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第四节 二次根式
第一章 数与式
链接教材 基础过关
大于或等于
a
|a|
B [依题意，得2x－10≥0，解得x≥5，故选B．]
√
√
√
√
√
√
考点突破 对点演练
命题点1 二次根式的概念及性质
√
D [由题意得x≥0且x－2≠0，
解得x≥0且x≠2，
故选D．]
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
(2)如果所给式子中含有分母，那么除了满足被开方数是非负数外，还必须满足分母不能是零．
二次根式有意义的条件
√
(1)把被开方数分解因式．
(2)利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来．
(3)化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2．
化简二次根式的步骤
[解] 由数轴可得，a＋1＞0，b－1＞0，a＋b＞0，
故原式＝a＋1－(b－1)－(a＋b)
＝a＋1－b＋1－a－b
＝－2b＋2．
命题点2 二次根式的运算
√
(1)二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同．
(2)二次根式的乘除常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质，将二次根式化简成最简二次根式后再运算．
(3)二次根式的加减可类比整式的加减进行，也可认为是合并同类二次根式．
(4)二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，分母中也不能有根式．
√
3
命题点3 二次根式的估值
√
√
√
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共83分)
课时分层评价卷(四) 二次根式
√
√
√
√
√
√
√
√
x＞1
2或3
10
1＋b [由实数a和b在数轴上的位置可知，0＜a＜1，b＜－1，
∴a－1＜0，a＋b＜0，
∴原式＝|a－1|－|a＋b|
＝1－a＋a＋b
＝1＋b．]
1＋b
√
√
√
√
√
2(答案不唯一)
5
第四节 二次根式
考点一 二次根式的有关概念
1．二次根式的概念：把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0．
3．最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式．
考点二 二次根式的性质
1．双重非负性
(1)被开方数是非负数，即a≥0．
(2)二次根式的值是非负数，即≥0．
2．两个重要性质
(1)()2＝a(a≥0)．
(2)＝|a|＝
3．积的算术平方根：＝(a≥0，b≥0)．
4．商的算术平方根：＝ (a≥0，b＞0)．
考点三 二次根式的运算
1．二次根式的加减法
可以先将二次根式化成最简二次根式，将被开方数相同的二次根式进行合并．有括号时，要先去括号．
2．二次根式的乘除法
(1)乘法：＝(a≥0，b≥0)．
(2)除法：＝ (a≥0，b＞0)．
3．二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号)．
1．(青岛版八下P112例1改编)使有意义的x的取值范围是( )
A．x＞5 B．x≥5
C．x≠5 D．全体实数
B [依题意，得2x－10≥0，解得x≥5，故选B．]
2．(人教版八下P10练习T2改编)下列二次根式为最简二次根式的是( )
A． B．
C． D．
C [＝2，故A选项错误；
＝＝，故B选项错误；
是最简二次根式，故C选项正确；
＝|mn|，故D选项错误，
故选C．]
3．估计的值在( )
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
A [∵<<，
∴2＜＜3，
∴估计的值在2和3之间，
故选A．]
4．若＝2－a，则a的取值范围是( )
A．a＞2 B．a≥2
C．a＜2 D．a≤2
D [∵＝|a－2|＝2－a，∴2－a≥0，解得a≤2，故选D．]
5．下列计算正确的是( )
A．2÷3＝
B．＋＝2
C．3－3＝
D．2×＝
A [2＝＝，所以A选项符合题意；
不能合并，所以B选项不符合题意；
3与3不能合并，所以C选项不符合题意；
2×，所以D选项不符合题意．
故选A．]
6．＋|b－3|＝0，则的值是( )
A．0 B．±2 C．2 D．4
C [∵＋|b－3|＝0，而≥0，|b－3|≥0，
∴a－1＝0，b－3＝0，
解得a＝1，b＝3，
∴＝＝2．
故选C．]
命题点1 二次根式的概念及性质
【典例1】 (2023·济宁)若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≥0
C．x≥2 D．x≥0且x≠2
D [由题意得x≥0且x－2≠0，
解得x≥0且x≠2，
故选D．]
二次根式有意义的条件
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
(2)如果所给式子中含有分母，那么除了满足被开方数是非负数外，还必须满足分母不能是零．
【典例2】 (2024·乐山)已知1＜x＜2，化简＋|x－2|的结果为( )
A．－1 B．1
C．2x－3 D．3－2x
B [∵1＜x＜2，
∴＋|x－2|
＝x－1＋2－x
＝1．故选B．]
化简二次根式的步骤
(1)把被开方数分解因式．
(2)利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来．
(3)化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2．
[对点演练]
1．(2024·菏泽一模)若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
x≥ [根据题意，得3x－2≥0，解得x≥．]
2．(2024·聊城月考)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋1|－．
[解] 由数轴可得，a＋1＞0，b－1＞0，a＋b＞0，
故原式＝a＋1－(b－1)－(a＋b)
＝a＋1－b＋1－a－b
＝－2b＋2．
命题点2 二次根式的运算
【典例3】 (2024·济宁)下列运算正确的是( )
A．＝ B．＝
C．2÷＝1 D．＝－5
B [选项A：和不是同类二次根式，不能合并，不合题意；
选项B：＝，正确，符合题意；
选项C：2÷＝≠1，所以C错误，不合题意；
选项D：∵≥0(a≥0)，
∴＝5，故D错误，不合题意．
故选B．]
(1)二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同．
(2)二次根式的乘除常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质，将二次根式化简成最简二次根式后再运算．
(3)二次根式的加减可类比整式的加减进行，也可认为是合并同类二次根式．
(4)二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，分母中也不能有根式．
[对点演练]
3．下列运算正确的是( )
A．2＋4＝6 B．2＝－10
C．(3－)2＝11－6 D．6÷＝3
C [A．2＋4无法合并，故此选项不合题意；
B．2＝10，故此选项不合题意；
C．(3－)2＝11－6，故此选项符合题意；
D．6÷＝9，故此选项不合题意．
故选C．]
4．(2023·聊城)计算：÷＝_______________________________．
3 [原式＝÷
＝(4)÷
＝3÷
＝3．]
命题点3 二次根式的估值
【典例4】 (2023·临沂)设m＝5，则实数m所在的范围是( )
A．m＜－5 B．－5＜m＜－4
C．－4＜m＜－3 D．m＞－3
B [m＝5
＝－3
＝－3
＝－2
＝－，
∵16＜20＜25，
∴＜＜，
即4＜＜5，
那么－5＜－＜－4，
则－5＜m＜－4，
故选B．]
[对点演练]
5．(2024·聊城二模)整数a满足
A．3 B．4 C．5 D．6
B [∵11＜16＜21，
∴＜＜，
∴＜4＜，
∵整数a满足∴a＝4．
故选B．]
6．(2024·江苏盐城)矩形相邻两边长分别为cm，cm，设其面积为S cm2，则S在哪两个连续整数之间( )
A．1和2 B．2和3
C．3和4 D．4和5
C [S＝＝(cm2)，
∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴S在3和4之间．
故选C．]
课时分层评价卷(四) 二次根式
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共83分)
1．(2024·绥化)若式子有意义，则m的取值范围是( )
A．m≤ B．m≥－
C．m≥ D．m≤－
C [由题意得，2m－3≥0，
解得，m≥．
故选C．]
2．(2024·济宁一模)下列各式是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
A [是最简二次根式；
＝＝2，不是最简二次根式；
＝|a|，不是最简二次根式；
＝，不是最简二次根式．
故选A．]
3．(2024·湖南)计算的结果是( )
A．2 B．7
C．14 D．
D [＝．
故选D．]
4．(2024·临沂一模)下列计算正确的是( )
A．＝－3 B．＝
C．＝±6 D．－＝－0.6
D [＝3，A选项错误；
，B选项错误；
＝6，C选项错误．
故选D．]
5．(2024·内蒙古包头)计算所得结果是( )
A．3 B．
C．3 D．±3
C [＝＝＝3．
故选C．]
6．计算：3＝( )
A．－3 B．－2 C．－ D．
B [原式＝3×－3
＝－3＝－2，故选B．]
7．(2024·重庆)已知m＝，则实数m的范围是( )
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4
C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
B [m＝＝3＝2＝，
∵＜<，
∴3＜＜4，
即实数m的范围是3＜m＜4．
故选B．]
8．(2024·桓台一模)已知m＝＋1，n＝－1，则＝( )
A．±3 B．－3 C．3 D．
C [∵m＝＋1，n＝－1，
∴(m＋n)2＝(＋1＋－1)2＝(2)2＝8，
mn＝(＋1)(－1)＝1，
∴＝＝＝3．
故选C．]
9．(2024·烟台)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________．
x＞1 [∵代数式在实数范围内有意义，∴x－1＞0，解得x＞1．]
10．(2024·滨州)写出一个比大且比小的整数________．
2或3 [∵<<，
∴<2<，
∵<<，
∴2＜3<，
∴比大且比小的整数是2或3．]
11．(2024·威海)计算：＝________．
－2 [原式＝2＝2－4＝－2．]
12．(2024·天津)计算(＋1)(－1)的结果为________．
10 [原式＝()2－12＝11－1＝10．]
13．实数a和b在数轴上如图所示，化简的结果是________．
1＋b [由实数a和b在数轴上的位置可知，0＜a＜1，b＜－1，
∴a－1＜0，a＋b＜0，
∴原式＝|a－1|－|a＋b|
＝1－a＋a＋b
＝1＋b．]
14．(每题5分，共10分)计算：
(1)(2024·河南)－(1－)0；
(2)(2024·甘肃兰州)．
[解] (1)原式＝－1＝10－1＝9．
(2)＝3－2＝．
15．(10分)先化简，再求值：2(a＋)(a－)－a(a－4)＋14，其中a＝－2．
[解] 原式＝2(a2－5)－(a2－4a)＋14
＝2a2－10－a2＋4a＋14
＝a2＋4a＋4
＝(a＋2)2，
当a＝－2时，原式＝(－2＋2)2＝6．
16．(2023·河北)若a＝，b＝，则＝( )
A．2 B．4 C． D．
A [∵a＝，b＝，
∴＝＝＝2．
故选A．]
17．[新定义](2024·莘县二模)我们把形如a＋b(a，b为有理数，为最简二次根式)的数叫做型无理数，如3＋1是型无理数，则()2是( )
A．型无理数 B．型无理数
C．型无理数 D．型无理数
B [()2
＝3＋15＋6
＝18＋6，
即型无理数．
故选B．]
18．现将一个面积为300 cm2的正方形的一组对边缩短8cm，就成为一个长方形，这个长方形的面积为( )
A．80 cm2 B．72 cm2
C．60 cm2 D．30 cm2
C [∵正方形面积为300 cm2，
∴正方形边长为＝10 cm，
将其一组对边缩短8 cm，
即这组对边长度变为10－8＝2，
∴长方形面积为2×10＝60(cm2)．
故选C．]
19．若a＝2 0242－2 023×2 024，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
D [∵a＝2 024×(2 024－2 023)＝2 024，
b＝＝＝＝2 023，
c＝＝＜2 023，
∴a，b，c的大小关系是c＜b＜a．
故选D．]
20．(2024·重庆)估计)的值应在( )
A．8和9之间 B．9和10之间
C．10和11之间 D．11和12之间
C [)
＝2)
＝2＋6，
∵5.76＜6＜6.25，
∴<<，
∴2.4＜＜2.5，
∴10.8＜2＋6＜11，
故选C．]
21．[开放性试题]请写出一个正整数m的值使得是整数：m＝________．
2(答案不唯一) [写出一个正整数m的值使得是整数：m＝2(答案不唯一)．
故答案为2(答案不唯一)．]
22．[易错题]两个最简二次根式与可以合并，则a＝________．
5 [由题意，得a2＋a＝a＋25，
∴a2＝25，
∴a＝±5，
当a＝－5时，＝＝＝2，
∴不是最简二次根式，
∴a＝－5不符合题意，舍去，
∴a＝5．]
23．[规律探究题]观察下列二次根式的化简：
S1＝＝1＋；
S2＝＝；
S3＝＝；
…
则＝________．
[由题意知，
S2 025＝＋
＋…＋＝＋…＋＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋＋1＋＝1＋2 025－＝2 025＋，
∴＝＝1＋＝．]