第一节 圆的有关概念及性质
考点一 垂径定理及推论
1．圆的有关概念
(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．
(2)直径：经过圆心的弦叫做直径．在同一个圆中，直径是半径的2倍，是圆中最长的弦．
(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．
(4)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
(5)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．半径相等的两个圆是等圆．
(6)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．等弧只能存在于同圆或等圆中．
(7)劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，优弧用三个点表示．
2．垂径定理及推论
(1)垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)垂径定理的推论
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
考点二 圆心角、圆周角定理及推论
1．圆心角、弧、弦之间的关系
定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
定理2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：①在同圆或等圆中，如果弦不相等，那么弦心距也就不相等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距较大；反之，弦心距较小时，则弦较大．②在同圆或等圆中，不能认为大弧所对的弦也较大．只有当弧是劣弧时，这一命题才成立；当弧为优弧时，弧越大，其所对的弦越短．
2．圆周角定理及推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．
推论2：同弧或等弧所对的圆周角相等．
注意：在同圆或等圆中，要证明两个圆周角相等，常借助于圆周角所对的弧是同弧或等弧进行证明．
推论3：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
考点三 三角形的外接圆及圆内接四边形
1．三角形的外接圆
定义：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
2．圆内接四边形：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
定理：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．
1．(青岛版九上P89练习T1改编)如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )
A．25° B．27.5°
C．30° D．35°
D [∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，
∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°，
∴∠AOC＝2∠B＝50°，
∴∠C＝180°－95°－50°＝35°．
故选D．]
2．(人教版九上P88练习T5改编)四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，则∠C＝( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
D [∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°．
故选D．]
3．如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于( )
A．32° B．28°
C．16° D．14°
C [∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝106°，
∴∠BDC＝106°－90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选C．]
4．(人教版九上P83练习T1改编)如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，AB＝16，则OC的长为________．
6 [如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴AC＝CB＝AB＝8，
∵OA＝10，∠ACO＝90°，
∴OC＝＝＝6．]
5．(人教九上P90综合运用T13改编)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝________．
60° [∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B＋∠D＝180°，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠B＝∠AOC，
∴∠AOC＋∠D＝180°，
由圆周角定理得∠D＝∠AOC，
∴∠D＝60°．]
6．[数学文化]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB)可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为________平方米．
10 [∵AB＝8米，半径OC⊥AB，
∴AD＝4米，
∴OD＝＝3米，
∴CD＝OC－OD＝2米，
∴弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(8×2＋22)＝10平方米．]
命题点1 垂径定理及其推论
【典例1】 (2024·任城区二模)如图，点A，B，C，D在⊙O上，点A为的中点，OA交弦BC于点E．若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC的长是( )
A．2 B．4 C．2 D．3
C [连接OC，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°．
在Rt△COE中，＝cos 60°＝，
∴OE＝OC＝OA，
∴AE＝OA，
∵AE＝1，
∴OA＝OC＝2，
∴CE＝，
∵点A为的中点，
∴BC＝2CE＝2．
故选C．]
垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
[对点演练]
1．[数学文化](2024·蒙阴县一模)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是( )
A．(4－)米 B．2米
C．3米 D．(4＋)米
A [根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OA，连接OC交AB于D，
则OC⊥AB，AD＝BD＝AB＝3，
在Rt△OAD中，OA＝4，AD＝3，
∴OD＝＝＝，
∴CD＝OC－OD＝4－，
即点C到弦AB所在直线的距离是(4－)米．
故选A．]
2．(2024·黑龙江牡丹江)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为________．
3 [∵AB⊥CD，CD＝6，
∴CE＝ED＝CD＝3，
设⊙O的半径为r，则OE＝OB－EB＝r－1．
在Rt△OED中，由勾股定理得OE2＋DE2＝OD2，即(r－1)2＋32＝r2，
解得r＝5，
∴OA＝5，OE＝4，
∴AE＝OA＋OE＝9．
在Rt△AEC中，由勾股定理得AC＝＝＝3．]
命题点2 圆周角定理及其推论
【典例2】 (2024·沂南县一模)如图，AD是⊙O的直径，弦BC与AD交于点E，连接AB，AC，CD．若AD平分∠BAC，∠B＝65°，则∠BAC的度数是( )
A．45° B．55°
C．40° D．50°
D [∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠B＝65°，
∴∠D＝65°，
∴∠DAC＝90°－∠D＝25°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝50°．
故选D．]
在解答与圆的直径有关的问题时，常常利用直径所对的圆周角是直角这一性质．有时还需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，以便转化为直角三角形的问题去解答．
[对点演练]
3．(2024·山东)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝________．
40° [连接OB，
∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝(180°－∠AOB)＝65°，
∵OA∥CB，
∴∠OAC＝∠ACB＝25°，
∴∠CAB＝∠OAB－∠OAC＝40°．]
【教师备选资源】
1．(2023·菏泽14题)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为________．
－2 [设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠ADF＝∠BAE，
∴∠DFA＝∠ABE＝90°，
∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，
∵AD＝4，
∴AO＝OF′＝AD＝2，
∴BO＝＝，
∴线段BF的最小值为－2．]
2．(2023·菏泽)如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．
(1)求证：BC＝DE；
(2)P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan ∠BPC；
(3)在(2)的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．
[解] (1)证明：∵D是的中点，
∴＝，
∵DE⊥AB且AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝DE．
(2)连接OD，如图1，
∵＝，
∴∠CAB＝∠DOB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DFO＝90°，
∴△ACB∽△OFD，
∴＝．
设⊙O的半径为r，
则＝，
解得r＝5，经检验，r＝5是方程的根，
∴AB＝2r＝10，
∴BC＝＝8，
∴tan ∠CAB＝＝＝，
∵∠BPC＝∠CAB，
∴tan ∠BPC＝．
(3)如图2，过点B作BG⊥CP交CP于点G，
∴∠BGC＝∠BGP＝90°，
∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB 的平分线，
∴∠ACP＝∠BCP＝45°，
∴∠CBG＝45°，
∴CG＝BG＝BC cos 45°＝4，
∵tan ∠BPC＝，
∴＝，
∴GP＝BG＝3，
∴CP＝CG＋GP＝4＋3＝7．
命题点3 圆内接四边形及其相关计算
【典例3】 (2024·济宁)如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41′，∠F＝43°19′，则∠A的度数为( )
A．42° B．41°20′ C．41° D．40°20′
C [∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠BCD＝180°，
∵∠CDF是△ADE的外角，
∴∠CDF＝∠A＋∠E，
∵∠BCD是△CDF的外角，
∴∠BCD＝∠F＋∠CDF，
∴∠BCD＝∠F＋∠A＋∠E，
∴∠A＋∠F＋∠A＋∠E＝180°，
∴2∠A＋∠F＋∠E＝180°，
∵∠E＝54°41′，∠F＝43°19′，
∴2∠A＋54°41′＋43°19′＝180°，
∴∠A＝41°．故选C．]
[对点演练]
4．(2024·黑龙江牡丹江)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为( )
A．100° B．110°
C．120° D．130°
B [如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BEC＝20°，
∴∠CAB＝∠BEC＝20°，
∴∠ABC＝90°－∠BAC＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°－∠ABC＝110°．故选B．]
5．(2024·东明县二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝________°．
70 [∵∠CDE＋∠ADC＝180°，∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠AOC＝×140°＝70°，
∴∠CDE＝70°．]
课时分层评价卷(二十二) 圆的有关概念及性质
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共64分)
1．(2024·云南)如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若＝，∠AOC＝36°，则∠D＝( )
A．9° B．18°
C．36° D．45°
B [连接OB，
∵＝，
∴∠BOC＝∠AOC＝36°，
∴∠D＝∠BOC＝18°．
故选B．]
2．(2024·四川宜宾)如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
A [∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CDB＝60°，
∴∠A＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝30°．
故选A．]
3．(2024·济宁二模)如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为( )
A． B． C． D．1
A [连接AQ，
∵∠P＝45°，
∴∠QAB＝∠P＝45°，
∵∠AQB＝90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形．
∵AB＝2，
∴2BQ2＝4，
∴BQ＝．
故选A．]
4．(2024·四川凉山)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为( )
A．50 cm B．35 cm
C．25 cm D．20 cm
C [∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴直线CD经过圆心，设圆心为O，连接OB．
在Rt△OBD中，BD＝AB＝20 cm，
根据勾股定理得：
OD2＋BD2＝OB2，即
(OB－10)2＋202＝OB2，
解得OB＝25，
故图形工件的半径为25 cm．
故选C．]
5．(2024·兖州区模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝125°，连接AC，则∠BAC的度数为( )
A．35° B．45°
C．55° D．65°
A [∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝125°，
∴∠ABC＝180°－125°＝55°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°－55°＝35°．
故选A．]
6．(2024·鄄城县三模)如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是( )
A．40° B．25°
C．40° D．30°
B [∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝90°－∠BAC＝50°，
∵点D是的中点，
∴＝，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25°，
∴∠ACD＝∠ABD＝25°．
故选B．]
7．(2024·罗庄区二模)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心及A，B，E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD，若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，则这种铁球的直径为( )
A．10 cm B．15 cm C．20 cm D．24 cm
C [如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4 cm，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16 cm，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8(cm)，
∴EF＝BD＝4 cm，
设⊙O的半径为r cm，则OA＝r cm，OF＝OE－EF＝(r－4)cm，
在Rt△AOF中，OA2＝AF2＋OF2，
∴r2＝82＋(r－4)2，
解得r＝10，
∴这种铁球的直径为20 cm．故选C．]
8．(2024·江苏苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝________．
62° [连接OC，
∵OB＝OC，∠OBC＝28°，
∴∠OCB＝∠OBC＝28°，
∴∠BOC＝180°－∠OCB－∠OBC＝124°，
∴∠A＝∠BOC＝62°．]
9．(2024·汶上县二模)如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为________．
[由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，
∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE·sin ∠EOH＝1×＝，
由垂径定理可知EF＝2EH＝．]
10．(10分)(2024·安徽)如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长．
[解] (1)证明：∵FA＝FE，
∴∠FAE＝∠AEF，
又∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，
∴∠FAE＝∠BCE，
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠BCE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝90°，
故∠CDE＝90°，
即CD⊥AB．
(2)由(1)知，∠CEB＝∠BCE，
∴BE＝BC，
又FA＝FE，FM⊥AB，
∴MA＝ME＝MO＋OE＝2，AE＝4，
∴圆的半径OA＝OB＝AE－OE＝3，
∴BE＝BC＝OB－OE＝2．
在△ABC中，
AB＝2OA＝6，BC＝2，
∴AC＝＝＝4，
即AC的长为4．
11．(2024·阳谷县一模)如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D，G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2．若∠C＝45°，则DG的长为( )
A．2 B． C． D．
D [如图，连接AO，BO，AB，
∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
∵⊙O的半径为2，
∴AO＝BO＝2，
∴AB＝2，
∵点D，G分别是AC，BC的中点，
∴DG＝AB＝．
故选D．]
12．(2024·高唐县三模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，连接圆心O与各顶点，∠AOD＝120°，连接AC，BD．若AC⊥BD，则∠CAO的度数为( )
A．10° B．20° C．5° D．15°
D [∵OA＝OD，∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝×(180°－120°)＝30°，
∵BC∥AD，
∴∠CBD＝∠ADB，
由圆周角定理得：∠CBD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ADB，
∵AC⊥BD，
∴∠CAD＝∠ADB＝45°，
∴∠CAO＝∠CAD－∠OAD＝45°－30°＝15°．
故选D．]
13．(2024·湖北武汉)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB＋AD＝2，则⊙O的半径是( )
A． B．
C． D．
A [延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE，BD，连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＋∠ABC＝∠ABC＋∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE，
∵∠BAC＝∠CAD＝45°，
∴∠CBD＝∠CDB＝45°，∠DAB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠DCB＝90°，
∴△DCB是等腰直角三角形，
∴DC＝BC．
∵BE＝AD，
∴△ADC≌△EBC(SAS)，
∴∠ACD＝∠ECB，AC＝CE，
∵AB＋AD＝2，
∴AB＋BE＝AE＝2，
又∵∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝cos 45°·AE＝．
∵∠ABC＝60°，
∴∠AFC＝60°，
∵∠FAC＝90°，
∴CF＝＝，
∴OF＝OC＝CF＝．
故选A．]
14．(2024·任城区一模)如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点(不与A，C重合)，下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA＋DC＝DB，其中一定正确的结论有________．(填写结论序号)
①③④ [∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝∠BDC，所以①正确；
只有当点D为的中点时，DA＝DC，所以②不一定正确；
当BD为直径时，DB最长，
此时∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝60°，
∴BD＝2CD，所以③正确；
在DB上截取DE＝DA，连接AE，如图，
∵∠ADB＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AE＝AD，∠AED＝60°，
∴∠AEB＝120°，
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝120°，
∴∠AEB＝∠ADC，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，
∴BE＝CD，
∴BD＝DE＋BE＝AD＋CD，所以④正确．
故正确的结论为①③④．]
15．(12分)(2024·济宁二模)如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过点E作弦CD⊥AB，连接AC，AD．
(1)求证：△ACD是等边三角形；
(2)若点F是的中点，过点C作CG⊥AF，垂足为点G．若⊙O的半径为2，求CG的长．
[解] (1)证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB，
∴CE＝DE，＝，
∴∠BAC＝∠BAD，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，
∵OC＝OB，点E是OB的中点，
∴点C在线段OB的垂直平分线上，OE＝BE＝OB＝OC，
∴Rt△COE中，cos ∠COE＝＝，
即∠COE＝60°，
∵＝，
∴∠BAD＝∠BAC＝∠COE＝30°，
即∠CAD＝∠BAC＋∠BAD＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
(2)由(1)得，△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵F是的中点，
∴＝，
∴∠GAC＝∠ADC＝30°＝∠BAC，
∵CD⊥AB，CG⊥AF，
∴∠AEC＝∠AGC＝90°，
在△AEC和△AGC中，
∴△AEC≌△AGC(AAS)，
∴CG＝CE，
∵⊙O的半径为2，且点E是OB中点，
∴OC＝OB＝2，OE＝1，
∴Rt△COE中，CE＝＝＝，
∴CG＝CE＝．
16．[分类讨论](2024·江西)如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为________．
2－或2＋或2 [∵AB为⊙O的直径，DE为弦，
∴DE≤AB，
∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2．
当DE＝2时，即DE为直径，
∵DE⊥AB，
∴将沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，
故FB＝2；
当DE＝1时，且点C在线段OB之间，
如图1，连接OD，
此时OD＝AB＝1，
∵DE⊥AB，
∴DC＝DE＝，
∴OC＝＝，
∴BC＝OB－OC＝，
∴BF＝2BC＝2－；
当DE＝1时，且点C在线段OA之间，连接OD，如图2，
同理可得
BC＝，
∴BF＝2BC＝2＋．
综上，可得线段FB的长为2－或2＋或2．](共97张PPT)
第六章 圆
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第一节 圆的有关概念及性质 命题点1 垂径定理及其推论 菏泽T22(1) 中考考查的重点仍是圆周角定理及其推论．考查形式主要以选择题和填空题为主，有时出现在解答题的某一小题中．
命题点2 圆周角定理及其推论 山东T14 菏泽T14
命题点3 圆内接四边形及其相关计算 济宁T9
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第二节 与圆有关的位置关系 命题点1 点、直线与圆的位置关系 切线的判定和性质是考查的重点，难点．多数以解答题的形式出现，常与三角形全等、相似结合．
命题点2 切线的性质与判定 山东T21(1)
济宁T19(2) 聊城T24(1)
济宁T21
临沂T21(1)
命题点3 三角形的内切圆及切线长定理 聊城T6
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第三节 与圆有关的计算 命题点1 弧长的有关计算 临沂T21(2) 扇形面积的有关计算，多边形和圆的有关计算仍是考查的重点．扇形的面积多数与阴影部分的面积结合，应重点复习．
命题点2 扇形面积的有关计算 山东T21(2) 菏泽T12
命题点3 圆锥的有关计算 聊城T9
命题点4 正多边形和圆的有关计算 济宁T6 临沂T7
第一节 圆的有关概念及性质
考点一 垂径定理及推论
1．圆的有关概念
(1)弦：连接圆上任意两点的_____叫做弦．
(2)直径：_________的弦叫做直径．在同一个圆中，直径是半径的2倍，是圆中最长的弦．
链接教材 基础过关
线段
经过圆心
(3)弧：圆上_____________部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．
(4)半圆：圆的任意一条直径的________________________________都叫做半圆．
(5)等圆：________的两个圆叫做等圆．半径相等的两个圆是等圆．
(6)等弧：在___________中，能够互相重合的弧叫做等弧．等弧只能存在于同圆或等圆中．
(7)劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做_____，大于半圆的弧叫做_____，优弧用三个点表示．
任意两点间的
两个端点把圆分成两条弧，每一条弧
能够重合
同圆或等圆
劣弧
优弧
2．垂径定理及推论
(1)垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)垂径定理的推论
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
考点二 圆心角、圆周角定理及推论
1．圆心角、弧、弦之间的关系
定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的___相等，所对的___也相等．
定理2：在同圆或等圆中，如果两个_______、两条___、两条___中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
弧
弦
圆心角
弧
弦
注意：①在同圆或等圆中，如果弦不相等，那么弦心距也就不相等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距较大；反之，弦心距较小时，则弦较大．②在同圆或等圆中，不能认为大弧所对的弦也较大．只有当弧是劣弧时，这一命题才成立；当弧为优弧时，弧越大，其所对的弦越短．
2．圆周角定理及推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_____．
推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．
推论2：___________所对的圆周角相等．
注意：在同圆或等圆中，要证明两个圆周角相等，常借助于圆周角所对的弧是同弧或等弧进行证明．
一半
同弧或等弧
直角
弦
推论3：半圆(或直径)所对的圆周角是____，90°的圆周角所对的__是直径．
考点三 三角形的外接圆及圆内接四边形
1．三角形的外接圆
定义：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
2．圆内接四边形：如果一个四边形的所有__________________，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做______________．
定理：圆内接四边形的对角____，圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．
顶点都在同一个圆上
四边形的外接圆
互补
1．(青岛版九上P89练习T1改编)如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )
A．25° B．27.5°
C．30° D．35°
√
D [∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，
∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°，
∴∠AOC＝2∠B＝50°，
∴∠C＝180°－95°－50°＝35°．
故选D．]
2．(人教版九上P88练习T5改编)四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，则∠C＝( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
D [∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°．
故选D．]
√
3．如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于( )
A．32° B．28°
C．16° D．14°
√
C [∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝106°，
∴∠BDC＝106°－90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选C．]
4．(人教版九上P83练习T1改编)如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，AB＝16，则OC的长为______．
6
5．(人教九上P90综合运用T13改编)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝_______．
60°
10
考点突破 对点演练
命题点1 垂径定理及其推论
√
垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
√
2．(2024·黑龙江牡丹江)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为________．
【典例2】 (2024·沂南县一模)如图，AD是⊙O的直径，弦BC与AD交于点E，连接AB，AC，CD．若AD平分∠BAC，∠B＝65°，则∠BAC的度数是( )
A．45° B．55°
C．40° D．50°
命题点2 圆周角定理及其推论
√
D [∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠B＝65°，
∴∠D＝65°，
∴∠DAC＝90°－∠D＝25°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝50°．
故选D．]
在解答与圆的直径有关的问题时，常常利用直径所对的圆周角是直角这一性质．有时还需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，以便转化为直角三角形的问题去解答．
[对点演练]
3．(2024·山东)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝_____．
40°
【教师备选资源】
1．(2023·菏泽14题)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为________．
【典例3】 (2024·济宁)如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41′，∠F＝43°19′，则∠A的度数为( )
A．42° B．41°20′ C．41° D．40°20′
命题点3 圆内接四边形及其相关计算
√
C [∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠BCD＝180°，
∵∠CDF是△ADE的外角，
∴∠CDF＝∠A＋∠E，
∵∠BCD是△CDF的外角，
∴∠BCD＝∠F＋∠CDF，
∴∠BCD＝∠F＋∠A＋∠E，
∴∠A＋∠F＋∠A＋∠E＝180°，
∴2∠A＋∠F＋∠E＝180°，
∵∠E＝54°41′，∠F＝43°19′，
∴2∠A＋54°41′＋43°19′＝180°，
∴∠A＝41°．故选C．]
[对点演练]
4．(2024·黑龙江牡丹江)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为( )
A．100° B．110°
C．120° D．130°
√
B [如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BEC＝20°，
∴∠CAB＝∠BEC＝20°，
∴∠ABC＝90°－∠BAC＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°－∠ABC＝110°．故选B．]
5．(2024·东明县二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝____°．
70
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共64分)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层评价卷(二十二) 圆的有关概念及性质
16
√
题号
1
3
5
2
4
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8
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11
12
13
14
15
16
2．(2024·四川宜宾)如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
题号
1
3
5
2
4
6
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11
12
13
14
15
16
√
A [∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CDB＝60°，
∴∠A＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝30°．
故选A．]
题号
1
3
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题号
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题号
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题号
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题号
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15
16
5．(2024·兖州区模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝125°，连接AC，则∠BAC的度数为( )
A．35° B．45°
C．55° D．65°
题号
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16
√
A [∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝125°，
∴∠ABC＝180°－125°＝55°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°－55°＝35°．
故选A．]
题号
1
3
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题号
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题号
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15
16
7．(2024·罗庄区二模)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心及A，B，E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD，若CD＝16 cm，AC＝BD＝
4 cm，则这种铁球的直径为( )
A．10 cm B．15 cm C．20 cm D．24 cm
题号
1
3
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4
6
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9
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12
13
14
15
16
√
C [如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4 cm，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16 cm，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，
题号
1
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15
16
8．(2024·江苏苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝______．
题号
1
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62°
题号
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10．(10分)(2024·安徽)如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，
求AC的长．
题号
1
3
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∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝90°，
故∠CDE＝90°，
即CD⊥AB．
题号
1
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12．(2024·高唐县三模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，连接圆心O与各顶点，∠AOD＝120°，连接AC，BD．若AC⊥BD，则∠CAO的度数为( )
A．10° B．20° C．5° D．15°
题号
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16
√
A [延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE，BD，连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＋∠ABC＝∠ABC＋∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE，
∵∠BAC＝∠CAD＝45°，
∴∠CBD＝∠CDB＝45°，∠DAB＝90°，
题号
1
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∴BD是⊙O的直径，
∴∠DCB＝90°，
∴△DCB是等腰直角三角形，
∴DC＝BC．
∵BE＝AD，
∴△ADC≌△EBC(SAS)，
∴∠ACD＝∠ECB，AC＝CE，
∵AB＋AD＝2，
∴AB＋BE＝AE＝2，
题号
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14．(2024·任城区一模)如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点(不与A，C重合)，下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA＋DC＝DB，其中一定正确的结论有_________．(填写结论序号)
题号
1
3
5
2
4
6
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15
16
①③④
题号
1
3
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2
4
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11
12
13
14
15
16
在DB上截取DE＝DA，连接AE，如图，
∵∠ADB＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AE＝AD，∠AED＝60°，
∴∠AEB＝120°，
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝120°，
∴∠AEB＝∠ADC，
题号
1
3
5
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