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第三节 反比例函数
第三章 函数
链接教材 基础过关
原点
双曲线
图象 所在象限 增减性
k__0 第_______象限 在每一象限内，y的值随x值的增大而_____
k__0 第_______象限 在每一象限内，y的值随x值的增大而_____
2．反比例函数的性质
＞
一、三
减小
＜
二、四
增大
考点四 反比例函数的应用
1．与一次函数的综合
(1)确定交点坐标：方法一(仅适用于正比例函数)：已知一个交点坐标为(a，b)，则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(－a，－b)．方法二：联立两个函数表达式，利用方程思想求解．
(2)确定函数表达式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数表达式中求解．
(3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项进行判断、排除．
(4)比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围．
2．反比例函数的实际应用
(1)根据题意找出自变量与因变量之间的关系．
(2)设出函数表达式．
(3)依题意求解函数表达式．
(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题．
√
C [A．是正比例函数，故A错误；
B．是正比例函数，故B错误；
C．是反比例函数，故C正确；
D．不符合反比例函数的定义，故D错误．
故选C．]
2．已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为( )
A B C D
√
A．－6 B．3 C．6 D．12
√
√
5．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了________度．
200
考点突破 对点演练
命题点1 反比例函数的图象与性质
√
(1)若几个点在同一象限，则按反比例函数的增减性解答．
(2)若两个点不在同一象限，则k＞0时，第一象限的函数值大于第三象限的函数值，k＜0时，第二象限的函数值大于第四象限的函数值．
反比例函数增减性的应用
√
√
∴b＜c＜0，
∵－2＜0，
∴A(a，－2)在第四象限，
∴a＞0，
∴a，b，c的大小关系是a＞c＞b，
∴a－b＞0，b－c＜0，
∴a－b＞b－c．
故选C．]
命题点2 反比例函数系数k的几何意义
√
A [作图，作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H．
－22
命题点3 反比例函数与一次函数的综合
x a 1
2x＋b a 1 ______
______ ______ 7
x －2 1
2x＋b －2 1 7
－2 7
[解] (1)如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BDC＝∠AOB，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO＋∠CBD
＝90°，
【典例4】 [跨学科](2024·吉林)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
命题点4 反比例函数的实际应用
(1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围)；
(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．
[对点演练]
5．(2023·临沂)正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105 m3，设土石方日平均运送量为V(单位：m3/天)，完成运送任务所需要的时间为t(单位：天)，则V与t满足( )
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
√
6．[情境题]机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝_____m/s．
4
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
题号
1
3
5
2
4
6
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课时分层评价卷(十一) 反比例函数
√
题号
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A B C D
√
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√
5．[情境题](2024·河北)节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是( )
A．若x＝5，则y＝100
B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小
D．若x减小一半，则y增大一倍
题号
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6．[跨学科](2024·江苏连云港)杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m，动力为F(N)，动力臂为l(m)．则动力F关于动力臂l的函数表达式为________．
题号
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四
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＜
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A．1 B．2 C．3 D．4
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C [如图，作BE⊥x轴，垂足为E，
√
题号
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(2，1)
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15．(12分)[新定义](2024·内蒙古赤峰)在平面直角坐标系中，对于点M(x1，y1)，给出如下定义：当点N(x2，y2)，满足x1＋x2＝y1＋y2时，称点N是点M的等和点．
(1)已知点M(1，3)，在N1(4，2)，N2(3，－1)，N3(0，－2)中，是点M等和点的有______________________；
(2)若点M(3，－2)的等和点N在直线y＝x＋b上，求b的值；
题号
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N1(4，2)和N3(0，－2)
题号
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15
[解] (2)设点N的横坐标为a，
∵点N是点M(3，－2)的等和点，
∴点N的纵坐标为3＋a－(－2)＝a＋5，
∴点N的坐标为(a，a＋5)，
∵点N在直线y＝x＋b上，
∴a＋5＝a＋b，
∴b＝5．
题号
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(3)由题意可得，k>0，双曲线分布在第一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A，B，如图，由y14或
－2题号
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题号
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14
15第三节 反比例函数
考点一 反比例函数的概念
一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
考点二 反比例函数的图象及性质
1．反比例函数的图象
反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，且关于原点中心对称．
2．反比例函数的性质
图象 所在象限 增减性
k＞0 第一、三象限 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小
k<0 第二、四象限 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大
考点三 反比例函数系数k的几何意义
1．意义：从反比例函数y＝(k≠0)的图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|，以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|．
2．常见的面积类型
考点四 反比例函数的应用
1．与一次函数的综合
(1)确定交点坐标：方法一(仅适用于正比例函数)：已知一个交点坐标为(a，b)，则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(－a，－b)．方法二：联立两个函数表达式，利用方程思想求解．
(2)确定函数表达式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数表达式中求解．
(3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项进行判断、排除．
(4)比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围．
2．反比例函数的实际应用
(1)根据题意找出自变量与因变量之间的关系．
(2)设出函数表达式．
(3)依题意求解函数表达式．
(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题．
1．(人教版九上P8复习巩固T2改编)下列关系式中，是反比例函数的是( )
A．y＝2x B．y＝
C．y＝－ D．y＝－1
C [A．是正比例函数，故A错误；
B．是正比例函数，故B错误；
C．是反比例函数，故C正确；
D．不符合反比例函数的定义，故D错误．
故选C．]
2．已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为( )
A B
C D
A [∵矩形的面积为10，长为y，宽为x，
∴10＝xy，即y＝，
∵此函数是反比例函数，其图象是双曲线，
∴C、D错误，
∵x＞0，y>0，
∴其图象在第一象限，
故选A．]
3．(青岛版九下P26习题5.2T9改编)如图，已知点P为反比例函数y＝－图象上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那么四边形MONP的面积为( )
A．－6 B．3 C．6 D．12
C [由于点P为反比例函数y＝－图象上的一点，
则四边形MONP的面积S＝|k|＝6．
故选C．]
4．反比例函数y＝－的图象一定经过的点是( )
A．(1，10) B．(－2，5)
C．(2，5) D．(2，8)
B [当x＝1时，y＝－＝－10，图象不经过(1，10)，故A不符合要求；
当x＝－2时，y＝－＝5，图象一定经过(－2，5)，故B符合要求；
当x＝2时，y＝－＝－5，图象不经过(2，5)，故C不符合要求；
当x＝2时，y＝－＝－5，图象不经过(2，8)，故D不符合要求．
故选B．]
5．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了________度．
200 [设y＝(k≠0)，
∵(0.2，500)在图象上，
∴k＝500×0.2＝100，
∴函数解析式为y＝，
当x＝0.25时，y＝＝400，
当x＝0.5时，y＝＝200，
∴度数减少了400－200＝200(度)．]
命题点1 反比例函数的图象与性质
【典例1】 (2024·济宁)已知点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
C [在反比例函数y＝中k＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵C(3，y3)在第四象限，
∴y3＜0，
∵－2＜－1，
∴0＜y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选C．]
反比例函数增减性的应用
(1)若几个点在同一象限，则按反比例函数的增减性解答．
(2)若两个点不在同一象限，则k＞0时，第一象限的函数值大于第三象限的函数值，k＜0时，第二象限的函数值大于第四象限的函数值．
[对点演练]
1．(2024·天津)若点A(x1，－1)，B(x2，1)，C(x3，5)都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2
C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3
B [∵k＝5＞0，
∴反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A(x1，－1)，B(x2，1)，C(x3，5)都在反比例函数y＝的图象上，
∴点A(x1，－1)分布在第三象限，B(x2，1)，C(x3，5)分布在第一象限，且1＜5，
∴x1＜0，x2＞x3＞0，
∴x1＜x3＜x2．
故选B．]
2．若点A(a，－2)，B(b，1)，C(c，2)都在反比例函数y＝－的图象上，则a，b，c所满足的大小关系中，正确的是( )
A．a－b＜a－c B．a＋c＜c＋b
C．a－b＞b－c D．a＋c＜a＋b
C [∵反比例函数y＝－中，k＝－3＜0，
∴此函数图象在第二、四象限，
∵2＞1＞0，
∴点B(b，1)，C(c，2)在第二象限，
∴b＜c＜0，
∵－2＜0，
∴A(a，－2)在第四象限，
∴a＞0，
∴a，b，c的大小关系是a＞c＞b，
∴a－b＞0，b－c＜0，
∴a－b＞b－c．
故选C．]
命题点2 反比例函数系数k的几何意义
【典例2】 (2024·江苏苏州)如图，点A为反比例函数y＝－(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B，则的值为( )
A． B． C． D．
A [作图，作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H．
∵点A在反比例函数y＝－图象上，点B在反比例函数y＝图象上，
∴S△AGO＝，S△BOH＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB，
∴△AGO∽△OHB，
∴＝＝，
∴＝．
故选A．]
[对点演练]
3．[易错题]如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P，Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为________．
－22 [∵l∥y轴，
∴PQ⊥OM，
∴S△POQ＝S△OMQ＋S△OMP，
∴15＝|k|＋×8，
∴|k|＝22，
∵k＜0，
∴k＝－22．]
命题点3 反比例函数与一次函数的综合
【典例3】 (2024·山东)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x＋b与y＝部分自变量与函数值的对应关系：
x － a 1
2x＋b a 1 ______
______ ______ 7
(1)求a、b的值，并补全表格；
(2)结合表格，当y＝2x＋b的图象在y＝的图象上方时，直接写出x的取值范围．
[解] (1)当x＝－时，2x＋b＝a，即－7＋b＝a，
当x＝a时，2x＋b＝1，即2a＋b＝1，
∴解得
∴一次函数为y＝2x＋5，
当x＝1时，y＝7，
∵当x＝1时，y＝＝7，即k＝7，
∴反比例函数为y＝，
当x＝－时，y＝7÷＝－2，
当x＝－2时，y＝－，
补全表格如下：
x － －2 1
2x＋b －2 1 7
－2 － 7
(2)由表格信息可得，两个函数的交点坐标分别为，(1，7)，
∴当y＝2x＋b的图象在y＝的图象上方时，x的取值范围为－1．
[对点演练]
4．(2023·聊城)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(－1，4)，B(a，－1)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)点P(n，0)在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．
[解] (1)∵一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(－1，4)，B(a，－1)两点，
∴m＝－1×4＝－4，
故反比例函数的解析式为y＝－，
∴a＝－＝4，
故B(4，－1)，
∵一次函数y＝kx＋b过点A，B，
∴解得
∴一次函数的解析式为y＝－x＋3．
(2)∵A(－1，4)，B(4，－1)，P(n，0)，BQ∥AP，BQ＝AP，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A到点P的平移规律是向左平移(－1－n)个单位长度，向下平移4个单位长度，
∴点B(4，－1)到点Q的平移规律也是向左平移(－1－n)个单位长度，向下平移4个单位长度，
故Q(5＋n，－5)，
∵Q(5＋n，－5)在y＝－上，
∴5＋n＝－＝，
解得n＝－，
∴点P的坐标为，
设AB与x轴交于点C，连接PB，如图所示，
把y＝0代入y＝－x＋3，解得x＝3，
∴C(3，0)，
∴PC＝3－＝，
∴S△APB＝×[4－(－1)]＝18，
∵四边形APQB为平行四边形，
∴S四边形APQB＝2S△APB＝36，
∴当n＝－时，符合题意．
【教师备选资源】
1．(2023·济宁)如图，正比例函数y1＝x和反比例函数y2＝(x>0)的图象交于点A(m，2)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2＝(x>0)的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．
[解] (1)把A(m，2)代入y1＝x得，
m＝2，
解得m＝4，
∴A(4，2)，
把A(4，2)代入y2＝(x>0)得，
＝2，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y2＝．
(2)过点C作CM⊥x轴于M，交AB于点N，如图，
将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为y＝x＋3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为(0，3)，
设直线AB的函数解析式为y＝mx＋n，
将A(4，2)，B(0，3)代入可得，
解得
∴直线AB的函数解析式为y＝－x＋3，
联立解析式得
解得
∴C点坐标为(2，4)，
在y＝－x＋3中，当 x＝2时，y＝，
∴CN＝4－＝，
∴S△ABC＝×4＝3，
∴△ABC的面积为3．
2．(2023·菏泽)如图，已知坐标轴上两点A(0，4)，B(2，0)，连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C(a，1)．
(1)求反比例函数y＝和直线OC的表达式；
(2)将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
[解] (1)如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BDC＝∠AOB，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO＋∠CBD
＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
∴△CBD∽△BAO，
∴＝，
∵A(0，4)，B(2，0)，C(a，1)，
∴AO＝4，BO＝2，CD＝1，
∴＝，
∴BD＝2，
∴OD＝BO＋BD＝4，
∴a＝4，
∴点C的坐标是(4，1)，
∵反比例函数y＝过点C，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
设直线OC的解析式为y＝mx，
∵其图象经过点C(4，1)，
∴4m＝1，
解得m＝，
∴直线OC的解析式为y＝x．
(2)将直线OC向上平移个单位，得到直线l，
∴直线l的解析式为y＝x＋，
由题意得，
解得
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或(2，2)．
命题点4 反比例函数的实际应用
【典例4】 [跨学科](2024·吉林)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围)；
(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．
[解] (1)设这个反比例函数的解析式为I＝(U≠0)，
把(9，4)代入I＝(U≠0)中得4＝(U≠0)，
解得U＝36，
∴这个反比例函数的解析式为I＝．
(2)在I＝中，当R＝3 Ω时，I＝＝12(A)，
∴此时的电流I为12 A．
[对点演练]
5．(2023·临沂)正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105 m3，设土石方日平均运送量为V(单位：m3/天)，完成运送任务所需要的时间为t(单位：天)，则V与t满足( )
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
A [根据题意得Vt＝105，
∴V＝，V与t满足反比例函数关系．
故选A．]
6．[情境题]机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝________m/s．
4 [设反比例函数解析式为v＝，
∵机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s，
∴k＝60×6＝360，
∴反比例函数解析式为v＝，
当m＝90 kg时，v＝＝4(m/s)，
∴当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝4 m/s．]
课时分层评价卷(十一) 反比例函数
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．(2024·重庆)已知点(－3，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值为( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
C [∵点(－3，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，
∴k＝－3×2＝－6．
故选C．]
2．(2024·广西)已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，若x1＜0＜x2，则有( )
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1
C．y1＜y2＜0 D．0＜y1＜y2
A [∵2＞0，
∴反比例函数y＝的图象在第一、三象限，
∵x1＜0＜x2，
∴y1＜0＜y2．
故选A．]
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋1(k≠0)和y＝(k≠0)的图象可能是( )
A B
C D
D [当k＞0时，一次函数y＝kx＋1的图象经过第一、二、三象限，反比例函数y＝(k≠0)的图象位于第一、三象限；
当k＜0时，一次函数y＝kx＋1的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y＝(k≠0)的图象位于第二、四象限．
故选D．]
4．(2024·安徽)已知反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
A [将x＝3代入y＝2－x中，得y＝－1，将(3，－1)代入y＝中，得k＝－3．故选A．]
5．[情境题](2024·河北)节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是( )
A．若x＝5，则y＝100
B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小
D．若x减小一半，则y增大一倍
C [由题意，得y＝．
A．若x＝5，则y＝＝100，正确，故此选项不符合题意；
B．若y＝125，则125＝，解得x＝4，正确，故此选项不符合题意；
C．若x减小，则y增大，原说法错误，故此选项符合题意；
D．若x减小一半，即y′＝＝，所以y增大一倍，正确，故此选项不符合题意．
故选C．]
6．[跨学科](2024·江苏连云港)杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m，动力为F(N)，动力臂为l(m)．则动力F关于动力臂l的函数表达式为________．
F＝ [∵l·F＝1 600×0.5＝800，∴F＝．]
7．(2024·四川遂宁)反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点(k，－3)在第________象限．
四 [因为反比例函数y＝的图象在第一、三象限，
所以k－1＞0，
解得k＞1，
所以点(k，－3)在第四象限．]
8．(2024·陕西)已知点A(－2，y1)和点B(m，y2)均在反比例函数y＝－的图象上．若0＜m＜1，则y1＋y2________0．(填“＞”“＝”或“＜”)
＜ [∵点A(－2，y1)和点B(m，y2)均在反比例函数y＝－的图象上，
∴y1＝，y2＝－，
∵0＜m＜1，
∴y2＜－5，
∴y1＋y2<－5＝－<0．]
9．(2024·内蒙古包头)若反比例函数y1＝，y2＝－，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝________．
[∵反比例函数y1＝，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，
∴y随x的增大而减小，当x＝1时，函数最大值a＝2，
∵反比例函数y2＝－，当1≤x≤3时，函数y2的最大值是b，
∴y随x的增大而增大，当x＝3时，函数最大值b＝－1，
∴ab＝2-1＝．]
10．(9分)(2024·湖北)如图，一次函数y＝x＋m的图象与x轴交于点A(－3，0)，与反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象在第一象限的部分交于点B(n，4)．
(1)求m，n，k的值；
(2)若C是反比例函数y＝的图象在第一象限部分上的点，且△AOC的面积小于△AOB的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围．
[解] (1)把点A(－3，0)坐标代入y＝x＋m，得0＝－3＋m，
解得m＝3，
∴一次函数的解析式为y＝x＋3．
把点B(n，4)坐标代入y＝x＋3，得4＝n＋3，
解得n＝1，
∴点B的坐标为(1，4)，
把点B(1，4)代入y＝(k≠0)，得4＝，
解得k＝4．
综上，m＝3，n＝1，k＝4．
(2)∵△AOC的面积小于△AOB的面积，
∴yC＜yB，即yC＜4，
∵点C在反比例函数图象上，且在第一象限，
∴<4，
∴a＞1．
11．(2024·泸州)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－k＝0无实数根，则函数y＝kx与函数y＝的图象交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
A [∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－k＝0无实数根，
∴Δ＝4－4(1－k)＜0，
解得k＜0，
则函数y＝kx的图象经过第二、四象限，函数y＝的图象分布在第一、三象限，
∴两个函数的图象没有交点．
故选A．]
12．(2024·新疆)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在y＝的图象上任取点，y1)和点Q(x2，y2)，如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD＝．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [如图，作BE⊥x轴，垂足为E，
①根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项正确；
②∵点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
在△OBE和△OAC中，
∴△OBE≌△OAC(AAS)，
∴OE＝OC，
∵EB∥y轴，
∴△OCD∽△ECB，
∵OE＝OC，
∴＝＝，
∴D是CB的中点，
∴OD是△BCE的中位线，故选项正确；
③在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项错误；
④S△BOD＝S△BOC＝S△AOC＝×1＝，故S△BOD＝正确．
其中正确的结论是①②④，共3个．
故选C．]
13．(2024·福建)如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A(1，2)，则点B的坐标为________．
(2，1) [根据圆和反比例函数的图象都是中心对称图形，点A与B关于直线y＝x对称，
设直线AB的解析式为y＝－x＋b，将点A(1，2)坐标代入，得
2＝－1＋b，解得b＝3，
∴直线AB解析式为y＝－x＋3，
∵点A(1，2)在反比例函数图象上，
∴反比例函数解析式为y＝，
联立方程组解得或
∴B(2，1)．]
14．(2024·江苏扬州)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为________．
2 [设点B坐标为，
∵A(1，0)，
∴AC＝m－1，
由对称可知：AD＝m－1，∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°，
作DG⊥x轴，垂足为G，
∴AG＝，DG＝，
∴D，
∵点D在反比例函数图象上，
∴＝k，①
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，∴BC＝AC，即＝(m－1)，②
由①②解得k＝2．]
15．(12分)[新定义](2024·内蒙古赤峰)在平面直角坐标系中，对于点M(x1，y1)，给出如下定义：当点N(x2，y2)，满足x1＋x2＝y1＋y2时，称点N是点M的等和点．
(1)已知点M(1，3)，在N1(4，2)，N2(3，－1)，N3(0，－2)中，是点M等和点的有________；
(2)若点M(3，－2)的等和点N在直线y＝x＋b上，求b的值；
(3)已知双曲线y1＝和直线y2＝x－2，满足y14或－2[解] (1)N1(4，2)和N3(0，－2)．
(2)设点N的横坐标为a，
∵点N是点M(3，－2)的等和点，
∴点N的纵坐标为3＋a－(－2)＝a＋5，
∴点N的坐标为(a，a＋5)，
∵点N在直线y＝x＋b上，
∴a＋5＝a＋b，
∴b＝5．
(3)由题意可得，k>0，双曲线分布在第一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A，B，如图，由y14或－2把x＝4代入y＝x－2得，y＝4－2＝2，
∴A(4，2)，
把A(4，2)代入y1＝得，2＝，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为y1＝．
设P，点Q的横坐标为n，
∵点Q是点P的等和点，
∴点Q的纵坐标为m＋n－，
∴Q，
∵点Q在直线y2＝x－2上，
∴m＋n－＝n－2，
整理得m－＋2＝0，
去分母，得m2＋2m－8＝0，
解得m＝－4或m＝2，
经检验，m＝－4，m＝2是方程m－＋2＝0的解，
∴点P的坐标为(－4，－2)或(2，4)．
