(共83张PPT)
第二节 一次函数
第三章 函数
考点一 一次函数的定义
1．一次函数的定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．
2．正比例函数的定义：对于一次函数，当_____时，一次函数就变为______(k≠0)，这时，称y是x的正比例函数．
链接教材 基础过关
b＝0
y＝kx
正比例函数 k的符号 k__0 k__0
图象的大体位置
经过的象限 第_______象限 第_______象限
性质 y随x的增大而_____ y随x的增大而_____
考点二 正比例函数和一次函数的图象与性质
＞
＜
一、三
二、四
减小
增大
一次函数 k，b的符号 k__0
b__0 k__0
b__0 k__0
b__0 k__0
b__0
图象的大体
位置
经过的象限 第__________象限 第__________象限 第__________象限 第__________象限
性质 y随x的增大而____ y随x的增大而____ y随x的增大而____ y随x的增大而____
＜
＞
＞
＞
＜
一、三、四
＞
＜
＜
一、二、三
一、二、四
二、三、四
减小
增大
增大
减小
考点三 确定一次函数的表达式
1．常用方法：待定系数法，其一般步骤为
(1)设：设函数表达式为__________(k≠0)；
(2)代：将_____________代入函数表达式，解方程或方程组；
(3)解：求出_____的值，得到函数表达式．
2．常见类型：
(1)已知两点确定表达式；
(2)已知两对函数对应值确定表达式；
(3)平移转化型：如已知函数是由y＝2x平移所得到的，且经过点(0，1)，则可设要求函数的表达式为y＝2x＋b，再把点(0，1)代入即可．
y＝kx＋b
已知点的坐标
k与b
3．一次函数的平移
(1)一次函数图象平移前后k值不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同．
(2)若向上平移h个单位长度，则b值增大h；若向下平移h个单位长度，则b值减小h．
kx＋b＝0
y＝k1x＋b1
y＝k2x＋b2
上方
下方
考点五 一次函数应用的常见题型
1．根据实际问题中给出的数量关系直接列出相应的函数表达式，解决实际问题．
2．利用一次函数对实际问题中的方案进行比较．
3．结合实际问题的函数图象解决实际问题．
√
C [自变量次数为2，不是一次函数，故A不符合题意；
分母中含有未知数，不是一次函数，故B不符合题意；
自变量次数为1，是一次函数，故C符合题意；
分母中含有未知数，不是一次函数，故D不符合题意．故选C．]
2．一次函数y＝kx－1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [∵一次函数y＝kx－1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，b＝－1＜0，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选A．]
√
3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃5 cm，则剩下长度y(cm)与燃烧时间t(h)之间的函数关系可用下列哪个图象表示( )
A B
C D
√
B [由题意，得y＝20－5x．
∵0≤y≤20，
∴0≤20－5x≤20，
∴0≤x≤4，
∴y＝20－5x的图象是一条线段．
∵k＝－5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴y＝20－5x是减函数，且图象为一条线段．
故选B．]
4．(人教版八下P95练习T1改编)如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是________．
x＝2 [当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值．]
x＝2
5．(青岛版八下P152例1改编)如图，已知函数y＝ax＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P(4，－6)，则不等式ax＋b≤kx－3的解集是________．
x≤4 [∵函数y＝ax＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P(4，－6)，
∴不等式ax＋b≤kx－3的解集是x≤4．]
x≤4
考点突破 对点演练
命题点1 一次函数的图象与性质
√
解决一次函数的图象与性质有关的问题，关键是明确一次函数y＝kx＋b中系数的作用：k的正负决定图象的倾斜方向及函数的增减性，|k|决定图象的倾斜程度．b决定图象与y轴的交点的位置(或图象的上下位置)．
[对点演练]
1．(2024·四川德阳)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是( )
√
2．(2024·山西)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1≥y2
√
B [因为正比例函数的解析式为y＝3x，
所以y随x的增大而增大．
又因为x1＜x2，
所以y1＜y2．
故选B．]
【典例2】 (2023·济宁)一个函数过点(1，3)，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式_______________________．
命题点2 一次函数表达式的确定
y＝x＋2(答案不唯一)
y＝x＋2(答案不唯一) [设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，3)，
∴3＝k＋b，
又∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k＝1，b＝2符合题意，
∴符合上述条件的函数解析式可以为y＝x＋2．
故答案为y＝x＋2(答案不唯一)．]
√
A [∵点A(2，m)和点B(n，－6)关于原点对称，
∴m＝6，
∴点A的坐标为(2，6)．
设正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，
∵点A(2，6)在正比例函数y＝kx的图象上，
∴6＝2k，
解得k＝3，
∴正比例函数的表达式为y＝3x．
故选A．]
4．已知直线y＝kx＋b与直线y＝2x＋6平行，且经过点(0，3)，那么该直线的表达式是___________．
y＝2x＋3 [∵直线y＝kx＋b与直线y＝2x＋6平行，
∴k＝2，b≠6．
∵直线y＝2x＋b过点(0，3)，
∴b＝3．
故直线的表达式为y＝2x＋3．]
y＝2x＋3
【典例3】 如图，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点B(m，0)(m＞1)，与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx＋b＜2x的解集为( )
命题点3 一次函数与方程(组)、不等式之间的关系
A．x＜2 B．x＜1
C．x＞1 D．x＞2
√
C [在y＝2x中，令y＝2时，则2x＝2，
∴x＝1，
∴A(1，2)，
由题图可得，不等式kx＋b＜2x的解集为x＞1．
故选C．]
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
一次函数与一元一次不等式的关系
[对点演练]
5．(2024·广东)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是( )
A B C D
√
B [A．不等式kx＋b＜0的解集是x＞－2，故本选项不符合题意；
B．不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，故本选项符合题意；
C．不等式kx＋b＜0的解集是x＜－2，故本选项不符合题意；
D．不等式kx＋b＜0的解集是x＞2，故本选项不符合题意．故选B．]
6．(2024·江苏扬州)如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为________．
x＝－2 [∵OA＝2，
∴一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴相交于点A(－2，0)，
∴关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝－2．]
x＝－2
【典例4】 (2023·聊城)甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y(千米)与两人行驶时刻t(×时×分)的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为( )
命题点4 利用一次函数解决实际问题
A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
√
解此类问题的关键是结合题中信息读懂函数图象上关键点的实际意义，找出各个量之间的关系，获取相关信息，通过分析、计算得出所求问题的答案，常常用到待定系数法．
[对点演练]
7．[图表信息题](2024·广东广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
脚长xcm … 23 24 25 26 27 28 …
身高ycm … 156 163 170 177 184 191 …
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8 cm，请根据(2)中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
[解] (1)描点如图所示．
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共85分)
题号
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课时分层评价卷(十) 一次函数
1．(2024·新疆)若一次函数y＝kx＋3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
D [由题意，得k＞0，观察选项，只有选项D符合题意．故选D．]
√
2．下列各点中，在函数y＝－2x的图象上的点是( )
A．(1，－2) B．(1，1)
C．(－2，1) D．(1，4)
题号
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A [当x＝1时，y＝－2×1＝－2，
∴点(1，－2)在函数y＝－2x的图象上；
当x＝－2时，y＝－2×(－2)＝4，
∴点(－2，1)不在函数y＝－2x的图象上．
故选A．]
√
3．(2024·兰州)一次函数y＝2x－3的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
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B [∵一次函数y＝2x－3的k＝2＞0，b＝－3＜0，
∴一次函数y＝2x－3的图象经过第一、三、四象限，
即一次函数y＝2x－3的图象不经过第二象限．
故选B．]
√
题号
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7．[跨学科](2024·山西)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为( )
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尾长x/cm 6 8 10
体长y/cm 45.5 60.5 75.5
A．y＝7.5x＋0.5 B．y＝7.5x－0.5
C．y＝15x D．y＝15x＋45.5
√
题号
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8．[开放性问题](2024·甘肃)已知一次函数y＝－2x＋4，当自变量x＞2时，函数y的值可以是_________________(写出一个合理的值即可)．
题号
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－2(答案不唯一) [当x＝3时，y＝－2×3＋4＝－2．]
－2(答案不唯一)
9．(2024·上海)若正比例函数y＝kx的图象经过点(7，－13)，则y的值随x的增大而________．(选填“增大”或“减小”)
题号
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减小
10．(2024·上海)某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时销售量为1 000万元，当投入90万元时销售量为5 000万元，则投入80万元时，销售量为________万元．
题号
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4 500
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11．(2024·滨州)如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A(－1，3)，O(0，0)，B(3，－1)，C(5，4)，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA＋PO＋PB＋PC最小，则P点坐标为________．
题号
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∵两点之间线段最短，
∴PO＋PC的最小值就是线段OC的长，PA＋PB的最小值就是线段AB的长，
∴到四个顶点的距离之和PA＋PO＋PB＋PC最小的点就是点P，
设OC所在直线的解析式为y＝kx，AB所在直线的解析式为y＝ax＋b，
题号
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12．(9分)[情境题](2024·内蒙古包头)如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：
题号
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x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
(1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm，求此时碗的数量最多为多少个？
题号
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(2)设碗的数量有x个，
则2.4x＋3.6≤28.8，
解得x≤10.5，
∴x的最大整数解为10．
∴碗的数量最多为10个．
13．(10分)(2024·北京)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝－kx＋3的图象交于点(2，1)．
(1)求k，b的值；
(2)当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝kx＋b的值，也大于函数y＝－kx＋3的值，直接写出m的取值范围．
题号
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[解] (1)∵直线y＝－kx＋3过点(2，1)，
∴－2k＋3＝1，
解得k＝1，
将点(2，1)代入y＝x＋b得，2＋b＝1，
解得b＝－1．
题号
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(2)∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝x－1的值，也大于函数y＝－x＋3的值，
∴m≥1．
∴m的取值范围是m≥1．
题号
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14．(2024·四川南充)当2≤x≤5时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，则实数m的值为( )
A．－3或0 B．0或1
C．－5或－3 D．－5或1
题号
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A [当m＋1＞0，即m＞－1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，
∴5(m＋1)＋m2＋1＝6，
解得m1＝0，m2＝－5(舍去)；
√
当m＋1＜0，即m＜－1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，
∴2(m＋1)＋m2＋1＝6，
解得m1＝－3，m2＝1(舍去)．
综上，当2≤x≤5时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，则实数m的值为0或－3．
故选A．]
题号
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15．(2024·四川凉山州)如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A(3，6)，B(0，3)两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为____．
题号
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16．(12分)领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
题号
1
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(1)a＝________米/秒，t＝________秒；
(2)求线段MN所在直线的函数解析式；
(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？
题号
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题号
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12
13
14
15
16
17
18
(3)由题意A(0，20)，B(6，48)，
易得线段OB所在直线的函数解析式为y＝8x，
线段AN所在直线的函数解析式为y＝4x＋20，
线段BM所在直线的函数解析式为y＝48．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
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15
16
17
18
当0≤t≤6时，由题意得|4x＋20－8x|＝12，
解得x＝2或x＝8(舍去)；
当6＜t≤13时，由题意得|4x＋20－48|＝12，
解得x＝10或x＝4(舍去)；
当13＜t≤19时，由题意得|8x－56－4x－20|＝12，
解得x＝16或x＝22(舍去)．
综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．
17．(12分)[情境题](2024·辽宁)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
题号
1
3
5
2
4
6
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13
14
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18
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
题号
1
3
5
2
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6
8
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题号
1
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18
(2)由题意，销售额＝x(－x＋100)＝－x2＋100x，
又销售额是2 600元，
∴2 600＝－x2＋100x．
∴x2－100x＋2 600＝0．
∴Δ＝(－100)2－4×2 600
＝10 000－10 400
＝－400＜0．
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2 600元．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
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15
16
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18
A．(180，135) B．(180，133)
C．(－180，135) D．(－180，133)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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13
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√
题号
1
3
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2
4
6
8
7
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13
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18
题号
1
3
5
2
4
6
8
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题号
1
3
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17
18第二节 一次函数
考点一 一次函数的定义
1．一次函数的定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．
2．正比例函数的定义：对于一次函数，当b＝0时，一次函数就变为y＝kx(k≠0)，这时，称y是x的正比例函数．
考点二 正比例函数和一次函数的图象与性质
正比例函数 k的符号 k＞0 k<0
图象的大体位置
经过的象限 第一、三象限 第二、四象限
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
一次函数 k，b的符号 k＞0 b＞0 k＞0 b<0 k<0 b＞0 k<0 b<0
图象的大体位置
经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 y随x的增大而减小
考点三 确定一次函数的表达式
1．常用方法：待定系数法，其一般步骤为
(1)设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；
(2)代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；
(3)解：求出k与b的值，得到函数表达式．
2．常见类型：
(1)已知两点确定表达式；
(2)已知两对函数对应值确定表达式；
(3)平移转化型：如已知函数是由y＝2x平移所得到的，且经过点(0，1)，则可设要求函数的表达式为y＝2x＋b，再把点(0，1)代入即可．
3．一次函数的平移
(1)一次函数图象平移前后k值不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同．
(2)若向上平移h个单位长度，则b值增大h；若向下平移h个单位长度，则b值减小h．
考点四 一次函数与方程(组)、不等式的关系
1．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解．
2．一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象交点的横、纵坐标是方程组的解．
3．一次函数y＝kx＋b的值大于0，反映在图象上是指图象在x轴上方的部分；一次函数y＝kx＋b的值小于0，反映在图象上是指图象在x轴下方的部分．
考点五 一次函数应用的常见题型
1．根据实际问题中给出的数量关系直接列出相应的函数表达式，解决实际问题．
2．利用一次函数对实际问题中的方案进行比较．
3．结合实际问题的函数图象解决实际问题．
1．下列函数中，是一次函数的是( )
A．y＝x2－2x－1 B．y＝
C．y＝3x－5 D．y＝
C [自变量次数为2，不是一次函数，故A不符合题意；
分母中含有未知数，不是一次函数，故B不符合题意；
自变量次数为1，是一次函数，故C符合题意；
分母中含有未知数，不是一次函数，故D不符合题意．故选C．]
2．一次函数y＝kx－1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [∵一次函数y＝kx－1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，b＝－1＜0，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选A．]
3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃5 cm，则剩下长度y(cm)与燃烧时间t(h)之间的函数关系可用下列哪个图象表示( )
A B
C D
B [由题意，得y＝20－5x．
∵0≤y≤20，
∴0≤20－5x≤20，
∴0≤x≤4，
∴y＝20－5x的图象是一条线段．
∵k＝－5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴y＝20－5x是减函数，且图象为一条线段．
故选B．]
4．(人教版八下P95练习T1改编)如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是________．
x＝2 [当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值．]
5．(青岛版八下P152例1改编)如图，已知函数y＝ax＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P(4，－6)，则不等式ax＋b≤kx－3的解集是________．
x≤4 [∵函数y＝ax＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P(4，－6)，
∴不等式ax＋b≤kx－3的解集是x≤4．]
命题点1 一次函数的图象与性质
【典例1】 (2023·临沂)对于某个一次函数y＝kx＋b(k≠0)，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是( )
A．k＞0 B．kb＜0
C．k＋b＞0 D．k＝－b
C [∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不经过第二象限，
∴b≤0，
又∵函数图象经过点(2，0)，
∴图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，k＝－b，
∴kb＜0，
∴k＋b＝b＜0．故选C．]
解决一次函数的图象与性质有关的问题，关键是明确一次函数y＝kx＋b中系数的作用：k的正负决定图象的倾斜方向及函数的增减性，|k|决定图象的倾斜程度．b决定图象与y轴的交点的位置(或图象的上下位置)．
[对点演练]
1．(2024·四川德阳)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是( )
A． B．－
C．－1 D．－
A [由图象知，函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可能是．故选A．]
2．(2024·山西)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1≥y2
B [因为正比例函数的解析式为y＝3x，
所以y随x的增大而增大．
又因为x1＜x2，
所以y1＜y2．
故选B．]
命题点2 一次函数表达式的确定
【典例2】 (2023·济宁)一个函数过点(1，3)，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式________．
y＝x＋2(答案不唯一) [设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，3)，
∴3＝k＋b，
又∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k＝1，b＝2符合题意，
∴符合上述条件的函数解析式可以为y＝x＋2．
故答案为y＝x＋2(答案不唯一)．]
[对点演练]
3．(2024·陕西)一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，－6)．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为( )
A．y＝3x B．y＝－3x
C．y＝x D．y＝－x
A [∵点A(2，m)和点B(n，－6)关于原点对称，
∴m＝6，
∴点A的坐标为(2，6)．
设正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，
∵点A(2，6)在正比例函数y＝kx的图象上，
∴6＝2k，
解得k＝3，
∴正比例函数的表达式为y＝3x．
故选A．]
4．已知直线y＝kx＋b与直线y＝2x＋6平行，且经过点(0，3)，那么该直线的表达式是________．
y＝2x＋3 [∵直线y＝kx＋b与直线y＝2x＋6平行，
∴k＝2，b≠6．
∵直线y＝2x＋b过点(0，3)，
∴b＝3．
故直线的表达式为y＝2x＋3．]
命题点3 一次函数与方程(组)、不等式之间的关系
【典例3】 如图，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点B(m，0)(m＞1)，与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx＋b＜2x的解集为( )
A．x＜2 B．x＜1
C．x＞1 D．x＞2
C [在y＝2x中，令y＝2时，则2x＝2，
∴x＝1，
∴A(1，2)，
由题图可得，不等式kx＋b＜2x的解集为x＞1．
故选C．]
一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
[对点演练]
5．(2024·广东)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是( )
A B
C D
B [A．不等式kx＋b＜0的解集是x＞－2，故本选项不符合题意；
B．不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，故本选项符合题意；
C．不等式kx＋b＜0的解集是x＜－2，故本选项不符合题意；
D．不等式kx＋b＜0的解集是x＞2，故本选项不符合题意．故选B．]
6．(2024·江苏扬州)如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为________．
x＝－2 [∵OA＝2，
∴一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴相交于点A(－2，0)，
∴关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝－2．]
命题点4 利用一次函数解决实际问题
【典例4】 (2023·聊城)甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y(千米)与两人行驶时刻t(×时×分)的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为( )
A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
A [令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，
设小亮对应的函数图象的解析式为y1＝k1t(k1≠0)，将(70，a)的坐标代入解析式得a＝70k1，解得k1＝，∴小亮对应的函数图象的解析式为y1＝t(0≤t≤70)，设小莹对应的函数图象的解析式为y2＝k2t＋b(k2≠0)，将(10，a)，(40，0)的坐标代入解析式得解得
∴小莹对应的函数图象的解析式为y2＝－t＋a，令y1＝y2，得t＝－t＋a，
解得t＝28，∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28，故选A．]
解此类问题的关键是结合题中信息读懂函数图象上关键点的实际意义，找出各个量之间的关系，获取相关信息，通过分析、计算得出所求问题的答案，常常用到待定系数法．
[对点演练]
7．[图表信息题](2024·广东广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
脚长xcm … 23 24 25 26 27 28 …
身高ycm … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x，y)；
(2)根据表中数据，从y＝ax＋b(a≠0)和y＝(k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围)；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8 cm，请根据(2)中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
[解] (1)描点如图所示．
(2)∵y＝(k≠0)转化为k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠…，
∴y与x的函数不可能是y＝，
故选一次函数y＝ax＋b(a≠0)，将点(23，156)，(24，163)代入解析式，得
解得
∴一次函数的解析式为y＝7x－5．
(3)当x＝25.8时，y＝7×25.8－5＝175.6(cm)．
答：脚长约为25.8 cm时，估计这个人的身高为175.6 cm．
课时分层评价卷(十) 一次函数
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共85分)
1．(2024·新疆)若一次函数y＝kx＋3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
D [由题意，得k＞0，观察选项，只有选项D符合题意．故选D．]
2．下列各点中，在函数y＝－2x的图象上的点是( )
A．(1，－2) B．(1，1)
C．(－2，1) D．(1，4)
A [当x＝1时，y＝－2×1＝－2，
∴点(1，－2)在函数y＝－2x的图象上；
当x＝－2时，y＝－2×(－2)＝4，
∴点(－2，1)不在函数y＝－2x的图象上．
故选A．]
3．(2024·兰州)一次函数y＝2x－3的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [∵一次函数y＝2x－3的k＝2＞0，b＝－3＜0，
∴一次函数y＝2x－3的图象经过第一、三、四象限，
即一次函数y＝2x－3的图象不经过第二象限．
故选B．]
4．(2024·青海)如图，一次函数y＝2x－3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是( )
A． B．
C．(0，3) D．(0，－3)
A [令y＝0，则0＝2x－3，
解得x＝，
即A点为，
则点A关于y轴的对称点是．
故选A．]
5．(2024·长沙)对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是( )
A．它的图象与y轴交于点(0，－1)
B．y随x的增大而减小
C．当x>时，y＜0
D．它的图象经过第一、二、三象限
A [A．当x＝0时，y＝－1，则它的图象与y轴交于点(0，－1)，故本选项符合题意；
B．y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
C．当x>时，y＞0，故本选项不符合题意；
D．它的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意．
故选A．]
6．(2024·内蒙古呼伦贝尔、兴安盟)点P(x，y)在直线y＝－x＋4上，坐标(x，y)是二元一次方程5x－6y＝33的解，则点P的位置在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [联立方程
解得
∴P的坐标为，
∴点P在第四象限．
故选D．]
7．[跨学科](2024·山西)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为( )
尾长x/cm 6 8 10
体长y/cm 45.5 60.5 75.5
A．y＝7.5x＋0.5 B．y＝7.5x－0.5
C．y＝15x D．y＝15x＋45.5
A [蛇的体长y(cm)是其尾长x(cm)的一次函数，
设y＝kx＋b(k≠0)，
把x＝6时，y＝45.5；x＝8时，y＝60.5代入得
解得
∴y与x之间的关系式为y＝7.5x＋0.5．
故选A．]
8．[开放性问题](2024·甘肃)已知一次函数y＝－2x＋4，当自变量x＞2时，函数y的值可以是________(写出一个合理的值即可)．
－2(答案不唯一) [当x＝3时，y＝－2×3＋4＝－2．]
9．(2024·上海)若正比例函数y＝kx的图象经过点(7，－13)，则y的值随x的增大而________．(选填“增大”或“减小”)
减小 [∵正比例函数y＝kx的图象经过点(7，－13)，
∴－13＝7k，
解得k＝－．
∵k＝－<0，
∴y的值随x的增大而减小．]
10．(2024·上海)某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时销售量为1 000万元，当投入90万元时销售量为5 000万元，则投入80万元时，销售量为________万元．
4 500 [设y＝kx＋b，
把(10，1 000)，(90，5 000)代入，得
解得
∴y＝50x＋500，
当x＝80时，y＝50×80＋500＝4 500，
即投入80万元时，销售量为4 500万元．]
11．(2024·滨州)如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A(－1，3)，O(0，0)，B(3，－1)，C(5，4)，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA＋PO＋PB＋PC最小，则P点坐标为________．
[连接OC、AB交于点P，如图所示，
∵两点之间线段最短，
∴PO＋PC的最小值就是线段OC的长，PA＋PB的最小值就是线段AB的长，
∴到四个顶点的距离之和PA＋PO＋PB＋PC最小的点就是点P，
设OC所在直线的解析式为y＝kx，AB所在直线的解析式为y＝ax＋b，
∵点C(5，4)在直线OC上，点A(－1，3)，B(3，－1)在直线AB上，
∴4＝5k，解得k＝
∴直线OC的解析式为y＝x，直线AB的解析式为y＝－x＋2，
联立解得
∴点P的坐标为．]
12．(9分)[情境题](2024·内蒙古包头)如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
(1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm，求此时碗的数量最多为多少个？
[解] (1)由表中的数据，x的增加量不变，
∴y是x的一次函数，
设y＝kx＋b，
由题意，得解得
∴y与x之间的函数表达式为y＝2.4x＋3.6．
(2)设碗的数量有x个，
则2.4x＋3.6≤28.8，
解得x≤10.5，
∴x的最大整数解为10．
∴碗的数量最多为10个．
13．(10分)(2024·北京)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝－kx＋3的图象交于点(2，1)．
(1)求k，b的值；
(2)当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝kx＋b的值，也大于函数y＝－kx＋3的值，直接写出m的取值范围．
[解] (1)∵直线y＝－kx＋3过点(2，1)，
∴－2k＋3＝1，
解得k＝1，
将点(2，1)代入y＝x＋b得，2＋b＝1，
解得b＝－1．
(2)∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝x－1的值，也大于函数y＝－x＋3的值，
∴m≥1．
∴m的取值范围是m≥1．
14．(2024·四川南充)当2≤x≤5时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，则实数m的值为( )
A．－3或0 B．0或1
C．－5或－3 D．－5或1
A [当m＋1＞0，即m＞－1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，
∴5(m＋1)＋m2＋1＝6，
解得m1＝0，m2＝－5(舍去)；
当m＋1＜0，即m＜－1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，
∴2(m＋1)＋m2＋1＝6，
解得m1＝－3，m2＝1(舍去)．
综上，当2≤x≤5时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，则实数m的值为0或－3．
故选A．]
15．(2024·四川凉山州)如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A(3，6)，B(0，3)两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为________．
9 [∵一次函数y＝kx＋b的图象经过A(3，6)，B(0，3)两点，
∴解得
∴一次函数解析式为y＝x＋3，
当y＝0时，x＝－3，
∴C(－3，0)，
∴S△AOC＝×3×6＝9．]
16．(12分)领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
(1)a＝________米/秒，t＝________秒；
(2)求线段MN所在直线的函数解析式；
(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？
[解] (1)8，20．
(2)由图象知，N(19，96)，
∵甲无人机的速度为8米/秒，
∴甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8＝12(秒)，
∴甲无人机单独表演所用时间为19－12＝7(秒)，
6＋7＝13(秒)，
∴M(13，48)，
设线段MN所在直线的函数解析式为y＝kx＋b，
将M(13，48)，N(19，96)代入得
解得
∴线段MN所在直线的函数解析式为y＝8x－56．
(3)由题意A(0，20)，B(6，48)，
易得线段OB所在直线的函数解析式为y＝8x，
线段AN所在直线的函数解析式为y＝4x＋20，
线段BM所在直线的函数解析式为y＝48．
当0≤t≤6时，由题意得|4x＋20－8x|＝12，
解得x＝2或x＝8(舍去)；
当6＜t≤13时，由题意得|4x＋20－48|＝12，
解得x＝10或x＝4(舍去)；
当13＜t≤19时，由题意得|8x－56－4x－20|＝12，
解得x＝16或x＝22(舍去)．
综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．
17．(12分)[情境题](2024·辽宁)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
[解] (1)由题意，设一次函数的关系式为y＝kx＋b，
结合表格数据知图象过点(45，55)，(55，45)，
∴∴
∴所求函数关系式为y＝－x＋100．
(2)由题意，销售额＝x(－x＋100)＝－x2＋100x，
又销售额是2 600元，
∴2 600＝－x2＋100x．
∴x2－100x＋2 600＝0．
∴Δ＝(－100)2－4×2 600
＝10 000－10 400
＝－400＜0．
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2 600元．
18．[规律探究题](2024·四川内江)如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线y＝－x上，如此下去，……，若点B的坐标为(0，3)，则点B37的坐标为( )
A．(180，135) B．(180，133)
C．(－180，135) D．(－180，133)
C [由题知，将y＝3代入y＝－x得，
x＝－4，
所以点A的坐标为(－4，3)，
所以OB＝3，AB＝4，
在Rt△ABO中，
AO＝＝5，
所以C△OAB＝3＋4＋5＝12．
由所给旋转方式可知，
点B2n－1(n为正整数)在直线y＝－x上．
因为OB1＝5＋4＝9，
OB3＝9＋12，
OB5＝9＋2×12，
……
所以OB2n－1＝9＋12(n－1)＝12n－3，
令2n－1＝37，
解得n＝19，
所以12n－3＝12×19－3＝225，
即OB37＝225．
令点B37的坐标为，
所以m2＋＝2252，
解得m＝－180(舍正)，
所以－m＝135，
所以点B37的坐标为(－180，135)．
故选C．]
