第一节 多边形与平行四边形
考点一 多边形的定义及性质
1． 多边形的定义及性质
(1)多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
(2)多边形的性质：①内角和定理：n(n≥3，且n为正整数)边形的内角和等于(n－2)×180°．
②外角和定理：多边形的外角和等于360°．
③过n(n≥3，且n为正整数)边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，将n边形分成(n－2)个三角形，n边形共有条对角线．
2．正多边形的性质
正n(n≥3，且n为正整数)边形的各边相等，各角相等，每一个内角都等于，每一个外角都等于．
考点二 平行四边形的性质
1．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示．
2．平行四边形的性质
(1)边：对边相等．
(2)角：对角相等．
(3)对角线：对角线互相平分．
(4)对称性：是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．
(5)面积：S＝底×高．
3．平行四边形的判定
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
1．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是( )
A．正六边形 B．正七边形
C．正八边形 D．正九边形
C [由题意得360°÷45°＝8，
即这个正多边形是正八边形，
故选C．]
2．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为( )
A．2和3 B．3和2
C．4和1 D．1和4
B [∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∴∠BAE＝∠AEB．
∴AB＝BE＝3．
∴EC＝BC－BE＝AD－BE＝2．
故选B．]
3．如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则( )
A．S1＋S2＞
B．S1＋S2＜
C．S1＋S2＝
D．S1＋S2的大小与P点位置有关
C [过点P作EF⊥AD交AD于点E，交CB的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S＝BC·EF，S1＝，S2＝，
∵EF＝PE＋PF，AD＝BC，
∴S1＋S2＝．故选C．]
4．如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2．
[证明] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠1＝∠2．
命题点1 多边形
【典例1】 (2024·山东)如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为( )
A．12 B．10 C．8 D．6
A [∵四边形BCMN是正方形，
∴∠NBC＝90°，
∵∠ABN＝120°，
∴∠ABC＝360°－90°－120°＝150°，
∴正n边形的一个外角为180°－150°＝30°，
∴n的值为＝12．故选A．]
有关多边形的角的度数问题，经常利用多边形的内角和、外角和公式来解答．
[对点演练]
1．(2023·济宁)一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是________边形．
五 [设此多边形的边数为n，
则(n－2)×180°＝540°，
解得n＝5，
即此多边形为五边形．]
2．(2024·莘县二模)如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB＝1 cm，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为________cm．
3 [如图，当点P是正六边形的中心时，
连接PB，PC，过点P作PH⊥BC于点H，延长HP交EF于点G，
则点P到这个正六边形六条边的距离之和即为6PH的长．
根据正六边形的性质可知：
△BPC是等边三角形，
∴∠BPC＝60°，
∵PH⊥BC，
∴∠BPH＝30°，BH＝BC＝(cm)，
∴PH＝BH＝(cm)，
∴6PH＝3(cm)．
∴点P到这个正六边形六条边的距离之和为3cm．]
命题点2 平行四边形的性质
【典例2】 (2024·山东)如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF＝( )
A． B．3 C． D．4
B [法一：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
∵EF＝DE，
∴OE是△BFD的中位线，
∴＝＝，
∴＝，
∴BF＝3．
故选B．
法二：延长DF和AB，交于G点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，即DC∥AG，
∴△DEC∽△GAE，
∴＝＝，
∵AC＝5，CE＝1，
∴AE＝AC－CE＝4，
∴＝＝＝，
又∵EE＝DE，＝＝，
∴＝，
∵＝＝，DC＝AB，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝＝
∴AE∥BF，
∴△BGF∽△AGE，
∴＝＝，
∵AE＝4，
∴BF＝3．
故选B．]
(1)平行四边形的每条对角线，把它分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形分成四组全等的三角形；
(2)在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时，常利用平行四边形的性质证明三角形全等来解决．
[对点演练]
3．(2023·菏泽)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．
[证明] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，
∵AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE＝CF．
命题点3 平行四边形的判定
【典例3】 (2024·济宁)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件________，使四边形ABCD是平行四边形．
OB＝OD(或AD∥BC或AB∥CD) [①当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②当AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，
在△OAD和△OCB中，
∴△OAD≌△OCB(AAS)，
∴OD＝OB，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
③当AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
在△OAB和△OCD中，
∴△OAB≌△OCD(AAS)，
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
综上所述：补充条件是OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD．]
判定平行四边形的一般思路
(1)已知一组对边平行
(2)已知一组对边相等
(3)对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
[对点演练]
4．(2024·四川乐山)如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
D [A．根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
B．根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
C．根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
D．一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，故不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意．
故选D．]
5．(2024·冠县一模)如图，△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：
(1)△CEF≌△AED；
(2)四边形DBCF是平行四边形．
[证明] (1)∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴AE＝CE，
在△CEF与△AED中，
∴△CEF≌△AED(SAS)．
(2)由(1)证得△CEF≌△AED，
∴∠A＝∠FCE，
∴BD∥CF，
∵点D，E是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，即DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．
命题点4 平行四边形的性质与判定
的综合应用
【典例4】 (2024·湖北武汉)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．(不需要说明理由)
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．
∵AF＝CE，
∴AD－AF＝BC－CE，
∴DF＝BE，
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)如图，添加BE＝CE，理由如下：
∵AF＝CE，BE＝CE，
∴AF＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
[对点演练]
6．(2023·临沂)如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是________．
14 [如图，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF为平行四边形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴＝＝＝＝，
∵AC＝6，BC＝9，
∴DE＝3，DF＝4，
∴平行四边形纸片的周长是2×(3＋4)＝14．]
课时分层评价卷(二十) 多边形与平行四边形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．(2024·邹城市一模)如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
C [设多边形的边数为n，依题意，得
(n－2)×180°＝3×360°，
解得n＝8．
故选C．]
2．(2024·贵州)如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．AB＝BC B．AD＝BC
C．OA＝OB D．AC⊥BD
B [A．平行四边形的邻边不一定相等，无法得到AB＝BC，故此选项不合题意；
B．因为平行四边形的对边相等，故AD＝BC，故此选项符合题意；
C．平行四边形的对角线不一定相等，无法得出OA＝OB，故此选项不合题意；
D．平行四边形的对角线不一定垂直，无法得到AC⊥BD，故此选项不合题意．
故选B．]
3．(2024·四川遂宁)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A．36° B．40°
C．45° D．60°
C [设这个正多边形的边数为n，
由题意得(n－2)×180°＝1 080°，
解得n＝8，
则360°÷8＝45°，
即这个正多边形的每个外角为45°．
故选C．]
4．(2024·四川德阳)已知，正六边形ABCDEF的面积为6，则正六边形的边长为( )
A．1 B． C．2 D．4
C [如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为点M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∴OA＝OB＝AB，
设AB＝x，则OA＝OB＝x，
∴S正六边形＝6S△AOB＝6，
∴6××x×x＝6，
解得x＝2或x＝－2(舍去)，
即正六边形的边长为2．
故选C．]
5．(2024·四川巴中)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
B [∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，
∴AB＝CD，BC＝AD，OC＝OA＝AC＝2，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE＝BC，OE＝AB，
∴CE＋OE＝(BC＋AB)，
∵ ABCD的周长为12，
∴2BC＋2AB＝12，
∴(BC＋AB)＝3，
∴CE＋OE＝3，
∴CE＋OE＋OC＝3＋2＝5，
∴△COE的周长为5．
故选B．]
6．(2024·单县一模)如图，在 ABCD中，点E在BC上且EB＝2EC，AE与BD交于点F．若BD＝5，则BF的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上且EB＝2EC，
∴CB∥AD，AD＝BC＝EB＋EC＝2EC＋EC＝3EC，
∴＝＝，
∵EB∥AD，
∴△EFB∽△AFD，
∴＝＝，
∵BD＝5，
∴BF＝BD＝×5＝2．
故选B．]
7．如图，在 ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠A＝∠C，故①③正确；
∴S△ABD＝S△CDB＝S平行四边形ABCD，
∠ODE＝∠OBF，
∵点O是BD的中点，
∴OD＝OB，
又∵∠DOE＝∠BOF，
∴△ODE≌△OBF(ASA)，
∴S△ODE＝S△OBF，EO＝FO≠ED，故②不正确；
∵S△ABD＝S△CDB，S△ODE＝S△OBF，
∴S△ABD－S△ODE＝S△CDB－S△OBF，
即S四边形ABOE＝S四边形CDOF，故④正确．
综上所述，正确结论的个数为3．
故选C．]
8．(2024·莒南县模拟)如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案( )
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
A [方案甲中：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙中：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
∴△ABN≌△CDM(AAS)，
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙中：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
∴△ABN≌△CDM(ASA)，
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．
故选A．]
9．(2024·郓城县模拟)将正六边形ABCDEF和正五边形BCGHI按如图所示的位置摆放，连接DG，则∠CDG＝________．
24° [由题意得，CG＝CD．
∴∠CGD＝∠CDG．
∵多边形ABCDEF是正六边形，多边形BCGHI是正五边形，
∴∠BCD＝120°，∠BCG＝108°．
∴∠DCG＝360°－∠BCD－∠BCG＝360°－120°－108°＝132°．
∴∠CGD＋∠CDG＝180°－∠GCD＝48°．
∴2∠CDG＝48°．
∴∠CDG＝24°．]
10．(9分)(2024·茌平区校级模拟)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．
[证明] ∵ ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE＝CF．
11．(2024·河北)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，
△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．
∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴①________．
又∵∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD≌△MCB(②________)．
∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为( )
A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA
C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA
D [∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠3，
∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵点M是AC的中点，
∴MA＝MC，
在△MAD和△MCB中，
∴△MAD≌△MCB(ASA)，
∴MD＝MB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA．
故选D．]
12．(2024·浙江)如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD＝2．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( )
A．x＋y B．x－y
C．xy D．x2＋y2
C [过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，DH⊥BC，
∴AE＝DH，
∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，
∴CH＝BE＝x，
∵BC＝y，
∴EC＝BC－BE＝y－x，BH＝BC＋CH＝y＋x，
∵AE2＝AC2－EC2，DH2＝BD2－BH2，
∴22－(y－x)2＝(2)2－(y＋x)2，
∴xy＝2．
故选C．]
13．(2024·莒南县一模)如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为________度．
45 [∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
∴∠B＝∠BAE＝108°，
由图形的折叠可知，∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，
∠BAF＝∠FAB′＝∠BAM＝27°，
∠AFB′＝∠AFB＝180°－∠B－∠BAF＝180°－108°－27°＝45°．
故答案为45．]
14．(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC、AD上．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)连接DE交CF于点G，若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)如图，过点C作CH⊥AD于点H，
则∠CHD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADC＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°－∠ADC＝180°－60°＝120°，
∵CF是∠BCD的平分线，
∴∠DCF＝∠BCD＝×120°＝60°，
∴∠ADC＝∠DCF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝2，DH＝DF＝1．
在Rt△CHD中，由勾股定理得CH＝＝＝，
∴S△CDF＝DF·CH＝×2×＝，
由(1)得四边形AECF是平行四边形，
∴CE＝AF＝DF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴△DGF∽△EGC，
∴＝＝，
∴FG＝CF，
∴S△GDF＝S△CDF＝．
15．[分类讨论](2024·四川自贡)如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6 cm，BC＝12 cm．点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3 cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ＝CD出现的次数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B [由已知可得，P从A到D需12 s，Q从C到B(或从B到C)需4 s，
设P，Q运动时间为t s，
①当0≤t≤4时，过Q作QH⊥AD于H，过C作CG⊥AD于G，如图，
由题可知，AP＝t cm，CQ＝3t cm＝GH，
∵PD∥CQ，PQ＝CD，
∴四边形CQPD是等腰梯形，
∴∠QPH＝∠D＝∠B＝60°，
∵PQ＝CD＝AB＝6 cm，
∴PH＝PQ＝3 cm，DG＝CD＝3 cm，
∵AP＋PH＋GH＋DG＝AD＝BC＝12，
∴t＋3＋3t＋3＝12，
解得t＝1.5；
当四边形CQPD是平行四边形时，如图，
此时PD＝CQ＝3t cm，
∴t＋3t＝12，
解得t＝3，
∴t为1.5 s或3 s时，PQ＝CD．
②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图，
此时BQ＝3(t－4)cm，AP＝t cm，
∵AD＝BC，PD＝CQ，
∴BQ＝AP，
∴3(t－4)＝t，
解得t＝6；
由①知，若四边形CQPD是CD，PQ为腰的等腰梯形，则PD＞6 cm，这种情况在4＜t≤8时不存在；
∴t为6 s时，PQ＝CD．
③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图，
此时CQ＝3(t－8)，PD＝12－t，
∴3(t－8)＝12－t，
解得t＝9，
∴t为9 s时，PQ＝CD．
综上所述，t为1.5 s或3 s或6 s或9 s时，PQ＝CD．
故选B．](共94张PPT)
第五章 四边形
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第一节 多边形与平行四边形 命题点1 多边形 山东T7 济宁T12 高频考点．和三角形的全等和相似相结合．命题方式比较灵活，以中档题为主．
命题点2 平行四边形的性质 山东T9 菏泽T17
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第一节 多边形与平行四边形 命题点3 平行四边形的判定 济宁T13 高频考点．和三角形的全等和相似相结合．命题方式比较灵活，以中档题为主．
命题点4 平行四边形的性质与判定的综合应用 临沂T15
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第二节 矩形、菱形、正方形 命题点1 矩形的性质与判定 高频考点．和直角三角形，三角形的全等和相似相结合．命题方式比较灵活，以中档题为主．预测2025年的考查仍然以特殊四边形的判定和性质为重点．
命题点2 菱形的性质与判定 济宁T4 聊城T15
济宁T18
临沂T13
命题点3 正方形的性质与判定 山东T22
第一节 多边形与平行四边形
考点一 多边形的定义及性质
1． 多边形的定义及性质
(1)多边形的定义：在平面内，由一些线段_________相接组成的封闭图形叫做多边形．
链接教材 基础过关
首尾顺次
(2)多边形的性质：①内角和定理：n(n≥3，且n为正整数)边形的内角和等于______________．
②外角和定理：多边形的外角和等于_____．
③过n(n≥3，且n为正整数)边形的一个顶点可以引________条对角线，将n边形分成________个三角形，n边形共有_______条对角线．
(n－2)×180°
360°
(n－3)
(n－2)
2．正多边形的性质
正n(n≥3，且n为正整数)边形的各边相等，各角相等，每一个内角都等于__________，每一个外角都等于______．
考点二 平行四边形的性质
1．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示．
2．平行四边形的性质
(1)边：对边_____．
(2)角：对角_____．
(3)对角线：对角线_________．
(4)对称性：是_________图形，_________________是它的对称中心．
(5)面积：S＝_______．
相等
相等
互相平分
中心对称
两条对角线的交点
底×高
3．平行四边形的判定
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别_____的四边形是平行四边形．
(3)两组对角分别_____的四边形是平行四边形．
(4)对角线_________的四边形是平行四边形．
(5)一组对边___________的四边形是平行四边形．
相等
相等
互相平分
平行且相等
1．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是( )
A．正六边形 B．正七边形
C．正八边形 D．正九边形
C [由题意得360°÷45°＝8，
即这个正多边形是正八边形，
故选C．]
√
2．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为( )
A．2和3 B．3和2
C．4和1 D．1和4
√
B [∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∴∠BAE＝∠AEB．
∴AB＝BE＝3．
∴EC＝BC－BE＝AD－BE＝2．
故选B．]
√
4．如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2．
【典例1】 (2024·山东)如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为( )
A．12 B．10 C．8 D．6
考点突破 对点演练
命题点1 多边形
√
有关多边形的角的度数问题，经常利用多边形的内角和、外角和公式来解答．
[对点演练]
1．(2023·济宁)一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是____边形．
五 [设此多边形的边数为n，
则(n－2)×180°＝540°，
解得n＝5，
即此多边形为五边形．]
五
2．(2024·莘县二模)如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB＝1 cm，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为_______cm．
命题点2 平行四边形的性质
√
(1)平行四边形的每条对角线，把它分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形分成四组全等的三角形；
(2)在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时，常利用平行四边形的性质证明三角形全等来解决．
[对点演练]
3．(2023·菏泽)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．
【典例3】 (2024·济宁)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件___________________________，使四边形ABCD是平行四边形．
命题点3 平行四边形的判定
OB＝OD(或AD∥BC或AB∥CD)
OB＝OD(或AD∥BC或AB∥CD) [①当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②当AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，
判定平行四边形的一般思路
[对点演练]
4．(2024·四川乐山)如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
√
D [A．根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
B．根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
C．根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
D．一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，故不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意．
故选D．]
5．(2024·冠县一模)如图，△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：
(1)△CEF≌△AED；
(2)四边形DBCF是平行四边形．
(2)由(1)证得△CEF≌△AED，
∴∠A＝∠FCE，
∴BD∥CF，
∵点D，E是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，即DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．
【典例4】 (2024·湖北武汉)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．(不需要说明理由)
命题点4 平行四边形的性质与判定的综合应用
(2)如图，添加BE＝CE，理由如下：
∵AF＝CE，BE＝CE，
∴AF＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
[对点演练]
6．(2023·临沂)如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是________．
14
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层评价卷(二十) 多边形与平行四边形
1．(2024·邹城市一模)如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
√
C [设多边形的边数为n，依题意，得
(n－2)×180°＝3×360°，
解得n＝8．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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15
2．(2024·贵州)如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．AB＝BC B．AD＝BC
C．OA＝OB D．AC⊥BD
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
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13
14
15
√
B [A．平行四边形的邻边不一定相等，无法得到AB＝BC，故此选项不合题意；
B．因为平行四边形的对边相等，故AD＝BC，故此选项符合题意；
C．平行四边形的对角线不一定相等，无法得出OA＝OB，故此选项不合题意；
D．平行四边形的对角线不一定垂直，无法得到AC⊥BD，故此选项不合题意．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
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14
15
3．(2024·四川遂宁)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A．36° B．40°
C．45° D．60°
题号
1
3
5
2
4
6
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15
√
C [设这个正多边形的边数为n，
由题意得(n－2)×180°＝1 080°，
解得n＝8，
则360°÷8＝45°，
即这个正多边形的每个外角为45°．
故选C．]
题号
1
3
5
2
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题号
1
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√
题号
1
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题号
1
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5．(2024·四川巴中)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
题号
1
3
5
2
4
6
8
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√
题号
1
3
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2
4
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题号
1
3
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11
12
13
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15
6．(2024·单县一模)如图，在 ABCD中，点E在BC上且EB＝2EC，AE与BD交于点F．若BD＝5，则BF的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
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15
√
题号
1
3
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4
6
8
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13
14
15
7．如图，在 ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题号
1
3
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2
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√
题号
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15
∴S△ODE＝S△OBF，EO＝FO≠ED，故②不正确；
∵S△ABD＝S△CDB，S△ODE＝S△OBF，
∴S△ABD－S△ODE＝S△CDB－S△OBF，
即S四边形ABOE＝S四边形CDOF，故④正确．
综上所述，正确结论的个数为3．
故选C．]
题号
1
3
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2
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6
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14
15
8．(2024·莒南县模拟)如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案( )
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
题号
1
3
5
2
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15
√
A [方案甲中：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
题号
1
3
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2
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题号
1
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2
4
6
8
7
9
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13
14
15
∴△ABN≌△CDM(AAS)，
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
题号
1
3
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2
4
6
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题号
1
3
5
2
4
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9
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13
14
15
∴△ABN≌△CDM(ASA)，
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．
故选A．]
题号
1
3
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2
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8
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13
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15
9．(2024·郓城县模拟)将正六边形ABCDEF和正五边形BCGHI按如图所示的位置摆放，连接DG，则∠CDG＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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13
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15
24°
24° [由题意得，CG＝CD．
∴∠CGD＝∠CDG．
∵多边形ABCDEF是正六边形，多边形BCGHI是正五边形，
∴∠BCD＝120°，∠BCG＝108°．
∴∠DCG＝360°－∠BCD－∠BCG＝360°－120°－108°＝132°．
∴∠CGD＋∠CDG＝180°－∠GCD＝48°．
∴2∠CDG＝48°．
∴∠CDG＝24°．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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13
14
15
10．(9分)(2024·茌平区校级模拟)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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题号
1
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15
11．(2024·河北)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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13
14
15
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．
∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴①________．
又∵∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD≌△MCB(②________)．
∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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13
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15
若以上解答过程正确，①，②应分别为( )
A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA
C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA
题号
1
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2
4
6
8
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15
√
题号
1
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13
14
15
∴△MAD≌△MCB(ASA)，
∴MD＝MB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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题号
1
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2
4
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13
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15
√
C [过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，DH⊥BC，
∴AE＝DH，
∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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题号
1
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15
13．(2024·莒南县一模)如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为________度．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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45
题号
1
3
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15
14．(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC、AD上．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)连接DE交CF于点G，若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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题号
1
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题号
1
3
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题号
1
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题号
1
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15
15．[分类讨论](2024·四川自贡)如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6 cm，BC＝12 cm．点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3 cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ＝CD出现的次数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
题号
1
3
5
2
4
6
8
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12
13
14
15
√
B [由已知可得，P从A到D需12 s，Q从C到B(或从B到C)需4 s，
设P，Q运动时间为t s，
①当0≤t≤4时，过Q作QH⊥AD于H，过C作CG⊥AD于G，如图，
题号
1
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2
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题号
1
3
5
2
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12
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14
15
当四边形CQPD是平行四边形时，如图，
此时PD＝CQ＝3t cm，
∴t＋3t＝12，
解得t＝3，
∴t为1.5 s或3 s时，PQ＝CD．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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15
②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图，
此时BQ＝3(t－4)cm，AP＝t cm，
∵AD＝BC，PD＝CQ，
∴BQ＝AP，
∴3(t－4)＝t，
解得t＝6；
由①知，若四边形CQPD是CD，PQ为腰的等腰梯形，则PD＞6 cm，这种情况在4＜t≤8时不存在；
∴t为6 s时，PQ＝CD．
题号
1
3
5
2
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14
15
③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图，
此时CQ＝3(t－8)，PD＝12－t，
∴3(t－8)＝12－t，
解得t＝9，
∴t为9 s时，PQ＝CD．
综上所述，t为1.5 s或3 s或6 s或9 s时，PQ＝CD．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
