第五节 二次函数的应用
考点一 二次函数的实际应用
1．利用二次函数解决实际问题的一般步骤
(1)审：审清题意，理解问题；
(2)找：分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)列：用函数解析式表示它们之间的关系(建立数学模型)；
(4)解：用数学方法求解；
(5)验：检验结果的合理性；
(6)答：写出问题的答案．
2．常见题型
(1)最值问题：在日常生活中，经常遇到求某种图形的最大面积、获取最大经济利润、怎样最节省开支等问题，利用二次函数的图象和性质，便可以解决这类问题，这就需要把这类问题转化为求二次函数的最值问题．解决该类问题的一般步骤为：
(ⅰ)找：找题目中的数量关系；
(ⅱ)列：列出函数关系式；
(ⅲ)求：利用配方法将表达式化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式或利用公式法确定最值．
(2)抛物线形问题：在实际生活中常遇到以下抛物线形问题：拱形桥洞、涵洞、隧道、拱形门、球类的运动路线、跳水运动员的跳水路线等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系，用待定系数法确定函数表达式，进而解决问题．
考点二 二次函数的综合应用
二次函数的综合题多与一元二次方程、不等式、几何知识综合在一起，考查较多的是面积问题、动点问题、存在性问题，难度大、综合性强．
1．一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋x＋，那么铅球推出后落地时距出手地的距离是( )
A． m B．4 m C．8 m D．10 m
D [当y＝0时，－x2＋x＋＝0，
整理得x2－8x－20＝0，
解得x＝10，x＝－2(不合题意，舍去)，
故x＝10，即铅球推出后落地时距出手地的距离是10 m．
故选D．]
2．(青岛版九下P50例1改编)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是________平方米．
450 [由题意，设垂直于外墙的边长为x米，则平行于外墙的边长为(60－2x)米，
又墙长为40米，
∴0＜60－2x≤40．
∴10≤x＜30．
又菜园的面积S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x
＝－2(x－15)2＋450，
∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450，
即垂直于外墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．]
3．(人教版九上P52T8改编)某酒店有A、B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7 200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3 200元．
(1)求A、B两种客房每间定价分别是多少元？
(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲，当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
[解] (1)设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元，
∴
∴
答：A、B两种客房每间定价分别是200元、120元．
(2)由题意，设A种客房每间定价为m元，
∴W＝m＝－(m－220)2＋4 840．
∵－＜0，
∴当m＝220时，W取最大值，最大值为4 840．
答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4 840元．
命题点1 二次函数的实际应用
【典例1】 (2024·济宁)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
[解] (1)由题意，设一次函数的解析式为y＝kx＋b，
又过(100，300)，(120，200)，
∴
∴
∴所求函数解析式为y＝－5x＋800．
(2)由题意得，
∴100≤x≤116．
∵商场获得的利润为(x－80)(－5x＋800)
＝－5x2＋1 200x－64 000
＝－5(x－120)2＋8 000，
又－5＜0，100≤x≤116，
∴当x＝116时，利润最大，最大值为7 920．
答：当销售单价为116元/件时，商场获得利润最大，最大利润是7 920元．
[对点演练]
1．(2023·临沂)综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价(元/盆) 日销售量(盆)
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理：
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价(元/盆) ____ ____ ____ ____ ____
日销售量(盆) ____ ____ ____ ____ ____
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
拓广应用
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
[解] (1)根据销售单价从小到大排列得下表：
售价(元/盆) 18 20 22 26 30
日销售量(盆) 54 50 46 38 30
(2)观察表格可知日销售量是售价的一次函数．
设日销售量为y盆，售价为x元，y＝kx＋b，
把(18，54)，(20，50)代入得，
解得
∴y＝－2x＋90．
(3)①∵每天获得400元的利润，
∴(x－15)(－2x＋90)＝400，
解得x＝25或x＝35，
∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元．
②设每天获得的利润为w元，
根据题意得w＝(x－15)(－2x＋90)＝－2x2＋120x－1 350＝－2(x－30)2＋450，
∵－2＜0，
∴当x＝30时，w取最大值450，
∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
2．(2023·菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
[解] (1)设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为(120－3x)米，
根据题意得，S＝x(120－3x)＝－3x2＋120x
＝－3(x－20)2＋1 200，
∵－3＜0，
∴当x＝20时，S取最大值1 200，
∴120－3x＝120－3×20＝60，
∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1 200平方米．
(2)设购买牡丹m株，则购买芍药1 200×2－m＝(2 400－m)株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m＋15(2 400－m)≤50 000，
解得m≤1 400，
∴最多可以购买1 400株牡丹．
命题点2 二次函数的综合应用
【典例2】 (2024·山东)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a>0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
(1)求m的值；
(2)若点Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1
[解] (1)∵点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a>0)的图象上，
∴4a＋2b－3＝－3，
解得b＝－2a，
∴抛物线为y＝ax2－2ax－3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，
∴m＝1．
(2)∵点Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的图象上，
∴a－2a－3＝－4，
解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
y＝(x－1)2－4＋5＝(x－1)2＋1，
∵0≤x≤4，
∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为(4－1)2＋1＝10，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11．
(3)∵y＝ax2－2ax－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1∴x1＋x2＝2，x1·x2＝－，
∵x2－x1＝，
∴x2－x1＝＝2，
∵4∴4<2<6，即2<<3，
解得[对点演练]
3．(2024·济宁)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(0，－3)，(－b，c)两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是－4，且它的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使＝？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)∵函数过(0，－3)，(－b，c)，
∴c＝－3，ab2－b2＋c＝c，
∴(a－1)b2＝0，
∵ab＞0，
∴a≠0，b≠0，
∴a－1＝0，
∴a＝1．
(2)①由(1)知该函数的解析式为：y＝x2＋bx－3＝－，
∵a＝1＞0，
∴当x＝－时，函数最小值为y＝－，
∵二次函数最小值为－4，
∴－＝－4，
解得b＝±2，
∵ab＞0，
∴b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2＋2x－3，
令y＝0，则x2＋2x－3＝0，
解得x1＝－3，x2＝1，
∴点A坐标(－3，0)，点B坐标(1，0)．
②Ⅰ，当点P在点A右侧时，如图，过B作BF⊥AC于点F，过P作PG⊥AC于点G，
∵A(－3，0)，C(0，－3)，B(1，0)，
∴OA＝OC＝3，OB＝1，
∴AB＝OA＋OB＝4，AC＝3，
∵S△ABC＝AB·OC＝BF·AC，
∴BF＝＝2，
∵△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形，
∴＝＝，
∴PG＝，
过P作PH∥AC交y轴于点H，过C作CK⊥PH，则CK＝PG＝，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝45°，
∴∠CHK＝45°，
∴CH＝CK＝，
∴OH＝，
∴点H坐标，
∴直线PH解析式为y＝－x－，
联立方程组可得
解得
∴P点坐标为或．
Ⅱ，当点P在点A左侧时，过P作PH∥AC交y轴于点H，
同第一种情况的方法可得H，
∴直线PH解析式为y＝－x－，
联立方程组得
解得(舍)，
∴P点坐标为．
综上，P点坐标为或
或．
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1．(2023·聊城)如图1，抛物线y＝ax2＋bx－9与x轴交于点A(－3，0)，B(6，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图2，当点P(m，0)从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．
[解] (1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋3)(x－6)，
∴－9＝a·3×(－6)，
∴a＝，
∴y＝(x＋3)(x－6)＝x2－x－9．
(2)如图，
抛物线的对称轴为直线x＝＝，
由对称性可得Q1(3，－9)，
当y＝9时，
x2－x－9＝9，
∴x＝，
∴Q3，Q2，
综上所述，Q的坐标为(3，－9)或或．
(3)设△PED的面积为S，
由题意得，AP＝m＋3，BP＝6－m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．
∴BC＝＝3，
∵sin ∠PBD＝＝，
∴＝，
∴PD＝，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，
∴＝，
∴＝，
∴PE＝，
∴S＝PE·PD＝(m＋3)(6－m)
＝－＋，
∴当m＝时，S最大为，
∴当m＝时，△PED的面积最大值为．
2．(2023·济宁)如图，直线y＝－x＋4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x＝的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若0(3)若m<，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)在直线y＝－x＋4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴点B(4，0)，点C(0，4)，
设抛物线的解析式为y＝a＋k，
把点B(4，0)，点C(0，4)代入可得，
解得
∴抛物线的解析式为 y＝－＋＝－x2＋3x＋4．
(2)由题意，P(m，－m2＋3m＋4)，
∴PN＝－m2＋3m＋4，
当四边形CDNP是平行四边形时，PN＝CD，
∴OD＝－m2＋3m＋4－4＝－m2＋3m，
∴D(0，m2－3m)，N(m，0)，
设直线MN的解析式为y＝k1x＋m2－3m，
把 N(m，0)代入可得k1m＋m2－3m＝0，
解得k1＝3－m，
∴直线MN的解析式为 y＝(3－m)x＋m2－3m，
又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为x＝，
∴M(3－m，－m2＋3m＋4)，
∴(3－m)2＋m2－3m＝－m2＋3m＋4，
解得m1＝(不合题意，舍去)，m2＝，
∴当m为时，四边形CDNP是平行四边形．
(3)存在，理由如下：
∵对称轴为x＝，
设P点坐标为(m，－m2＋3m＋4)，
∴M点横坐标为×2－m＝3－m，
∴N(m，0)，M(3－m，－m2＋3m＋4)．
①如图1，
∵MN＝2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x＝上，
∴E，
又点E在直线BC：y＝－x＋4，
代入得＝－＋4，
解得m＝或(舍去)，
故此时m的值为．
②如图2，设E点坐标为(n，－n＋4)，N(m，0)，M(3－m，－m2＋3m＋4)，
∵MN＝2ME，
∴0－(－m2＋3m＋4)＝2(－m2＋3m＋4＋n－4)①，
∴3－m－m＝2(n－3＋m)②，
联立①②解得m＝(舍去)或．
综上所述，m的值为或．
3．(2023·菏泽)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，4)，其对称轴为直线x＝－．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B′恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
(3)如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG＋FP的最大值．
[解] (1)抛物线与y轴交于点C(0，4)，
∴c＝4，
∵对称轴为x＝－，
∴－＝－，b＝－3，
∴抛物线的解析式为 y＝－x2－3x＋4．
(2)如图1，过 B′作x轴的垂线，垂足为H，
令－x2－3x＋4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，
∴A(－4，0)，B(1，0)，
∴AB＝1－(－4)＝5，
由翻折可得AB′＝AB＝5，
∵对称轴为直线x＝－，
∴AH＝－－(－4)＝，
∴AB′＝AB＝5＝2AH，
∴∠AB′H＝30°，∠B′AB＝60°，
∴∠DAB＝∠B′AB＝30°，
在Rt△AOD中，OD＝OA tan 30°＝，
∴D．
(3)如图2，PF交x轴于Q，设BC所在直线的解析式为 y1＝k1x＋b1，
把B、C坐标代入得，
解得
∴y1＝－4x＋4，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝45°，
∵∠AEF＝90°，
∴直线PE与x轴所成夹角为45°，即∠PQO＝45°，
设P(m，－m2－3m＋4)，
设PE所在直线的解析式为y2＝－x＋b2，
把点P代入得b2＝－m2－2m＋4，
∴y2＝－x－m2－2m＋4，
令y1＝y2，则－4x＋4＝－x－m2－2m＋4，
解得x＝，
∴FG＝yF＝＋4，PF＝
＝·(xF－xP)＝(m2－m)，
∴FG＋FP＝＋4＋＝－＋，
∵点P在直线AC上方，
∴－4＜m＜0，
∴当m＝－时，FG＋FP的最大值为．
课时分层评价卷(十三) 二次函数的应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．[跨学科](2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6 s；
②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [①令h＝0，则30t－5t2＝0，
解得t1＝0，t2＝6，
∴小球从抛出到落地需要6 s，
故①正确；
②h＝30t－5t2＝－5(t2－6t)＝－5(t－3)2＋45，
∵－5＜0，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动中的高度可以是30m，
故②正确；
③t＝2时，h＝30×2－5×4＝40(m)，
t＝5时，h＝30×5－5×25＝25(m)，
∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，
故③错误．
故选C．]
2．(2024·甘肃)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车______完全停到车棚内(填“能”或“不能”)．
能 [∵CD＝4 m，B(6，2.68)，
∴6－4＝2，
在y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6中，
当x＝2时，y＝－0.02×22＋0.3×2＋1.6＝2.12，
∵2.12＞1.8，
∴货车能完全停到车棚内．]
3．(2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m．若实心球落地点为M，则OM＝________m．
[如图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立平面直角坐标系．
由题意可知，P，B(5，4)，其中B点为抛物线顶点，
设抛物线顶点式为y＝a(x－5)2＋4，
将P代入上式，
解得a＝－，
即抛物线的解析式为y＝－(x－5)2＋4，
M为抛物线与x轴的交点，
即y＝－(x－5)2＋4＝0，
解得x1＝，x2＝－(舍)，
∴OM＝ m．]
4．(10分)(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
[解] (1)y＝(200－x)
＝－0.4x2＋20x＋12 000
＝－0.4(x2－50x＋625)＋12 250
＝－0.4(x－25)2＋12 250．
∵200－x≥180，
∴x≤20．
∴当x＝20时，利润最大，最大利润为－0.4(20－25)2＋12 250＝12 240(元)．
答：y与x的函数关系式为y＝－0.4x2＋20x＋12 000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元．
(2)由题意得，12 160＝－0.4(x－25)2＋12 250，
0.4(x－25)2＝12 250－12 160，
∴0.4(x－25)2＝90，
∴(x－25)2＝225．
解得x1＝40(不合题意，舍去)，x2＝10．
∴售出轮椅的辆数为60＋4×＝64(辆)．
答：这天售出64辆轮椅．
5．(10分)(2024·福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
[解] (1)由题意，将A(－2，0)，C(0，－2)代入 y＝x2＋bx＋c，得
∴
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2．
(2)由题意，设P(m，n)(m＜0，n＞0)，
又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴＝2，＝2．
∴＝2．
又CO＝2，
∴n＝2CO＝4．
由m2＋m－2＝4，
∴m1＝－3，m2＝2(舍去)．
∴点P坐标为 (－3，4)．
6．(2024·内蒙古赤峰)如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，下列结论正确的是( )
A．m＋n＝1 B．m－n＝1
C．mn＝1 D．＝1
B [如图，连接AC，BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点B作BN⊥MN于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC，BD互相平分，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAN＋∠DAM＝90°，∠DAM＋∠ADM＝90°，
∴∠BAN＝∠ADM．
∵∠BNA＝∠AMD＝90°，BA＝AD，
∴△ANB≌△DMA(AAS)．
∴AM＝NB，DM＝AN．
∵点A，C的横坐标分别为m，n，
∴A(m，－m2＋4)，C(n，－n2＋4)，
∴E，M(0，－m2＋4)，
设D(0，b)，则B(m＋n，－m2－n2＋8－b)，
N(m＋n，－m2＋4)，
∴BN＝－n2＋4－b，AM＝m，AN＝n，
DM＝m2－4＋b．
又AM＝NB，DM＝AN，
∴－n2＋4－b＝m，n＝m2－4＋b．
∴b＝－n2－m＋4．
∴n＝m2－4－n2－m＋4．
∴(m＋n)(m－n)＝m＋n．
∵点A、C在y轴的同侧，且点A在点C的右侧，
∴m＋n≠0．
∴m－n＝1．
故选B．]
7．[新情境]九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________m2．
46.4 [设矩形在射线OA上的一段长为x m．
(1)当x≤8时，S＝x·＝－x2＋9.8x＝－(x－9.8)2＋48.02，
当x＝8时，S＝46.4．
(2)当x＞8时，S＝x·＝－x2＋13.8x＝－(x－6.9)2＋47.61 ，
由于在x＞8的范围内，S均小于46.4．
所以由(1)(2)得最大面积为 46.4 m2．]
8．(12分)(2024·湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1＋3，求证：的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
[解] (1)将点A的坐标代入抛物线表达式得5＝－4＋c，
则c＝9，
即抛物线的表达式为y＝－x2＋9．
(2)证明：令y＝－x2＋9＝0，则x＝±3，则点B(3，0)，
由点A，B的坐标得，直线AB的表达式为y＝－x＋3．
设点P，Q，D的坐标分别为＋9)，(x1，－x1＋3)，
则S△PDQ＝×PD×(xQ－xP)＝＋9＋x1－3)(x2－x1)＝＋x1＋6)，
同理可得，S△ADC＝×CD×(xD－xA)＝(－x1＋3)(x1＋2)＝＋x1＋6)，
则＝3为定值．
(3)点P，Q的坐标分别为＋9)，
由点P，Q的坐标得，直线PQ的表达式为y＝＋9，
则MN＝yM＝＋9＝－＋，
故MN的最大值为．
9．(13分)[项目式学习试题](2024·山西)综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F(不与C，P重合)，过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
[解] (1)建立如图所示的平面直角坐标系，
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6，
∴OA＝OB＝AB＝×6＝3．
∴点B的坐标为(3，0)，
∵OP＝9，
∴点P的坐标为(0，9)，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋9，
∵点B(3，0)在抛物线y＝ax2＋9 上，
∴9a＋9＝0，
解得a＝－1．
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋9(－3≤x≤3)．
(2)点D，E在抛物线y＝－x2＋9 上，
∴设点E的坐标为(m，－m2＋9)，
∵DE∥AB，交y轴于点F，
∴DF＝EF＝m，OF＝－m2＋9，
∴DE＝2m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OC＝AB＝×6＝3．
∴CF＝OF－OC＝－m2＋9－3＝－m2＋6，
根据题意，得DE＋CF＝6，
∴－m2＋6＋2m＝6，
解得m1＝2，m＝0(不符合题意，舍去)，
∴m＝2．
∴DE＝2m＝4，CF＝－m2＋6＝2．
答：DE的长为4米，CF的长为2米．
(3)如图矩形灯带为GHML，
由点A，B，C的坐标得，直线AC和BC的表达式分别为y＝x＋3，y＝－x＋3，
设点G(m，－m2＋9)，H(－m，－m2＋9)，L(m，m＋3)，M(－m，－m＋3)，
则矩形周长为2(GH＋GL)＝2(－2m－m2＋9－m－3)＝－2(m＋1.5)2＋，
故矩形周长的最大值为米．(共95张PPT)
第五节 二次函数的应用
第三章 函数
考点一 二次函数的实际应用
1．利用二次函数解决实际问题的一般步骤
(1)审：审清题意，理解问题；
(2)找：分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)列：用函数解析式表示它们之间的关系(建立数学模型)；
(4)解：用数学方法求解；
(5)验：检验结果的合理性；
(6)答：写出问题的答案．
链接教材 基础过关
2．常见题型
(1)最值问题：在日常生活中，经常遇到求某种图形的最大面积、获取最大经济利润、怎样最节省开支等问题，利用二次函数的图象和性质，便可以解决这类问题，这就需要把这类问题转化为求二次函数的最值问题．解决该类问题的一般步骤为：
(ⅰ)找：找题目中的数量关系；
(ⅱ)列：列出函数关系式；
(ⅲ)求：利用配方法将表达式化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式或利用公式法确定最值．
(2)抛物线形问题：在实际生活中常遇到以下抛物线形问题：拱形桥洞、涵洞、隧道、拱形门、球类的运动路线、跳水运动员的跳水路线等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系，用待定系数法确定函数表达式，进而解决问题．
考点二 二次函数的综合应用
二次函数的综合题多与一元二次方程、不等式、几何知识综合在一起，考查较多的是面积问题、动点问题、存在性问题，难度大、综合性强．
√
2．(青岛版九下P50例1改编)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是________平方米．
450
450 [由题意，设垂直于外墙的边长为x米，则平行于外墙的边长为(60－2x)米，
又墙长为40米，
∴0＜60－2x≤40．
∴10≤x＜30．
又菜园的面积S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x
＝－2(x－15)2＋450，
∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450，
即垂直于外墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．]
3．(人教版九上P52T8改编)某酒店有A、B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7 200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3 200元．
(1)求A、B两种客房每间定价分别是多少元？
(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲，当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
【典例1】 (2024·济宁)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
考点突破 对点演练
命题点1 二次函数的实际应用
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
[对点演练]
1．(2023·临沂)综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价(元/盆) 日销售量(盆)
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理：
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价(元/盆) ____ ____ ____ ____ ____
日销售量(盆) ____ ____ ____ ____ ____
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
拓广应用
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
[解] (1)根据销售单价从小到大排列得下表：
售价(元/盆) 18 20 22 26 30
日销售量(盆) 54 50 46 38 30
(3)①∵每天获得400元的利润，
∴(x－15)(－2x＋90)＝400，
解得x＝25或x＝35，
∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元．
②设每天获得的利润为w元，
根据题意得w＝(x－15)(－2x＋90)＝－2x2＋120x－1 350＝－2(x－30)2＋450，
∵－2＜0，
∴当x＝30时，w取最大值450，
∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
2．(2023·菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
[解] (1)设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为(120－3x)米，
根据题意得，S＝x(120－3x)＝－3x2＋120x
＝－3(x－20)2＋1 200，
∵－3＜0，
∴当x＝20时，S取最大值1 200，
∴120－3x＝120－3×20＝60，
∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为
1 200平方米．
(2)设购买牡丹m株，则购买芍药1 200×2－m＝(2 400－m)株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m＋15(2 400－m)≤50 000，
解得m≤1 400，
∴最多可以购买1 400株牡丹．
【典例2】 (2024·山东)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a>0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
(1)求m的值；
(2)若点Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1命题点2 二次函数的综合应用
(2)∵点Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的图象上，
∴a－2a－3＝－4，
解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
y＝(x－1)2－4＋5＝(x－1)2＋1，
∵0≤x≤4，
∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为(4－1)2＋1＝10，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11．
[对点演练]
3．(2024·济宁)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(0，－3)，(－b，c)两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是－4，且它的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
[解] (1)∵函数过(0，－3)，(－b，c)，
∴c＝－3，ab2－b2＋c＝c，
∴(a－1)b2＝0，
∵ab＞0，
∴a≠0，b≠0，
∴a－1＝0，
∴a＝1．
∵ab＞0，
∴b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2＋2x－3，
令y＝0，则x2＋2x－3＝0，
解得x1＝－3，x2＝1，
∴点A坐标(－3，0)，点B坐标(1，0)．
【教师备选资源】
1．(2023·聊城)如图1，抛物线y＝ax2＋bx－9与x轴交于点A(－3，0)，B(6，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图2，当点P(m，0)从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．
(2)由题意，P(m，－m2＋3m＋4)，
∴PN＝－m2＋3m＋4，
当四边形CDNP是平行四边形时，PN＝CD，
∴OD＝－m2＋3m＋4－4＝－m2＋3m，
∴D(0，m2－3m)，N(m，0)，
设直线MN的解析式为y＝k1x＋m2－3m，
把 N(m，0)代入可得k1m＋m2－3m＝0，
解得k1＝3－m，
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
课时分层评价卷(十三) 二次函数的应用
1．[跨学科](2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6 s；
②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
C [①令h＝0，则30t－5t2＝0，
解得t1＝0，t2＝6，
∴小球从抛出到落地需要6 s，
故①正确；
②h＝30t－5t2＝－5(t2－6t)＝－5(t－3)2＋45，
∵－5＜0，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动中的高度可以是30m，
故②正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
③t＝2时，h＝30×2－5×4＝40(m)，
t＝5时，h＝30×5－5×25＝25(m)，
∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，
故③错误．
故选C．]
题号
1
3
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2
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8
7
9
2．(2024·甘肃)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车______完全停到车棚内(填“能”或“不能”)．
题号
1
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2
4
6
8
7
9
能
能 [∵CD＝4 m，B(6，2.68)，
∴6－4＝2，
在y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6中，
当x＝2时，y＝－0.02×22＋0.3×2＋1.6＝2.12，
∵2.12＞1.8，
∴货车能完全停到车棚内．]
题号
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题号
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题号
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4．(10分)(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
题号
1
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9
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
题号
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9
题号
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题号
1
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7
9
5．(10分)(2024·福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在
第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的
面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
题号
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题号
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9
√
B [如图，连接AC，BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点B作BN⊥MN于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC，BD互相平分，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAN＋∠DAM＝90°，∠DAM＋∠ADM＝90°，
∴∠BAN＝∠ADM．
∵∠BNA＝∠AMD＝90°，BA＝AD，
∴△ANB≌△DMA(AAS)．
∴AM＝NB，DM＝AN．
题号
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9
题号
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9
∴b＝－n2－m＋4．
∴n＝m2－4－n2－m＋4．
∴(m＋n)(m－n)＝m＋n．
∵点A、C在y轴的同侧，且点A在点C的右侧，
∴m＋n≠0．
∴m－n＝1．
故选B．]
题号
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7．[新情境]九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________m2．
题号
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46.4
题号
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8．(12分)(2024·湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点．
题号
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[解] (1)将点A的坐标代入抛物线表达式得5＝－4＋c，
则c＝9，
即抛物线的表达式为y＝－x2＋9．
题号
1
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9．(13分)[项目式学习试题](2024·山西)综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
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第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F(不与C，P重合)，过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
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(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
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