(共86张PPT)
第二节 图形的对称、平移与旋转
第七章 图形的变换
链接教材 基础过关
考点一 图形的对称
1．轴对称图形
(1)轴对称图形的概念
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分____________，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称．
常见的轴对称图形：
等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等．
能够互相重合
(2)轴对称的性质：
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．
2．中心对称图形
(1)定义：把一个图形绕某一点旋转_____，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．
常见的中心对称图形：
平行四边形、圆形、正方形、矩形等．
(2)中心对称的性质：
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．
180°
考点二 图形的平移
1．平移的定义
在平面内，把一个图形整体沿____________移动一定的距离，图形的这种变化称为平移．
2．平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等；对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等．
某一直线方向
考点三 图形的旋转
1．旋转的定义
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．这个定点称为_________，转动的角叫做_______．
2．旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等．
旋转中心
旋转角
1．小明读了“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，下列选项能够由如图所示的图案平移后得到的是( )
A B
C D
√
D [A：由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；B：由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误；C：由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；D：由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确．故选D．]
2．(人教八上P92综合运用T8改编)下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是( )
A B
C D
√
D [A．是轴对称图形，共有1条对称轴；B．不是轴对称图形，没有对称轴；C．不是轴对称图形，没有对称轴；D．是轴对称图形，共有2条对称轴．故选D．]
3．(人教九上P67练习T2改编)在下列四项竞技运动的图案中，是中心对称图形的是( )
A B
C D
√
B [选项A、C、D的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选B．]
4．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠BOC等于( )
A．55° B．45°
C．40° D．35°
√
D [∵△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，
∴∠AOC＝80°，
而∠AOB＝45°，
∴∠BOC＝80°－45°＝35°．
故选D．]
5．如图，将△ABC平移到 △A′B′C′的位置．指出平移的方向，并量出平移的距离．(精确到1 mm)
[解] 由于点A与点A′是一对对应点，因此，如图，连接AA′，平移的方向就是点A到点A′的方向，平移的距离就是线段AA′的长度，约2.1 cm．
【典例1】 (2024·山东)用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对
称图形的是( )
考点突破 对点演练
命题点1 轴对称图形与中心对称图形
A B
C D
√
D [A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选D．]
[对点演练]
1．(2023·济宁)下列图形中，是中心对称图形的是( )
A B
C D
√
B [A．是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
B．是中心对称图形，所以符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意．
故选B．]
2．(2023·菏泽)剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A B C D
√
A [A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选A．]
【典例2】 (2024·东营)如图，将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC，若△DEF的周长为24 cm，则四边形ABFD的周长为
____ cm．
命题点2 图形的平移
30
30 [由平移的性质可知：AD＝BE＝3 cm，AB＝DE，
∵△DEF的周长为24 cm，
∴DE＋EF＋DF＝24 cm，
∴四边形ABFD的周长为AB＋BE＋EF＋DF＋AD＝24＋3＋3＝30(cm)．
故答案为30．]
确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
[对点演练]
3．(2024·江苏连云港)如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80 cm，则图中阴影图形的周长是
( )
A．440 cm B．320 cm
C．280 cm D．160 cm
√
A [由题图可得：阴影部分的周长为边长是80 cm的正方形的周长加上边长是80 cm的正方形的两条边长再减去2×20 cm，
∴阴影图形的周长是：4×80＋2×80－2×20＝440 cm．故选A．]
4．(2024·单县一模)如图，已知点A(1，0)，B(4，m)，若将线段AB平移至CD，其中点C(－2，1)，D(a，n)，则m－n的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
√
B [∵线段CD由线段AB平移得到，
且A(1，0)，C(－2，1)，B(4，m)，D(a，n)，
∴m－n＝0－1＝－1．
故选B．]
命题点3 图形的旋转
√
√
6．(2023·菏泽)如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝_____度．
80
80 [∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABE＝55°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝35°，
由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∵∠EGC是△BEG的一个外角，
∴∠EGC＝∠BEF＋∠EBC＝80°．
故答案为80．]
【典例4】(2024·济宁)如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(3，4)，C(1，4)．
(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
(2)将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．
画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过
的路径长．
命题点4 图形的对称、平移与旋转的作图题
[对点演练]
7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，1)，B(－2，3)，C(－5，2)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，
并写出点B2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过
的路径长(结果保留π)
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共55分)
题号
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课时分层评价卷(二十六) 图形的对称、平移与旋转
1．(2024·济宁一模)下列图形选自历届在中国举办的世界园艺博览会会徽，其中是轴对称图形的是( )
A B
C D
题号
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√
D [A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选D．]
题号
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题号
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2．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A B C D
√
C [A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选C．]
题号
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题号
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3．(2024·河北)如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是
( )
A．AD⊥BC B．AC⊥PQ
C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD
√
A [由轴对称图形的性质得到△ABO≌△CDO，AC⊥PQ，BD⊥PQ，
∴AC∥BD，
∴B、C、D选项不符合题意．
故选A．]
题号
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4．(2024·兖州一模)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB边上，若∠CAB＝66°，则旋转角α的度数是( )
A．66° B．54° C．50° D．48°
√
D [由旋转可知，
AC＝A′C，
∴∠CA′A＝∠CAB＝66°，
∴∠ACA′＝180°－66°－66°＝48°，
∴旋转角α的度数是48°．故选D．]
题号
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6．(2024·兖州二模)如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．(2，－3) B．(－2，3)
C．(3，－2) D．(－3，2)
√
A [如图，
由题意可知，点A(0，3)，B(2，0)，
由平移的性质得：
A″(－2，3)，点B′(0，0)，
由旋转的性质得：点A′与A″关于原点对称，
∴A′(2，－3)．
故选A．]
题号
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7．(2024·滨州)一副三角板如图1摆放，把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即AB∥OD时，∠1的大小为________°．
75
75 [由已知可得，∠B＝45°，
∵AB∥OD，
∴∠B＝∠BOD＝45°，
由题图可得，∠D＝30°，
∴∠1＝∠BOD＋∠D＝45°＋30°＝75°，
故答案为75．]
题号
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8．(2024·内蒙古)如图，点A(0，－2)，B(1，0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是__________．
(4，－4)
(4，－4) [过点D作DE⊥y轴于点E，如图，
∵点A(0，－2)，B(1，0)，
∴OA＝2，OB＝1．
∵线段AB平移得到线段DC，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
题号
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∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，BC＝AD，
∵BC＝2AB，
∴AD＝2AB，
∵∠BAO＋∠DAE＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠EAD．
∵∠AOB＝∠AED＝90°，
∴△ABO∽△DAE．
题号
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9．(10分)(2024·济宁二模)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，3)．
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(4，0)，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)将△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
(3)求出(2)中点A旋转到点A2所经过的路径长．
题号
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[解] (1)如图，
∵点C(－1，3)的对应点C1(4，0)，
∴横坐标＋5，纵坐标－3，
∴点A1(－3＋5，5－3)，即A1(2，2)．
题号
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10．(2024·天津)如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是( )
A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE
C．AB＝EF D．BF⊥CE
√
D [设BF与CE相交于点H，如图所示：
∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，
∵∠B＝30°，
∴在△BHC中，∠BHC＝180°－∠BCE－∠B＝90°，
∴BF⊥CE，故D选项正确；
题号
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设∠ACH＝x°，
∴∠ACB＝60°－x°，
∵∠B＝30°，
∴∠EDC＝∠BAC＝180°－30°－(60°－x°)＝90°＋x°，
∴∠EDC＋∠ACD＝90°＋x°＋60°＝150°＋x°，
∵x°不一定等于30°，
∴∠EDC＋∠ACD不一定等于180°，
题号
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∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确；
∵∠ACB＝60°－x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°，
∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A选项不正确；
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AB＝ED＝EF＋FD，
∴BA＞EF，故C选项不正确．
故选D．]
题号
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√
B [过点N′作EF∥AB，交AD，BC于点E，F，过点M作MG⊥EF于点G，
∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，
∴∠A＝∠MGN′＝90°，
题号
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12．(2024·潍坊)如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为(0，4)，点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为_______________．
题号
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13．(12分)(2024·东营)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3．
(1)【问题发现】
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是____________，
AD与BE的位置关系是___________；
BE＝3AD
AD⊥BE
(2)【类比探究】
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系，位置关系与(1)中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
题号
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(3)【迁移应用】
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
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13第二节 图形的对称、平移与旋转
考点一 图形的对称
1．轴对称图形
(1)轴对称图形的概念
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称．
常见的轴对称图形：
等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等．
(2)轴对称的性质：
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．
2．中心对称图形
(1)定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．
常见的中心对称图形：
平行四边形、圆形、正方形、矩形等．
(2)中心对称的性质：
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．
考点二 图形的平移
1．平移的定义
在平面内，把一个图形整体沿某一直线方向移动一定的距离，图形的这种变化称为平移．
2．平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等；对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等．
考点三 图形的旋转
1．旋转的定义
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角．
2．旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等．
1．小明读了“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，下列选项能够由如图所示的图案平移后得到的是( )
A B
C D
D [A：由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；B：由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误；C：由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；D：由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确．故选D．]
2．(人教八上P92综合运用T8改编)下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是( )
A B
C D
D [A．是轴对称图形，共有1条对称轴；B．不是轴对称图形，没有对称轴；C．不是轴对称图形，没有对称轴；D．是轴对称图形，共有2条对称轴．故选D．]
3．(人教九上P67练习T2改编)在下列四项竞技运动的图案中，是中心对称图形的是( )
A B
C D
B [选项A、C、D的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选B．]
4．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠BOC等于( )
A．55° B．45°
C．40° D．35°
D [∵△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，
∴∠AOC＝80°，
而∠AOB＝45°，
∴∠BOC＝80°－45°＝35°．
故选D．]
5．如图，将△ABC平移到 △A′B′C′的位置．指出平移的方向，并量出平移的距离．(精确到1 mm)
[解] 由于点A与点A′是一对对应点，因此，如图，连接AA′，平移的方向就是点A到点A′的方向，平移的距离就是线段AA′的长度，约2.1 cm．
命题点1 轴对称图形与中心对称
图形
【典例1】 (2024·山东)用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A B
C D
D [A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选D．]
[对点演练]
1．(2023·济宁)下列图形中，是中心对称图形的是( )
A B
C D
B [A．是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
B．是中心对称图形，所以符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意．
故选B．]
2．(2023·菏泽)剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A B C D
A [A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选A．]
命题点2 图形的平移
【典例2】 (2024·东营)如图，将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC，若△DEF的周长为24 cm，则四边形ABFD的周长为________ cm．
30 [由平移的性质可知：AD＝BE＝3 cm，AB＝DE，
∵△DEF的周长为24 cm，
∴DE＋EF＋DF＝24 cm，
∴四边形ABFD的周长为AB＋BE＋EF＋DF＋AD＝24＋3＋3＝30(cm)．
故答案为30．]
确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
[对点演练]
3．(2024·江苏连云港)如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80 cm，则图中阴影图形的周长是( )
A．440 cm B．320 cm
C．280 cm D．160 cm
A [由题图可得：阴影部分的周长为边长是80 cm的正方形的周长加上边长是80 cm的正方形的两条边长再减去2×20 cm，
∴阴影图形的周长是：4×80＋2×80－2×20＝440 cm．故选A．]
4．(2024·单县一模)如图，已知点A(1，0)，B(4，m)，若将线段AB平移至CD，其中点C(－2，1)，D(a，n)，则m－n的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
B [∵线段CD由线段AB平移得到，
且A(1，0)，C(－2，1)，B(4，m)，D(a，n)，
∴m－n＝0－1＝－1．
故选B．]
命题点3 图形的旋转
【典例3】 (2023·聊城)如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB＝，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE＝1，CG＝3；点D是CB延长线上一点，且CD＝2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则的值为( )
A．2 B．3 C． D．
D [∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝，
∴AC＝BC＝AB·sin 45°＝＝1，
当线段BG达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图：
则BG＝BC＋CG＝4，DG＝DB＋BG＝5，
在Rt△DGF中，DF＝＝＝，
即m＝，
当线段BG达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图：
则BG＝CG－BC＝2，DG＝BG－DB＝1，
在Rt△DGF中，DF＝＝＝，
即n＝，
故＝＝．故选D．]
[对点演练]
5．(2024·泗水县一模)如图，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(4，0)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转得到线段AC，若点C的坐标为(m，6)，点C在第一象限内，则m的值为( )
A．5 B．2 C．3 D．6
B [过点C作CD⊥y轴交于点D，如图：
∵点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(4，0)，
∴OA＝4，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝4，
由旋转可知，AC＝AB＝4，
∵点C的坐标为(m，6)，
∴OD＝6，
∴AD＝OD－OA＝2，
∵CD⊥y，
∴CD＝＝＝2，
∴点C的坐标为(2，6)，
∴m的值为2．
故选B．]
6．(2023·菏泽)如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝_____________________________________________度．
80 [∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABE＝55°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝35°，
由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∵∠EGC是△BEG的一个外角，
∴∠EGC＝∠BEF＋∠EBC＝80°．
故答案为80．]
命题点4 图形的对称、平移与旋转的作图题
【典例4】(2024·济宁)如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(3，4)，C(1，4)．
(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
(2)将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
[解] (1)如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点B1的坐标为(3，2)．
(2)如图，△A2B1C2即为所求．
点C1运动到点C2所经过的路径长为＝π．
[对点演练]
7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，1)，B(－2，3)，C(－5，2)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长(结果保留π)
[解] (1)如图，△A1B1C1为所求；点B1的坐标为(2，3)．
(2)如图，△AB2C2为所求；B2(－3，0)．
(3)AB＝＝，
点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长＝π．
课时分层评价卷(二十六) 图形的对称、平移与旋转
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共55分)
1．(2024·济宁一模)下列图形选自历届在中国举办的世界园艺博览会会徽，其中是轴对称图形的是( )
A B C D
D [A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选D．]
2．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A B C D
C [A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选C．]
3．(2024·河北)如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是( )
A．AD⊥BC B．AC⊥PQ
C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD
A [由轴对称图形的性质得到△ABO≌△CDO，AC⊥PQ，BD⊥PQ，
∴AC∥BD，
∴B、C、D选项不符合题意．
故选A．]
4．(2024·兖州一模)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB边上，若∠CAB＝66°，则旋转角α的度数是( )
A．66° B．54° C．50° D．48°
D [由旋转可知，
AC＝A′C，
∴∠CA′A＝∠CAB＝66°，
∴∠ACA′＝180°－66°－66°＝48°，
∴旋转角α的度数是48°．故选D．]
5．(2024·广元)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为( )
A． B． C．2 D．2
A [如图，连接BD，
根据题意得∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，
又CD＝3，BC＝1，
∴BD＝＝＝，
∴AD＝BD＝＝，
故选A．]
6．(2024·兖州二模)如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．(2，－3) B．(－2，3)
C．(3，－2) D．(－3，2)
A [如图，
由题意可知，点A(0，3)，B(2，0)，
由平移的性质得：
A″(－2，3)，点B′(0，0)，
由旋转的性质得：点A′与A″关于原点对称，
∴A′(2，－3)．
故选A．]
7．(2024·滨州)一副三角板如图1摆放，把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即AB∥OD时，∠1的大小为________°．
75 [由已知可得，∠B＝45°，
∵AB∥OD，
∴∠B＝∠BOD＝45°，
由题图可得，∠D＝30°，
∴∠1＝∠BOD＋∠D＝45°＋30°＝75°，
故答案为75．]
8．(2024·内蒙古)如图，点A(0，－2)，B(1，0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是________．
(4，－4) [过点D作DE⊥y轴于点E，如图，
∵点A(0，－2)，B(1，0)，
∴OA＝2，OB＝1．
∵线段AB平移得到线段DC，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，BC＝AD，
∵BC＝2AB，
∴AD＝2AB，
∵∠BAO＋∠DAE＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠EAD．
∵∠AOB＝∠AED＝90°，
∴△ABO∽△DAE．
∴＝＝＝，
∴DE＝2OA＝4，AE＝2OB＝2，
∴OE＝OA＋AE＝4，
∴D(4，－4)．
故答案为(4，－4)．]
9．(10分)(2024·济宁二模)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，3)．
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(4，0)，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)将△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
(3)求出(2)中点A旋转到点A2所经过的路径长．
[解] (1)如图，
∵点C(－1，3)的对应点C1(4，0)，
∴横坐标＋5，纵坐标－3，
∴点A1(－3＋5，5－3)，即A1(2，2)．
(2)如图，旋转90°后点C2的坐标为(－3，－1)．
(3)如图，点A旋转到点A2 所经过的路径是弧长，
由旋转性质可知，∠AOA2＝90°，OA＝＝，
∴点A旋转到点A2所经过的弧长为＝π．
10．(2024·天津)如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是( )
A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE
C．AB＝EF D．BF⊥CE
D [设BF与CE相交于点H，如图所示：
∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，
∵∠B＝30°，
∴在△BHC中，∠BHC＝180°－∠BCE－∠B＝90°，
∴BF⊥CE，故D选项正确；
设∠ACH＝x°，
∴∠ACB＝60°－x°，
∵∠B＝30°，
∴∠EDC＝∠BAC＝180°－30°－(60°－x°)＝90°＋x°，
∴∠EDC＋∠ACD＝90°＋x°＋60°＝150°＋x°，
∵x°不一定等于30°，
∴∠EDC＋∠ACD不一定等于180°，
∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确；
∵∠ACB＝60°－x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°，
∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A选项不正确；
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AB＝ED＝EF＋FD，
∴BA＞EF，故C选项不正确．
故选D．
]
11．(2024·大庆)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为( )
A．15 B．5＋5
C．10＋5 D．18
B [过点N′作EF∥AB，交AD，BC于点E，F，过点M作MG⊥EF于点G，
∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，
∴∠A＝∠MGN′＝90°，
由旋转的性质得∠NMN′＝90°，MN＝MN′，
∴∠AMN＝90°－∠NMG＝∠GMN′，
∴△AMN≌△GMN′(AAS)，
∴MG＝AM，
∴点N′在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，
作点M关于直线EF的对称点M′，连接M′B交直线EF于点N′，此时△MBN′周长取得最小值，
最小值为BM＋BM′，
∵BM＝AB＝5，MM′＝5＋5＝10，
∴BM＋BM′＝5＋＝5＋5，
故选B．]
12．(2024·潍坊)如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为(0，4)，点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为________．
[作C′F⊥AO，交y轴于点F，
由题可得：OA＝4，
∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，
∴AO是∠BAC的角平分线，
∴∠OAC＝30°，
∴OC＝AC，
在Rt△AOC中，AO2＋OC2＝AC2，
即16＋＝AC2，
解得AC＝，
∴AC′＝AC＝，
OF＝AO－AF＝4－AC′·cos 60°＝4－，
FC′＝AC′·sin 60°＝＝4，
∴C′，
故答案为．]
13．(12分)(2024·东营)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3．
(1)【问题发现】
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是______，AD与BE的位置关系是______；
(2)【类比探究】
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系，位置关系与(1)中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
(3)【迁移应用】
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
[解] (1)如图1，延长DA交BE于点H，
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，
∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD＝90°，
∴AD＝，BE＝3，∠CAD＝∠ADC＝45°，∠CBE＝∠CEB＝45°，
∴BE＝3AD，∠CAD＝∠EAH＝45°，
∴∠EHA＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为BE＝3AD，AD⊥BE．
(2)线段AD与BE的数量关系，位置关系与(1)中结论一致，理由如下：
如图2，延长DA交BE于H，
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，
∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD，
∴＝＝，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝＝，∠CDA＝∠CEB，
∴BE＝3AD，
∵∠CEB＋∠ENH＝∠CDA＋∠CND＝90°，
∴∠EHD＝90°，
∴AD⊥BE．
(3)如图3，过点C作CN⊥AB于点N，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，
∴AB＝＝＝，
∵CN⊥AB，
∴∠ANC＝90°＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACN∽△ABC，
∴＝，
∴AN·＝1，
∴AN＝，
∵AC＝DC，CN⊥AB，
∴AD＝2AN＝，
由(2)可知：BE＝3AD＝．
