(共72张PPT)
第三节 全等三角形
第四章 几何初步与三角形
链接教材 基础过关
考点一 全等三角形的判定和性质
1．全等三角形的相关概念
(1)全等形：能够完全_____的两个图形叫做全等形．
(2)全等三角形：能够完全_____的两个三角形叫做全等三角形．
重合
重合
2．全等三角形的判定
定理 内容
SSS _____分别相等的两个三角形全等
SAS 两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等
ASA 两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等
AAS 两角分别相等且其中一组等角的_____相等的两个三角形全等
HL _____和一条_____边分别相等的两个直角三角形全等
三边
夹角
夹边
对边
斜边
直角
3．全等三角形的性质
边 全等三角形的对应边_____
角 全等三角形的对应角_____
线 全等三角形对应边上的高、中线，对应角的角平分线均相等
周长 全等三角形的周长_____
面积 全等三角形的面积_____
相等
相等
相等
相等
考点二 角平分线的性质和判定
1．性质：角的平分线上的点到角的两边的距离_____．
2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的_______上．
相等
平分线
1．如图，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中不能保证△ABC≌△AED的条件是( )
A．① B．② C．③ D．④
√
B [∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠CAE＋∠BAE＝∠DAB＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，又AC＝AD，
∴当AB＝AE时，根据“SAS”可判断△ABC≌△AED；
当∠C＝∠D时，根据“ASA”可判断△ABC≌△AED；
当∠B＝∠E时，根据“AAS”可判断△ABC≌△AED．
故选B．]
2．(人教八上P32练习T2改编) 如图，△ABC≌△ADE，已知∠C＝25°，∠D＝105°，则∠CAB＝( )
A．25° B．50° C．60° D．105°
√
B [∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝105°，
∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝180°－105°－25°＝50°．故选B．]
3．如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，则下列结论正确的是( )
A．点F在BC边的垂直平分线上
B．点F在∠BAC的平分线上
C．△BCF是等腰三角形
D．△BCF是直角三角形
√
B [过点F分别作AE，BC，AD的垂线FP，FM，FN，垂足分别为P，M，N，
∵CF是∠BCE的平分线，
∴FP＝FM．
同理，FM＝FN，
∴FP＝FN，
∴点F在∠DAE的平分线上，即点F在∠BAC的平分线上．故选B．]
4．(青岛版八上P53练习T1改编)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
√
C [过P作PE⊥AO于E，
∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，
∴PE＝PD＝2，
∴点P到OA的距离是2．
故选C．]
【典例1】 (2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
(1)求证：∠EAD＝∠EDA；
(2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．
考点突破 对点演练
命题点1 全等三角形的判定
判定三角形全等的三种思路
已知两边 找夹角(SAS)
找直角(HL)
找另一边(SSS)
已知一边一角 边为角的对边 找任一角(AAS)
已知一边一角 边为角的邻边 找夹边的另一角(ASA)
找夹角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS)
已知两角 找夹边(ASA)
找任意已知角的对边(AAS)
[对点演练]
1．(2023·临沂)如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB＋BD．
(1)写出AB与BD的数量关系；
(2)延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，
使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB；
(3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．
(3)证明：延长CH交EF的延长线于点J，如图3．
∵∠ACE＝180°－∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，
∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，
∵∠ACB＝∠E＝45°，
∴AC∥EJ，
∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，
∴CE＝EJ＝CB，
∵BC＝BD＋AB，EJ＝EF＋FJ，
∴FJ＝AB＝AC，
∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，
∴△ACH≌△FJH(AAS)，
∴AH＝FH．
【典例2】 (2024·兰陵县三模)如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
命题点2 全等三角形的性质
√
D [①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．
∵DF∥AC，AC⊥AE，
∴DF⊥AE．
又∵BG⊥FD，
∴BG∥AE，
∴四边形ABGF为矩形．
③∵△EAB≌△BCD，
∴∠AEB＝∠CBD，
又∵∠AEB＋∠ABE＝90°，
∴∠CBD＋∠ABE＝90°，
∴∠EBD＝90°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE＝45°，
[对点演练]
2．(2024·济宁期末)如图，△ABC≌△DEC，B，C，D在同一直线上，且CE＝6，AC＝8，则BD长( )
A．12 B．14 C．16 D．18
B [∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE＝6，CD＝AC＝8，
∴BD＝BC＋CD＝14，
故选B．]
√
3．(2024·成武县三模)如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是( )
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE
C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
√
B [∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选B．]
命题点3 角平分线的性质和判定
6
6 [由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线，
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∵MN⊥AB，
∴MD＝MN＝2．
∴AD＝4MD＝8，
∴AM＝AD－MD＝6．]
有角平分线(或证明角平分线)时，常过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线的性质解决问题．
[对点演练]
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝20，CD＝6，则△ABD的面积为( )
A．80 B．60 C．20 D．10
√
B [过点D作DE⊥AB，垂足为E，
5．(2024·梁山县一模)如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，CD＝3 cm，点P在AB上，连接DP，则DP的最小值为________cm．
3
3 [作DP′⊥AB于P′，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DP′⊥AB，
∴DP′＝DC＝3 cm，
则DP的最小值为3 cm，
故答案为3．]
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课时分层评价卷(十六) 全等三角形
1．(2024·江苏常州)如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，
则( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
A．d1与d2一定相等
B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等
D．l1与l2一定不相等
A [根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可知，当点P在∠AOB的平分线上时，d1与d2一定相等，
故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．[数学文化]我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是( )
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
11
12
13
14
3．如图，△ABC≌△BAD，如果∠CAB＝35°，∠CBD＝30°，那么∠DAB度数是( )
A．60° B．65°
C．75° D．85°
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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11
12
13
14
B [∵△ABC≌△BAD，
∴∠DBA＝∠CAB＝35°，∠DAB＝∠CBA，
∴∠CBA＝∠DBA＋∠CBD＝35°＋30°＝65°，
∴∠DAB的度数是65°．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
1
3
5
2
4
6
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12
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题号
1
3
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4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．(2024·重庆)如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝________．
3
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
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题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
∵∠CAB＝∠CFA，
∴∠CAB＝∠E，
又CA＝DE，
∴△CAB≌△DEA(ASA)，
∴BC＝AD＝4，
∴BF＝BC－CF＝3，故答案为3．]
题号
1
3
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2
4
6
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11
12
13
14
6．(2024·四川成都)如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为________．
100°
题号
1
3
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2
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13
14
100° [∵△ABC≌△CDE，
∴∠ACB＝∠CED＝45°，
∵∠D＝35°，
∴∠DCE＝180°－∠CED－∠D＝180°－45°－35°＝100°．]
题号
1
3
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14
7．(2024·单县三模)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC≌△EDC，点D在边AB上，AC、ED交于点F，若∠A＝24°，则∠EFC的度数是________．
108°
题号
1
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108° [∵△ABC≌△EDC，∠A＝24°，
∴BC＝CD，∠A＝∠E＝24°，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠BDC＝90°－24°＝66°，
∴∠BCD＝180°－2×66°＝48°＝∠ACE，
∴∠EFC＝180°－∠ECF－∠E＝108°．
故答案为108°．]
题号
1
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14
8．(10分)如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求证：∠C＝∠D．
题号
1
3
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6
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7
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12
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题号
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13
14
9．(10分)(2024·四川内江)如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数．
题号
1
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题号
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13
14
(2)∵∠A＝55°，∠E＝45°，
由(1)可知，△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠FDE＝55°，
∴∠F＝180°－(∠FDE＋∠E)＝180°－(55°＋45°)＝80°．
题号
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题号
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题号
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12．(2024·甘肃临夏州)如图，在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(4，1)，点C的坐标为(3，4)，点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是________．
(1，4)
题号
1
3
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2
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6
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(1，4) [∵点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD 与△ABC 全等，
∴△BAD≌△ABC，
∴AD＝BC，BD＝AC，如图所示，
由图可知，D(1，4)．]
题号
1
3
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14
13．(12分)如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．
(1)求证：△BDE≌△CDA．
(2)若AD⊥BC，求证：BA＝BE．
题号
1
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题号
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13
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(2)∵点D为BC的中点，AD⊥BC，
∴直线AD为线段BC的垂直平分线，
∴BA＝CA，
由(1)可知，△BDE≌△CDA，
∴BE＝CA，
∴BA＝BE．
14．[新定义] (2024·四川遂宁)如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
题号
1
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题号
1
3
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题号
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13
14
∵AB＝AB，∠B＝∠B，AD＝AE，∠BAD≠∠BAE，
∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”．
同理可得，
△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”，
△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”，
△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”，
所以图中的“伪全等三角形”共有4对．
故选D．]第三节 全等三角形
考点一 全等三角形的判定和性质
1．全等三角形的相关概念
(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的判定
定理 内容
SSS 三边分别相等的两个三角形全等
SAS 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
3．全等三角形的性质
边 全等三角形的对应边相等
角 全等三角形的对应角相等
线 全等三角形对应边上的高、中线，对应角的角平分线均相等
周长 全等三角形的周长相等
面积 全等三角形的面积相等
考点二 角平分线的性质和判定
1．性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
1．如图，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中不能保证△ABC≌△AED的条件是( )
A．① B．② C．③ D．④
B [∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠CAE＋∠BAE＝∠DAB＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，又AC＝AD，
∴当AB＝AE时，根据“SAS”可判断△ABC≌△AED；
当∠C＝∠D时，根据“ASA”可判断△ABC≌△AED；
当∠B＝∠E时，根据“AAS”可判断△ABC≌△AED．
故选B．]
2．(人教八上P32练习T2改编) 如图，△ABC≌△ADE，已知∠C＝25°，∠D＝105°，则∠CAB＝( )
A．25° B．50° C．60° D．105°
B [∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝105°，
∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝180°－105°－25°＝50°．故选B．]
3．如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，则下列结论正确的是( )
A．点F在BC边的垂直平分线上
B．点F在∠BAC的平分线上
C．△BCF是等腰三角形
D．△BCF是直角三角形
B [过点F分别作AE，BC，AD的垂线FP，FM，FN，垂足分别为P，M，N，
∵CF是∠BCE的平分线，
∴FP＝FM．
同理，FM＝FN，
∴FP＝FN，
∴点F在∠DAE的平分线上，即点F在∠BAC的平分线上．故选B．]
4．(青岛版八上P53练习T1改编)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
C [过P作PE⊥AO于E，
∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，
∴PE＝PD＝2，
∴点P到OA的距离是2．
故选C．]
命题点1 全等三角形的判定
【典例1】 (2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
(1)求证：∠EAD＝∠EDA；
(2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．
[解] (1)证明：∵∠B＝∠AED，
∴180°－∠B＝180°－∠AED，即∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED，
∴∠BAE＝∠CED，
在△BAE和△CED中，
∴△BAE≌△CED(AAS)，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA．
(2)过点E作EF⊥AD于点F，
由(1)知EA＝ED，
∵∠AED＝∠C＝60°，
∴∠AEF＝∠DEF＝30°，
∵DE＝4，
∴DF＝DE＝2，
∴AD＝2DF＝4，EF＝＝＝2，
∴S△AED＝AD·EF＝×4×2＝4．
判定三角形全等的三种思路
已知两边 找夹角(SAS)
找直角(HL)
找另一边(SSS)
已知一边一角 边为角的对边 找任一角(AAS)
边为角的邻边 找夹边的另一角(ASA)
找夹角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS)
已知两角 找夹边(ASA)
找任意已知角的对边(AAS)
[对点演练]
1．(2023·临沂)如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB＋BD．
(1)写出AB与BD的数量关系；
(2)延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB；
(3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．
[解] (1)结论：AB＝(＋1)BD．
理由：在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT，如图1．
设AB＝AC＝a，则BC＝a．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DBT＝45°，
∵BD＝BT，
∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，
∵BC＝AB＋BD＝AC＋BD＝BT＋AC，
∴CT＝CA＝a，
∴BD＝BT＝BC－CT＝a－a，
∴＝＝＋1，
∴AB＝(＋1)BD．
(2)证明：如图2，
在△BCD和△ECF中，
∴△BCD≌△ECF(SAS)，
∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，
∴BD∥EF，
∵BD⊥AB，
∴EF⊥AB．
(3)证明：延长CH交EF的延长线于点J，如图3．
∵∠ACE＝180°－∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，
∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，
∵∠ACB＝∠E＝45°，
∴AC∥EJ，
∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，
∴CE＝EJ＝CB，
∵BC＝BD＋AB，EJ＝EF＋FJ，
∴FJ＝AB＝AC，
∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，
∴△ACH≌△FJH(AAS)，
∴AH＝FH．
命题点2 全等三角形的性质
【典例2】 (2024·兰陵县三模)如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a＋b＜c；
②a＋b＞；
③(a＋b)＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
D [①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．
∵DF∥AC，AC⊥AE，
∴DF⊥AE．
又∵BG⊥FD，
∴BG∥AE，
∴四边形ABGF为矩形．
同理可得，四边形BCDG也为矩形．
∴FD＝FG＋GD＝a＋b．
∴在Rt△EFD中，c＞a＋b．
故①正确．
②∵△EAB≌△BCD，
∴AE＝BC＝b，
∴在Rt△EAB中，BE＝＝．
∵AB＋AE＞BE，
∴a＋b＞．
故②正确．
③∵△EAB≌△BCD，
∴∠AEB＝∠CBD，
又∵∠AEB＋∠ABE＝90°，
∴∠CBD＋∠ABE＝90°，
∴∠EBD＝90°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE＝45°，
∴BE＝＝c·sin 45°＝c．
∴c＝．
∵[(a＋b)]2＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a2＋b2)＋4ab＞2(a2＋b2)，
∴(a＋b)＞，
∴(a＋b)＞c．
故③正确．
故选D．]
[对点演练]
2．(2024·济宁期末)如图，△ABC≌△DEC，B，C，D在同一直线上，且CE＝6，AC＝8，则BD长( )
A．12 B．14 C．16 D．18
B [∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE＝6，CD＝AC＝8，
∴BD＝BC＋CD＝14，
故选B．]
3．(2024·成武县三模)如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是( )
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE
C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
B [∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选B．]
命题点3 角平分线的性质和判定
【典例3】 (2024·湖南)如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝________．
6 [由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线，
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∵MN⊥AB，
∴MD＝MN＝2．
∴AD＝4MD＝8，
∴AM＝AD－MD＝6．]
有角平分线(或证明角平分线)时，常过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线的性质解决问题．
[对点演练]
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝20，CD＝6，则△ABD的面积为( )
A．80 B．60 C．20 D．10
B [过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝6，
∵AB＝20，
∴△ABD的面积＝AB·DE＝×20×6＝60，
故选B．]
5．(2024·梁山县一模)如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，CD＝3 cm，点P在AB上，连接DP，则DP的最小值为________cm．
3 [作DP′⊥AB于P′，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DP′⊥AB，
∴DP′＝DC＝3 cm，
则DP的最小值为3 cm，
故答案为3．]
课时分层评价卷(十六) 全等三角形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．(2024·江苏常州)如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( )
A．d1与d2一定相等
B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等
D．l1与l2一定不相等
A [根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可知，当点P在∠AOB的平分线上时，d1与d2一定相等，
故选A．]
2．[数学文化]我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是( )
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
A [在△AEG和△AFG中，
∴△AEG≌△AFG(SSS)，
故选A．]
3．如图，△ABC≌△BAD，如果∠CAB＝35°，∠CBD＝30°，那么∠DAB度数是( )
A．60° B．65°
C．75° D．85°
B [∵△ABC≌△BAD，
∴∠DBA＝∠CAB＝35°，∠DAB＝∠CBA，
∴∠CBA＝∠DBA＋∠CBD＝35°＋30°＝65°，
∴∠DAB的度数是65°．
故选B．]
4．(2024·天津)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
B [∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－40°＝50°，
由题意知，AP平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝×50°＝25°，
∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠ADC＝40°＋25°＝65°．故选B．]
5．(2024·重庆)如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝________．
3 [∵CD＝CA，DE∥CB，DE＝DC，
∴＝＝1，CD＝CA＝DE，
∴AF＝EF，
∴DE＝CD＝AC＝2CF＝2，
∴AD＝AC＋CD＝4，
∵DE∥CB，
∴∠CFA＝∠E，∠ACB＝∠D，
∵∠CAB＝∠CFA，
∴∠CAB＝∠E，
又CA＝DE，
∴△CAB≌△DEA(ASA)，
∴BC＝AD＝4，
∴BF＝BC－CF＝3，故答案为3．]
6．(2024·四川成都)如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为________．
100° [∵△ABC≌△CDE，
∴∠ACB＝∠CED＝45°，
∵∠D＝35°，
∴∠DCE＝180°－∠CED－∠D＝180°－45°－35°＝100°．]
7．(2024·单县三模)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC≌△EDC，点D在边AB上，AC、ED交于点F，若∠A＝24°，则∠EFC的度数是________．
108° [∵△ABC≌△EDC，∠A＝24°，
∴BC＝CD，∠A＝∠E＝24°，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠BDC＝90°－24°＝66°，
∴∠BCD＝180°－2×66°＝48°＝∠ACE，
∴∠EFC＝180°－∠ECF－∠E＝108°．
故答案为108°．]
8．(10分)如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求证：∠C＝∠D．
[证明] ∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB＝∠DAB，
∴在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(SAS)，
∴∠C＝∠D．
9．(10分)(2024·四川内江)如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数．
[解] (1)证明：∵AD＝BE，
∴AD＋BD＝BE＋BD，
即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)∵∠A＝55°，∠E＝45°，
由(1)可知，△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠FDE＝55°，
∴∠F＝180°－(∠FDE＋∠E)＝180°－(55°＋45°)＝80°．
10．(2024·广东广州)如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为( )
A．18 B．9 C．9 D．6
C [如图，连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AEDF＝S△ADC＝S△ABC＝9，
故选C．]
11．(2024·四川宜宾)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为( )
A．2＋3 B．6＋2
C．5 D．8
D [如图，将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，
∴BE＝AB，∠ABE＝90°，
∴AE＝AB＝6，
∵∠DBC＝90°＝∠EBA，
∴∠DBE＝∠CBA，
又∵BD＝BC，AB＝BE，
∴△DBE≌△CBA(SAS)，
∴DE＝AC＝2，
在△ADE中，AD＜AE＋DE，
∴当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值为6＋2＝8．
故选D．]
12．(2024·甘肃临夏州)如图，在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(4，1)，点C的坐标为(3，4)，点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是________．
(1，4) [∵点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD 与△ABC 全等，
∴△BAD≌△ABC，
∴AD＝BC，BD＝AC，如图所示，
由图可知，D(1，4)．]
13．(12分)如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．
(1)求证：△BDE≌△CDA．
(2)若AD⊥BC，求证：BA＝BE．
[证明] (1)∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵BE∥AC，
∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，
在△BDE和△CDA中，
∴△BDE≌△CDA(AAS)．
(2)∵点D为BC的中点，AD⊥BC，
∴直线AD为线段BC的垂直平分线，
∴BA＝CA，
由(1)可知，△BDE≌△CDA，
∴BE＝CA，
∴BA＝BE．
14．[新定义] (2024·四川遂宁)如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
D [∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴AD＝AE．
∵AB＝AB，∠B＝∠B，AD＝AE，∠BAD≠∠BAE，
∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”．
同理可得，
△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”，
△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”，
△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”，
所以图中的“伪全等三角形”共有4对．
故选D．]
