(共74张PPT)
第二节 代数式及整式(含因式分解)
第一章 数与式
考点一 代数式
1．代数式：用运算符号(___________________________)把含有_____或表示_________连接而成的式子叫做代数式．
2．代数式的值：用_____代替代数式中的字母，计算后所得的_____叫做代数式的值．
链接教材 基础过关
加、减、乘、除、乘方、开方
数字
数的字母
数值
结果
考点二 整式
1．单项式：表示数与字母的_____的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个_____也叫单项式．单项式中的_________叫做这个单项式的系数，一个单项式中所有字母的_______叫做这个单项式的次数．
2．多项式：几个单项式的___叫做多项式．每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做_______，_________项的次数，叫做多项式的次数．
乘积
字母
数字因数
指数和
和
常数项
次数最高
3．整式：单项式与_______统称为整式．
4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的____也相同的项叫做同类项．常数项都是同类项．
多项式
指数
考点三 整式的加减运算
1．合并同类项法则：所得项的_____是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的_____不变．
2．去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
3．整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
系数
指数
考点四 幂的有关运算
(注：a≠0，m，n都是正整数，并且m>n．)
幂的运算法则 符号表示
同底数幂相乘 am·an＝______
同底数幂相除 am÷an＝______
幂的乘方 (am)n＝____
积的乘方 (ab)n＝____
商的乘方
零指数幂 a0＝__(a≠0)
负指数幂
am＋n
am－n
amn
anbn
1
考点五 整式的乘除运算
1．单项式×单项式：(1)_____和_________分别相乘；
(2)只有一个字母的照抄．
2．单项式×多项式：m(a＋b)＝_________．
3．多项式×多项式：(m＋n)(a＋b)＝_______________．
4．单项式÷单项式：将_____、_________分别相除．
5．多项式÷单项式：(1)多项式的每一项除以单项式；(2)商相加．
系数
同底数幂
ma＋mb
ma＋mb＋na＋nb
系数
同底数幂
6．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝______．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝___________．
考点六 因式分解的概念
1．把一个多项式化成几个_________的形式，这种变形叫做因式分解．
2．分解因式与整式乘法的关系：因式分解与整式的乘法互为逆运算．
a2－b2
a2±2ab＋b2
整式的积
考点七 因式分解的基本方法
1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝_____________．
2．公式法
(1)平方差公式：a2－b2＝_____________．
(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝________．
m(a＋b＋c)
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
1．(人教版七上P67T2改编)每件上衣的原价为a元，降价10%后的售价是( )
A．10%a B．(1－10%)a
C．(1＋10%)a D．(1＋90%)a
B [原来的价格×(1－降低的百分率)＝降价后的价格，据此即可列出代数式．]
√
2．(青岛版七上P141复习巩固T1改编)下列单项式中，ab3的同类项是( )
A．3ab3 B．2a2b3
C．－a2b2 D．a3b
A [根据同类项的定义可知，
ab3的同类项是3ab3．
故选A．]
√
3．当x＝－1时，代数式－x2＋1的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
B [把x＝－1代入－x2＋1＝－(－1)2＋1＝0，故选B．]
√
√
5．下列运算正确的是( )
A．(－2a)2＝－4a2
B．(a－b)2＝a2－b2
C．(－m＋2)(－m－2)＝m2－4
D．(a5)2＝a7
√
C [(－2a)2＝4a2，所以A错误；
(a－b)2＝a2－2ab＋b2，所以B错误；
(－m＋2)(－m－2)＝m2－4，所以C正确；
(a5)2＝a10，所以D错误．
故选C．]
6．按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…，第n个代数式是( )
A．2xn B．(n－1)xn
C．nxn+1 D．(n＋1)xn
D [∵按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…，
∴第n个代数式为(n＋1)xn，
故选D．]
√
7．(青岛版七下P122复习巩固T1改编)分解因式：a2－4b2＝_____________．
(a＋2b)(a－2b) [a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)．]
(a＋2b)(a－2b)
考点突破 对点演练
命题点1 代数式及其求值
√
【典例2】 (2023·济宁)已知实数m满足m2－m－1＝0，则2m3－3m2－m＋9＝_____．
8 [∵m2－m－1＝0，
∴m2－m＝1，
∴2m3－3m2－m＋9
＝(2m3－2m2)－m2－m＋9
＝2m(m2－m)－m2－m＋9
＝2m－m2－m＋9
＝－m2＋m＋9
＝－(m2－m)＋9
＝－1＋9
＝8．]
8
(1)直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，计算求值．
(2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式；②通过因式分解、提公因式等，将所求代数式变形，使其与已知代数式成倍分关系；③把已知代数式看成一个整体代入求值．
代数式求值的一般方法
[对点演练]
1．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为( )
A．8x元 B．10(100－x)元
C．8(100－x)元 D．(100－8x)元
C [乙的单价×乙的本数＝乙的费用．]
√
2．(2024·临沂临沭一模)如果a2－a－2＝0，那么代数式(a－1)2＋(a＋2)(a－2)的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [原式＝a2－2a＋1＋a2－4＝2a2－2a－3＝2(a2－a)－3，∵a2－a－2＝0，∴a2－a＝2，∴原式＝2×2－3＝1．故选A．]
√
【典例3】 (2024·泰安)单项式－3ab2的次数是____．
命题点2 整式的有关概念
3 [∵单项式－3ab2中，a的指数是1，b的指数是2，∴此单项式的次数为1＋2＝3．]
3
√
4．(2024·河南)请写出2m的一个同类项：______________．
m(答案不唯一) [2m的一个同类项为m，
故答案为m．]
m(答案不唯一)
－2
命题点3 整式的运算
[对点演练]
6．(2024·山东)下列运算正确的是( )
A．a4＋a3＝a7 B．(a－1)2＝a2－1
C．(a3b)2＝a3b2 D．a(2a＋1)＝2a2＋a
D [A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B．(a－1)2＝a2－2a＋1，故B不符合题意；
C．(a3b)2＝a6b2，故C不符合题意；
D．a(2a＋1)＝2a2＋a，故D符合题意．
故选D．]
√
7．(2023·菏泽)下列运算正确的是( )
A．a6÷a3＝a2 B．a2·a3＝a5
C．(2a3)2＝2a6 D．(a＋b)2＝a2＋b2
B [A．原式＝a3，故本选项计算错误，不符合题意；
B．原式＝a5，故本选项计算正确，符合题意；
C．原式＝4a6，故本选项计算错误，不符合题意；
D．原式＝a2＋2ab＋b2，故本选项计算错误，不符合题意．故选B．]
√
【教师备选资源】
1．(2023·济宁)下列各式运算正确的是( )
A．x2·x3＝x6
B．x12÷x2＝x6
C．(x＋y)2＝x2＋y2
D．(x2y)3＝x6y3
√
D [A：x2·x3＝x2+3＝x5，故选项A错误，
B：x12÷x2＝x12-2＝x10，故选项B错误，
C：(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，故选项C错误，
D：(x2y)3＝x2×3y3＝x6y3．
故选D．]
2．(2023·临沂)下列运算正确的是( )
A．3a－2a＝1 B．(a－b)2＝a2－b2
C．(a5)2＝a7 D．3a3·2a2＝6a5
D [A．3a－2a＝a，故A不符合题意；
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2，故B不符合题意；
C．(a5)2＝a10，故C不符合题意；
D．3a3·2a2＝6a5，故D符合题意；
故选D．]
√
【典例5】 (2023·济宁)下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )
A．(a＋3)2＝a2＋6a＋9
B．a2－4a＋4＝a(a－4)＋4
C．5ax2－5ay2＝5a(x＋y)(x－y)
D．a2－2a－8＝(a－2)(a＋4)
命题点4 因式分解
√
C [A：(a＋3)2＝a2＋6a＋9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
B：a2－4a＋4＝(a－2)2，故选项B错误，
C：5ax2－5ay2＝5a(x2－y2)＝5a(x＋y)(x－y)，故选项C正确，
D：a2－2a－8＝(a＋2)(a－4)，故选项D错误．
故答案为C．]
(1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式．
(2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式．
(3)“三检查”：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
因式分解的一般步骤
[对点演练]
8．(2024·山东)因式分解：x2y＋2xy＝_________．
xy(x＋2) [原式＝xy(x＋2)，
故答案为xy(x＋2)．]
9．(2023·菏泽)因式分解：m3－4m＝______________．
m(m＋2)(m－2) [原式＝m(m2－4)＝m(m＋2)·(m－2)，
故答案为m(m＋2)(m－2)．]
xy(x＋2)
m(m＋2)(m－2)
10．(2024·威海)因式分解：(x＋2)(x＋4)＋1＝________．
(x＋3)2 [原式＝x2＋4x＋2x＋8＋1
＝x2＋6x＋9
＝(x＋3)2，
故答案为(x＋3)2．]
(x＋3)2
命题点5 数式规律探索
√
认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
[对点演练]
11．(2023·临沂)观察下列式子：
1×3＋1＝22；
2×4＋1＝32；
3×5＋1＝42；
…
按照上述规律，________________＝n2．
(n－1)(n＋1)＋1
(n－1)(n＋1)＋1 [观察下列式子：
1×3＋1＝22；
2×4＋1＝32；
3×5＋1＝42；
…；
按照上述规律，(n－1)(n＋1)＋1＝n2．
故答案为(n－1)(n＋1)＋1．]
【教师备选资源】
(2024·济宁)如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为( )
A．90 B．91 C．92 D．93
√
B [由所给图形可知，
第一幅图中正方形的个数为：1＝12；
第二幅图中正方形的个数为：5＝12＋22；
第三幅图中正方形的个数为：14＝12＋22＋32；
第四幅图中正方形的个数为：30＝12＋22＋32＋42；
…，
所以第n幅图中正方形的个数为：12＋22＋32＋…＋n2，
当n＝6时，
12＋22＋32＋…＋62＝91(个)，
即第六幅图中正方形的个数为91个．
故选B．]
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分)
课时分层评价卷(二) 代数式及整式(含因式分解)
1．(2024·广安)下列对代数式－3x的意义表述正确的是( )
A．－3与x的和 B．－3与x的差
C．－3与x的积 D．－3与x的商
√
√
3．(2024·青海)计算12x－20x的结果是( )
A．8x B．－8x C．－8 D．x2
√
B [原式＝(12－20)x＝－8x，故选B．]
√
5．(2024·四川眉山)下列运算中正确的是( )
A．a2－a＝a B．a·a2＝a3
C．(a2)3＝a5 D．(2ab2)3＝6a3b6
√
B [a2与a不是同类项，无法合并，则A不符合题意；a·a2＝a3，则B符合题意；(a2)3＝a6，则C不符合题意；(2ab2)3＝8a3b6，则D不符合题意．故选B．]
6．计算：2a(a－1)－2a2＝( )
A．a B．－a C．2a D．－2a
D [2a(a－1)－2a2＝2a2－2a－2a2＝－2a．故选D．]
7．(2024·苏州)若a＝b＋2，则(b－a)2＝____．
4 [∵a＝b＋2，
∴b－a＝－2，
∴(b－a)2＝(－2)2＝4，
故答案为4．]
√
4
8．单项式－2a2b的次数是____．
3 [单项式－2a2b的次数是：2＋1＝3．]
9．(2023·青岛)计算：8x3y÷(2x)2＝_____．
2xy [原式＝8x3y÷4x2＝2xy．]
3
2xy
10．(2024·沂水一模)雪山彩虹谷门票的价格为成人票每张20元，儿童票每张10元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费_________元．
20m＋10n [根据票价乘对应票的数量分别求出成人票和儿童票的费用，然后求和可得．]·
11．(2024·北京)分解因式：x3－25x＝____________．
x(x＋5)(x－5) [x3－25x＝x(x2－25)＝x(x＋5)(x－5)．]
20m＋10n
x(x＋5)(x－5)
12．(2024·内蒙古)分解因式：a＋2ab＋ab2＝________．
a(b＋1)2 [原式＝a(1＋2b＋b2)＝a(b＋1)2．]
13．(2024·四川德阳)若一个多项式加上y2＋3xy－4，结果是3xy＋2y2－5，则这个多项式为________．
y2－1 [3xy＋2y2－5－(y2＋3xy－4)＝3xy＋2y2－5－y2－3xy＋4＝y2－1．]
a(b＋1)2
y2－1
a(a＋1)×100＋25
15．(8分)(2024·南充)先化简，再求值：(x＋2)2－(x3＋3x)÷x，其中x＝－2．
[解] 当x＝－2时，
(x＋2)2－(x3＋3x)÷x
＝(x2＋4x＋4)－(x2＋3)
＝x2＋4x＋4－x2－3
＝4x＋1
＝4×(－2)＋1
＝－8＋1
＝－7．
16．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是( )
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D．(ab)2＝a2b2
√
A [根据题意，大正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．故选A．]
17．(2024·广西)如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为
( )
A．0 B．1 C．4 D．9
D [∵a＋b＝3，ab＝1，∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝1×32＝9，故选D．]
√
A [根据已知得，8×2a＝28b，即2a+3＝28b，∴a＋3＝8b．故选A．]
√
19．(2024·东昌府区模拟)已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值为____．
4 [∵a＋b＝2，
∴a2－b2＋4b
＝(a＋b)(a－b)＋4b
＝2(a－b)＋4b
＝2a＋2b
＝2(a＋b)
＝2×2
＝4．
故答案为4．]
4
20．[归纳猜想题](2024·宁夏)观察下列等式：
第1个：1×2－2＝22×0；
第2个：4×3－3＝32×1；
第3个：9×4－4＝42×2；
第4个：16×5－5＝52×3．
……
按照以上规律，第n个等式为________________________________．
n2×(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2×(n－1)
21．(10分)[阅读理解题](2024·安徽)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2－y2(x，y均为自然数)”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)：
N 奇数 4的倍数
表示结果 1＝12－02 4＝22－02
3＝22－12 8＝32－12
5＝32－22 12＝42－22
按上表规律，完成下列问题：
N 奇数 4的倍数
表示结果 7＝42－32 16＝52－32
9＝52－42 20＝62－42
… …
一般结论 2n－1＝n2－(n－1)2 4n＝________
(ⅰ)24＝( )2－( )2；
(ⅱ)4n＝________________；
(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数)．师生一起研讨，分析过程如下：
5
7
(n＋1)2－(n－1)2
假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数．
而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝_________________为4的倍数．
而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．
4(k2－m2＋k－m)
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数．
而4n－2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
由①②③可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
[解] (1)(ⅰ)由规律可得，24＝72－52，
故答案为7，5．
(ⅱ)由规律可得，4n＝(n＋1)2－(n－1)2，
故答案为(n＋1)2－(n－1)2．
(2)假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数．
而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝4(k2－m2＋k－m)为4的倍数．
而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数．
而4n－2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
由①②③可知，猜测正确．
故答案为4(k2－m2＋k－m)．第二节 代数式及整式(含因式分解)
考点一 代数式
1．代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把含有数字或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．
2．代数式的值：用数值代替代数式中的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
考点二 整式
1．单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也叫单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数，叫做多项式的次数．
3．整式：单项式与多项式统称为整式．
4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．常数项都是同类项．
考点三 整式的加减运算
1．合并同类项法则：所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变．
2．去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
3．整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
考点四 幂的有关运算
幂的运算法则 符号表示
同底数幂相乘 am·an＝am＋n
同底数幂相除 am÷an＝am－n
幂的乘方 (am)n＝amn
积的乘方 (ab)n＝anbn
商的乘方 ＝
零指数幂 a0＝1(a≠0)
负指数幂 ＝(a≠0，p是正整数)
(注：a≠0，m，n都是正整数，并且m>n．)
考点五 整式的乘除运算
1．单项式×单项式：(1)系数和同底数幂分别相乘；
(2)只有一个字母的照抄．
2．单项式×多项式：m(a＋b)＝ma＋mb．
3．多项式×多项式：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．
4．单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除．
5．多项式÷单项式：(1)多项式的每一项除以单项式；(2)商相加．
6．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．
考点六 因式分解的概念
1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．
2．分解因式与整式乘法的关系：因式分解与整式的乘法互为逆运算．
考点七 因式分解的基本方法
1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)_．
2．公式法
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
1．(人教版七上P67T2改编)每件上衣的原价为a元，降价10%后的售价是( )
A．10%a B．(1－10%)a
C．(1＋10%)a D．(1＋90%)a
B [原来的价格×(1－降低的百分率)＝降价后的价格，据此即可列出代数式．]
2．(青岛版七上P141复习巩固T1改编)下列单项式中，ab3的同类项是( )
A．3ab3 B．2a2b3
C．－a2b2 D．a3b
A [根据同类项的定义可知，
ab3的同类项是3ab3．
故选A．]
3．当x＝－1时，代数式－x2＋1的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
B [把x＝－1代入－x2＋1＝－(－1)2＋1＝0，故选B．]
4．下列说法正确的是( )
A．x2＋2x＋3是三次多项式
B．单项式x的次数是0
C．单项式的次数是1
D．π是单项式
D [x2＋2x＋3是二次三项式，故A错误；单项式x的次数是1，故B错误；单项式的次数是－1，故C错误；π是单项式，故D正确．故选D．]
5．下列运算正确的是( )
A．(－2a)2＝－4a2
B．(a－b)2＝a2－b2
C．(－m＋2)(－m－2)＝m2－4
D．(a5)2＝a7
C [(－2a)2＝4a2，所以A错误；
(a－b)2＝a2－2ab＋b2，所以B错误；
(－m＋2)(－m－2)＝m2－4，所以C正确；
(a5)2＝a10，所以D错误．
故选C．]
6．按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…，第n个代数式是( )
A．2xn B．(n－1)xn
C．nxn+1 D．(n＋1)xn
D [∵按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…，
∴第n个代数式为(n＋1)xn，
故选D．]
7．(青岛版七下P122复习巩固T1改编)分解因式：a2－4b2＝________．
(a＋2b)(a－2b) [a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)．]
命题点1 代数式及其求值
【典例1】 (2024·临沂河东区二模)数学老师给所教的80名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物，扫码支付了m元，则每件礼物的价格可表示为( )
A． 元 B．(80－m) 元
C． 元 D．80m元
A [由题意知，因为m元购买了80件相同的纪念品，所以每件礼物的价格可表示为元．故选A．]
【典例2】 (2023·济宁)已知实数m满足m2－m－1＝0，则2m3－3m2－m＋9＝__________．
8 [∵m2－m－1＝0，
∴m2－m＝1，
∴2m3－3m2－m＋9
＝(2m3－2m2)－m2－m＋9
＝2m(m2－m)－m2－m＋9
＝2m－m2－m＋9
＝－m2＋m＋9
＝－(m2－m)＋9
＝－1＋9
＝8．]
代数式求值的一般方法
(1)直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，计算求值．
(2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式；②通过因式分解、提公因式等，将所求代数式变形，使其与已知代数式成倍分关系；③把已知代数式看成一个整体代入求值．
[对点演练]
1．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为( )
A．8x元 B．10(100－x)元
C．8(100－x)元 D．(100－8x)元
C [乙的单价×乙的本数＝乙的费用．]
2．(2024·临沂临沭一模)如果a2－a－2＝0，那么代数式(a－1)2＋(a＋2)(a－2)的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [原式＝a2－2a＋1＋a2－4＝2a2－2a－3＝2(a2－a)－3，∵a2－a－2＝0，∴a2－a＝2，∴原式＝2×2－3＝1．故选A．]
命题点2 整式的有关概念
【典例3】 (2024·泰安)单项式－3ab2的次数是________．
3 [∵单项式－3ab2中，a的指数是1，b的指数是2，∴此单项式的次数为1＋2＝3．]
[对点演练]
3．(2024·济宁期末)下列说法中，正确的是( )
A．3x2y与－2xy2是同类项
B．多项式x2＋4x－3是二次三项式
C．多项式x2＋4x－3的常数项是3
D．单项式系数是，次数是2
B [3x2y与－2xy2不是同类项，则A不符合题意；
多项式x2＋4x－3是二次三项式，则B符合题意；
多项式x2＋4x－3的常数项是－3，则C不符合题意；
单项式的系数是，次数是3，则D不符合题意．
故选B．]
4．(2024·河南)请写出2m的一个同类项：________．
m(答案不唯一) [2m的一个同类项为m，
故答案为m．]
5．(2024·任城区一模)若单项式2xm+4y3与－x2y3是同类项，则m的值为________．
－2 [∵单项式2xm+4y3与－x2y3是同类项，
∴m＋4＝2，
∴m＝－2，
故答案为－2．]
命题点3 整式的运算
【典例4】 (2024·济宁)先化简，再求值：x(y－4x)＋(2x＋y)(2x－y)，其中x＝，y＝2．
[解] 原式＝(xy－4x2)＋(4x2－y2)
＝xy－4x2＋4x2－y2
＝xy－y2，
当x＝，y＝2时，原式＝×2－22＝1－4＝－3．
[对点演练]
6．(2024·山东)下列运算正确的是( )
A．a4＋a3＝a7 B．(a－1)2＝a2－1
C．(a3b)2＝a3b2 D．a(2a＋1)＝2a2＋a
D [A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B．(a－1)2＝a2－2a＋1，故B不符合题意；
C．(a3b)2＝a6b2，故C不符合题意；
D．a(2a＋1)＝2a2＋a，故D符合题意．
故选D．]
7．(2023·菏泽)下列运算正确的是( )
A．a6÷a3＝a2 B．a2·a3＝a5
C．(2a3)2＝2a6 D．(a＋b)2＝a2＋b2
B [A．原式＝a3，故本选项计算错误，不符合题意；
B．原式＝a5，故本选项计算正确，符合题意；
C．原式＝4a6，故本选项计算错误，不符合题意；
D．原式＝a2＋2ab＋b2，故本选项计算错误，不符合题意．故选B．]
【教师备选资源】
1．(2023·济宁)下列各式运算正确的是( )
A．x2·x3＝x6
B．x12÷x2＝x6
C．(x＋y)2＝x2＋y2
D．(x2y)3＝x6y3
D [A：x2·x3＝x2+3＝x5，故选项A错误，
B：x12÷x2＝x12-2＝x10，故选项B错误，
C：(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，故选项C错误，
D：(x2y)3＝x2×3y3＝x6y3．
故选D．]
2．(2023·临沂)下列运算正确的是( )
A．3a－2a＝1 B．(a－b)2＝a2－b2
C．(a5)2＝a7 D．3a3·2a2＝6a5
D [A．3a－2a＝a，故A不符合题意；
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2，故B不符合题意；
C．(a5)2＝a10，故C不符合题意；
D．3a3·2a2＝6a5，故D符合题意；
故选D．]
命题点4 因式分解
【典例5】 (2023·济宁)下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )
A．(a＋3)2＝a2＋6a＋9
B．a2－4a＋4＝a(a－4)＋4
C．5ax2－5ay2＝5a(x＋y)(x－y)
D．a2－2a－8＝(a－2)(a＋4)
C [A：(a＋3)2＝a2＋6a＋9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
B：a2－4a＋4＝(a－2)2，故选项B错误，
C：5ax2－5ay2＝5a(x2－y2)＝5a(x＋y)(x－y)，故选项C正确，
D：a2－2a－8＝(a＋2)(a－4)，故选项D错误．
故答案为C．]
因式分解的一般步骤
(1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式．
(2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式．
(3)“三检查”：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
[对点演练]
8．(2024·山东)因式分解：x2y＋2xy＝________．
xy(x＋2) [原式＝xy(x＋2)，
故答案为xy(x＋2)．]
9．(2023·菏泽)因式分解：m3－4m＝________．
m(m＋2)(m－2) [原式＝m(m2－4)＝m(m＋2)·(m－2)，
故答案为m(m＋2)(m－2)．]
10．(2024·威海)因式分解：(x＋2)(x＋4)＋1＝________．
(x＋3)2 [原式＝x2＋4x＋2x＋8＋1
＝x2＋6x＋9
＝(x＋3)2，
故答案为(x＋3)2．]
命题点5 数式规律探索
【典例6】 (2023·济宁)已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，a4＝，…，an＋1＝，若a1＝2，则a2 023的值是( )
A．－ B． C．－3 D．2
A [由题意得，a1＝2，
a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2，
……，
∴an的值按照2，－3，－，……，4次一个循环周期的规律出现，
∵2 023÷4＝505……3，
∴a2 023的值是－，
故选A．]
认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
[对点演练]
11．(2023·临沂)观察下列式子：
1×3＋1＝22；
2×4＋1＝32；
3×5＋1＝42；
…
按照上述规律，________＝n2．
(n－1)(n＋1)＋1 [观察下列式子：
1×3＋1＝22；
2×4＋1＝32；
3×5＋1＝42；
…；
按照上述规律，(n－1)(n＋1)＋1＝n2．
故答案为(n－1)(n＋1)＋1．]
【教师备选资源】
(2024·济宁)如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为( )
A．90 B．91 C．92 D．93
B [由所给图形可知，
第一幅图中正方形的个数为：1＝12；
第二幅图中正方形的个数为：5＝12＋22；
第三幅图中正方形的个数为：14＝12＋22＋32；
第四幅图中正方形的个数为：30＝12＋22＋32＋42；
…，
所以第n幅图中正方形的个数为：12＋22＋32＋…＋n2，
当n＝6时，
12＋22＋32＋…＋62＝91(个)，
即第六幅图中正方形的个数为91个．
故选B．]
课时分层评价卷(二) 代数式及整式(含因式分解)
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分)
1．(2024·广安)下列对代数式－3x的意义表述正确的是( )
A．－3与x的和 B．－3与x的差
C．－3与x的积 D．－3与x的商
C [选项A：－3与x的和应为：－3＋x，不合题意；
选项B：－3与x的差应为：－3－x，不合题意；
选项C：符合题意；
选项D：－3与x的商应为：，不合题意．
故选C．]
2．计算22 024×的结果为( )
A．－2 B．2 C．－ D．
C [22 024×
＝22 024×
＝
＝(－1)2 024×
＝1×
＝－．
故选C．]
3．(2024·青海)计算12x－20x的结果是( )
A．8x B．－8x C．－8 D．x2
B [原式＝(12－20)x＝－8x，故选B．]
4．下列说法中正确的是( )
A．是单项式 B．－πx的系数为－1
C．－5不是单项式 D．－5a2b的次数是3
D [是多项式，故A错误；－πx 的系数为－π，故B错误；－5是单项式，故C错误；－5a2b的次数是3，故D正确．故选D．]
5．(2024·四川眉山)下列运算中正确的是( )
A．a2－a＝a B．a·a2＝a3
C．(a2)3＝a5 D．(2ab2)3＝6a3b6
B [a2与a不是同类项，无法合并，则A不符合题意；a·a2＝a3，则B符合题意；(a2)3＝a6，则C不符合题意；(2ab2)3＝8a3b6，则D不符合题意．故选B．]
6．计算：2a(a－1)－2a2＝( )
A．a B．－a C．2a D．－2a
D [2a(a－1)－2a2＝2a2－2a－2a2＝－2a．故选D．]
7．(2024·苏州)若a＝b＋2，则(b－a)2＝________．
4 [∵a＝b＋2，
∴b－a＝－2，
∴(b－a)2＝(－2)2＝4，
故答案为4．]
8．单项式－2a2b的次数是________．
3 [单项式－2a2b的次数是：2＋1＝3．]
9．(2023·青岛)计算：8x3y÷(2x)2＝________．
2xy [原式＝8x3y÷4x2＝2xy．]
10．(2024·沂水一模)雪山彩虹谷门票的价格为成人票每张20元，儿童票每张10元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费________元．
20m＋10n [根据票价乘对应票的数量分别求出成人票和儿童票的费用，然后求和可得．]
11．(2024·北京)分解因式：x3－25x＝________．
x(x＋5)(x－5) [x3－25x＝x(x2－25)＝x(x＋5)(x－5)．]
12．(2024·内蒙古)分解因式：a＋2ab＋ab2＝________．
a(b＋1)2 [原式＝a(1＋2b＋b2)＝a(b＋1)2．]
13．(2024·四川德阳)若一个多项式加上y2＋3xy－4，结果是3xy＋2y2－5，则这个多项式为________．
y2－1 [3xy＋2y2－5－(y2＋3xy－4)＝3xy＋2y2－5－y2－3xy＋4＝y2－1．]
14．[规律探究题](2024·东昌府区二模)代数推理
15×15＝225＝2×100＋25；
25×25＝625＝6×100＋25；
35×35＝1 225＝12×100＋25；
……
试探究两位数的(即个位数字是5，十位数字是a的两位数)平方的一般规律，＝(10a＋5)2＝________．
a(a＋1)×100＋25 [由题意可得，15×15＝225＝2×100＋25＝1×(1＋1)×100＋25，
25×25＝625＝6×100＋25＝2×(2＋1)×100＋25，
35×35＝1 225＝12×100＋25＝3×(3＋1)×100＋25，
……，
则两位数的(即个位数字是5，十位数字是a的两位数)平方的一般规律，＝(10a＋5)2＝a(a＋1)×100＋25．]
15．(8分)(2024·南充)先化简，再求值：(x＋2)2－(x3＋3x)÷x，其中x＝－2．
[解] 当x＝－2时，
(x＋2)2－(x3＋3x)÷x
＝(x2＋4x＋4)－(x2＋3)
＝x2＋4x＋4－x2－3
＝4x＋1
＝4×(－2)＋1
＝－8＋1
＝－7．
16．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是( )
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D．(ab)2＝a2b2
A [根据题意，大正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．故选A．]
17．(2024·广西)如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为( )
A．0 B．1 C．4 D．9
D [∵a＋b＝3，ab＝1，∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝1×32＝9，故选D．]
18．(2024·河北)若a，b是正整数，且满足＝，则a与b的关系正确的是( )
A．a＋3＝8b B．3a＝8b
C．a＋3＝b8 D．3a＝8＋b
A [根据已知得，8×2a＝28b，即2a+3＝28b，∴a＋3＝8b．故选A．]
19．(2024·东昌府区模拟)已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值为________．
4 [∵a＋b＝2，
∴a2－b2＋4b
＝(a＋b)(a－b)＋4b
＝2(a－b)＋4b
＝2a＋2b
＝2(a＋b)
＝2×2
＝4．
故答案为4．]
20．[归纳猜想题](2024·宁夏)观察下列等式：
第1个：1×2－2＝22×0；
第2个：4×3－3＝32×1；
第3个：9×4－4＝42×2；
第4个：16×5－5＝52×3．
……
按照以上规律，第n个等式为________．
[答案] n2×(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2×(n－1)
21．(10分)[阅读理解题](2024·安徽)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2－y2(x，y均为自然数)”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)：
N 奇数 4的倍数
表示结果 1＝12－02 4＝22－02
3＝22－12 8＝32－12
5＝32－22 12＝42－22
7＝42－32 16＝52－32
9＝52－42 20＝62－42
… …
一般结论 2n－1＝n2－(n－1)2 4n＝________
按上表规律，完成下列问题：
(ⅰ)24＝( )2－( )2；
(ⅱ)4n＝________；
(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数)．师生一起研讨，分析过程如下：
假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数． 而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝________为4的倍数． 而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数． ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数． 而4n－2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
[解] (1)(ⅰ)由规律可得，24＝72－52，
故答案为7，5．
(ⅱ)由规律可得，4n＝(n＋1)2－(n－1)2，
故答案为(n＋1)2－(n－1)2．
(2)假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数．
而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝4(k2－m2＋k－m)为4的倍数．
而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数．
而4n－2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
由①②③可知，猜测正确．
故答案为4(k2－m2＋k－m)．
