第三节 与圆有关的计算
考点一 弧长和扇形面积的有关计算
1．弧长的有关公式
(1)圆周长公式：C＝2πR．
(2)弧长公式：l＝．
注意：①在弧长的计算公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用含π的式子表示．
2．扇形的定义及有关公式
(1)圆面积公式：S＝πR2．
(2)扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
(3)扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝或S扇形＝lR(其中l为扇形的弧长)．
考点二 圆锥的有关计算
(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
(2)如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径为母线长l，扇形的弧长为底面圆的周长2πr．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl．
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为πr2＋πrl．
考点三 正多边形和圆的有关计算
(1)正多边形与圆的关系
把一个圆分成相等的一些弧，顺次连接几个分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
(2)正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
②正多边形的半径：正多形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
1．(人教版九上P115复习巩固T2改编)某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30 cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )
A．6π cm B．9π cm
C．12π cm D．15π cm
B [根据题意得：l＝＝9π(cm)，
则重物上升了9π cm．故选B．]
2．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为( )
A．4 cm B．8 cm C．12 cm D．16 cm
B [设半圆形铁皮的半径为r cm，
根据题意得πr＝2π×4，
解得r＝8，所以围成的圆锥的母线长为8 cm．故选B．]
3．(青岛版九上P108复习与巩固T2改编)若扇形半径为4 cm，面积为8 cm2，则它的弧长为________cm．
4 [设弧长是l，则×4l＝8，解得l＝4．]
4．如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为________(结果保留π)．
[∠BAE＝＝108°，
∴阴影部分的面积为＝．]
5．(人教版九上P116综合运用T8改编)如图1是一块扇面形的砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，则阴影部分的面积是________cm2(结果用π表示)．
3 000π [S阴影＝S扇形AOD－S扇形BOC
＝
＝
＝3 000π(cm2)．]
命题点1 弧长的有关计算
【典例1】 (2023·临沂)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长．
[解] (1)证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝
，∠OAC＝∠OCA＝，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴＝，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴∠OAE＝∠AFB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线．
(2)∵∠ACB＝∠ABC＝75°，
∴∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°－∠BOC＝120°，
∴OC＝BC＝2，
∴＝＝，
∴的长是．
[对点演练]
1．(2024·贵州)如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则的长为( )
A．30π B．25π C．20π D．10π
C [因为∠AOB＝150°，OA＝24，
所以的长为＝20π．
故选C．]
2．(2024·安徽)若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为( )
A．2π B．3π C．4π D．6π
C [的长为＝＝4π．
故选C．]
命题点2 扇形面积的有关计算
【典例2】 (2023·菏泽)如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为________(结果保留π)．
6π [由题意得，∠HAB＝＝135°，AH＝AB＝4，
∴S阴影＝＝6π．]
求阴影面积常用的方法：①公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化法将不规则图形变为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
[对点演练]
3．(2024·吉林)某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D．OA＝1 m，OB＝10 m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为________m2(结果保留π)．
11π [由题意得，S阴影＝＝11π(m2)．]
4．(2024·济宁一模)如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧AB交于点C，连接AC．若OA＝3，则图中阴影部分的面积是________(结果保留π)．
π－ [连接OC，记直线l与线段AO交于点D，
由于折叠，AD＝OD，∠ADC＝∠ODC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△ACD≌△OCD(SAS)，
∴AC＝OC，
∵OC＝OA，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝3，
∴S扇形AOC＝＝π，
∵CD＝CO·sin ∠AOC＝，
∴S△AOC＝×CD×AO＝，
∵S阴影＝S扇形AOC－S△AOC，
∴S阴影＝π－．]
命题点3 圆锥的有关计算
【典例3】 (2023·聊城)如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO1为，则其侧面展开图的面积为( )
A．π B．2π C．3π D．4π
C [根据题意，补图如下：
∵OC∥BO1，OC＝2，BO1＝1，
∴△BO1A∽△COA，
∴＝＝，
∴AO1＝O1O＝，
∴AB＝BC＝＝，
∴侧面展开图的面积为π×2×2－π×1×＝3π．故选C．]
[对点演练]
5．(2024·曲阜市一模)如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6 cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则tan ∠BAO的值为( )
A． B． C． D．
A [根据题意可知：15π＝π×6×AB，
解得AB＝5(cm)，
∵BO＝BC＝3(cm)，
∴AO＝＝4(cm)，
∴tan ∠BAO＝＝．
故选A．]
6．(2024·黑龙江大兴安岭)若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________．
90° [根据圆锥侧面积公式S＝πrl，可得π×3×l＝36π，
解得l＝12，
∴＝36π，
解得n＝90，
∴侧面展开图的圆心角是90°．]
命题点4 正多边形和圆的有关计算
【典例4】 (2024·济宁)如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为( )
A．1 B．2 C． D．
D [如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为点M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，点O是它的中心，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝1，
在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝1，
∴OM＝＝，
即它的内切圆半径为．故选D．]
正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径、边长、边心距、中心角之间的计算转化为解直角三角形．
[对点演练]
7．(典例4变式)如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则△OAB的面积为( )
A．4 B．4
C．6 D．6
B [设⊙O的半径为r，由题意得2πr＝8π，
解得r＝4，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∴弦AB所对应的弦心距为OA＝2，
∴S△AOB＝×4×2＝4．
故选B．]
8．(2023·临沂)将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是( )
A．60° B．90°
C．180° D．360°
B [由于正六边形的中心角为＝60°，
所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°．
故选B．]
课时分层评价卷(二十四) 与圆有关的计算
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上一点，则∠APC的度数为( )
A．36° B．60°
C．65° D．72°
D [如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC＝×2＝144°，
∴∠APC＝∠AOC＝72°．
故选D．]
2．(2024·云南)某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为( )
A．700π平方厘米 B．900π平方厘米
C．1 200π平方厘米 D．1 600π平方厘米
C [圆锥的底面圆周长为2π×30＝60π(厘米)，
∴圆锥的侧面积为×60π×40＝1 200π(平方厘米)．
故选C．]
3．(2024·四川广安)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为( )
A． B． C． D．
C [连接OD，OE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠B＝70°，
∴∠OEB＝∠C＝70°，
∴OE∥AC．
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－70°－70°＝40°，
又OA＝OD＝AB＝5，
∵OE∥AC，
∴∠A＝∠ADO＝40°＝∠DOE，
∴的长度为＝．
故选C．]
4．(2024·郓城县二模)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A，B两点，点B坐标为(0，2)，OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为( )
A．8π－2 B．8π－
C．2π－2 D．2π－
C [如图，连接AB，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径．
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，
∵OB＝2，
∴OA＝OB tan ∠ABO＝OB tan 30°＝2＝2，AB＝2AO＝4，即圆的半径为2，
∴S阴影＝S半圆－S△ABO＝×2×2＝2π－2．故选C．]
5．(2024·甘肃兰州)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1 cm和10 cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝________．
108 [∵⊙M的周长为2π cm，
∴⊙M顺时针转动3周时，点P移动的弧长为6π cm，
∴6π＝，
解得n＝108．]
6．(2024·黑龙江齐齐哈尔)若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为________cm．
[设圆锥的母线长为R，
根据题意得2π·1＝，
解得R＝4．
即圆锥的母线长为4 cm，
∴圆锥的高为＝ cm．]
7．(2024·江苏苏州)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2，则花窗的周长(图中实线部分的长度)为________(结果保留π)．
8π [如图所示，过点C作CE⊥AB，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵圆心C恰好是△ABO的内心，
∴∠CAO＝∠CAE＝∠CBE＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∵AB＝2，
∴AE＝BE＝，
∴AC＝＝2，
∴的长为＝π，
∴花窗的周长为π×6＝8π．]
8．(9分)如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，若AB＝1，求阴影部分的面积．
[解] 连接DE，
因为四边形ABCD是矩形，
所以∠C＝90°，CD＝AB＝1．
所以CE＝CD＝1，
所以△CDE是等腰直角三角形，
所以∠EDC＝45°，
则∠ADE＝90°－45°＝45°．
由勾股定理得，
DE＝＝，
所以S扇形CDE＝＝π，
S扇形DAE＝＝π，
S△CDE＝CE·CD＝，
则S阴影＝S扇形DAE＋S△CDE－S扇形CDE＝π＋π＝．
9．(2024·河北)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m＝，则m与n关系的图象大致是( )
A B
C D
C [设该扇子所在圆的半径为R，
S＝＝，
∴πR2＝3S，
∵该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，
∴Sn＝＝×3S＝，
∴m＝＝＝n，
∴m是n的正比例函数，
∵n≥0，
∴它的图象是过原点的一条射线．
故选C．]
10．(2024·微山县一模)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O是这段弧所在圆的圆心，连接OA，OB，AB，点C是AB的中点，连接OC并延长交于点D．若AB＝2，CD＝2－，则的长是( )
A．π B．π C． D．π
D [∵点C是AB的中点，OA＝OB，
∴AB⊥OD，AC＝AB＝×2＝1，
设OA＝r，则OC＝OD－CD＝r－2＋，
在Rt△AOC中，
∵OA2＝AC2＋OC2，
∴r2＝12＋(r－2＋)2，
解得r＝2．
∴OA＝OB＝2，
∵AB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴的长是＝π．
故选D．]
11．(2024·临沂一模)如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE，CF交于点G，半径BE，CD交于点H，则图中阴影面积等于( )
A．－1 B．
C．π－1 D．π－2
A [两扇形的面积和为×2＝π，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M，N，连接CE，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM＝CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG＋∠FCN＝90°，∠NCH＋∠FCN＝90°，
∴∠MCG＝∠NCH，
在△CMG与△CNH中，
∴△CMG≌△CNH(ASA)，
∴中间空白区域面积相当于对角线是1的正方形面积，
∴空白区域的面积为×1×1＝，
∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积－两个空白区域面积＝π－1．
故选A．]
12．[情境题](2024·兖州区二模)现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40 cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为________．
18° [20π＝，
解得n＝90°，
∵扇形彩纸片是30%圆周，因而圆心角是108°，
∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°－90°＝18°．]
13．(2024·内蒙古呼伦贝尔)为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图，与分别是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是________米(π取3.14，计算结果精确到0.1)．
28.7 [根据题意，得＝＝，
∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，
∴＝36，
∴＝36，即＝36，
解得AC＝≈≈28.7．]
14．[数学文化](2024·东营)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为________．
2 [如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接OA，OB，过点A作AM⊥OB于点M，
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB＝＝45°，
在Rt△AOM中，OA＝1，∠AOM＝45°，
∴AM＝OA＝，
∴正八边形的面积为8S△AOB＝8××1×＝2，
即可估计π的近似值为2．]
15．(12分)[跨学科](2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线长均为7 cm的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示的漏斗中．
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积(结果保留π)．
[解] (1)滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
如图作出示意图，由题意知，AB＝AC＝BC＝7 cm，
折叠后CD＝CE＝×10＝5(cm)，
∵底面周长为×10π＝5π(cm)，
∴DE·π＝5π，
∴DE＝5(cm)，
∴＝＝，
∴△CDE∽△CAB，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁．
(2)由(1)知CD＝DE＝CE＝5 cm，
∴∠CDE＝60°，
过C作CF⊥DE于点F，则DF＝DE＝ cm，
在Rt△CDF中，CF＝＝ cm，
∴V＝π·＝π(cm3)．
∴圆锥形的体积是π(cm3)．(共78张PPT)
第三节 与圆有关的计算
第六章 圆
考点一 弧长和扇形面积的有关计算
1．弧长的有关公式
(1)圆周长公式：C＝____．
(2)弧长公式：l＝____．
链接教材 基础过关
2πR
注意：①在弧长的计算公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用含π的式子表示．
πR2
半径
弧
考点二 圆锥的有关计算
(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
(2)如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径为母线长l，扇形的
弧长为底面圆的周长____．因此圆锥的侧面积
为S侧＝____．
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为_______．
2πr
πrl
πr2＋πrl
考点三 正多边形和圆的有关计算
(1)正多边形与圆的关系
把一个圆分成相等的一些弧，顺次连接几个分点所得的多边形是这个圆的_____________，这个圆就是这个正多边形的_______．
(2)正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
②正多边形的半径：正多形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
内接正多边形
外接圆
1．(人教版九上P115复习巩固T2改编)某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30 cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )
A．6π cm B．9π cm
C．12π cm D．15π cm
√
2．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为( )
A．4 cm B．8 cm C．12 cm D．16 cm
B [设半圆形铁皮的半径为r cm，
根据题意得πr＝2π×4，
解得r＝8，所以围成的圆锥的母线长为8 cm．故选B．]
√
3．(青岛版九上P108复习与巩固T2改编)若扇形半径为4 cm，面积为8 cm2，则它的弧长为____cm．
4
4．如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为______(结果保留π)．
5．(人教版九上P116综合运用T8改编)如图1是一块扇面形的砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，则阴影部分的面积是________cm2(结果用π表示)．
3 000π
考点突破 对点演练
命题点1 弧长的有关计算
√
√
【典例2】 (2023·菏泽)如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为_____(结果保留π)．
命题点2 扇形面积的有关计算
6π
求阴影面积常用的方法：①公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化法将不规则图形变为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
[对点演练]
3．(2024·吉林)某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D．OA＝1 m，OB＝10 m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为________m2(结果保留π)．
11π
4．(2024·济宁一模)如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧AB交于点C，连接AC．若OA＝3，则图中阴影部分的面积是_____________(结果保留π)．
命题点3 圆锥的有关计算
√
√
6．(2024·黑龙江大兴安岭)若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________．
90°
命题点4 正多边形和圆的有关计算
√
正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径、边长、边心距、中心角之间的计算转化为解直角三角形．
√
8．(2023·临沂)将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是( )
A．60° B．90°
C．180° D．360°
√
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
课时分层评价卷(二十四) 与圆有关的计算
√
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
2．(2024·云南)某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为( )
A．700π平方厘米 B．900π平方厘米
C．1 200π平方厘米 D．1 600π平方厘米
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
√
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
√
9
C [连接OD，OE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠B＝70°，
∴∠OEB＝∠C＝70°，
∴OE∥AC．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
√
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
5．(2024·甘肃兰州)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1 cm和10 cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
108
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
6．(2024·黑龙江齐齐哈尔)若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为________cm．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
8π
9
8π [如图所示，过点C作CE⊥AB，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵圆心C恰好是△ABO的内心，
∴∠CAO＝∠CAE＝∠CBE＝30°，
∴∠ACB＝120°，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
8．(9分)如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，若AB＝1，求阴影部分的面积．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
[解] 连接DE，
因为四边形ABCD是矩形，
所以∠C＝90°，CD＝AB＝1．
所以CE＝CD＝1，
所以△CDE是等腰直角三角形，
所以∠EDC＝45°，
则∠ADE＝90°－45°＝45°．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
A B
C D
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
12．[情境题](2024·兖州区二模)现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40 cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
18°
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
28.7
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
15．(12分)[跨学科](2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线长均为7 cm的圆锥形过滤漏斗．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示的漏斗中．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积(结果保留π)．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
10
11
12
13
14
15
9
