(共102张PPT)
第二节 与圆有关的位置关系
第六章 圆
链接教材 基础过关
考点一 与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．
dd＝r 点在圆___；
d>r 点在圆___．
内
上
外
位置关系 相离 相切 相交
示意图
公共点个数 ____ ____ ____
大小关系 _____ _____ _____
2．直线与圆的位置关系
0个
1个
2个
d＞r
d＝r
d＜r
考点二 切线的性质与判定
1．切线的性质
(1)定理：圆的切线_____于过_____的半径．
(2)经过___________于切线的直线必经过切点．
(3)经过___________于切线的直线必经过圆心．
总结：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过_____；②直线过_____；③直线与圆的切线_____．
垂直
切点
圆心且垂直
切点且垂直
圆心
切点
垂直
2．切线的判定定理
(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(2)推论：①与圆只有一个______的直线是圆的切线(定义法)．②到圆心的距离________的直线是圆的切线．
公共点
等于半径
考点三 三角形的内切圆与切线长定理
1．三角形的内切圆
(1)内切圆的有关概念：
与三角形各边都____的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的____，这个三角形叫做圆的外切三角形．
(2)三角形的内心就是三角形三条________的交点．三角形的内心到三角形三边的距离____；三角形的内心与三角形顶点的连线____这个内角．
相切
内心
角平分线
相等
平分
2．切线长定理
(1)圆的切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的__，叫做这点到圆的切线长．
(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长____，这一点和圆心的连线____两条切线的夹角．
切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对．这些结论在证明求解问题中会经常用到．
长
相等
平分
1．(人教版九上P101复习巩固T1改编)一个点到圆的最大距离为
11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )
A．16 cm或6 cm B．3 cm或8 cm
C．3 cm D．8 cm
√
B [当点P在圆内时，最近点的距离为5 cm，最远点的距离为11 cm，则直径是16 cm，因而半径是8 cm；当点P在圆外时，最近点的距离为5 cm，最远点的距离为11 cm，则直径是6 cm，因而半径是3 cm．故选B．]
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝129°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为( )
A．56° B．62° C．68° D．78°
√
D [∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠IAC，∠ACB＝2∠ICA，
∵∠AIC＝129°，
∴∠B＝180°－(∠BAC＋∠ACB)
＝180°－2(∠IAC＋∠ICA)
＝180°－2(180°－∠AIC)
＝78°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B＝78°．故选D．]
√
A [∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠B＋∠BCO，
∴∠AOC＝2∠BCO，
而∠BAC＝2∠BCO，
∴∠BAC＝∠AOC，
∴CA＝CO，
而OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC＝3，
4．(青岛版九上P96练习T2改编)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为_____________．
62°或118°
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．
[解] (1)证明：如图，连接EF，
∵∠BAC＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA＝OE，
∴∠BAD＝∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠AEO＝∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线．
考点突破 对点演练
命题点1 点、直线与圆的位置关系
[解] (1)直线AB与⊙O相切，理由：
连接OD，
判断点(直线)与圆之间的位置关系，将该点(直线)到圆心的距离与半径作比较即可．
√
[解] (1)直线CD与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OC，
∵OA＝OC，CD＝BD，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACO＋∠DCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线，
∴直线CD与⊙O相切．
∴1 600＝576x2＋1 024x2，
∴x＝1，
∴OA＝OC＝24，
∴⊙O的半径为24．
命题点2 切线的性质与判定
[解] (1)证明：连接BG，如图，
根据题意可知：AD＝AE，BE＝BF，
又∵AB＝BC，
∴CF＝AE＝AD，
∵BC＝2AD，
∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF，
(1)判定切线时，“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．
(2)有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
有关切线常见的作辅助线方法
[对点演练]
3．(2024·济宁)如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．
(1)若AB＝8，求AE的长；
(2)求证：EB是⊙O的切线．
[解] (1)∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，
即∠EAD＝∠BAC，
又∵∠ADE＝∠ACB，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACB(ASA)，
∴AE＝AB，
∵AB＝8，
∴AE＝8．
(2)证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点F，连接AF．
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFB＋∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝∠ACB，
∴∠ACB＋∠ABF＝90°，
在△ADC中，AD＝AC，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴2∠ACB＋∠CAD＝180°，
由(1)知AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴2∠ABE＋∠BAE＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠ACB＝∠ABE，
∴∠ABE＋∠ABF＝90°，
即∠OBE＝90°，
∵OB为半径，
∴EB是⊙O的切线．
[解] (1)证明：连接OE，
由题意可知OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ODE，
∴∠OED＝∠CDE，
∴OE∥CD，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
即OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
2．(2023·济宁)如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．
(1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
(2)MN＝BM＋DN，理由如下：
延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，如图所示．
∵∠CBM＋∠NDC＝180°，∠HDC＋∠NDC＝180°，
∴∠HDC＝∠MBC，
∵CD＝CB，DH＝BM，
∴△HDC≌△MBC(SAS)，
∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，
由(1)可得∠ABD＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝60°，
∴∠DCB＝180°－∠A＝120°，
∵∠MCN＝60°，
∴∠BCM＋∠NCD＝120°－∠NCM＝120°－60°＝60°，
∴∠DCH＋∠NCD＝∠NCH＝60°，
∴∠NCH＝∠NCM，
∵NC＝NC，
∴△CNH≌△CNM(SAS)，
∴NH＝MN，
∴MN＝DN＋DH＝DN＋BM，
∴MN＝BM＋DN．
【典例3】 [数学文化](2024·滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是( )
命题点3 三角形的内切圆及切线长定理
√
[对点演练]
4．(2023·聊城)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为( )
A．15° B．17.5°
C．20° D．25°
√
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
题号
1
3
5
2
4
6
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13
14
课时分层评价卷(二十三) 与圆有关的位置关系
1．(2024·郓城县一模)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r，已知边AB和⊙C有交点，则r的取值范围为( )
A．r＞3 B．2.4≤r≤4
C．r＜4 D．r≥2.4
题号
1
3
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2
4
6
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13
14
B [作CD⊥AB于D，如图所示，
√
题号
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题号
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√
题号
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题号
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√
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4．(2024·上海)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在△ABC内，分别以A，B，P为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是( )
A．内含 B．相交
C．外切 D．相离
√
题号
1
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4
6
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13
14
B [∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切，
∴圆A含在圆P内，即PA＝3－1＝2，
∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示，
题号
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题号
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√
题号
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4
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14
题号
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11
12
13
14
6．(2024·浙江)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为________．
40°
题号
1
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13
14
40° [∵AC与⊙O相切，
∴∠BAC＝90°，
又∵∠ACB＝50°，
∴∠B＝90°－∠C＝90°－50°＝40°．]
题号
1
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13
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7．(情境题)发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图是发动机剖面图的示意图，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若AB＝12，OB＝5，当AB与⊙O相切时，EA的长度是____．
4
题号
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题号
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8．(10分)(2024·山东威海)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BE＝2，CE＝4，求AF的长．
题号
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题号
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14
∵EH平分∠FEG，
∴∠FEG＝2∠HEG，
∴∠F＝∠FEG－∠FAE＝2∠HEG－2∠CAB＝2(∠HEG－∠CAB)＝2∠H＝2×45°＝90°，
∴∠OCE＝∠F＝90°，
又∵OC是半径，
∴EF是⊙O的切线．
题号
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题号
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√
题号
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4
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10．(2024·菏泽一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°．下列结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC．其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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12
13
14
D [如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
又∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∴△OBD是等边三角形，
题号
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12
13
14
∴∠DOB＝∠ABD＝60°，AB＝2OB＝2OD＝2BD．
∴∠C＝∠BDC＝30°，
∴BD＝BC，②成立；
∴AB＝2BC，③成立；
∵∠A＝∠C，
∴DA＝DC，①成立．
综上所述，①②③均成立．
故选D．]
11．(2024·冠县一模)如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝________．
题号
1
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29°
题号
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12．(2024·四川凉山)如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为________．
题号
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题号
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13
14
(2)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
由(1)知，∠CFD＝90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴CF＝DE＝4，
∴AC＝2CF＝8．
题号
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14
[解] (1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°－25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB＋∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°－∠CAB＝115°．
题号
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11
12
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题号
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3
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2
4
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8
7
9
10
11
12
13
14
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC
＝AB＋AF＋CF＋CP＋BP
＝AB＋AQ＋BQ＋2CF
＝2AB＋2CF
＝2×13＋2×2＝30．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14第二节 与圆有关的位置关系
考点一 与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．
dd＝r 点在圆上；
d>r 点在圆外．
2．直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
示意图
公共点个数 0个 1个 2个
大小关系 d＞r d＝r d＜r
考点二 切线的性质与判定
1．切线的性质
(1)定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
(2)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
总结：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
2．切线的判定定理
(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(2)推论：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法)．②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
考点三 三角形的内切圆与切线长定理
1．三角形的内切圆
(1)内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
(2)三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
2．切线长定理
(1)圆的切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对．这些结论在证明求解问题中会经常用到．
1．(人教版九上P101复习巩固T1改编)一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )
A．16 cm或6 cm B．3 cm或8 cm
C．3 cm D．8 cm
B [当点P在圆内时，最近点的距离为5 cm，最远点的距离为11 cm，则直径是16 cm，因而半径是8 cm；当点P在圆外时，最近点的距离为5 cm，最远点的距离为11 cm，则直径是6 cm，因而半径是3 cm．故选B．]
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝129°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为( )
A．56° B．62° C．68° D．78°
D [∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠IAC，∠ACB＝2∠ICA，
∵∠AIC＝129°，
∴∠B＝180°－(∠BAC＋∠ACB)
＝180°－2(∠IAC＋∠ICA)
＝180°－2(180°－∠AIC)
＝78°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B＝78°．故选D．]
3．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接AC，BC．若∠BAC＝2∠BCO，AC＝3，则PA的长为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
A [∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠B＋∠BCO，
∴∠AOC＝2∠BCO，
而∠BAC＝2∠BCO，
∴∠BAC＝∠AOC，
∴CA＝CO，
而OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC＝3，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵tan ∠AOP＝，
∴PA＝3tan 60°＝3．
故选A．]
4．(青岛版九上P96练习T2改编)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为________．
62°或118° [如图，连接CA，BC，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB＋∠PAO＋∠PBO＋∠APB＝360°，
∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠PBO－∠APB＝360°－90°－90°－56°＝124°，
由圆周角定理知，∠ACB＝∠AOB＝62°．
当点C在劣弧AB上时，
由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°．
综上，∠ACB的大小为62°或118°．]
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．
[解] (1)证明：如图，连接EF，
∵∠BAC＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA＝OE，
∴∠BAD＝∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠AEO＝∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线．
(2)∵⊙O的半径为5，
∴EF＝2OE＝10，
在Rt△AEF中，AF＝6，
根据勾股定理得，AE＝＝8，
由(1)知OE∥BC，
∵OA＝OD，
∴BE＝AE＝8．
命题点1 点、直线与圆的位置关系
【典例1】 (2024·泗水县一模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sin B＝，⊙O的半径为3，求AC的长．
[解] (1)直线AB与⊙O相切，理由：
连接OD，
由圆周角定理得，∠BCD＝∠BOD，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BOD＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠BOD＋∠B＝90°，
∴∠BDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切．
(2)∵sin B＝＝，OD＝3，
∴OB＝5，
∴BC＝OB＋OC＝8，
在Rt△ACB中，sin B＝＝，
∴设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC＝＝4x＝8，
∴x＝2，
∴AC＝3x＝6．
判断点(直线)与圆之间的位置关系，将该点(直线)到圆心的距离与半径作比较即可．
[对点演练]
1．(2024·广东广州)如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外 D．无法确定
C [如图，令OC与AB的交点为D，
∵OC为半径，AB为弦，且OC⊥AB，
∴AD＝AB＝2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
在△ADO中，∠ADO＝90°，∠AOD＝60°，AD＝2，
∵sin ∠AOD＝，
∴OA＝＝＝4，即⊙O的半径为4，
∵OP＝5>4，
∴点P在⊙O外．
故选C．]
2．(2024·兰山区模拟)如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD＝BD．
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)已知tan ∠ODC＝，AB＝40，求⊙O的半径．
[解] (1)直线CD与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OC，
∵OA＝OC，CD＝BD，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACO＋∠DCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线，
∴直线CD与⊙O相切．
(2)∵tan ∠ODC＝＝，
∴设CD＝7x＝DB，OC＝24x＝OA，
∵∠OCD＝90°，
∴OD＝＝＝25x，
∴OB＝32x，
∵∠AOB＝90°，
∴AB2＝AO2＋OB2，
∴1 600＝576x2＋1 024x2，
∴x＝1，
∴OA＝OC＝24，
∴⊙O的半径为24．
命题点2 切线的性质与判定
【典例2】 (2024·山东)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作所交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG．
(1)求证：CG为所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分面积．(结果保留π)
[解] (1)证明：连接BG，如图，
根据题意可知：AD＝AE，BE＝BF，
又∵AB＝BC，
∴CF＝AE＝AD，
∵BC＝2AD，
∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠BFD＝∠DAB＝60°，
∵BG＝BF，
∴△BFG是等边三角形，
∴GF＝BF，
∴GF＝BF＝FC，
∴G在以BC为直径的圆上，
∴∠BGC＝90°，
∴CG为所在圆的切线．
(2)过D作DH⊥AB于点H，
由图可得：S阴影＝S ABFD－S扇形AED－S扇形BEG－S△BFG，
在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°，
∴DH＝AD·sin ∠DAB＝1×＝，
∴S ABFD＝AB·DH＝2×＝，
由题可知：扇形ADE和扇形BGE全等，
∴S扇形AED＝S扇形BGE＝＝＝＝，
等边三角形BFG的面积S△BFG＝GF·DH＝×1×＝，
∴S阴影＝S ABFD－S扇形AED－S扇形BEG－S△BFG＝＝．
有关切线常见的作辅助线方法
(1)判定切线时，“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．
(2)有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
[对点演练]
3．(2024·济宁)如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．
(1)若AB＝8，求AE的长；
(2)求证：EB是⊙O的切线．
[解] (1)∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，
即∠EAD＝∠BAC，
又∵∠ADE＝∠ACB，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACB(ASA)，
∴AE＝AB，
∵AB＝8，
∴AE＝8．
(2)证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点F，连接AF．
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFB＋∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝∠ACB，
∴∠ACB＋∠ABF＝90°，
在△ADC中，AD＝AC，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴2∠ACB＋∠CAD＝180°，
由(1)知AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴2∠ABE＋∠BAE＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠ACB＝∠ABE，
∴∠ABE＋∠ABF＝90°，
即∠OBE＝90°，
∵OB为半径，
∴EB是⊙O的切线．
【教师备选资源】
1．(2023·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若CD＝12，tan ∠ABC＝，求⊙O的半径．
[解] (1)证明：连接OE，
由题意可知OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ODE，
∴∠OED＝∠CDE，
∴OE∥CD，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
即OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
(2)过点D作DF⊥AB交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CD＝DF，
∵CD＝12，tan ∠ABC＝，
∴BF＝＝16，
∴BD＝＝20，则BC＝CD＋BD＝32，
∴AC＝BC·tan ∠ABC＝24，
∴AD＝＝12，
∵OE∥CD，
∴△AEO∽△ACD，
∴＝，即＝
＝，
可得EO＝15－3，
∴⊙O的半径为15－3．
2．(2023·济宁)如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．
(1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
[解] (1)证明：∵CF⊥OE，OC是半径，
∴CF是圆O的切线，
∵BE是圆O的切线，
∴BF＝CF，
∵EF＝2BF，
∴EF＝2CF，
∴sin ∠E＝＝，
∴∠E＝30°，∠EOB＝60°，
∵CD＝CB，
∴＝，
∴OC⊥BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°＝∠EBO，
∵∠E＋∠EBD＝90°，∠ABD＋∠EBD＝90°，
∴∠E＝∠ABD＝30°，
∴AD＝BO＝AB，
∴△ABD≌△OEB(AAS)．
(2)MN＝BM＋DN，理由如下：
延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，如图所示．
∵∠CBM＋∠NDC＝180°，∠HDC＋∠NDC＝180°，
∴∠HDC＝∠MBC，
∵CD＝CB，DH＝BM，
∴△HDC≌△MBC(SAS)，
∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，
由(1)可得∠ABD＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝60°，
∴∠DCB＝180°－∠A＝120°，
∵∠MCN＝60°，
∴∠BCM＋∠NCD＝120°－∠NCM＝120°－60°＝60°，
∴∠DCH＋∠NCD＝∠NCH＝60°，
∴∠NCH＝∠NCM，
∵NC＝NC，
∴△CNH≌△CNM(SAS)，
∴NH＝MN，
∴MN＝DN＋DH＝DN＋BM，
∴MN＝BM＋DN．
命题点3 三角形的内切圆及切线长定理
【典例3】 [数学文化](2024·滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是( )
A．d＝a＋b－c
B．d＝
C．d＝
D．d＝|(a－b)(c－b)|
D [法一：本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案．
∵△ABC为直角三角形，∴令a＝3，b＝4，c＝5．
选项A：d＝a＋b－c＝2，
选项B：d＝＝2，
选项C：d＝＝2，
选项D：d＝|(a－b)(c－b)|＝1，
很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项．
故选D．
法二：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F．
易证四边形OECD是正方形，设OE＝OD＝OF＝r，
则EC＝CD＝r，
∴AE＝AF＝b－r，BD＝BF＝a－r，
∵AF＋BF＝AB，
∴b－r＋a－r＝c，
∴r＝，
∴d＝a＋b－c，故选项A正确．
∵S△ABC＝S△AOC＋S△BOC＋S△AOB，
∴ab＝ar＋br＋cr，
∴ab＝r(a＋b＋c)，
∴r＝，即d＝，故选项B正确．
∵由前面可知d＝a＋b－c，
∴d2＝(a＋b－c)2＝(a＋b)2－2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2－2ac－2bc＋c2，
∵a2＋b2＝c2，
∴上述式子＝2c2＋2ab－2ac－2bc＝2(c2＋ab－ac－bc)＝2[(c2－ac)＋b(a－c)]＝2(c－a)(c－b)，
∴d＝，故选项C正确．
排除法可知选项D错误．
故选D．]
[对点演练]
4．(2023·聊城)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为( )
A．15° B．17.5°
C．20° D．25°
C [连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝×(180°－∠BOC)＝×(180°－140°)＝20°．
故选C．]
课时分层评价卷(二十三) 与圆有关的位置关系
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．(2024·郓城县一模)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r，已知边AB和⊙C有交点，则r的取值范围为( )
A．r＞3 B．2.4≤r≤4
C．r＜4 D．r≥2.4
B [作CD⊥AB于D，如图所示，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵△ABC的面积＝AB·CD＝AC·BC，
∴CD＝＝＝2.4，即圆心C到AB的距离d＝2.4，
∴以C为圆心的⊙C与边AB有交点，则r的取值范围是2.4≤r≤4．
故选B．]
2．(2024·福建)如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于( )
A．18° B．30° C．36° D．72°
A [∵∠AOB＝72°，C为的中点，
∴∠AOC＝36°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝×(180°－36°)＝72°，
∵直线MN与⊙O相切，
∴∠OCM＝90°，
∴∠ACM＝∠OCM－∠OCA＝18°．
故选A．]
3．(2024·梁山县二模)如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为( )
A．29.5° B．31.5°
C．58.5° D．63°
B [∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB＝58.5°，
∴∠B＝90°－∠ADB＝31.5°，
∵点A是的中点，
∴＝，
∴∠ACE＝∠B＝31.5°．
故选B．]
4．(2024·上海)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在△ABC内，分别以A，B，P为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是( )
A．内含 B．相交
C．外切 D．相离
B [∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切，
∴圆A含在圆P内，即PA＝3－1＝2，
∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示，
∴当到P′位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为＝，
∵3－2＝1<<3＋2＝5，
∴圆P与圆B相交．
故选B．]
5．(2024·阳谷县一模)如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．2
A [如图，连接BI，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，
∴∠D＝∠C＝60°，
∵点I为等边△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°，
∴∠ABD＝180°－∠D－∠IAB＝90°，∠DIB＝∠IAB＋∠IBA＝60°，
∴AD是△ABC外接圆的直径，
∵∠DBI＝180°－∠D－∠DIB＝60°，
∴△DBI是等边三角形，
∴DI＝BI，
∵∠IAB＝∠IBA，
∴AI＝BI，
∴DI＝AI＝AD＝2，
∴BD＝DI＝2，
∴线段DB的长为2．
故选A．]
6．(2024·浙江)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为________．
40° [∵AC与⊙O相切，
∴∠BAC＝90°，
又∵∠ACB＝50°，
∴∠B＝90°－∠C＝90°－50°＝40°．]
7．(情境题)发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图是发动机剖面图的示意图，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若AB＝12，OB＝5，当AB与⊙O相切时，EA的长度是________．
4 [EO＝AB＋BO＝12＋5＝17，
当AB与⊙O相切时，如图，
则∠ABO＝90°，
∴OA＝＝＝13，
∴EA＝EO－OA＝17－13＝4．]
8．(10分)(2024·山东威海)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BE＝2，CE＝4，求AF的长．
[解] (1)证明：连接OC，
则∠OAC＝∠OCA，
又∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠DAC＝∠CAB＝∠DAB，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠OCE＝∠F．
∵EH平分∠FEG，
∴∠FEG＝2∠HEG，
∴∠F＝∠FEG－∠FAE＝2∠HEG－2∠CAB＝2(∠HEG－∠CAB)＝2∠H＝2×45°＝90°，
∴∠OCE＝∠F＝90°，
又∵OC是半径，
∴EF是⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为r，则OE＝OB＋BE＝r＋2，
∵OC2＋CE2＝OE2，即r2＋42＝(r＋2)2，
解得r＝3，
∴EA＝AB＋BE＝2r＋2＝8，OE＝5，
又∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EFA，
∴＝，即＝，解得AF＝．
9．(2024·济宁二模)如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为( )
A．＋1 B．
C．2＋1 D．2
B [如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且⊙B的半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，当D，B，C三点共线，且点C在DB的延长线上时，CD最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2＋1，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值为．
故选B．]
10．(2024·菏泽一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°．下列结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC．其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D [如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
又∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DOB＝∠ABD＝60°，AB＝2OB＝2OD＝2BD．
∴∠C＝∠BDC＝30°，
∴BD＝BC，②成立；
∴AB＝2BC，③成立；
∵∠A＝∠C，
∴DA＝DC，①成立．
综上所述，①②③均成立．
故选D．]
11．(2024·冠县一模)如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝________．
29° [∵△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，
∴AD＝AE，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED＝(180°－∠A)，
∴∠BFD＝∠ADE－∠ABF＝(180°－∠A)－∠ABC＝(180°－∠A－∠ABC)，
∵180°－∠A－∠ABC＝∠ACB＝58°，
∴∠BFD＝×58°＝29°．]
12．(2024·四川凉山)如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为________．
2 [记直线y＝x＋4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM．
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，即x＋4＝0，
解得x＝－4，
即K(0，4)，A(－4，0)，
而M(4，0)，
∴OA＝OK＝OM＝4，
∴△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，
∴∠AKO＝∠MKO＝45°，
∴∠AKM＝90°．
∵QP与⊙M相切，
∴∠PQM＝90°，
∴PQ＝，
∵QM＝2，
∴当PQ最小时即PM最小，
∴当PM⊥AK时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时PM最小值为KM，
在Rt△OKM中，由勾股定理得KM＝＝4，
∴PQ＝＝2，
∴PQ的最小值为2．]
13．(10分)(2024·聊城二模)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且＝，连接BC并延长与过点D的⊙O的切线相交于点E，连接OD．
(1)证明：OD平分∠ADC；
(2)若DE＝4，tan B＝，求CD的长．
[解] (1)证明：连接AC交OD于点F，如图，
∵＝，
∴OD⊥AC且AF＝CF，AD＝DC，
∴OD平分∠ADC．
(2)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
由(1)知，∠CFD＝90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴CF＝DE＝4，
∴AC＝2CF＝8．
在Rt△ACB中，∵tan B＝＝，
∴BC＝×8＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴OD＝5，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD－OF＝2，
在Rt△CDF中，CD＝＝2．
14．(12分)(2024·烟台)如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
(1)若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
(3)若CI＝2，DI＝，求△ABC的周长．
[解] (1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°－25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB＋∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°－∠CAB＝115°．
(2)DI＝AD＝BD，证明如下：
连接AI，如图1．
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI＝∠ACB＝45°，
∴＝，
∴∠DAB＝∠DCB＝
∠ACI，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB＋∠BAI，∠DIA＝∠ACI＋∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝AD＝BD．
(3)过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q，F，P，如图2．
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q，F，P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵CI＝2，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI·cos 45°＝2＝CP，
∵DI＝AD＝BD，DI＝，∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝13，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC
＝AB＋AF＋CF＋CP＋BP
＝AB＋AQ＋BQ＋2CF
＝2AB＋2CF
＝2×13＋2×2＝30．
