第四节 特殊三角形
考点一 等腰三角形的性质和判定
1．等腰三角形
(1)定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中腰和底相等的等腰三角形叫做等边三角形．
(2)性质
①等腰三角形的两个底角相等，简称为等边对等角．
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称为三线合一．
③等腰三角形是轴对称图形．
(3)判定
①定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形．
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称等角对等边．
2．等边三角形
(1)性质
①等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°．
②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
(2)判定
①三个角都相等的三角形是等边三角形．
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
考点二 线段垂直平分线的性质和判定
1．性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
2．判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
考点三 直角三角形的性质和判定
1．直角三角形的性质
(1)直角三角形两锐角互余．
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2．直角三角形的判定
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形．
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．勾股定理及其逆定理
(1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
(2)逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
1．等腰三角形的一个外角为80°，则它的底角为( )
A．100° B．80° C．40° D．100°或40°
C [∵等腰三角形的一个外角为80°，
∴相邻角为180°－80°＝100°，
∵三角形的底角不能为钝角，
∴100°角为顶角，
∴底角为(180°－100°)÷2＝40°．
故选C．]
2．(青岛版八上P61练习T1改编)如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是( )
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
A [∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，
∴AF＝BD＝CE．
又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)，
∴DF＝ED＝EF，
∴△DEF是一个等边三角形．
故选A．]
3．(人教版八上P82习题13.3T7改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D与点E，则∠DAE＝( )
A．50° B．60° C．65° D．80°
B [∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D与点E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，
∵在△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝60°，
∴∠BAD＋∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠EAC)＝120°－60°＝60°．
故选B．]
4．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AC，DF⊥AB，AC＝BC，除图中AC和BC外，关系形如a＝b的线段对还有( )
A．2对 B．4对 C．6对 D．7对
D [∵DE⊥AC，DF⊥AB，∠BAC＝90°，∴DE∥AB，DF∥AC．
∵AC＝BC，∠BAC＝90°，∴∠B＝30°．
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠B＝30°，CE＝CD．
又∵AC＝BC，
∴AE＝BD．
∵∠B＝30°，由题中条件可得：DE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠ADF＝∠EAD＝30°，DE＝AF＝AD，DF＝BD，CD＝AC，AD＝AB．
故为7对．
故选D．]
5．如图，图中的所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，两个小正方形的面积分别是1，2，最大的正方形的面积等于________．
3 [根据勾股定理的几何意义可知，最大的正方形的面积为1＋2＝3．]
命题点1 等腰三角形的性质和判定
【典例1】 (2024·四川内江)如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为________．
100° [∵AC＝AE，BC＝BD，
∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，
∴∠A＝180°－2x°，∠B＝180°－2y°，
∵∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，∠BDC＋∠AEC＋∠DCE＝180°，
∴∠ACB＋(180°－2x°)＋(180°－2y°)＝180°，180°－(x°＋y°)＝∠DCE，
∴∠ACB＋360°－2(x°＋y°)＝180°，
∴∠ACB＋2∠DCE＝180°，
∵∠DCE＝40°，
∴∠ACB＝100°．]
(1)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线这四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
(2)在判定定理的证明中，可以作底边的高线也可以作顶角的角平分线，但不能作底边的中线．
[对点演练]
1．[易错题](2024·成武期末)若等腰三角形一边长为12 cm，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为( )
A．30 cm B．40 cm
C．30 cm或40 cm D．30 cm或31 cm
C [已知等腰三角形一边长为12 cm，且腰长是底边长的，
①如果腰长为12 cm，则底边长为16 cm，
等腰三角形的三边为12 cm、12 cm、16 cm，能构成三角形，
∴三角形的周长C＝12＋12＋16＝40 cm；
②如果底边长为12 cm，则腰长为9 cm，
等腰三角形的三边为12 cm、9 cm、9 cm，能构成三角形，
∴三角形的周长C＝9＋9＋12＝30(cm)．故选C．]
2．(2024·平邑县一模)如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝________°．
52 [∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝∠CAD＋∠BAD，
∴180°－2∠C＝24°＋∠C，
∴∠C＝52°，故答案为52．]
命题点2 等边三角形的性质和判定
【典例2】 (2023·济宁)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，tan ∠EAC＝，则BD＝________．
3－ [过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，
∵AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＋∠DAH＝30°，
∵∠DAE＝30°，
∴∠BAD＋∠EAC＝30°，
∴∠DAH＝∠EAC，
∴tan ∠DAH＝tan ∠EAC＝，
∵BH＝AB＝3，
∵AH＝AB sin 60°＝6×＝3，
∴＝＝，
∴DH＝，
∴BD＝BH－DH＝3－，
故答案为3－．]
[对点演练]
3．(2024·泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( )
A．45° B．39° C．29° D．21°
B [如图，过点A作AF∥l，
∵直线l∥m，
∴AF∥m，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AF∥l，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝21°，
∴∠BAF＝21°，
∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝60°－21°＝39°，
∵AF∥m，
∴∠ACD＝∠CAF＝39°，
故选B．]
4．(2024·黑龙江大庆)如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是________．
[由题知，
莱洛三角形的周长可转化为半径长为AB的圆周长的一半．
又因为莱洛三角形的周长为3π，
所以·2π·AB＝3π，
则AB＝3，
所以等边△ABC的边长为3．
过点A作BC的垂线，垂足为M，
则BM＝BC＝．
在Rt△ABM中，
AM＝＝．
所以莱洛三角形的面积为·π·32－2××3×＝．
故答案为．]
命题点3 线段垂直平分线的性质和判定
【典例3】 (2024·任城区期末)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，N，若BC＝12，∠B＋∠C＝45°，AF＝4，则EF的长为( )
A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.5
A [∵边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，F，
∴BE＝AE，AF＝FC＝4，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，
∴∠AEF＝2∠B，∠AFE＝2∠C，
又∠B＋∠C＝45°，
∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠B＋∠C)＝90°，
∴∠EAF＝90°，
设BE＝x，
∵BC＝12，
∴EF＝BC－BE－CF＝8－x，
在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2，
即x2＋42＝(8－x)2，
解得x＝3，
∴EF＝8－3＝5，
故选A．]
[对点演练]
5．(2024·四川凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝( )
A．25 cm B．45 cm C．50 cm D．55 cm
C [∵DE垂直平分AB交BC于点D，
∴AD＝DB，
∵△ACD的周长为50 cm，
即AC＋AD＋CD＝AC＋CD＋DB＝AC＋BC＝50 cm．
故选C．]
6．(2024·莘县二模)如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是( )
A．0 B．5 C．6 D．7
B [连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，
OP1＋OP2＞P1P2，
0＜P1P2＜5.6，
故选B．]
命题点4 直角三角形的性质和判定
【典例4】 (2023·菏泽)△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋|c－3|＝0，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
D [由题意得
解得
∵a2＋b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC为等腰直角三角形，故选D．]
[对点演练]
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是________________________．
[如图，过D作DE⊥AB，交AB于点E，
∴∠DEA＝∠DEB＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝4，CD＝1，
∴AD＝＝，
∵∠DEA＝90°，∠BAD＝45°，
∴AE＝DE＝AD·sin ∠EAD＝，
∵∠DEB＝90°，∠C＝90°，
∴BE2＋DE2＝BD2，AC2＋BC2＝AB2，即BE2＋＝BD2①，
16＋(BD＋1)2＝②，
①变形，得BE＝③，
②化简，得BD2＋2BD＋17＝BE＋BE2④，
将①③代入④并化简，得15BD2－34BD－172＝0(BD＞0)，
解得BD＝，
∴BC＝，
∴S△ABC＝AC·BC＝．]
8．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( )
A．180°－α B．180°－2α
C．90°＋α D．90°＋2α
C [如图，过B点作BG∥CD，连接EG，
∵BG∥CD，
∴∠ABG＝∠CFB＝α．
∵BG2＝12＋42＝17，BE2＝12＋42＝17，EG2＝32＋52＝34，
∴BG2＋BE2＝EG2，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE＋∠ABG＝90°＋α．
故选C．]
9．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD＝，BC＝4，CD＝2．
(1)求∠ABC的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
[解] (1)∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝，
∴BD＝＝2，∠ABD＝45°，
∵BC2＝42＝16，CD2＝(2)2＝20，BD2＝22＝4，
∴BC2＋BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋90°＝135°．
(2)S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝AB×AD＋BC×BD
＝×4×2
＝1＋4
＝5．
课时分层评价卷(十七) 特殊三角形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共80分)
1．若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另一个锐角等于( )
A．50° B．60° C．70° D．140°
A [∵直角三角形的一个锐角等于40°，
∴它的另一个锐角的度数为90°－40°＝50°．
故选A．]
2．(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
C [由题图得△ABD，△ABC，△ADC，△ADE为直角三角形，共有4个直角三角形．
故选C．]
3．(2024·临沂一模)如图，△ABC是等边三角形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AC于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD交AC于点G，∠ABG度数为( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
D [由作图方法可知，BD是EF的垂直平分线，
∴BG⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABG＝∠ABC＝30°，
故选D．]
4．(2024·云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( )
A． B．2 C．3 D．
C [∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，
∴AF是顶角∠BAC的平分线，
∵点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离为3．
故选C．]
5．(2024·青海)如图，在Rt△ABC中， D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是( )
A．3 B．6
C． D．3
A [∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， D是AC的中点，
∴BD＝AC＝CD，
∵∠BDC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BC＝CD＝AC＝×6＝3．
故选A．]
6．(2024·甘肃兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( )
A．100° B．115° C．130° D．145°
B [在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝130°，
∴∠B＝∠C＝＝25°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°－25°＝65°，
∴∠ADB＝180°－∠ADC＝180°－65°＝115°，
故选B．]
7．(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为________．
100° [由题知，
∵等腰三角形的一个底角的度数为40°，
∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°，
∴等腰三角形的顶角的度数为180°－2×40°＝100°．]
8．[新定义](2024·济宁二模)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边BC的长为________．
2 [分两种情况：
当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，
∵腰长AB＝AC＝4，
∴底边BC的长为8，
∵4＋4＝8，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，
∵腰长AB＝AC＝4，
∴底边BC的长为2，能组成三角形．
综上所述，底边BC的长为2，
故答案为2．]
9．如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图2是1次操作后的图形．图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图1中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为________．
48 [把题图2中各个小正方形标上字母，设正方形a的边长为x，正方形b的边长为y．
∴正方形a的面积为x2，正方形b的面积为y2．
由题意得，正方形c的边长为2，并且是直角三角形的斜边．
∴正方形c的面积为4．
根据勾股定理可得，x2＋y2＝22＝4．
∴正方形a的面积＋正方形b的面积＝4；
∴题图1中所有正方形的面积和＝4＋4＝8．
同理可得，正方形e的面积＋正方形f的面积＝正方形a的面积，正方形g的面积＋正方形h的面积＝正方形b的面积，
∴正方形e的面积＋正方形f的面积＋正方形g的面积＋正方形h的面积＝正方形a的面积＋正方形b的面积＝4．
∴题图2中所有正方形的面积和＝题图1中所有正方形的面积和＋4＝12．
即一次操作后所有正方形的面积和＝题图1中所有正方形的面积和＋4＝12．
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4．
∴2次操作后所有正方形的面积和＝题图1中所有正方形的面积和＋2×4＝8＋8＝16．
∴10次操作后所有正方形的面积和＝题图1中所有正方形的面积和＋10×4＝8＋40＝48．]
10．(2024·陕西)如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF．若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为________．
60 [∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF∥AC，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴BC平分∠ABF，
过点C作CM⊥AB，CN⊥BF，
则CM＝CN，
∵S△ACE＝AE·CM，S△CBF＝BF·CN，且BF＝AE，
∴S△CBF＝S△ACE，
∴四边形EBFC的面积＝S△CBF＋S△CBE＝S△ACE＋S△CBE＝S△CBA，
∵AC＝13，
∴AB＝13，
设AM＝x，则BM＝13－x，
由勾股定理，得CM2＝AC2－AM2＝BC2－BM2，
∴132－x2＝102－(13－x)2，
解得，x＝，
∴CM＝＝，
∴S△CBA＝AB·CM＝60，
∴四边形EBFC的面积为60．
故答案为60．]
11．[跨学科](2024·吉林)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为________．
x2＋22＝(x＋0.5)2 [根据题意得AB＝AB′＝x＋0.5，
∵AB⊥B′C，
由勾股定理得，AC2＋B′C2＝AB′2，
∴x2＋22＝(x＋0.5)2． ]
12．(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C．
(1)求证：∠BDF＝∠A；
(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请写出△ABC的形状．
[解] (1)证明：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED，
∵∠EDF＝∠C，
∴∠AED＝∠EDF，
∴DF∥AC，
∴∠BDF＝∠A．
(2)∵∠A＝45°，
∴∠BDF＝45°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDE＝2∠BDF＝90°，
∵DE∥BC，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
13．[数学文化](2024·四川眉山)如图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为( )
A．24 B．36 C．40 D．44
D [如图，设直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，
∵图1中大正方形的面积是24，∴a2＋b2＝c2＝24，
∵小正方形的面积是4，∴(b－a)2＝a2＋b2－2ab＝4，∴ab＝10，
∴图2中最大的正方形的面积为c2＋4×ab＝24＋2×10＝44．
故选D．]
14．(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是( )
A． B．
C．2－2 D．2
B [如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴AB＝2，AH＝BH＝CH＝，
∵CD＝AB＝2，
∴DH＝＝＝，
∴BD＝．
故选B．]
15．(2024·四川自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长为12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢( )
A．(24－12)m B．(24－8)m
C．(24－6)m D．(24－4)m
D [∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12，BD＝6，
∴CD＝6，
∵∠BED＝60°，
∴DE＝2，BE＝AE＝4，
∴减少用钢为(AB＋AC＋BC＋CD)－(AE＋BE＋AB＋DE)＝AC＋BC＋CD－AE－BE－DE＝24－4(m)．
故选D．]
16．[易错题](2024·新疆)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8．若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为________．
6或12 [在Rt△ABC中，
sin A＝，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝×8＝4，
∴AC＝＝4．
当点D在点B左上方时，如图1所示，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°．
又∵∠BCD＝30°，
∴∠BDC＝60°－30°＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴AD＝8＋4＝12．
当点D在点B的右下方时，如图2所示，
∵∠ABC＝60°，∠BCD＝30°，
∴∠CDA＝90°．
在Rt△ACD中，
cos A＝，
∴AD＝×4＝6．
综上所述，AD的长为6或12．]
17．(12分)[追本溯源题](2024·江西)(1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)．
(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．
【方法应用】
(2)如图2，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G．
①图中一定是等腰三角形的有________．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．
[解] (1)△BDE 的形状是等腰三角形，
理由如下：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵BC∥ED，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED，
∴△BDE是等腰三角形．
(2)①B．
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形且AB＝AE．
∵AF⊥BE，
∴∠BAF＝∠EAF．
∵BC∥AD，
∴∠EAG＝∠AGB，
∴∠BAF＝∠AGB，
∴AB＝BG＝3，
∵AB∥FD，
∴∠BAF＝∠CFG，
∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CG＝CF，
∵CG＝BC－BG＝5－3＝2，
∴CF＝2．
18．(13分)[项目式学习试题](2024·滨州)
【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，则有∠B＝∠C；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB＝AC，即知AB＋BD＝AC＋CD．若把①中的BD＝CD替换为AB＋BD＝AC＋CD，还能推出∠B＝∠C吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B＝∠C，并分别提供了不同的证明方法．
小军 小民
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB 与△ADC均为直角三角形 根据勾股定理，得……
【问题解决】
(1)完成①的证明；
(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整．
[解] (1)证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC(SAS)，
∴∠B＝∠C．
(2)小军的证明过程：
分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE＝BA，CF＝CA，连接AE，AF，如图所示，
∵AB＋BD＝AC＋CD，
∴BE＋BD＝CF＋CD，
∴DE＝DF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠ADF＝90°，
在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF(SAS)，
∴∠E＝∠F．
∵BE＝BA，CF＝CA，
∴∠E＝∠BAE，∠F＝∠CAF，
∵∠ABC＝∠E＋∠BAE，∠ACB＝∠F＋∠CAF，
∴∠ABC＝∠ACB．
小民的证明过程：
∵AD⊥BC，
∴△ADB 与△ADC均为直角三角形，
根据勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2，
∴AB2－BD2＝AC2－CD2，
∴AB2＋CD2＝AC2＋BD2．
∵AB＋BD＝AC＋CD，
∴AB－CD＝AC－BD，
∴(AB－CD)2＝(AC－BD)2，
∴AB2－2AB·CD＋CD2＝AC2－2AC·BD＋BD2，
∴AB·CD＝AC·BD，
∴＝．
又∵∠ADB＝∠ADC，
∴△ADB∽△ADC，
∴∠B＝∠C．(共99张PPT)
第四节 特殊三角形
第四章 几何初步与三角形
考点一 等腰三角形的性质和判定
1．等腰三角形
(1)定义：有两边_____的三角形叫做等腰三角形，其中_______相等的等腰三角形叫做等边三角形．
链接教材 基础过关
相等
腰和底
(2)性质
①等腰三角形的两个底角_____，简称为___________．
②等腰三角形的顶角_______、底边上的_____、底边上的___相互重合，简称为_________．
③等腰三角形是___对称图形．
(3)判定
①定义法：有_____相等的三角形是等腰三角形．
②如果一个三角形有_______相等，那么这两个角所对的边也相等，简称___________．
相等
等边对等角
平分线
中线
高
三线合一
轴
两边
两个角
等角对等边
2．等边三角形
(1)性质
①等边三角形的三个角都_____，并且每一个角都等于_____．
②等边三角形是轴对称图形，它有___条对称轴．
(2)判定
①三个角都_____的三角形是等边三角形．
②有一个角是60°的_____三角形是等边三角形．
相等
60°
三
相等
等腰
考点二 线段垂直平分线的性质和判定
1．性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
2．判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的__________上．
考点三 直角三角形的性质和判定
1．直角三角形的性质
(1)直角三角形两锐角_____．
(2)直角三角形斜边上的中线等于___________．
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于_____的一半．
垂直平分线
互余
斜边的一半
斜边
2．直角三角形的判定
(1)有一个角是_____的三角形是直角三角形．
(2)有两个角_____的三角形是直角三角形．
3．勾股定理及其逆定理
(1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
(2)逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
直角
互余
1．等腰三角形的一个外角为80°，则它的底角为( )
A．100° B．80° C．40° D．100°或40°
√
C [∵等腰三角形的一个外角为80°，
∴相邻角为180°－80°＝100°，
∵三角形的底角不能为钝角，
∴100°角为顶角，
∴底角为(180°－100°)÷2＝40°．
故选C．]
2．(青岛版八上P61练习T1改编)如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是( )
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
√
A [∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，
∴AF＝BD＝CE．
又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)，
∴DF＝ED＝EF，
∴△DEF是一个等边三角形．
故选A．]
3．(人教版八上P82习题13.3T7改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D与点E，则∠DAE＝
( )
A．50° B．60° C．65° D．80°
√
B [∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D与点E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，
∵在△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝60°，
∴∠BAD＋∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠EAC)＝120°－60°＝60°．
故选B．]
√
5．如图，图中的所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，两个小正方形的面积分别是1，2，最大的正方形的面积等于______．
3
3 [根据勾股定理的几何意义可知，最大的正方形的面积为1＋2＝3．]
【典例1】 (2024·四川内江)如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为________．
考点突破 对点演练
命题点1 等腰三角形的性质和判定
100°
100° [∵AC＝AE，BC＝BD，
∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，
∴∠A＝180°－2x°，∠B＝180°－2y°，
∵∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，∠BDC＋∠AEC＋∠DCE＝180°，
∴∠ACB＋(180°－2x°)＋(180°－2y°)＝180°，180°－(x°＋y°)＝∠DCE，
∴∠ACB＋360°－2(x°＋y°)＝180°，
∴∠ACB＋2∠DCE＝180°，
∵∠DCE＝40°，
∴∠ACB＝100°．]
(1)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线这四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
(2)在判定定理的证明中，可以作底边的高线也可以作顶角的角平分线，但不能作底边的中线．
√
2．(2024·平邑县一模)如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝________°．
52
52 [∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝∠CAD＋∠BAD，
∴180°－2∠C＝24°＋∠C，
∴∠C＝52°，故答案为52．]
命题点2 等边三角形的性质和判定
[对点演练]
3．(2024·泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( )
A．45° B．39° C．29° D．21°
√
B [如图，过点A作AF∥l，
∵直线l∥m，
∴AF∥m，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AF∥l，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝21°，
∴∠BAF＝21°，
∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝60°－21°＝39°，
∵AF∥m，
∴∠ACD＝∠CAF＝39°，
故选B．]
【典例3】 (2024·任城区期末)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，N，若BC＝12，∠B＋∠C＝45°，AF＝4，则EF的长为
( )
A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.5
命题点3 线段垂直平分线的性质和判定
√
A [∵边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，F，
∴BE＝AE，AF＝FC＝4，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，
∴∠AEF＝2∠B，∠AFE＝2∠C，
又∠B＋∠C＝45°，
∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠B＋∠C)＝90°，
∴∠EAF＝90°，
设BE＝x，
∵BC＝12，
∴EF＝BC－BE－CF＝8－x，
在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2，
即x2＋42＝(8－x)2，
解得x＝3，
∴EF＝8－3＝5，
故选A．]
[对点演练]
5．(2024·四川凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝
( )
A．25 cm B．45 cm C．50 cm D．55 cm
√
C [∵DE垂直平分AB交BC于点D，
∴AD＝DB，
∵△ACD的周长为50 cm，
即AC＋AD＋CD＝AC＋CD＋DB＝AC＋BC＝50 cm．
故选C．]
6．(2024·莘县二模)如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是( )
A．0 B．5 C．6 D．7
√
B [连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，
OP1＋OP2＞P1P2，
0＜P1P2＜5.6，
故选B．]
命题点4 直角三角形的性质和判定
√
[对点演练]
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是______．
8．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( )
A．180°－α B．180°－2α
C．90°＋α D．90°＋2α
√
C [如图，过B点作BG∥CD，连接EG，
∵BG∥CD，
∴∠ABG＝∠CFB＝α．
∵BG2＝12＋42＝17，BE2＝12＋42＝17，EG2＝32＋52＝34，
∴BG2＋BE2＝EG2，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE＋∠ABG＝90°＋α．
故选C．]
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共80分)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
课时分层评价卷(十七) 特殊三角形
1．若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另一个锐角等于
( )
A．50° B．60° C．70° D．140°
√
A [∵直角三角形的一个锐角等于40°，
∴它的另一个锐角的度数为90°－40°＝50°．
故选A．]
题号
1
3
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
5
2．(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题号
1
3
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
√
5
C [由题图得△ABD，△ABC，△ADC，△ADE为直角三角形，共有4个直角三角形．
故选C．]
题号
1
3
2
4
6
8
7
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15
16
17
18
5
题号
1
3
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4
6
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13
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18
√
5
题号
1
3
2
4
6
8
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5
题号
1
3
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4
6
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11
12
13
14
15
16
17
18
√
5
C [∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，
∴AF是顶角∠BAC的平分线，
∵点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离为3．
故选C．]
题号
1
3
2
4
6
8
7
9
10
11
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16
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18
5
题号
1
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2
4
6
8
7
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11
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13
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18
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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13
14
15
16
17
18
6．(2024·甘肃兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( )
A．100° B．115° C．130° D．145°
题号
1
3
2
4
6
8
7
9
10
11
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17
18
√
5
题号
1
3
2
4
6
8
7
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11
12
13
14
15
16
17
18
5
7．(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为________．
题号
1
3
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
100°
100° [由题知，
∵等腰三角形的一个底角的度数为40°，
∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°，
∴等腰三角形的顶角的度数为180°－2×40°＝100°．]
5
8．[新定义](2024·济宁二模)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边BC的长为______．
题号
1
3
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2 [分两种情况：
当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，
∵腰长AB＝AC＝4，
∴底边BC的长为8，
∵4＋4＝8，
∴不能组成三角形；
2
5
当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，
∵腰长AB＝AC＝4，
∴底边BC的长为2，能组成三角形．
综上所述，底边BC的长为2，
故答案为2．]
题号
1
3
2
4
6
8
7
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10
11
12
13
14
15
16
17
18
5
9．如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图2是1次操作后的图形．图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图1中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为______．
题号
1
3
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
48
5
48 [把题图2中各个小正方形标上字母，设正方形a的边长为x，正方形b的边长为y．
∴正方形a的面积为x2，正方形b的面积为y2．
由题意得，正方形c的边长为2，并且是直角三角形的斜边．
∴正方形c的面积为4．
题号
1
3
2
4
6
8
7
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10
11
12
13
14
15
16
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18
5
题号
1
3
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
根据勾股定理可得，x2＋y2＝22＝4．
∴正方形a的面积＋正方形b的面积＝4；
∴题图1中所有正方形的面积和＝4＋4＝8．
同理可得，正方形e的面积＋正方形f的面积＝正方形a的面积，正方形g的面积＋正方形h的面积＝正方形b的面积，
∴正方形e的面积＋正方形f的面积＋正方形g的面积＋正方形h的面积＝正方形a的面积＋正方形b的面积＝4．
5
题号
1
3
2
4
6
8
7
9
10
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15
16
17
18
∴题图2中所有正方形的面积和＝题图1中所有正方形的面积和＋4＝12．
即一次操作后所有正方形的面积和＝题图1中所有正方形的面积和＋4＝12．
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4．
∴2次操作后所有正方形的面积和＝题图1中所有正方形的面积和＋2×4＝8＋8＝16．
∴10次操作后所有正方形的面积和＝题图1中所有正方形的面积和＋10×4＝8＋40＝48．]
5
10．(2024·陕西)如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF．若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为______．
题号
1
3
2
4
6
8
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14
15
16
17
18
60
5
60 [∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF∥AC，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴BC平分∠ABF，
过点C作CM⊥AB，CN⊥BF，
题号
1
3
2
4
6
8
7
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10
11
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5
题号
1
3
2
4
6
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7
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17
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5
题号
1
3
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
5
11．[跨学科](2024·吉林)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为___________________．
题号
1
3
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
x2＋22＝(x＋0.5)2
5
x2＋22＝(x＋0.5)2 [根据题意得AB＝AB′＝x＋0.5，
∵AB⊥B′C，
由勾股定理得，AC2＋B′C2＝AB′2，
∴x2＋22＝(x＋0.5)2． ]
题号
1
3
2
4
6
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18
5
12．(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C．
(1)求证：∠BDF＝∠A；
(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请写出△ABC的形状．
题号
1
3
2
4
6
8
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5
[解] (1)证明：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED，
∵∠EDF＝∠C，
∴∠AED＝∠EDF，
∴DF∥AC，
∴∠BDF＝∠A．
题号
1
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5
(2)∵∠A＝45°，
∴∠BDF＝45°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDE＝2∠BDF＝90°，
∵DE∥BC，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
题号
1
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4
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5
13．[数学文化](2024·四川眉山)如图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为( )
A．24 B．36 C．40 D．44
题号
1
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2
4
6
8
7
9
10
11
12
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√
5
题号
1
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题号
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√
5
题号
1
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题号
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√
5
题号
1
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5
16．[易错题](2024·新疆)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8．若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为________．
题号
1
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18
6或12
5
题号
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18
5
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°．
又∵∠BCD＝30°，
∴∠BDC＝60°－30°＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴AD＝8＋4＝12．
当点D在点B的右下方时，如图2所示，
题号
1
3
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5
题号
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5
17．(12分)[追本溯源题](2024·江西)(1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)．
(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．
题号
1
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16
17
18
5
【方法应用】
(2)如图2，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G．
①图中一定是等腰三角形的有____．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．
题号
1
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13
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15
16
17
18
B
5
[解] (1)△BDE 的形状是等腰三角形，
理由如下：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵BC∥ED，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED，
∴△BDE是等腰三角形．
题号
1
3
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18
5
(2)②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形且AB＝AE．
∵AF⊥BE，
∴∠BAF＝∠EAF．
题号
1
3
2
4
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18
5
∵BC∥AD，
∴∠EAG＝∠AGB，
∴∠BAF＝∠AGB，
∴AB＝BG＝3，
∵AB∥FD，
∴∠BAF＝∠CFG，
∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CG＝CF，
∵CG＝BC－BG＝5－3＝2，
∴CF＝2．
题号
1
3
2
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8
7
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12
13
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5
18．(13分)[项目式学习试题](2024·滨州)
【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，则有∠B＝∠C；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB＝AC，即知AB＋BD＝AC＋CD．若把①中的BD＝CD替换为AB＋BD＝AC＋CD，还能推出∠B＝∠C吗？
题号
1
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16
17
18
5
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B＝∠C，并分别提供了不同的证明方法．
题号
1
3
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18
小军 小民
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明：∵AD⊥BC，
∴△ADB 与△ADC均为直角三角形
根据勾股定理，得……
5
【问题解决】
(1)完成①的证明；
(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整．
题号
1
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题号
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18
(2)小军的证明过程：
分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE＝BA，CF＝CA，连接AE，AF，如图所示，
∵AB＋BD＝AC＋CD，
∴BE＋BD＝CF＋CD，
∴DE＝DF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠ADF＝90°，
题号
1
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题号
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5
小民的证明过程：
∵AD⊥BC，
∴△ADB 与△ADC均为直角三角形，
根据勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2，
∴AB2－BD2＝AC2－CD2，
∴AB2＋CD2＝AC2＋BD2．
∵AB＋BD＝AC＋CD，
∴AB－CD＝AC－BD，
∴(AB－CD)2＝(AC－BD)2，
题号
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