(共97张PPT)
第五节 锐角三角函数及其应用
第四章 几何初步与三角形
链接教材 基础过关
考点一 锐角三角函数的定义
1．锐角三角函数基本定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．
2．特殊角的三角函数值
α 30° 45° 60°
sin α __ __ __
cos α __ __ __
tan α __ 1 ___
考点二 解直角三角形
1．解直角三角形：由直角三角形中的_____元素，求出其余_____元素的过程，叫做解直角三角形．
未知
已知
2．解直角三角形常用的关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a，b，c．
(1)三边关系：___________；
(2)两锐角关系：_______________；
(3)边角之间的关系：
sin A＝cos B＝__，cos A＝sin B＝__，tan A＝__，tan B＝__．
a2＋b2＝c2
∠A＋∠B＝90°
考点三 解直角三角形的应用
1．仰角与俯角
(1)仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．
(2)俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
2．坡度和坡角
(1)坡度(坡比)：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比，记作i，i＝__．
(2)坡角：坡面与水平面的夹角，记作α，i＝______．
tan α
3．方向角(或方位角)
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角．
√
√
√
4．如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为______米．
74
考点突破 对点演练
命题点1 锐角三角函数及其应用
√
三个锐角三角函数值都是直角三角形的两边之比，求三角函数值时一定要分清是哪两条边之比．
【典例2】 计算：(－1)2＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°．
应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
√
√
命题点2 解直角三角形
√
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦．
科学选择解直角三角形的方法口诀
√
√
【典例4】 (2024·山东)【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
命题点3 锐角三角函数的实际应用
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具．
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1．
【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离．
(参考数据：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98，
cos 79°≈0.19，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75)
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
(2)乙小组的方案用到了_____．(填写正确答案的序号)
①解直角三角形；②三角形全等．
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测
量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
②
[解] (1)如图，过点B作BH⊥AP于点H，
∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19，
∴AH＝AB·cos 79°≈60×0.19＝11.4，
BH＝AB·sin 79°≈60×0.98＝58.8，
∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，
∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°，
(2)∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，
∴∠ADP＝∠EDF，
∴△ADP≌△EDF(ASA)，
∴AP＝EF，
∴只需测量EF即可得到AP长度．
∴乙小组的方案用到了②．
(2)实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF(点C，D，N，F在一条直线上)，经测得：DE＝27.36 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度(结果精确到0.1 cm)．(参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18)
(2)如图，过点B分别作BH⊥DE，BP⊥FC，垂足分别为H，P，
在Rt△BEH中，BE＝8 cm，∠EBH＝10°，
∴HE＝sin 10°·EB≈1.36(cm)，BH＝cos 10°·EB≈7.84(cm)，
∴HD＝DE－HE＝27.36－1.36＝26(cm)＝BP，
∵∠ABF＝145°，
∴∠PBF＝145°－90°－10°＝45°，
∴BP＝PF＝HD＝26 cm，
∵MN⊥CF，∠NMF＝45°，MN＝8 cm，
∴MN＝NF＝8 cm，
∴DN＝DP＋PF－NF＝7.84＋26－8
≈25.8(cm)，
答：线段DN的长度约为25.8 cm．
解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型
(1)叠合式
(2)背靠式
解题方法：这两种模型中都有一条公共的直角边，解题时，往往以这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解．
[对点演练]
5．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30 m，用高1 m(AC＝1 m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是________m．
6．(2023·聊城)东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520 m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)．求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1 m)．
(参考数据：sin 68.2°≈0.928，cos 68.2°≈0.371，tan 68.2°≈2.50，sin 56.31°≈0.832，cos 56.31°≈0.555，tan 56.31°≈1.50)
[解] 如图，过点P作PE⊥BC于点E，过点A作AD⊥PE于点D，由题意得AB⊥BC，AB＝520 m，BC＝1 200 m，∠PAD＝68.2°，∠C＝56.31°，
∵∠B＝∠BED＝∠ADE＝90°，
∴四边形ADEB是矩形，
【教师备选资源】
1．(2023·菏泽)无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号)．
2．(2023·临沂)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
(参考数据：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625，sin 58°≈0.848，cos 58°≈0.530，tan 58°≈1.6)
[解] 如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
设AD＝x海里，
由题意得，∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里，
在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝x海里，
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共90分)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课时分层评价卷(十八) 锐角三角函数及其应用
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．已知sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，请利用特殊角三角函数值求sin 75°的值为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50 m，则这栋楼的高度为__________m(结果保留根号)．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．(10分)(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan ∠ACB＝1．
(1)求BC的长；
(2)求sin ∠DAE的值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
11．[数学文化](2024·江西)将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan ∠CAB＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
12．(12分)为了防洪需要，某地溢流坝决定新建一座拦水坝．如图，拦水坝的横截面为四边形ABCD，其中，AD∥BC，斜面AB的坡度i＝3∶4(指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比)，已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．(12分)[项目式学习试题]【教材呈现】
人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
【拓展应用】
如图2，四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，CD＝4，∠B＝∠C＝90°．求过A，B，D三点的圆的半径．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14第五节 锐角三角函数及其应用
考点一 锐角三角函数的定义
1．锐角三角函数基本定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．
(1)正弦：sin A＝＝．
(2)余弦：cos A＝＝．
(3)正切：tan A＝＝．
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．
2．特殊角的三角函数值
α 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
考点二 解直角三角形
1．解直角三角形：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．解直角三角形常用的关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a，b，c．
(1)三边关系：a2＋b2＝c2；
(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：
sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝，tan B＝．
考点三 解直角三角形的应用
1．仰角与俯角
(1)仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．
(2)俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
2．坡度和坡角
(1)坡度(坡比)：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比，记作i，i＝．
(2)坡角：坡面与水平面的夹角，记作α，i＝tan α．
3．方向角(或方位角)
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角．
1．(人教版九下P68习题28.1复习巩固T1改编)在△ABC中，a＝12，b＝5，c＝13，则sin A的值为( )
A． B． C． D．
B [∵52＋122＝132∴△ABC是直角三角形．
∴sin A＝＝．故选B．]
2．(青岛版九上P43例1改编)计算tan 45°·cos 30°的结果等于( )
A． B．1 C． D．2
C [原式＝1×＝．故选C．]
3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝60°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan ∠DAC的值为( )
A． B．1 C． D．2
C [∵BD＝BA，
∴∠D＝∠DAB，
∵∠ABC＝60°，
∴∠D＝∠DAB＝30°，
∵AC⊥BC，
∴∠C＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝60°，
∴tan ∠DAC＝tan 60°＝．
故选C．]
4．如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为________米．
3 [如图，
由题意得，斜坡AB的坡度：i＝1∶2，AE＝3米，AE⊥BD，
∵i＝＝，
∴BE＝6米，
∴在Rt△ABE中，AB＝＝＝3(米)，
故答案为3．]
5．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米(图中点A，B，C，P在同一平面内)，那么大汶河此河段的宽AB为________米．
74 [由题知，
∠NPC＝∠PCF＝63.6°，∠MPA＝∠BAP＝50°，BC＝EF＝12米，PE＝60米，
∴PF＝PE－EF＝48(米)，
在Rt △PFC中，tan 63.6°＝＝2，
∴CF＝24(米)，
∴BE＝24(米)，
在Rt△APE中，tan 50°＝＝，
∴AE＝50(米)，
∴AB＝AE＋BE＝74(米)．
故答案为74．]
命题点1 锐角三角函数及其应用
【典例1】 (2024·四川达州)如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan ∠BCD的值为( )
A．2 B．2 C． D．3
B [如图，延长BC交格点于点E，∴∠ACE＝∠BCD．连接AE，
由题意，得AE⊥BE，AE＝4，EC＝2，
∴tan ∠BCD＝tan ∠ACE＝＝＝2，故选B．]
三个锐角三角函数值都是直角三角形的两边之比，求三角函数值时一定要分清是哪两条边之比．
【典例2】 计算：(－1)2＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°．
[解] (－1)2＋2sin45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°
＝1＋2×＋()2
＝1＋＋3
＝4＋．
应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
[对点演练]
1．∠BAC放在正方形网格纸(小正方形的边长为1)的位置如图，则tan∠BAC的值为( )
A． B． C． D．
D [连接CD，如图．
AD＝＝2，CD＝＝，AC＝＝．
∵(2)2＋()2＝()2，
∴∠ADC＝90°，
∴tan ∠BAC＝＝＝．
故选D．]
2．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
C [∵sin A＝，cos B＝，∠A，∠B都是锐角，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故选C．]
命题点2 解直角三角形
【典例3】 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是( )
A．3 B．6 C．8 D．9
B [过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sin B＝，
∴AM＝5×＝4，
∴BM＝＝3．
又∵AB＝AC，
∴BC＝2BM＝6．
故选B．]
科学选择解直角三角形的方法口诀
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦．
[对点演练]
3．(2024·泗水县一模)如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝9．在边AC，AB上分别取点D和点E，使DC＝3，∠BDE＝45°，则线段AE的长为( )
A． B．4
C． D．
B [∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，AB＝AC＝9，
∵∠BDE＝45°，
∴∠BDE＝∠A，
∵∠DBE＝∠DBA，
∴△BDE∽△BAD，
∴＝，
∵∠C＝90°，CD＝3，BC＝9，
∴BD＝＝3，
∴＝，
∴BE＝5，
∴AE＝AB－BE＝4．
故选B．]
4．(2024·曹县一模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos ∠ADF的值为( )
A． B． C． D．
C [∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴∠BDC＝∠DBF，
由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠DBF，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则DF＝x，AF＝5－x，
在Rt△ADF中，32＋(5－x)2＝x2，
∴x＝，
∴cos ∠ADF＝＝，
故选C．]
命题点3 锐角三角函数的实际应用
【典例4】 (2024·山东)【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具．
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1．
【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离．
(参考数据：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75)
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
(2)乙小组的方案用到了________．(填写正确答案的序号)
①解直角三角形；②三角形全等．
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
[解] (1)如图，过点B作BH⊥AP于点H，
∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19，
∴AH＝AB·cos 79°≈60×0.19＝11.4，
BH＝AB·sin 79°≈60×0.98＝58.8，
∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，
∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°，
∴tan ∠APB＝tan 37°＝≈0.75，
∴PH≈＝78.4，
∴AP＝AH＋PH＝11.4＋78.4＝89.8(米)．
即A，P两点间的距离为89.8米．
(2)∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，
∴∠ADP＝∠EDF，
∴△ADP≌△EDF(ASA)，
∴AP＝EF，
∴只需测量EF即可得到AP长度．
∴乙小组的方案用到了②．
【典例5】 (2024·菏泽二模)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管AB＝24 cm，BE＝AB，试管倾斜角α为10°．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度(结果精确到0.1 cm)；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF(点C，D，N，F在一条直线上)，经测得：DE＝27.36 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度(结果精确到0.1 cm)．(参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18)
[解] (1)如图，过点E作EG⊥AC于点G，
∵AB＝24 cm，BE＝AB，
∴BE＝8 cm，AE＝16 cm，
在Rt△AEG中，AE＝16 cm，∠AEG＝10°，
∴EG＝cos 10°·AE
≈0.98×16
≈15.7(cm)，
即CD＝EG≈15.7(cm)，
答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15.7 cm．
(2)如图，过点B分别作BH⊥DE，BP⊥FC，垂足分别为H，P，
在Rt△BEH中，BE＝8 cm，∠EBH＝10°，
∴HE＝sin 10°·EB≈1.36(cm)，BH＝cos 10°·EB≈7.84(cm)，
∴HD＝DE－HE＝27.36－1.36＝26(cm)＝BP，
∵∠ABF＝145°，
∴∠PBF＝145°－90°－10°＝45°，
∴BP＝PF＝HD＝26 cm，
∵MN⊥CF，∠NMF＝45°，MN＝8 cm，
∴MN＝NF＝8 cm，
∴DN＝DP＋PF－NF＝7.84＋26－8
≈25.8(cm)，
答：线段DN的长度约为25.8 cm．
解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型
(1)叠合式
(2)背靠式
解题方法：这两种模型中都有一条公共的直角边，解题时，往往以这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解．
[对点演练]
5．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30 m，用高1 m(AC＝1 m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是________m．
15＋1 [如图，延长CD交EF于点G，
由题意得，DB＝AC＝FG＝1 m，CG⊥EF，DC＝AB＝30 m，∠EDG＝60°，∠ECG＝30°，
∵∠EDG是△EDC的一个外角，
∴∠DEC＝∠EDG－∠ECG＝30°，
∴∠DEC＝∠ECD＝30°，
∴ED＝CD＝30 m，
在Rt△EGD中，EG＝ED·sin 60°＝30×＝15(m)，
∴EF＝EG＋FG＝(15＋1)m，
∴该建筑物的高是(15＋1)m，
故答案为15＋1．]
6．(2023·聊城)东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520 m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)．求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1 m)．
(参考数据：sin 68.2°≈0.928，cos 68.2°≈0.371，tan 68.2°≈2.50，sin 56.31°≈0.832，cos 56.31°≈0.555，tan 56.31°≈1.50)
[解] 如图，过点P作PE⊥BC于点E，过点A作AD⊥PE于点D，由题意得AB⊥BC，AB＝520 m，BC＝1 200 m，∠PAD＝68.2°，∠C＝56.31°，
∵∠B＝∠BED＝∠ADE＝90°，
∴四边形ADEB是矩形，
∴AD＝BE，AB＝DE，
∵tan ∠PAD＝tan 68.2°＝，
∴2.5＝，即PD＝2.5AD＝2.5BE，
∵tan ∠C＝tan 56.31°＝，
∴1.5＝，即PE＝1.5CE，
∵PE＝PD＋DE＝2.5BE＋520，CE＝1 200－BE，
∴2.5BE＋520＝1.5(1 200－BE)，
解得，BE＝320，
∴PE＝2.5BE＋520＝1 320 m，
∴明珠大剧院到龙堤BC的距离为1 320 m．
【教师备选资源】
1．(2023·菏泽)无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号)．
[解] 如图所示：
过点P作 PH⊥AB于点H，过点C作CQ⊥PH于点Q，而 CB⊥AB，
则四边形CQHB是矩形，
∴QH＝BC，BH＝CQ，
由题意可得，AP＝80米，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70米，
∴PH＝AP sin 60°＝80×＝40(米)，AH＝AP cos 60°＝80×＝40(米)，
∴CQ＝BH＝70－40＝30(米)，
∴PQ＝CQ·tan 30°＝10(米)，
∴BC＝QH＝40－10＝30(米)，
∴大楼的高度BC为30米．
2．(2023·临沂)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
(参考数据：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625，sin 58°≈0.848，cos 58°≈0.530，tan 58°≈1.6)
[解] 如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
设AD＝x海里，
由题意得，∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里，
在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝x海里，
在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝，
∴BD＝≈＝6＋x，
解得，x＝10，
∵10＞9，
∴如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险．
课时分层评价卷(十八) 锐角三角函数及其应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共90分)
1．(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝( )
A． B． C． D．
C [∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴tan A＝＝．
故选C．]
2．(2024·天津)cos 45°－1的值等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．－1
A [cos 45°－1＝－1＝1－1＝0．故选A．]
3．(2024·济宁二模)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cos ∠AOC的值等于( )
A． B． C． D．2－
B [如图，设右下角顶点为点F，取CF的中点E，连接BE，AE．则EB＝，AB＝．
∵CD，BE，AE都是正方形的对角线，
∴∠DCE＝∠BEF＝∠AEG＝∠BEG＝45°．
∴CD∥BE，∠AEB＝∠AEG＋∠BEG＝90°．
∴∠AOC＝∠ABE，△ABE是直角三角形．
∴cos ∠AOC＝cos ∠ABE＝＝＝．
故选B．]
4．(2024·四川雅安)在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)( )
A．25米 B．25米 C．25米 D．50米
A [设DC＝x米，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，
tan A＝，即tan 30°＝＝，
整理得AC＝x米，
在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，
tan ∠DBC＝，即tan 60°＝＝，
整理得BC＝x米，
∵AB＝50米，
∴AC－BC＝50，即x－x＝50，
解得x＝25，
则这栋楼的高度为25米．
故选A．]
5．已知sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，请利用特殊角三角函数值求sin 75°的值为________．
[sin 75°＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
＝
＝，
故答案为．]
6．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50 m，则这栋楼的高度为________m(结果保留根号)．
50＋50 [由题意，得AD⊥BC，
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝50 m，
∴CD＝AD·tan 60°＝50(m)，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD·tan 45°＝50(m)，
∴BC＝BD＋CD＝(50＋50)m，
∴这栋楼的高度为(50＋50)m．]
7．(每题5分，共10分)计算：
(1)(2024·江苏盐城)|－2|－(1＋π)0＋4sin 30°．
(2)(2024·青海)－tan 45°＋π0－|－|．
[解] (1)原式＝2－1＋4×
＝2－1＋2＝3．
(2)原式＝3－1＋1－＝2．
8．(10分)(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan ∠ACB＝1．
(1)求BC的长；
(2)求sin ∠DAE的值．
[解] (1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8．
∵tan ∠ACB＝1，
∴CD＝AD＝6，
∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14．
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝7，
∴DE＝CE－CD＝7－6＝1，
∵AD⊥BC，
∴AE＝＝＝，
∴sin ∠DAE＝＝＝．
9．(10分)[跨学科](2024·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD＝2.50 m．点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求的值．(精确到0.1)
参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75．
[解] 过点E作EH⊥AD于点H，
由题意可知，∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20 m，
∴CE＝≈＝1.60(m)，AH＝AD－CE＝2.50－1.60＝0.90(m)，
∴AE＝＝＝1.50(m)，
∴sin γ＝＝＝0.60，
∵sin β＝sin ∠CBE＝＝cos ∠CEB＝cos α＝0.80，
∴＝≈1.3．
10．(2024·四川眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos ∠CEF的值为( )
A． B． C． D．
A [∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6，∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AF＝AD＝8，EF＝DE，∴BF＝＝＝2，∴CF＝BC－BF＝8－2，
在Rt△EFC中，CE＝DC－DE＝6－EF，由勾股定理，得EF2＝CE2＋CF2，
∴EF2＝(6－EF)2＋(8－2)2，∴EF＝，∴CE＝6－＝，
∴cos ∠CEF＝＝＝，
故选A．]
11．[数学文化](2024·江西)将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan ∠CAB＝________．
[令AC与BD的交点为O，
∵∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴CD∥AB，
又∵∠DAB＋∠ABC＝45°＋45°×3＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
∴OB＝BD．
∵AB＝BD，
∴OB＝AB．
在Rt△AOB中，
tan ∠CAB＝＝．]
12．(12分)为了防洪需要，某地溢流坝决定新建一座拦水坝．如图，拦水坝的横截面为四边形ABCD，其中，AD∥BC，斜面AB的坡度i＝3∶4(指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比)，已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
[解] 如图，过点D作DE⊥BC于点E，
则四边形AFED为矩形，
∴DE＝AF，
在Rt△DEC中，CD＝20米，∠C＝18°，
∵sin C＝，∴DE＝DC·sin C≈20×0.31＝6.20(米)，
∵斜面AB的坡度i＝3∶4，AF＝6.20米，
∴BF≈8.27(米)，
∴AB＝≈10.3(米)，
答：斜坡AB的长度约为10.3米．
13．(12分)[数学文化]“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体．在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图所示的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41)
[解] 过点M作MN⊥AB，垂足为点N．
由题意知，四边形CMNB是矩形．
∴CM＝BN＝1.5米，
MN＝CB＝6米，
AN＝AB－BN＝6.3－1.5＝4.8(米)．
在Rt△DMN中，
∵tan ∠DMN＝，
∴DN＝tan ∠DMN·MN＝tan 30°×MN＝×6＝2(米)．
在Rt△AEF中，
∵sin ∠AEF＝，
∴AF＝sin ∠AEF·EF＝sin 45°×EF＝×4＝2(米)．
∵AF＋DN＝AN＋DF，
∴DF＝2＋2－4.8
≈2×1.73＋2×1.41－4.8
＝3.46＋2.82－4.8
＝1.48
≈1.5(米)．
∴中轴上DF的长度为1.5米．
14．(12分)[项目式学习试题]【教材呈现】
人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
如图，在锐角△ABC中，探究之间的关系．(提示：分别作AB和BC边上的高．)
【得出结论】
＝＝．
【基础应用】
在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，利用以上结论求AB的长．
【推广证明】
进一步研究发现，＝＝不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
请利用图1证明：＝＝＝2R．
【拓展应用】
如图2，四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，CD＝4，∠B＝∠C＝90°．求过A，B，D三点的圆的半径．
[解] 【基础应用】
∵∠B＝75°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝60°，
∵∠C＝45°，BC＝2，＝，
∴＝，
解得AB＝．
【推广证明】
作AD⊥BC于点D，作CE⊥AB于点E，连接AO并延长交⊙O于点F，连接CF，如图所示，
∵＝，
∴a·c sin B＝c·b sin A，
∴＝，
同理可证，＝，
∴＝＝，
∵AF是直径，
∴∠ACF＝90°，
∵∠B＝∠AFC，
∴sin B＝sin ∠AFC＝＝，
∴＝2R，
∴＝＝＝2R．
【拓展应用】
连接DB，如图所示，
∵BC＝3，CD＝4，∠C＝90°，
∴BD＝＝＝5，
∴sin ∠BDC＝＝．
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABC＋∠C＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴sin ∠ABD＝，
作AE⊥CD交CD于点E，
则四边形ABCE是矩形，
∴CE＝AB＝2，AE＝BC＝3，
∴DE＝2，
∴AD＝＝＝，
∴＝＝，
∴过A，B，D三点的圆的半径为．
