第二节 矩形、菱形、正方形
考点一 矩形的性质和判定
1．矩形的定义和性质
(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
(2)矩形的性质：
①矩形具有平行四边形的所有性质．
②角：矩形的四个角都是直角．
③对角线：矩形的对角线相等．
2．矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(2)有三个角是直角的四边形是矩形．
(3)对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)．
考点二 菱形的性质和判定
1．菱形的定义和性质
(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
(2)菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的所有性质．
②菱形的四条边都相等．
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
④菱形面积S＝ab．(a，b是两条对角线的长度)
2．菱形的判定
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形＋一组邻边相等＝菱形)．
(2)四条边相等的四边形是菱形．
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)．
考点三 正方形的性质和判定
1．正方形的定义和性质
(1)正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形．
(2)正方形的性质：
①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．
②正方形的对角线相等且互相垂直平分．
2．正方形的判定
(1)对角线相等的菱形是正方形．
(2)对角线垂直的矩形是正方形．
(3)有一个角是直角的菱形是正方形．
1．(人教版八下P61综合应用T11改编)如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )
A． B．6 C． D．12
A [∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，
∴DO＝BD＝4，AC⊥BD，BC＝CD＝5，
在Rt△CDO中，CO＝＝3，
∴AC＝2OC＝6，
∵菱形ABCD的面积为AC·BD＝BC·AE，
∴AE＝＝．
故选A．]
2．(人教版八下P67复习巩固T5改编)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB∶BC＝3∶2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE，CE交于点E，连接DE，则tan ∠EDC＝( )
A． B． C． D．
A [∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB∶BC＝3∶2，
∴设AB＝3x，BC＝2x．
如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，
∴四边形BOCE是菱形．
∴OE与BC垂直平分，
∴EF＝AD＝BC＝x，OE∥AB，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴OE＝AB，
∴CF＝OE＝AB＝x．
∴tan ∠EDC＝＝＝．
故选A．]
3．(青岛版八下P29习题6.3T16改编)如图，在正方形ABCD中，AD＝12，对角线AC和BD相交于点O，E为BC上一点，连接AE，点F为AE的中点，若OF＝3.5，则△BEF的周长是________．
18 [∵正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，
∴AO＝CO，即O为AC的中点，∠ABE＝90°，
∵AD＝12，
∴AB＝BC＝12，
∵点F为AE的中点，OF＝3.5，
∴CE＝2OF＝7，
∴BE＝BC－CE＝12－7＝5，
∴AE＝＝13，
∴BF＝EF＝AF＝AE＝6.5，
则△BEF的周长是6.5＋6.5＋5＝18．]
4．(人教版八下P58练习T3改编)如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为________cm．
8 [过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，则∠AND＝90°，
∵两张纸条的对边平行，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵两张纸条的宽度相等，
∴AM＝AN，
∵S ABCD＝BC·AM＝CD·AN，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
在Rt△ADN中，∠ADN＝60°，AN＝3 cm，
∴AD＝＝＝2(cm)，
∴四边形ABCD的周长为2×4＝8(cm)．]
命题点1 矩形的性质与判定
【典例1】 (2024·莘县一模)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BAE∶∠EAD＝2∶3，求∠AOE的度数．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AEO和△DFO中，
∴△AEO≌△DFO(AAS)，
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)由(1)得，四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEO＝90°，
∵∠BAE∶∠EAD＝2∶3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°－36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝54°－36°＝18°．
∴∠AOE＝90°－∠EAO＝90°－18°＝72°．
矩形性质的问题，利用矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线把矩形分成两个全等的三角形，经常结合勾股定理来解答．
[对点演练]
1．(2024·莒南县一模)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝________．
3 [∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，∠ABC＝90°，
∵CE＝10，F为CE的中点，
∴BF＝CE＝5，
∴BF＝BG＝5，
∴AG＝＝＝3．]
2．(2024·贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：
①AB∥CD，②AD＝BC．
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积．
[解] (1)选择①，
证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
选择②，
证明：∵AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)∵∠ABC＝90°，
∴BC＝＝＝4，
∴矩形ABCD的面积为3×4＝12．
命题点2 菱形的性质与判定
【典例2】 (2023·济宁)如图，BD是矩形ABCD的对角线．
(1)作线段BD的垂直平分线(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
(2)设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
[解] (1)如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线．
(2)①四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵BF＝DF，
∴BE＝ED＝DF＝BF，
∴四边形BEDF是菱形．
②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，
由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10－x，
∵AB＝5，
∴AB2＋AE2＝BE2，即25＋(10－x)2＝x2，
解得x＝6.25，
∴四边形BEDF的周长为6.25×4＝25．
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
[对点演练]
3．(2024·济宁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
A [∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∵E是AB的中点，
∴OE＝AB，
∵OE＝3，
∴AB＝6，
即菱形的边长为6．
故选A．]
4．(2023·聊城)如图，在 ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为________．
24 [∵CF∥BE，
∴∠BEO＝∠CFO，
∵BC的垂直平分线EO交AD于点E，
∴BO＝CO，∠BOE＝∠COF＝90°，
∴△BOE≌△COF，
∴BE＝CF，OE＝OF，
∴四边形BFCE为平行四边形，
又∵OE＝OF，BO＝CO，∠BOE＝∠COF＝90°，
∴平行四边形BFCE为菱形，
∵AD＝8，
∴BC＝8，
∴OC＝BC＝4，
在Rt△EOC中，OE＝＝＝3，
故菱形BFCE的面积为×BC×EF＝×BC×2EO＝×8×2×3＝24．]
【教师备选资源】
(2023·临沂)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________．
24 [如图，菱形ABCD中AC＝8，BD＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△DAC的面积＝AC·OD，△BAC的面积＝AC·OB，
∴菱形ABCD的面积＝△DAC的面积＋△BAC的面积＝AC·(OD＋OB)＝AC·BD＝×8×6＝24．]
命题点3 正方形的性质与判定
【典例3】 (2024·山东)一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1．
(1)求证：BM＝EN；
(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P．
①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°<α<60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°<α<120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．
[证明] (1)设AC＝DE＝a，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∴AB＝BC，
∵BM⊥AC，
∴BM＝AM＝CM＝AC＝a，
∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，
∴EN＝DE＝a，
∴BM＝EN．
(2)①∵∠D＝30°，CN⊥DF，
∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°－30°＝60°，
∵α＝∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝90°，
∵BM⊥AC，
∴∠PMC＝∠BMC＝90°，
∴四边形PMCN为矩形，
∵BM＝EN，即BM＝CN，
而BM＝CM，
∴CM＝CN，
∴四边形CNPM是正方形．
②如图，当30°<α<60°时，连接CP，
由(1)可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，
∴△PMC≌△PNC，
∴PM＝PN，
∴MP＋DP＝PN＋DP＝DN，
∵∠D＝30°，
∴cos ∠D＝＝＝cos 30°＝，
∴＝．
如图，当60°<α<120°时，连接CP，
由(1)可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，
∴△PMC≌△PNC，
∴PM＝PN，
∴DN＝PN－DP＝MP－DP，
∵∠CDF＝30°，
∴cos ∠CDF＝＝＝cos 30°＝，
∴＝．
[对点演练]
5．(2024·内蒙古呼伦贝尔)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是( )
A．2 B．2＋
C．4－2 D．
A [正方形ABCD的边长为2，
∴BC＝DC＝2，∠BCD＝90°，DO＝BD，∠CBD＝45°，
∴BD＝＝2，
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴DF＝DC＝2，∠DFE＝∠BCD＝90°，
∴BF＝BD－DF＝2－2，∠BFE＝90°，
∴∠FBE＝∠FEB＝45°，
∴EF＝BF＝2－2，
∴BE＝BF＝(2－2)＝4－2，
∴△BEF的周长是BE＋EF＋BF＝4－2＋2－2＋2－2＝2．故选A．]
6．(2024·东昌府区一模)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP．
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
[解] (1)四边形BPCO为平行四边形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，
∵分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，
∴OB＝CP，BP＝OC，
∴四边形BPCO为平行四边形．
(2)当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形．
∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，
∴OB＝OC，
∵四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为正方形．
课时分层评价卷(二十一) 矩形、菱形、正方形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共55分)
1．(2024·甘肃临夏)如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为( )
A．(－4，2) B．(－，4)
C．(－2，4) D．(－4，)
C [如图，
∵点C的坐标为(3，4)，
∴OC＝＝5．
∵四边形ABOC为菱形，
∴AC＝OC＝5，
∴AD＝AC－CD＝5－3＝2，
∴顶点A的坐标为(－2，4)．
故选C．]
2．(2024·四川成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD
C [∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AC＝BD，AD∥BC，则∠ACB＝∠DAC，
∴选项A中AB＝AD不一定正确，故不符合题意；
选项B中AC⊥BD不一定正确，故不符合题意；
选项C中AC＝BD一定正确，故符合题意；
选项D中∠ACB＝∠ACD不一定正确，故不符合题意．
故选C．]
3．(2024·湖北武汉)小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是( )
A．64° B．66° C．68° D．70°
C [作图可得AB＝AD＝BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD，
∵∠A＝44°，
∴∠MBC＝∠A＝44°，
∴∠CBD＝(180°－∠MBC)＝(180°－44°)＝68°．
故选C．]
4．(2024·费县模拟)如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一点，AP＝AC，PE⊥AD，PE＝3，则点C到直线AB的距离为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
C [∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC＝∠CAB，
延长AB，过点C作CF⊥AB的延长线于点F，
∵PE⊥AD，
∴∠AEP＝∠AFC，
∴△AEP∽△AFC，
∴＝，
∵AP＝AC，
∴＝，
∵PE＝3，
∴＝，
解得CF＝9．
故选C．]
5．(2024·吉林)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2)．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为( )
A．(－4，－2) B．(－4，2)
C．(2，4) D．(4，2)
C [∵点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2)，
∴OA＝4，OC＝2，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝2，∠ABC＝90°，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，
∴OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝2，∠OA′B′＝90°，
∴A′B′⊥y轴，
∴点B′的坐标为(2，4)．
故选C．]
6．(2024·鄄城县二模)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE，则∠ABE＝( )
A．45° B．50° C．35° D．15°
D [∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝120°，∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE＝∠ACD＝30°，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠E＝∠CBE＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝60°－45°＝15°．
故选D．]
7．(2024·牡丹区一模)已知P为正方形ABCD内的一点，AB＝1，则P到4个顶点距离之和的最小值为( )
A． B．2 C．1 D．2
B [如图，AC，BD交于点O，当P不在O点时，
则AP＋PC＞AC，BP＋PD＞BD，
当P在O点时，如图，
则AP＋PC＝AC，BP＋PD＝BD，
则P到4个顶点距离之和的最小值为AC＋BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD＝＝，
∴P到4个顶点距离之和的最小值为AC＋BD＝2．故选B．]
8．(2024·内蒙古包头)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE＝AF，则DE的长为________．
2 [如图，过D作DH⊥AC于H，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，AC＝AB＝6，AH＝CH＝AC＝3，
∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝30°，
∴AE＝2AF，
又CE＝AF，
∴AE＝2CE，
∴CE＝2，
∴HE＝CH－CE＝1，
在Rt△CDH中，DH2＝CD2－CH2＝27，
∴DE＝＝2．]
9．(10分)(2024·吉林长春)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
[证明] ∵O是边AB的中点，
∴OA＝OB，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC(ASA)，
∴AD＝BC，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
10．[新定义](2024·四川德阳)宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形(ABA．3 B．2 C．1 D．0
D [如图所示，四边形ABCD是黄金矩形，AB设AB＝a，BC＝b，假设存在点P，且AP＝x，则PD＝b－x，
在Rt△ABP中，BP2＝AB2＋AP2＝a2＋x2，
在Rt△PDC中，PC2＝PD2＋CD2＝(b－x)2＋a2，
∵PB⊥PC，
∴BC2＝BP2＋PC2，即b2＝a2＋x2＋(b－x)2＋a2，
整理得x2－bx＋a2＝0，
∵Δ＝b2－4a2，又＝＝，即a＝b，
∴Δ＝b2－4a2＝b2－4×b2＝(2－5)b2，
∵2－5<0，b2>0，
∴Δ＝b2－4a2＝(2－5)b2<0，
∴方程无解，即点P不存在．
故选D．]
11．(2024·兖州区一模)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝6，CG＝2，则线段MN的长度为( )
A． B． C．2 D．
A [如图所示，连接EF，DG，
∵在正方形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝90°，
又∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴四边形AEFD为矩形，
∴AF＝ED，
∴M为AF，ED的中点，
又∵N为EG的中点，
∴在△EGD中，MN∥DG，MN＝DG．
在Rt△DCG中，利用勾股定理，求得DG＝2，
则MN＝．
故选A．]
12．(2024·东昌府区二模)如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE＝2∠BAE，若BE＝2，则矩形ABCD的面积为________．
16 [在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE＝2∠BAE，BE＝2，
∴∠BAD＝90°，
∴90°＝∠BAD＝∠BAE＋∠DAE＝∠BAE＋2∠BAE，
∴∠BAE＝30°，
∵AE⊥BD，即∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－30°＝60°，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝＝4，
在Rt△ABD中，AD＝AB·tan ∠ABE＝4×tan 60°＝4，
∴S矩形ABCD＝AB·AD＝4×4＝16．]
13．(12分)[项目式学习试题](2024·泰安)综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
(1)同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连接BG，EF与BG相交于点H．同学们发现图形中四条线段成比例，即＝，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
(2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF．将纸片展平，连接EG，FH，FG．同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2＝BD·GD．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
[解] (1)＝正确，理由如下：
作EM⊥BC，垂足为点M．
∵EF⊥BG，
∴∠BHF＝90°，
∴∠FBH＋∠BFH＝90°．
∵∠EMF＝90°，
∴∠MEF＋∠BFH＝90°，
∴∠FBH＝∠MEF．
又∵∠EMF＝∠C＝90°，
∴△EMF∽△BCG．
∴＝．
∵四边形ABCD是矩形，EM⊥BC，
∴四边形ABME是矩形．
∴AB＝EM．
∴＝．
(2)同学们的发现正确，理由如下：
∵CD∥FG，
∴＝，∠CDF＝∠DFG，
由折叠的性质可知∠CDF＝∠BDF，
∴∠DFG＝∠BDF．
∴GD＝GF．
∴＝．
由平行四边形及折叠的性质可知AB＝BG，AB＝CD，
∴＝，
∴BG2＝BD·GD．
即点G为BD的一个黄金分割点．(共89张PPT)
第二节 矩形、菱形、正方形
第五章 四边形
链接教材 基础过关
考点一 矩形的性质和判定
1．矩形的定义和性质
(1)矩形的定义：有一个角是直角的___________叫做矩形．
平行四边形
(2)矩形的性质：
①矩形具有平行四边形的所有性质．
②角：矩形的四个角都是_____．
③对角线：矩形的对角线_____．
直角
相等
2．矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(2)有______是直角的四边形是矩形．
(3)对角线____的平行四边形是矩形(或“对角线______________的四边形是矩形”)．
三个角
相等
互相平分且相等
邻边相等
互相垂直
平分一组对角
2．菱形的判定
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形＋一组邻边相等＝菱形)．
(2)四条边相等的四边形是菱形．
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)．
考点三 正方形的性质和判定
1．正方形的定义和性质
(1)正方形的定义：有一组邻边_____的_____叫做正方形．
(2)正方形的性质：
①正方形的四个角都是_____，四条边都_____．
②正方形的对角线_____且互相_________．
相等
矩形
直角
相等
相等
垂直平分
2．正方形的判定
(1)对角线相等的_____是正方形．
(2)对角线垂直的_____是正方形．
(3)有一个角是直角的_____是正方形．
菱形
矩形
菱形
√
√
A [∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB∶BC＝3∶2，
∴设AB＝3x，BC＝2x．
如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，
3．(青岛版八下P29习题6.3T16改编)如图，在正方形ABCD中，AD＝12，对角线AC和BD相交于点O，E为BC上一点，连接AE，点F为AE的中点，若OF＝3.5，则△BEF的周长是_____．
18
4．(人教版八下P58练习T3改编)如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为________cm．
【典例1】 (2024·莘县一模)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BAE∶∠EAD＝2∶3，求∠AOE的度数．
考点突破 对点演练
命题点1 矩形的性质与判定
∴△AEO≌△DFO(AAS)，
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)由(1)得，四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEO＝90°，
∵∠BAE∶∠EAD＝2∶3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°－36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝54°－36°＝18°．
∴∠AOE＝90°－∠EAO＝90°－18°＝72°．
矩形性质的问题，利用矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线把矩形分成两个全等的三角形，经常结合勾股定理来解答．
[对点演练]
1．(2024·莒南县一模)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝___．
3
2．(2024·贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：
①AB∥CD，②AD＝BC．
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积．
[解] (1)选择①，
证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
选择②，
【典例2】 (2023·济宁)如图，BD是矩形ABCD的对角线．
命题点2 菱形的性质与判定
(1)作线段BD的垂直平分线(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
(2)设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
[解] (1)如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线．
(2)①四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵BF＝DF，
∴BE＝ED＝DF＝BF，
∴四边形BEDF是菱形．
②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，
由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10－x，
∵AB＝5，
∴AB2＋AE2＝BE2，即25＋(10－x)2＝x2，
解得x＝6.25，
∴四边形BEDF的周长为6.25×4＝25．
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
[对点演练]
3．(2024·济宁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
√
4．(2023·聊城)如图，在 ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为________．
24
24 [∵CF∥BE，
∴∠BEO＝∠CFO，
∵BC的垂直平分线EO交AD于点E，
∴BO＝CO，∠BOE＝∠COF＝90°，
∴△BOE≌△COF，
∴BE＝CF，OE＝OF，
∴四边形BFCE为平行四边形，
又∵OE＝OF，BO＝CO，∠BOE＝∠COF＝90°，
【教师备选资源】
(2023·临沂)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________．
24 [如图，菱形ABCD中AC＝8，BD＝6，
24
【典例3】 (2024·山东)一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1．
命题点3 正方形的性质与判定
(1)求证：BM＝EN；
(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P．
①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°<α<60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°<α<120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．
(2)①∵∠D＝30°，CN⊥DF，
∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°－30°＝60°，
∵α＝∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝90°，
∵BM⊥AC，
∴∠PMC＝∠BMC＝90°，
∴四边形PMCN为矩形，
∵BM＝EN，即BM＝CN，
而BM＝CM，
∴CM＝CN，
∴四边形CNPM是正方形．
√
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共55分)
题号
1
3
5
2
4
6
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13
课时分层评价卷(二十一) 矩形、菱形、正方形
√
题号
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2．(2024·四川成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD
√
C [∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AC＝BD，AD∥BC，则∠ACB＝∠DAC，
∴选项A中AB＝AD不一定正确，故不符合题意；
选项B中AC⊥BD不一定正确，故不符合题意；
选项C中AC＝BD一定正确，故符合题意；
选项D中∠ACB＝∠ACD不一定正确，故不符合题意．
故选C．]
题号
1
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题号
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3．(2024·湖北武汉)小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是
( )
A．64° B．66° C．68° D．70°
√
题号
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5．(2024·吉林)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2)．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为( )
A．(－4，－2) B．(－4，2)
C．(2，4) D．(4，2)
√
C [∵点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2)，
∴OA＝4，OC＝2，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝2，∠ABC＝90°，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，
∴OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝2，∠OA′B′＝90°，
∴A′B′⊥y轴，
∴点B′的坐标为(2，4)．
故选C．]
题号
1
3
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题号
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6．(2024·鄄城县二模)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE，则∠ABE＝( )
A．45° B．50° C．35° D．15°
√
题号
1
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B [如图，AC，BD交于点O，当P不在O点时，
√
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8．(2024·内蒙古包头)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE＝AF，则DE的长为________．
题号
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9．(10分)(2024·吉林长春)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
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√
A [如图所示，连接EF，DG，
∵在正方形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝90°，
又∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴四边形AEFD为矩形，
∴AF＝ED，
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12．(2024·东昌府区二模)如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE＝2∠BAE，若BE＝2，则矩形ABCD的面积为________．
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【拓展延伸】
(2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF．将纸片展平，连接EG，FH，FG．同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2＝BD·GD．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
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