(共66张PPT)
第二章 方程（组）与不等式（组）
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第一节 一次方程(组)及其应用 命题点1 一元一次方程及其解法 以解答题的形式出现，有时也可能以选择和填空的形式出现．预计2025年考查重点仍是二元一次方程组．
命题点2 二元一次方程(组)及其解法
命题点3 一次方程(组)的实际应用 聊城T21(1)
临沂T20
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第二节 一元二次方程及其应用 命题点1 一元二次方程及其解法 每年必考，出现在选择和填空中，重点考查根的判别式及根与系数的关系，难度较易．
命题点2 一元二次方程根的判别式 山东T13 聊城T4
命题点3 一元二次方程根与系数的关系 菏泽T6
命题点4 一元二次方程的实际应用
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第三节 分式方程及其应用 命题点1 分式方程的解法 济宁T8 每年必考，出现在选择和解答中，重点考查分式方程的实际应用，解答题有时常与不等式(组)和一次函数结合出现．
命题点2 根据解的情况求参数的值或范围 聊城T7
命题点3 分式方程的实际应用 山东T6 济宁T20(1)
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第四节 一元一次不等式(组)及其应用 命题点1 不等式的基本性质 临沂T12 每年必考，甚至一年多考，常与一次方程
(组)，分式方程结合出题，难度适中．
命题点2 解一元一次不等式(组) 山东T12 菏泽T15
临沂T17
命题点3 根据不等式(组)的解集情况求字母的取值
(范围) 聊城T14
命题点4 一元一次不等式(组)的实际应用 山东T10 济宁T20(2)
聊城T21(2)
第一节 一次方程(组)及其应用
考点一 等式的基本性质
链接教材 基础过关
文字描述 式子表达
性质1 等式两边加(或减)______________
____，结果仍相等 如果a＝b，那么a±c＝____
性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍____
同一个数(或式
b±c
相等
子)
考点二 一元一次方程及解法
1．方程的解：使方程左、右两边的值____的未知数的值．
2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式这样的方程叫做一元一次方程．
3．解一元一次方程的一般步骤：(1)______；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1．
相等
去分母
考点三 一次方程组的解法
1．二元一次方程(组)有关概念及解法
二元一次方程 每个方程都含有___个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是__的方程叫做二元一次方程
二元一次方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组
两
1
二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解
解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思路是____，化“____”为“____”；解二元一次方程组的基本方法有______和______
消元
二元
一元
代入法
加减法
2．三元一次方程组的概念及解法
三元一次方程组 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组
解三元一次方程
二元一次
一元一次
考点四 一次方程(组)的应用
1．列一次方程(组)解应用题的步骤
一般步骤 审 找出已知量、未知量、等量关系
设 设出未知数(直接设或者间接设)
列 根据________列方程
解 解方程(组)
检 检验所求是不是方程的解，是否符合实际
答 写出答案
等量关系
2．常见的应用题类型及基本数量关系
常见类型 基本数量关系
销售问题
利息问题 利息＝本金×利率×期数；
本息和＝本金＋利息
工程问题 工作量＝工作效率×工作时间
特别提醒：工程问题通常用工作量来建立等量关系
常见类型 基本数量关系
行程问题 路程＝速度×____
相遇问题 甲走的路程＋乙走的路程＝______
追及问题 同时不同地出发：追者走的路程－前者走的路程＝两者初始相距的路程；
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程
航行问题 顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度
时间
全路程
D [两边都加x，故A正确；
两边都减x，故B正确；
两边都乘2，故C正确；
x＝0时不成立，故D错误．
故选D．]
√
√
3．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有( )
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
√
考点突破 对点演练
命题点1 一元一次方程及其解法
(1)根据分数的基本性质把分母转化为整数时，不含分母的项漏乘；
(2)去分母后分子忘记加括号；
(3)去括号时漏乘或弄错符号；
(4)移项时没有改变符号；
(5)系数化为1时弄错符号或分子、分母颠倒．
解一元一次方程时，易产生如下错误：
√
B [去分母，可得，3(3x＋5)－2(2x＋2)＝6，
去括号，可得，9x＋15－4x－4＝6，
移项，可得，9x－4x＝6－15＋4，
合并同类项，可得，5x＝－5，
系数化为1，可得，x＝－1．
故选B．]
法二：去分母，得4(x＋14)＝7(x＋20)，
去括号，得4x＋56＝7x＋140，
移项、合并同类项，得－3x＝84，
方程两边同除以－3，得x＝－28．
命题点2 二元一次方程(组)及其解法
一般来说，代入法和加减法可以解任意方程组．当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为1或有一个方程的常数项是0时，用代入法较简便；当两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，或系数的绝对值不等也不成整数倍时，用加减法较为简便．
√
C [A．①－②，可以消去y，故A不符合题意；
B．由①变形得x＝2＋2y③，将③代入②，可以消去x，故B不符合题意；
C．①×4＋②，无法消元，故C符合题意；
D．由②变形得2y＝4x－5③，将③代入①，可以消去y，故D不符合题意．
故选C．]
【典例3】 (2023·聊城)今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰，某热门景点的门票价格规定见下表：
命题点3 一次方程(组)的实际应用
票的种类 A B C
购票人数/人 1～50 51～100 100以上
票价/元 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人(甲团人数多于乙团)．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
(1)求两个旅游团各有多少人？
(2)一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
(2)设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，
由题意得45×51＜50a，解得a＞45.9．
∵a为整数，∴当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
[对点演练]
5．(2023·临沂)大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月(30天)的报酬是M型平板电脑一台和1 500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．
(1)这台M型平板电脑价值多少元？
(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬(用含m的代数式表示)
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共70分)
课时分层评价卷(五) 一次方程(组)及其应用
题号
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√
题号
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2．已知x＝－2是方程x－3a＝1的解，那么a的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
A [∵x＝－2是方程x－3a＝1的解，
∴－2－3a＝1，
∴a＝－1．
故选A．]
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7．(2024·聊城二模)为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150 cm的导线，将其全部截成10 cm和20 cm两种长度的导线用于实验操作(每种长度的导线至少一根)，则截取方案共有( )
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
题号
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√
C [设截成10 cm的导线x根，截成20 cm的导线y根，
根据题意得10x＋20y＝150，
∴x＝15－2y，
∵15－2y＞0，
∴y＜7.5，
∵y是正整数，
∴y的值为1，2，3，4，5，6，7，
即截取方案共有7种．
故选C．]
题号
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8．[数学文化](2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是____．
20 [设快马追上慢马需要的天数是x天，
根据题意，得240x＝150(12＋x)，
解得x＝20，
∴快马需要20天追上慢马．]
题号
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20
[解] 去分母，得2(2x－1)＝3(x＋1)，
去括号，得4x－2＝3x＋3，
移项，得4x－3x＝3＋2，
合并同类项，得x＝5．
题号
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11．(10分)(2024·陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间．
题号
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12．(2024·贵州)小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左、右两边分别放入“ ”“ ”“ ”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“ ”与“ ”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是( )
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝4y D．x＝5y
题号
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√
C [设“ ”的质量为z．
根据甲天平，得x＋y＝y＋2z，①
根据乙天平，得x＋z＝x＋2y．②
根据等式的基本性质1，将①的两边同时减去y，得x＝2z，③
根据等式的基本性质1，将②的两边同时减去x，得z＝2y，④
根据等式的基本性质2，将④的两边同时乘2，得2z＝4y，
所以x＝4y．
故选C．]
题号
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13．[方案设计题](2024·黑龙江龙东)国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买)．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案( )
A．5 B．4 C．3 D．2
题号
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14．(12分)[图表信息题](2024·江苏苏州)某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
题号
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列车运行时刻表
题号
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车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
题号
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90
60
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟(如：上午9：15，则t＝75)，已知v1＝240千米/小时(可换算为4千米/分钟)，在G1002次列车的行驶过程中(25≤t≤150)，若|d1－d2|＝60，求t的值．
题号
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由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车，
∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
当|d1－d2|＝60时，分四种情况讨论：
ⅰ．当25≤t＜90时，d1＞d2，
∴|d1－d2|＝d1－d2，
∴4t－4.8(t－25)＝60，
解得t＝75(分钟)；
题号
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ⅱ．当90≤t≤100时，d1≥d2，
∴|d1－d2|＝d1－d2，
∴360－4.8(t－25)＝60，
解得t＝87.5(分钟)，不合题意，舍去；
ⅲ．当100＜t≤110时，d1＜d2，
∴|d1－d2|＝d2－d1，
∴4.8(t－25)－360＝60，
解得t＝112.5(分钟)，不合题意，舍去；
题号
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ⅳ．当110＜t≤150时，d1＜d2，
∴|d1－d2|＝d2－d1，
∴4.8(t－25)－[360＋4(t－110)]＝60，
解得t＝125(分钟)．
综上所述，当t＝75或125时，|d1－d2|＝60．
题号
1
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14第一节 一次方程(组)及其应用
考点一 等式的基本性质
文字描述 式子表达
性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 如果a＝b，那么a±c＝b±c
性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果a＝b，那么ac＝bc；＝
考点二 一元一次方程及解法
1．方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值．
2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式这样的方程叫做一元一次方程．
3．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1．
考点三 一次方程组的解法
1．二元一次方程(组)有关概念及解法
二元一次方程 每个方程都含有两个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
二元一次方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组
二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解
解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思路是消元，化“二元”为“一元”；解二元一次方程组的基本方法有代入法和加减法
2．三元一次方程组的概念及解法
三元一次方程组 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组
解三元一次方程 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程
考点四 一次方程(组)的应用
1．列一次方程(组)解应用题的步骤
一般步骤 审 找出已知量、未知量、等量关系
设 设出未知数(直接设或者间接设)
列 根据等量关系列方程
解 解方程(组)
检 检验所求是不是方程的解，是否符合实际
答 写出答案
2．常见的应用题类型及基本数量关系
常见类型 基本数量关系
销售问题 利润＝售价－进价；利润率＝×100%；售价＝标价×； 销售额＝售价×销量
利息问题 利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息
工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 特别提醒：工程问题通常用工作量来建立等量关系
行程问题 路程＝速度×时间
相遇问题 甲走的路程＋乙走的路程＝全路程
追及问题 同时不同地出发：追者走的路程－前者走的路程＝两者初始相距的路程； 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程
航行问题 顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度
1．若a＝b，则下列变形错误的是( )
A．a＋x＝b＋x B．a－x＝b－x
C．2a＝2b D．＝
D [两边都加x，故A正确；
两边都减x，故B正确；
两边都乘2，故C正确；
x＝0时不成立，故D错误．
故选D．]
2．(青岛版七上161例5变式)解一元一次方程＝1－x时，下列去分母正确的是( )
A．3(x＋1)＝1－2x B．2(x＋1)＝1－3x
C．2(x＋1)＝6－3x D．3(x＋1)＝6－2x
D [＝1－x，
去分母，得3(x＋1)＝6－2x，
故选D．]
3．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有( )
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
B [设购买8元的笔记本x件，10元的笔记本y件，
依题意得：8x＋10y＝200，
整理得，y＝20－x，
∵x、y均为正整数，
∴或或或
∴购买方案有4种，
故选B．]
4．(人教版七下P95例3改编)方程组的解是________ ．
[解方程组
②－①，得3y＝3，所以y＝1．
把y＝1代入①，得x－1＝2，解得x＝3．
所以原方程组的解是]
命题点1 一元一次方程及其解法
【典例1】 (2024·微山期末)解方程：－2＝．
[解] 去分母，得5(3x＋1)－20＝(3x－2)－2(2x＋3)，
去括号，得15x＋5－20＝3x－2－4x－6，
移项，得15x－3x＋4x＝－2－6－5＋20，
合并同类项，得16x＝7，
系数化为1，得x＝．
解一元一次方程时，易产生如下错误：
(1)根据分数的基本性质把分母转化为整数时，不含分母的项漏乘；
(2)去分母后分子忘记加括号；
(3)去括号时漏乘或弄错符号；
(4)移项时没有改变符号；
(5)系数化为1时弄错符号或分子、分母颠倒．
[对点演练]
1．方程＝1的解为( )
A．x＝－2 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝1
B [去分母，可得，3(3x＋5)－2(2x＋2)＝6，
去括号，可得，9x＋15－4x－4＝6，
移项，可得，9x－4x＝6－15＋4，
合并同类项，可得，5x＝－5，
系数化为1，可得，x＝－1．
故选B．]
2．(北师大版七上P144例7)
解方程：(x＋14)＝(x＋20)．
[解] 法一：去括号，得x＋2＝x＋5，
移项、合并同类项，得－3＝x，
两边同除以，得－28＝x，
即x＝－28．
法二：去分母，得4(x＋14)＝7(x＋20)，
去括号，得4x＋56＝7x＋140，
移项、合并同类项，得－3x＝84，
方程两边同除以－3，得x＝－28．
命题点2 二元一次方程(组)及其解法
【典例2】 (2024·江苏苏州)解方程组
[解] 解方程组
①－②，得4y＝4，即y＝1，
将y＝1代入①，得2x＋1＝7，即x＝3，
则方程组的解为
一般来说，代入法和加减法可以解任意方程组．当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为1或有一个方程的常数项是0时，用代入法较简便；当两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，或系数的绝对值不等也不成整数倍时，用加减法较为简便．
[对点演练]
3．(2024·莒南期末)在解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是( )
A．①－②
B．由①变形得x＝2＋2y③，将③代入②
C．①×4＋②
D．由②变形得2y＝4x－5③，将③代入①
C [A．①－②，可以消去y，故A不符合题意；
B．由①变形得x＝2＋2y③，将③代入②，可以消去x，故B不符合题意；
C．①×4＋②，无法消元，故C符合题意；
D．由②变形得2y＝4x－5③，将③代入①，可以消去y，故D不符合题意．
故选C．]
4．解方程组
[解] 把x＝4y＋1代入2x－5y＝8，
解得y＝2，
把y＝2代入x＝4y＋1，
解得x＝9，
所以方程组的解为
命题点3 一次方程(组)的实际应用
【典例3】 (2023·聊城)今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰，某热门景点的门票价格规定见下表：
票的种类 A B C
购票人数/人 1～50 51～100 100以上
票价/元 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人(甲团人数多于乙团)．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
(1)求两个旅游团各有多少人？
(2)一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
[解] (1)设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，
由题意得，
解得，
答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人．
(2)设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，
由题意得45×51＜50a，解得a＞45.9．
∵a为整数，∴当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
[对点演练]
5．(2023·临沂)大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月(30天)的报酬是M型平板电脑一台和1 500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．
(1)这台M型平板电脑价值多少元？
(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬(用含m的代数式表示)
[解] (1)设这台M型平板电脑价值x元，
根据题意得，(x＋1 500)＝x＋300，
解得，x＝2 100．
∴这台M型平板电脑价值2 100元．
(2)由(1)知，一台M型平板电脑价值2 100元，
∴工作一个月，她应获得的报酬为2 100＋1 500＝3 600(元)，
∴若工作m天，她应获得的报酬为×3 600＝120 m(元)．
课时分层评价卷(五) 一次方程(组)及其应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共70分)
1．下列运用等式的性质变形错误的是( )
A．若a2＝2a，则a＝2
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则＝
D．若x＝y，则5－x＝5－y
A [若a2＝2a，当a≠0时，两边同除以a得a＝2，则A符合题意；
若x＝y，两边同乘c得xc＝yc，则B不符合题意；
若x＝y，两边同除以a2＋1得＝，则C不符合题意；
若x＝y，两边同乘－1后再同时加上5得5－x＝5－y，则D不符合题意．
故选A．]
2．已知x＝－2是方程x－3a＝1的解，那么a的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
A [∵x＝－2是方程x－3a＝1的解，
∴－2－3a＝1，
∴a＝－1．
故选A．]
3．由方程组可得出x与y之间的关系是( )
A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1
C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7
B [
把②代入①，得x＋y－3＝－4，
则x＋y＝－1．
故选B．]
4．(2024·临沂模拟)已知二元一次方程组则x－y的值为( )
A．2 B．－2 C．6 D．－6
A [
②×2，得2x－4y＝2，③
①－③，得3y＝3，
解得y＝1，
将y＝1代入①，得x＝3，
∴方程组的解为
∴x－y＝2．
故选A．]
5．(2024·邹城市一模)已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2 023＜x－y＜2 025，则整数k值为( )
A．2 022 B．2 023
C．2 024 D．2 025
D [
①＋②得，3x－3y＝3k－3，
∴x－y＝k－1，
∵2 023＜x－y＜2 025，
∴2 023＜k－1＜2 025，
∴2 024＜k＜2 026，
∴整数k值为2 025，
故选D．]
6．[数学文化](2024·四川南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间，房客y人，下列方程组中正确的是( )
A． B．
C． D．
A [根据题意有
故选A．]
7．(2024·聊城二模)为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150 cm的导线，将其全部截成10 cm和20 cm两种长度的导线用于实验操作(每种长度的导线至少一根)，则截取方案共有( )
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
C [设截成10 cm的导线x根，截成20 cm的导线y根，
根据题意得10x＋20y＝150，
∴x＝15－2y，
∵15－2y＞0，
∴y＜7.5，
∵y是正整数，
∴y的值为1，2，3，4，5，6，7，
即截取方案共有7种．
故选C．]
8．[数学文化](2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是________．
20 [设快马追上慢马需要的天数是x天，
根据题意，得240x＝150(12＋x)，
解得x＝20，
∴快马需要20天追上慢马．]
9．(9分)(2024·滨州)解方程：＝．
[解] 去分母，得2(2x－1)＝3(x＋1)，
去括号，得4x－2＝3x＋3，
移项，得4x－3x＝3＋2，
合并同类项，得x＝5．
10．(9分)(2024·浙江)解方程组：
[解]
①×3＋②，得10x＝5，
解得x＝，
把x＝代入①，得2×－y＝5，
解得y＝－4，
所以方程组的解是
11．(10分)(2024·陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间．
[解] 设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3－x)h，根据题意，得
＝1，
解得x＝2．
答：这次小峰打扫了2 h．
12．(2024·贵州)小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左、右两边分别放入“”“”“”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是( )
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝4y D．x＝5y
C [设“”的质量为z．
根据甲天平，得x＋y＝y＋2z，①
根据乙天平，得x＋z＝x＋2y．②
根据等式的基本性质1，将①的两边同时减去y，得x＝2z，③
根据等式的基本性质1，将②的两边同时减去x，得z＝2y，④
根据等式的基本性质2，将④的两边同时乘2，得2z＝4y，
所以x＝4y．
故选C．]
13．[方案设计题](2024·黑龙江龙东)国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买)．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案( )
A．5 B．4 C．3 D．2
B [设购买笔记本x本，碳素笔y支，根据题意，
得3x＋2y＝28，
∴y＝14－x，
又∵x，y均为正整数，
∴或或或
∴共有4种购买方案．
故选B．]
14．(12分)[图表信息题](2024·江苏苏州)某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)D1001次列车从A站到B站行驶了________分钟，从B站到C站行驶了________分钟；
(2)记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2．
①＝________．
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟(如：上午9：15，则t＝75)，已知v1＝240千米/小时(可换算为4千米/分钟)，在G1002次列车的行驶过程中(25≤t≤150)，若|d1－d2|＝60，求t的值．
[解] (1)90 60
(2)①
②∵v1＝4(千米/分钟)，＝，
∴v2＝4.8(千米/分钟)，
∵4×90＝360(千米)，
∴A与B站之间的路程为360千米，
∵360÷4.8＝75(分钟)，
∴当t＝100时，G1002次列车经过B站，
由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车，
∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
当|d1－d2|＝60时，分四种情况讨论：
ⅰ．当25≤t＜90时，d1＞d2，
∴|d1－d2|＝d1－d2，
∴4t－4.8(t－25)＝60，
解得t＝75(分钟)；
ⅱ．当90≤t≤100时，d1≥d2，
∴|d1－d2|＝d1－d2，
∴360－4.8(t－25)＝60，
解得t＝87.5(分钟)，不合题意，舍去；
ⅲ．当100＜t≤110时，d1＜d2，
∴|d1－d2|＝d2－d1，
∴4.8(t－25)－360＝60，
解得t＝112.5(分钟)，不合题意，舍去；
ⅳ．当110＜t≤150时，d1＜d2，
∴|d1－d2|＝d2－d1，
∴4.8(t－25)－[360＋4(t－110)]＝60，
解得t＝125(分钟)．
综上所述，当t＝75或125时，|d1－d2|＝60．
