为8.26，故中位数为8.26，
故答案为7.38，8.26．
(2)∵用时越少，成绩越好，
∴7.38是男生中成绩最好的，故小星的说法正确；
∵女生8.3秒为优秀成绩，8.32>8.3，
∴有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误．
(3)列表为：
甲 乙 丙
甲 甲，乙 甲，丙
乙 乙，甲 乙，丙
丙 丙，甲 丙，乙
由表格可知共有6种等可能结果，其中抽中甲的有4种，
故甲被抽中的概率为＝．
16．(12分)(2024·黑龙江绥化)为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动(且只能选择一项)．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)参加本次问卷调查的学生共有________人．
(2)在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
(3)端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
[解] (1)参加本次问卷调查的学生共有12÷20%＝60(人)．
(2)A组人数为60－20－10－12＝18(人)．
A组所占的百分比为×100%＝30%．
补全条形统计图如图所示，
(3)画树状图如图所示：
(或列表法如下：
A B C D
A (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D)
)
由树状图法(或列表法)可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．
∴P(选中的2个社团恰好是B和C)＝＝．
