(共81张PPT)
第三章 函数
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第一节 平面直角坐标系及函数初步 命题点1 平面直角坐标系 山东T16 聊城T8
聊城T17
临沂T4 考查点坐标变换，有时考查函数图象的分析与判断问题，以选择和填空为主．
命题点2 函数自变量的取值范围
命题点3 函数图象的分析与判断
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第二节 一次函数 命题点1 一次函数的图象与性质 临沂T11 每年必考．以多种形式出现，综合性较强，常用反比例函数结合命题．实际问题常用分式方程结合．
命题点2 一次函数表达式的确定 济宁T11
命题点3 一次函数与方程(组)、不等式之间的关系
命题点4 利用一次函数解决实际问题 聊城T10
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第三节 反比例函数 命题点1 反比例函数的图象与性质 济宁T7 每年必考解答题，综合性较强．常用一次函数结合命题．
命题点2 反比例函数系数k的几何意义
命题点3 反比例函数与一次函数的综合 山东T20 聊城T23
济宁T19
菏泽T20
命题点4 反比例函数的实际应用 临沂T10
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第四节 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象与性质 每年必考．主要以选择题和填空题的形式出现．对于求二次函数的表达式主要出现在考查二次函数解答题的第1步．
命题点2 二次函数的图象与系数a，b，c的关系 聊城T11
菏泽T8
命题点3 二次函数图象的平移问题 济宁T14
山东T23(2)
命题点4 待定系数法求二次函数表达式 济宁T22 济宁T22(1)
菏泽T24(1)
聊城T25(1)
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第五节 二次函数的应用 命题点1 二次函数的实际应用 济宁T20 临沂T23
菏泽T21 每年必考解答题，综合性较强，难度较大，主要以压轴题的形式出现，和三角形，四边形，勾股定理等综合在一起出题．
命题点2 二次函数的综合应用 山东T23
济宁T22 济宁T22
菏泽T24
聊城T25
第一节 平面直角坐标系及函数初步
考点一 平面直角坐标系
1．在平面内，两条互相_____、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称x轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上为正方向．
2．各象限点的坐标的符号特征：第一象限(＋，＋)；第二象限__________；第三象限__________；第四象限__________．
链接教材 基础过关
垂直
(－，＋)
(－，－)
(＋，－)
3．坐标轴上点的特征：x轴上的点，_______为0；y轴上的点，_______为0；原点的坐标为_________．
4．成对称的点的坐标特征
(1)关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标_____，纵坐标___________．
(2)关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标_____，横坐标___________．
(3)关于原点对称的两点的坐标，横坐标___________，纵坐标___________．
纵坐标
横坐标
(0，0)
相同
互为相反数
相同
互为相反数
互为相反数
互为相反数
考点二 函数及有关概念
1．函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有____确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是______，y是因变量．
2．函数的三种表示方法：_______、_________、_______．
唯一
自变量
列表法
解析式法
图象法
考点三 函数的图象
1．画函数图象的一般步骤：____、____、____．
2．分析实际问题判断函数图象的方法
(1)找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
(2)找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
(3)判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向．
列表
描点
连线
3．以几何图形(动点)为背景判断函数图象的方法
设时间为t(或线段长为x)，找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象．要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围．
√
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为(2，1)，则点Q的坐标为( )
A．(3，0) B．(0，2)
C．(3，2) D．(1，2)
C [由题意可得，点Q的坐标为(3，2)．]
√
3．(人教版八下P82T7改编)下图中，y不是x的函数的是( )
A B
C D
D [D中，对于x的每一个取值，y有两个值，不符合函数的定义．故选D．]
√
4．(青岛版八下P137T6改编)某中学初三学生小欣暑假骑车沿直线旅行，先前进了1 000米，休息了一段时间，又原路返回500米，再前进了1 000米，则她离起点的距离s与时间t的关系示意图是( )
A B
C D
√
C [根据小欣先前进了1 000米，得图象是一段上升的直线，
休息了一段时间，得图象是一段平行于t轴的直线，
沿原路返回500米，得图象是一段下降的直线，
最后再前进了1 000米，得图象是一段上升的直线．
综合得图象是C．
故选C．]
x≤4且x≠3
【典例1】 (2023·聊城)如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(－4，4)．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到
△A2B2C2．若B2(2，1)，则点A2的坐标
为( )
考点突破 对点演练
命题点1 平面直角坐标系
A．(1，5) B．(1，3)
C．(5，3) D．(5，5)
B [点A(－2，1)，B(－1，3)，C(－4，4)关于x轴对称的点坐标为A1(－2，－1)，B1(－1，－3)，C1(－4，－4)．又点B2(2，1)是由点B1(－1，－3)向右平移3个单位长度，向上平移4个单位长度得到的，故点A2的坐标为(1，3)．故选B．]
√
【典例2】 (2024·山东)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点(x，y)中的x，y，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3，10)，经过第2次运算得到点(10，5)，以此类推．则点(1，4)经过2024次运算后得到点________．
(2，1)
(2，1) [点(1，4)经过1次运算后得到点为(1×3＋1，4÷2)，即为(4，2)，
经过2次运算后得到点为(4÷2，2÷1)，即为(2，1)，
经过3次运算后得到点为(2÷2，1×3＋1)，即为(1，4)，
…，
发现规律：点(1，4)经过3次运算后还是(1，4)，
∵2 024÷3＝674……2，
∴点(1，4)经过2 024次运算后得到点(2，1)．]
[对点演练]
1．(2023·临沂)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(－6，2)，则点B的坐标为( )
A．(6，2) B．(－6，－2)
C．(2，6) D．(2，－6)
√
A [若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(－6，2)，则点B的坐标为(6，2)．
故选A．]
2．(2023·聊城)如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3，5)；(7，10)；(13，17)；(21，26)；(31，37)…如果单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．
请写出第n个数对：_____________________．
(n2＋n＋1，n2＋2n＋2)
(n2＋n＋1，n2＋2n＋2) [每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…，
即为1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，5×6＋1，…，
则第n个数对的第一个数为n(n＋1)＋1＝n2＋n＋1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…，
即为22＋1，32＋1，42＋1，52＋1，62＋1，…，
则第n个数对的第二个数为(n＋1)2＋1＝n2＋2n＋2，
∴第n个数对为(n2＋n＋1，n2＋2n＋2)．]
命题点2 函数自变量的取值范围
x＞－3且x≠－2 [由题意，得3＋x＞0且x＋2≠0，
解得x＞－3且x≠－2．]
x＞－3且x≠－2
表达式的类型 自变量的取值范围
整式 全体实数
分式 使分母不为零
二次根式 使被开方数为非负数
零指数幂或负指数幂 使底数不为零
由整式、分式或二次根式等综合得到的代数式 使它们均有意义
x≥－3且x≠0
[解] (1)x为全体实数．
(2)x为全体实数．
(3)x≠2．
(4)x≥3．
【典例4】 (2024·江西)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为( )
命题点3 函数图象的分析与判断
A B
C D
C [温度计的温度升高到60度时温度不变．]
√
[对点演练]
5．(2024·四川广安)向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满，在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y(单位：帕)，时间为x(单位：秒)，则y关于x的函数图象大致为( )
A B
C D
√
B [容器下半部分较粗，所以开始时水面高度随时间x的增长缓慢，即压强y随时间x的增大而增长缓慢；容器上半部分较细，所以水面高度随时间x的增大而增长较快，即压强y随时间x的增长较快．故选B．]
6．[跨学科](2024·青海)化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为0
C．絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54%
√
D [A．从图象上可以看到，加入絮凝剂的体积在0.5 mL达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误；
B．未加入絮凝剂时，净水率为12.48%，故不符合题意，选项错误；
C．当絮凝剂的体积为0.3 mL时，净水率增加量为84.60%－76.54%＝8.06%，絮凝剂的体积为0.4 mL时，净水率增加量为86.02%－84.60%＝1.42%，故絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误；
D．根据图象可得，加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54%，符合题意，选项正确．故选D．]
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
题号
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课时分层评价卷(九) 平面直角坐标系及函数初步
1．(2024·四川成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(－1，－4) B．(－1，4)
C．(1，4) D．(1，－4)
√
B [在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是(－1，4)．故选B．]
题号
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2．(2024·广元)如果单项式－x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点(m，n)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
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D [因为单项式－x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式，
所以2m＝4，2－n＝3，
解得m＝2，n＝－1，
所以点(2，－1)所在的象限为第四象限．
故选D．]
√
3．(2024·贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为(－2，0)，(0，0)，则“技”所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
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√
A [如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，故选A．]
题号
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4．(2024·四川凉山州)匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是( )
题号
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C [因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小，
所以注水过程中水的高度变化是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢．故选C．]
题号
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A B
C D
√
5．(2024·威海)同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系．下列结论正确的是( )
题号
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√
A [根据函数图象可得AB两地之间的距离为20(km)，
两车行驶了4小时，同时到达C地，如图所示，在1－2小时，两车同向运动，在第2小时，即点D时，两者距离发生改变，此时乙车休息，E点的意义是两车相遇，F点的意义是乙车休息后再出发，
题号
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x≠1
7．(2024·江西)在平面直角坐标系中，将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为________．
题号
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(3，4) [将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
则点B的坐标为(1＋2，1＋3)，即(3，4)．]
(3，4)
8．(2024·甘孜州)如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为(1，90°)，(2，240°)，则点C的位置可以表示为___________．
题号
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(3，30°)
(3，30°) [∵点A，B的位置可以分别表示为(1，90°)，(2，240°)，
∴点C的位置可以表示为(3，30°)．]
题号
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9．(9分)[情境题](2024·浙江)小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分)的函数关系如图所示．
题号
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时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 16：00～16：50 不分段 A档 4 000米
小丽 16：10～16：50 第一段 B档 1 800米
第一次休息
第二段 B档 1 200米
第二次休息
第三段 C档 1 600米
(1)求A，B，C各档速度(单位：米/分)；
(2)求小丽两次休息时间的总和(单位：分)；
(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．
题号
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[解] (1)由题意可知，A档速度为4 000÷50＝80(米/分)，
则B档速度为80＋40＝120(米/分)，
C档速度为120＋40＝160(米/分)．
答：A，B，C各档速度分别为80米/分、120米/分、160米/分．
(2)小丽第一段跑步时间为1 800÷120＝15(分)，
小丽第二段跑步时间为(3 000－1 800)÷120＝10(分)，
小丽第三段跑步时间为(4 600－3 000)÷160＝10(分)，
则小丽两次休息时间的总和为50－10－15－10－10＝5(分)．
答：小丽两次休息时间的总和为5分钟．
题号
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(3)∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，
∴此时小丽在跑第三段，所跑时间为a－10－15－10－5＝a－40(分)，
∴80a＝3 000＋160(a－40)，
∴a＝42.5．
题号
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10．[数学文化](2024·甘肃)如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为( )
题号
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A．y＝3x B．y＝4x
C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1
题号
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√
B [由题图可知，“回文”的桌面的总面积为4x(x＋y)，其中每张长桌的桌面面积为xy，每张中桌的桌面面积为3x2，每张小桌的桌面面积为2x2．根据题意，得2xy＋2×3x2＋3×2x2＝4x(x＋y)，解得y＝4x．故选B．]
题号
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11．[跨学科](2024·河南)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2)．下列结论中错误的是
( )
题号
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A．当P＝440W时，I＝2A
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
题号
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√
C [根据题图1知：当P＝440W时，I＝2A，故选项A正确，但不符合题意；
根据题图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据题图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；
根据题图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意．
故选C．]
题号
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A．(6，1)或(7，1) B．(15，－7)或(8，0)
C．(6，0)或(8，0) D．(5，1)或(7，1)
题号
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D [根据已知：点P3(2，2)横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4(2，3)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5(1，3)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位………，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移．
√
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16(－1，9)，则按照“和点”Q16 反向运动16次即可，可以分为两种情况：
①Q16先向右平移1个单位得到Q15(0，9)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立； ②Q16先向下1个单位得到Q15(－1，8)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到Q16，故符合题意，
题号
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∴点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为(－1＋7，9－8)，即(6，1)，
∴最后一次若向右平移则为(7，1)，若向左平移则为(5，1)．
故选D．]
题号
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2
2 [由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，
∴∠MOH＝45°，
∴2a－1＝a＋1，
解得a＝2．]
题号
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14．(12分)(2024·北京)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯)，在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯(记为2号杯)示意图如图，
题号
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当1号杯和2号杯中都有V mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1(单位：cm)和2号杯的水面高度h2(单位：cm)，部分数据如下：
(1)补全表格(结果保留小数点后一位)；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h1
与V，h2与V之间的关系．在给出的平面直
角坐标系中，画出这两个函数的图象；
题号
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V/mL 0 40 100 200 300 400 500
h1/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
h2/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320 mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为______cm(结果保留小数点后一位)；
②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为__________cm(结果保留小数点后一位)．
题号
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1.2
8.6(或8.5)
[解] (1)由题意得，设V与h1的函数关系式为：V＝kh1(k≠0)，
由表格数据得：100＝2.5k，
解得：k＝40，
∴V＝40h1，
∴当V＝40时，40h1＝40，
∴h1＝1.0 cm．
故答案为1.0．
题号
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(2)如图所示，即为所画图象．
题号
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故答案为1.2．
②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为8.6 cm
(或8.5 cm)．
故答案为8.6(或8.5)．
题号
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当a＝－2时，2a－4＝－8，a＋3＝1，此时点P(－8，1)；
当a＝－1时，2a－4＝－6，a＋3＝2，此时点P(－6，2)；
当a＝0时，2a－4＝－4，a＋3＝3，此时点P(－4，3)；
当a＝1时，2a－4＝－2，a＋3＝4，此时点P(－2，4)；
∴“整点”P的个数是4个，
故选项B不正确；
题号
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根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P(－2，4)是“超整点”，
∴若点P为“超整点”，则点P的个数为1个，
故选项C正确；
当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为|－2|＋|4|＝6，故选项D不正确．故选C．]
题号
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15第一节 平面直角坐标系及函数初步
考点一 平面直角坐标系
1．在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称x轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上为正方向．
2．各象限点的坐标的符号特征：第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)；第三象限(－，－)；第四象限(＋，－)．
3．坐标轴上点的特征：x轴上的点，纵坐标为0；y轴上的点，横坐标为0；原点的坐标为(0，0)．
4．成对称的点的坐标特征
(1)关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
(2)关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
(3)关于原点对称的两点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
考点二 函数及有关概念
1．函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
2．函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
考点三 函数的图象
1．画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
2．分析实际问题判断函数图象的方法
(1)找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
(2)找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
(3)判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向．
3．以几何图形(动点)为背景判断函数图象的方法
设时间为t(或线段长为x)，找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象．要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围．
1．激光测距仪L发出的激光束以3×105km/s的速度射向目标M，t s后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离d km与时间t s的关系式为( )
A．d＝t B．d＝3×105t
C．d＝2×3×105t D．d＝3×106t
A [激光由L到M的时间为，
光速为3×105km/s，
则L到M的距离d＝×3×105＝t．
故选A．]
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为(2，1)，则点Q的坐标为( )
A．(3，0) B．(0，2)
C．(3，2) D．(1，2)
C [由题意可得，点Q的坐标为(3，2)．]
3．(人教版八下P82T7改编)下图中，y不是x的函数的是( )
A B
C D
D [D中，对于x的每一个取值，y有两个值，不符合函数的定义．故选D．]
4．(青岛版八下P137T6改编)某中学初三学生小欣暑假骑车沿直线旅行，先前进了1 000米，休息了一段时间，又原路返回500米，再前进了1 000米，则她离起点的距离s与时间t的关系示意图是( )
A B
C D
C [根据小欣先前进了1 000米，得图象是一段上升的直线，
休息了一段时间，得图象是一段平行于t轴的直线，
沿原路返回500米，得图象是一段下降的直线，
最后再前进了1 000米，得图象是一段上升的直线．
综合得图象是C．
故选C．]
5．函数y＝中自变量x的取值范围是________．
x≤4且x≠3 [根据题意，得
解得x≤4且x≠3．]
命题点1 平面直角坐标系
【典例1】 (2023·聊城)如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(－4，4)．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2(2，1)，则点A2的坐标为( )
A．(1，5) B．(1，3)
C．(5，3) D．(5，5)
B [点A(－2，1)，B(－1，3)，C(－4，4)关于x轴对称的点坐标为A1(－2，－1)，B1(－1，－3)，C1(－4，－4)．又点B2(2，1)是由点B1(－1，－3)向右平移3个单位长度，向上平移4个单位长度得到的，故点A2的坐标为(1，3)．故选B．]
【典例2】 (2024·山东)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点(x，y)中的x，y，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3，10)，经过第2次运算得到点(10，5)，以此类推．则点(1，4)经过2024次运算后得到点________．
(2，1) [点(1，4)经过1次运算后得到点为(1×3＋1，4÷2)，即为(4，2)，
经过2次运算后得到点为(4÷2，2÷1)，即为(2，1)，
经过3次运算后得到点为(2÷2，1×3＋1)，即为(1，4)，
…，
发现规律：点(1，4)经过3次运算后还是(1，4)，
∵2 024÷3＝674……2，
∴点(1，4)经过2 024次运算后得到点(2，1)．]
[对点演练]
1．(2023·临沂)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(－6，2)，则点B的坐标为( )
A．(6，2) B．(－6，－2)
C．(2，6) D．(2，－6)
A [若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(－6，2)，则点B的坐标为(6，2)．
故选A．]
2．(2023·聊城)如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3，5)；(7，10)；(13，17)；(21，26)；(31，37)…如果单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：________．
(n2＋n＋1，n2＋2n＋2) [每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…，
即为1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，5×6＋1，…，
则第n个数对的第一个数为n(n＋1)＋1＝n2＋n＋1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…，
即为22＋1，32＋1，42＋1，52＋1，62＋1，…，
则第n个数对的第二个数为(n＋1)2＋1＝n2＋2n＋2，
∴第n个数对为(n2＋n＋1，n2＋2n＋2)．]
命题点2 函数自变量的取值范围
【典例3】 (2024·黑龙江齐齐哈尔)在函数y＝中，自变量x的取值范围是_______________________________________________．
x＞－3且x≠－2 [由题意，得3＋x＞0且x＋2≠0，
解得x＞－3且x≠－2．]
表达式的类型 自变量的取值范围
整式 全体实数
分式 使分母不为零
二次根式 使被开方数为非负数
零指数幂或负指数幂 使底数不为零
由整式、分式或二次根式等综合得到的代数式 使它们均有意义
[对点演练]
3．(2024·牡丹江)函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
x≥－3且x≠0 [根据题意得：
解得x≥－3且x≠0．]
4．(沪科版八上P24例1)求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝2x＋4；
(2)y＝－2x2；
(3)y＝；
(4)y＝．
[解] (1)x为全体实数．
(2)x为全体实数．
(3)x≠2．
(4)x≥3．
命题点3 函数图象的分析与判断
【典例4】 (2024·江西)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为( )
A B
C D
C [温度计的温度升高到60度时温度不变．]
[对点演练]
5．(2024·四川广安)向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满，在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y(单位：帕)，时间为x(单位：秒)，则y关于x的函数图象大致为( )
A B
C D
B [容器下半部分较粗，所以开始时水面高度随时间x的增长缓慢，即压强y随时间x的增大而增长缓慢；容器上半部分较细，所以水面高度随时间x的增大而增长较快，即压强y随时间x的增长较快．故选B．]
6．[跨学科](2024·青海)化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为0
C．絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54%
D [A．从图象上可以看到，加入絮凝剂的体积在0.5 mL达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误；
B．未加入絮凝剂时，净水率为12.48%，故不符合题意，选项错误；
C．当絮凝剂的体积为0.3 mL时，净水率增加量为84.60%－76.54%＝8.06%，絮凝剂的体积为0.4 mL时，净水率增加量为86.02%－84.60%＝1.42%，故絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误；
D．根据图象可得，加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54%，符合题意，选项正确．故选D．]
课时分层评价卷(九) 平面直角坐标系及函数初步
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．(2024·四川成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(－1，－4) B．(－1，4)
C．(1，4) D．(1，－4)
B [在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是(－1，4)．故选B．]
2．(2024·广元)如果单项式－x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点(m，n)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [因为单项式－x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式，
所以2m＝4，2－n＝3，
解得m＝2，n＝－1，
所以点(2，－1)所在的象限为第四象限．
故选D．]
3．(2024·贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为(－2，0)，(0，0)，则“技”所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，故选A．
]
4．(2024·四川凉山州)匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是( )
A B
C D
C [因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小，
所以注水过程中水的高度变化是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢．故选C．]
5．(2024·威海)同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系．下列结论正确的是( )
A．甲车行驶 h与乙车相遇
B．A，C两地相距220 km
C．甲车的速度是70 km/h
D．乙车中途休息36分钟
A [根据函数图象可得AB两地之间的距离为20(km)，
两车行驶了4小时，同时到达C地，如图所示，在1－2小时，两车同向运动，在第2小时，即点D时，两者距离发生改变，此时乙车休息，E点的意义是两车相遇，F点的意义是乙车休息后再出发，
∴乙车休息了1小时，故D不正确；
设甲车的速度为a km/h，乙车的速度为b km/h，
根据题意，乙车休息后两者同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，a＜b，
∵2b＋20－2a＝40，即b－a＝10，
在DE－EF时，乙车不动，则甲车的速度是＝60(km/h)，
∴乙车速度为60＋10＝70(km/h)，故C不正确；
∴AC的距离为4×60＝240(km)，故B不正确；
设x小时两辆车相遇，依题意得：60x＝2×70＋20，
解得x＝，即小时时，两车相遇，故A正确．
故选A．]
6．(2024·滨州)若函数y＝的解析式在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是________．
x≠1 [∵y＝的解析式在实数范围内有意义，
∴x－1≠0，
∴x≠1．]
7．(2024·江西)在平面直角坐标系中，将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为________．
(3，4) [将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
则点B的坐标为(1＋2，1＋3)，即(3，4)．]
8．(2024·甘孜州)如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为(1，90°)，(2，240°)，则点C的位置可以表示为________．
(3，30°) [∵点A，B的位置可以分别表示为(1，90°)，(2，240°)，
∴点C的位置可以表示为(3，30°)．]
9．(9分)[情境题](2024·浙江)小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分)的函数关系如图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 16：00～16：50 不分段 A档 4 000米
小丽 16：10～16：50 第一段 B档 1 800米
第一次休息
第二段 B档 1 200米
第二次休息
第三段 C档 1 600米
(1)求A，B，C各档速度(单位：米/分)；
(2)求小丽两次休息时间的总和(单位：分)；
(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．
[解] (1)由题意可知，A档速度为4 000÷50＝80(米/分)，
则B档速度为80＋40＝120(米/分)，
C档速度为120＋40＝160(米/分)．
答：A，B，C各档速度分别为80米/分、120米/分、160米/分．
(2)小丽第一段跑步时间为1 800÷120＝15(分)，
小丽第二段跑步时间为(3 000－1 800)÷120＝10(分)，
小丽第三段跑步时间为(4 600－3 000)÷160＝10(分)，
则小丽两次休息时间的总和为50－10－15－10－10＝5(分)．
答：小丽两次休息时间的总和为5分钟．
(3)∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，
∴此时小丽在跑第三段，所跑时间为a－10－15－10－5＝a－40(分)，
∴80a＝3 000＋160(a－40)，
∴a＝42.5．
10．[数学文化](2024·甘肃)如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为( )
A．y＝3x B．y＝4x
C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1
B [由题图可知，“回文”的桌面的总面积为4x(x＋y)，其中每张长桌的桌面面积为xy，每张中桌的桌面面积为3x2，每张小桌的桌面面积为2x2．根据题意，得2xy＋2×3x2＋3×2x2＝4x(x＋y)，解得y＝4x．故选B．]
11．[跨学科](2024·河南)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2)．下列结论中错误的是( )
A．当P＝440W时，I＝2A
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
C [根据题图1知：当P＝440W时，I＝2A，故选项A正确，但不符合题意；
根据题图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据题图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；
根据题图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意．
故选C．]
12．[新定义](2024·河北)平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度．
例：“和点”P(2，1)按上述规则连续平移3次后，到达点P3(2，2)，其平移过程如下：P3(2，2)．若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16(－1，9)，则点Q的坐标为( )
A．(6，1)或(7，1) B．(15，－7)或(8，0)
C．(6，0)或(8，0) D．(5，1)或(7，1)
D [根据已知：点P3(2，2)横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4(2，3)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5(1，3)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位………，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移．
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16(－1，9)，则按照“和点”Q16 反向运动16次即可，可以分为两种情况：
①Q16先向右平移1个单位得到Q15(0，9)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立； ②Q16先向下1个单位得到Q15(－1，8)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到Q16，故符合题意，
∴点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为(－1＋7，9－8)，即(6，1)，
∴最后一次若向右平移则为(7，1)，若向左平移则为(5，1)．
故选D．]
13．[动手操作题](2024·黑龙江齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H(2a－1，a＋1)，则a＝________．
2 [由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，
∴∠MOH＝45°，
∴2a－1＝a＋1，
解得a＝2．]
14．(12分)(2024·北京)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯)，在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯(记为2号杯)示意图如图，
当1号杯和2号杯中都有V mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1(单位：cm)和2号杯的水面高度h2(单位：cm)，部分数据如下：
V/mL 0 40 100 200 300 400 500
h1/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
h2/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(1)补全表格(结果保留小数点后一位)；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320 mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为______cm(结果保留小数点后一位)；
②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为________cm(结果保留小数点后一位)．
[解] (1)由题意得，设V与h1的函数关系式为：V＝kh1(k≠0)，
由表格数据得：100＝2.5k，
解得：k＝40，
∴V＝40h1，
∴当V＝40时，40h1＝40，
∴h1＝1.0 cm．
故答案为1.0．
(2)如图所示，即为所画图象．
(3)①当V＝320 mL时，h1＝＝8 cm，由图象可知高度差CD≈1.2 cm，
故答案为1.2．
②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为8.6 cm(或8.5 cm)．
故答案为8.6(或8.5)．
15．[新定义](2024·湖南)在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当(其中xy≠0)的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P(2a－4，a＋3)在第二象限，下列说法正确的是( )
A．a＜－3
B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个
D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
C [∵点P(2a－4，a＋3)在第二象限，
∴解得－3＜a＜2，
故选项A不正确；
∵点P(2a－4，a＋3)为“整点”，
∴a为整数，
又∵－3＜a＜2，
∴a＝－2，－1，0，1，
当a＝－2时，2a－4＝－8，a＋3＝1，此时点P(－8，1)；
当a＝－1时，2a－4＝－6，a＋3＝2，此时点P(－6，2)；
当a＝0时，2a－4＝－4，a＋3＝3，此时点P(－4，3)；
当a＝1时，2a－4＝－2，a＋3＝4，此时点P(－2，4)；
∴“整点”P的个数是4个，
故选项B不正确；
根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P(－2，4)是“超整点”，
∴若点P为“超整点”，则点P的个数为1个，
故选项C正确；
当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为|－2|＋|4|＝6，故选项D不正确．故选C．]
